Дифференциалы и производные: Производные и дифференциалы высших порядков.

5.10.06 Производные и дифференциалы высших порядков

Производная дифференцируемой функции , называемая производной первого порядка, представляет собой тоже функцию от , по отношению к которой можно ставить вопрос о ее производной.

Определение. Производная от производной первого порядка называется производной второго порядка или второй производной. Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и т. д.

Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков и обозначаются: или

Производная -го порядка есть производная от производной -го порядка, то есть .

Пример 1. Найти производные до четвертого порядка включительно следующих функций:

.

Решение.

1) .

2) .

3) .

В некоторых случаях можно получить общий вид -й производной, по которому сразу записывается производная любого порядка (при этом предшествующие производные не вычисляются). Например, для функции имеем , следовательно . Для функций и можно показать, что .

Для отыскания производных высших порядков от произведения двух функций можно применять формулу Лейбница:

Пример 2. Найти для функции .

Решение. Обозначая , по формуле Лейбница получим .

В случае параметрического задания функции первую производную вычисляли по формуле:

(*)

И записывали тоже в параметрической форме:

К ней снова применим формулу (*) (при условии, что производные второго порядка существуют):

.

Результат тоже записываем в параметрической форме и берем третью производную и т. д. Так можно получить производную от по любого порядка.

Пример 3. Найти функции

Решение. Найдем по формуле (*): .

Производную запишем в параметрической форме

К этой функции снова применим формулу (*):

.

Пример 4. Для функции найти .

Решение. тогда и . Получаем

Еще раз применяем формулу (*):

.

Если требуется получить зависимость от , то выражаем из соотношения и подставляем в .

Для функций, заданных неявно, производные высших порядков можно находить тем же способом, что и первую производную, так как производная любого порядка сама является функцией, заданной неявно, если ее не разрешать относительно производной предыдущего порядка.

Пример 5. Дана функция . Найти .

Решение. Берем первую производную, считая функцией от : . Результат дифференцирования тоже функция, заданная неявно (если не разрешать ее относительно ). Дифференцируем ее, считая и функциями от :

.

Пример 6. Найти для функции .

Решение. . Не находя , дифференцируем полученное выражение еще раз как неявную функцию: . Полученное выражение снова рассматриваем как неявную функцию и берем от нее производную по : , или . Еще раз дифференцируя, найдем четвертую производную: .

Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом этой функции и обозначается через . Найдем выражение для :

.

Аналогично . Вообще дифференциалом -го порядка называется дифференциал от дифференциала -го порядка, то есть .

Дифференциалы высших порядков, начиная со второго, свойством инвариантности формы не обладают, то есть формула верна, когда – независимая переменная и перестает быть верной, когда – функция. Например, в случае дифференциал второго порядка вычисляется по формуле , где .

Пример 7. Найти и от функции в случаях, когда: 1) – независимая переменная, 2) – функция от другой независимой переменной.

Решение. Дифференциал первого порядка в силу свойства инвариантности его формы в обоих случаях представляется одинаково: .

В первом случае под понимается приращение независимой переменной , во втором – дифференциал от как от функции . Для отыскания приходится решать задачу для каждого случая отдельно. n$.

В чем разница между производной и дифференциалом?

Последняя обновленная дата: 30 декабря 2022 г.

•

Общее представление: 163,8K

•

Просмотры сегодня: 16.30K

Ответ

Проверено

163,8K+ виды

HINT : Концепция Derivative of Derivative of Derivative

HINT : Концепция Derivative

HINT : Концепция DERIVATION функций отличает исчисление от других разделов математики. Дифференциальное — это подполе исчисления, относящееся к бесконечно малой разнице в некоторой переменной величине и являющееся одним из двух фундаментальных разделов исчисления. Другая ветвь называется интегральным исчислением.

Полный пошаговый ответ :
Дифференциальное : Дифференциальное является одним из основных разделов исчисления, наряду с интегральным исчислением. Это подполе исчисления, которое имеет дело с бесконечно малыми изменениями различных величин.
Дифференцирование — это метод вычисления производной, которая представляет собой скорость изменения выходного сигнала y функции по отношению к изменению переменной x.
Дифференциальные уравнения — это уравнения, содержащие неизвестные функции и некоторые их производные.
Производная: понятие производной функции является одним из самых мощных понятий в математике. Производная функции обычно представляет собой новую функцию, которая называется функцией производной или функцией скорости.
Производная функции представляет собой мгновенную скорость изменения значения зависимой переменной по отношению к изменению значения независимой переменной. Это фундаментальный инструмент исчисления, который также можно интерпретировать как наклон касательной. Он измеряет, насколько крутым является график функции в некоторой заданной точке графика.

Примечание : Скорость изменения одной переменной по отношению к другой переменной называется производной, а уравнения, выражающие связь между этими переменными и их производными, называются дифференциальными уравнениями.

Недавно обновленные страницы

Если ab и c единичные векторы, то left ab2 right+bc2+ca2 математика класса 12 JEE_Main

Стержень AB длиной 4 единицы перемещается горизонтально, когда математика класса 11 JEE_Main

Оценить значение intlimits0 cos 3xdx A 0 B 1 класс 12 математика JEE_Main

Что из следующего является правильным 1 nleft S чашка T right класс 10 математика JEE_Main

Какова площадь треугольника с вершинами Aleft класс 11 математика JEE_Main

KCN легко реагирует с образованием цианида с A Этиловый спирт класс 12 химический JEE_Main

Если ab и c единичные векторы, то left ab2 right+bc2+ca2 математика класса 12 JEE_Main

Стержень AB длиной 4 единицы перемещается горизонтально, когда математика класса 11 JEE_Main

Вычислить значение intlimits0pi cos 3xdx A 0 B 1 класс 12 математика JEE_Main

Что из следующего является правильным 1 nleft S чашка T right класс 10 математика JEE_Main

Какова площадь треугольника с вершинами Aleft класс 11 математика JEE_Main

KCN легко реагирует с образованием цианида с A Этиловый спирт класс 12 химический JEE_Main

Тенденции сомнений

Производные и дифференциалы · Symbolics.

jl

A Дифференциал(op) является частной производной по отношению к op , которую затем можно применить к некоторым другим операциям. Например, D=Differential(t) — это то, что обычно называют d/dt , которое затем можно применять к другим операциям с помощью вызова его функции, поэтому D(x+y) равно d(x+ у)/дт .

По умолчанию производные не раскрываются, чтобы получить символическое представление дифференциального уравнения. Если пользователь хочет расширить все дифференциалы, функция expand_derivatives устраняет все дифференциалы вплоть до базовых выражений с одной переменной.

Symbolics.Differential — Тип

 struct Differential <: Symbolics.Operator 

Представляет дифференциальный оператор.

Поля

• x : Переменная или выражение для дифференцирования.

Примеры

 julia> использование символов
Юлия> @variables x y;
julia> D = Дифференциал(х)
(Д'~х)
julia> D(y) # Дифференцировать y относительно. 3 # дифференциальный оператор третьего порядка
(D'~x(t)) ∘ (D'~x(t)) ∘ (D'~x(t)) 92)
julia> Dx=Differential(x) # Дифференцировать относительно x
(::Differential) (общая функция с двумя методами)
Юлия> dfx=expand_derivatives(Dx(f))
(k*((2abs(x - y)) / y - 2z)*IfElse.ifelse(signbit(x - y), -1, 1)) / y 

источник

Следующие функции не экспортируются и поэтому должны быть доступ через пространство имен, т. е. Symbolics.jacobian .

Symbolics.derivative — Функция

 производная(O, v; упростить)
 

Вспомогательная функция для вычисления производной выражения по или .

source Symbolics.jacobian — Функция

 jacobian(ops, vars; упрощение)
 

Вспомогательная функция для вычисления якобиана массива выражений относительно массива переменных выражений.

source Symbolics.sparsejacobian — Функция

 sparsejacobian(ops, vars; упрощение)
 

Вспомогательная функция для вычисления разреженного якобиана массива выражений относительно массива переменных выражений.

источник Symbolics.gradient — Функция

 градиент(O, vars; упростить)
 

Вспомогательная функция для вычисления градиента выражения относительно массива переменных выражений.

source Symbolics.hessian — Function

 hessian(O, vars; упрощение)
 

Вспомогательная функция для вычисления гессиана выражения относительно массива переменных выражений.

source Symbolics.sparsehessian — Функция

 sparsehessian(O, vars; упростить)
 92 + sin(x+y) - z 

 f (общая функция с 1 методом) 

автоматически имеет производные, определенные с помощью механизма трассировки. Это будет сделано путем непосредственного построения операции внутри вашей функции и ее дифференциации.

Однако во многих случаях вы можете захотеть определить свои собственные производные, чтобы автоматические вычисления якобиана и т. д. могли использовать эту информацию. Это может позволить рассчитать более краткие версии производных, чтобы лучше масштабироваться на более крупные системы.