Дифференцирование сложной функции онлайн: Дифференцирование функции, заданной неявно

Производная сложной функции: как найти, примеры

Функции сложного вида не всегда подходят под определение сложной функции. Если имеется функция вида y=sin x-(2-3)·arctgxx57x10-17×3+x-11, то ее нельзя считать сложной в отличие от y=sin2 x.

Данная статья покажет понятие сложной функции и ее выявление. Поработаем с формулами нахождения производной с примерами решений в заключении. Применение таблицы производных и правила дифференцирования заметно уменьшают время для нахождения производной.

Основные определения

Определение 1

Сложной функцией считается такая функция, у которой аргумент также является функцией.

Обозначается это таким образом: f(g(x)). Имеем, что функция g(x) считается аргументом f(g(x)).

Определение 2

Если есть функция f и является функцией котангенса, тогда g(x) = lnx – это функция натурального логарифма. Получаем, что сложная функция f(g(x)) запишется как arctg(lnx). Или функция f, являющаяся функцией возведенной в 4 степень, где g(x)=x2+2x-3 считается целой рациональной функцией, получаем, что f(g(x))=(x2+2x-3)4.

Очевидно, что g(x) может быть сложной. Из примера y=sin2x+1×3-5 видно, что значение g имеет кубический корень с дробью. Данное выражение разрешено обозначать как y=f(f1(f2(x))). Откуда имеем, что f – это функция синуса, а f1 — функция, располагаемая под квадратным корнем, f2(x)=2x+1×3-5 — дробная рациональная функция.

Определение 3

Степень вложенности определено любым натуральным числом и записывается как y=f(f1(f2(f3(…(fn(x)))))).

Определение 4

Понятие композиция функции относится к количеству вложенных функций по условию задачи. Для решения используется формула нахождения производной сложной функции вида

(f(g(x)))’=f'(g(x))·g'(x)

Примеры

Пример 1

Найти производную сложной функции вида y=(2x+1)2.

Решение

По условию видно, что f является функцией возведения в квадрат, а g(x)=2x+1 считается линейной функцией.

Применим формулу производной для сложной функции и запишем:

f'(g(x))=((g(x))2)’=2·(g(x))2-1=2·g(x)=2·(2x+1);g'(x)=(2x+1)’=(2x)’+1’=2·x’+0=2·1·x1-1=2⇒(f(g(x)))’=f'(g(x))·g'(x)=2·(2x+1)·2=8x+4

Необходимо найти производную с упрощенным исходным видом функции. Получаем:

y=(2x+1)2=4×2+4x+1

Отсюда имеем, что

y’=(4×2+4x+1)’=(4×2)’+(4x)’+1’=4·(x2)’+4·(x)’+0==4·2·x2-1+4·1·x1-1=8x+4

Результаты совпали.

При решении задач такого вида важно понимать, где будет располагаться функция вида f и g(x).

Пример 2

Следует найти производные сложных функций вида y=sin2x и y=sin x2.

Решение

Первая запись функции говорит о том, что f является функцией возведения в квадрат, а g(x) – функцией синуса. Тогда получим, что

y’=(sin2x)’=2·sin2-1x·(sin x)’=2·sin x·cos x

Вторая запись показывает, что f является функцией синуса, а g(x)=x2 обозначаем степенную функцию. Отсюда следует, что произведение сложной функции запишем как

y’=(sin x2)’=cos(x2)·(x2)’=cos(x2)·2·x2-1=2·x·cos(x2)

Формула для производной y=f(f1(f2(f3(…(fn(x)))))) запишется как y’=f'(f1(f2(f3(…(fn(x))))))·f1′(f2(f3(…(fn(x)))))··f2′(f3(…(fn(x))))·…·fn'(x)

Пример 3

Найти производную функции y=sin(ln3 arctg(2x)).

Решение

Данный пример показывает сложность записи и определения расположения функций. Тогда y=f(f1(f2(f3(f4(x))))) обозначим, где f, f1, f2, f3, f4(x) является функцией синуса, функцией возведения в 3 степень, функцией с логарифмом и основанием е, функцией арктангенса и линейной.

Из формулы определения сложной функции имеем, что

y’=f'(f1(f2(f3(f4(x)))))·f1′(f2(f3(f4(x))))··f2′(f3(f4(x)))·f3′(f4(x))·f4′(x)

Получаем, что следует найти

1. f'(f1(f2(f3(f4(x))))) в качестве производной синуса по таблице производных, тогда f'(f1(f2(f3(f4(x)))))=cos(ln3 arctg(2x)).
2. f1′(f2(f3(f4(x)))) в качестве производной степенной функции, тогда f1′(f2(f3(f4(x))))=3·ln3-1arctg(2x)=3·ln2arctg(2x).
3. f2′(f3(f4(x))) в качестве производной логарифмической, тогда f2′(f3(f4(x)))=1arctg(2x).
4. f3′(f4(x)) в качестве производной арктангенса, тогда f3′(f4(x))=11+(2x)2=11+4×2.
5. При нахождении производной f4(x)=2x произвести вынесение 2 за знак производной с применением формулы производной степенной функции с показателем, который равняется 1, тогда f4′(x)=(2x)’=2·x’=2·1·x1-1=2.

Производим объединение промежуточных результатов и получаем, что

y’=f'(f1(f2(f3(f4(x)))))·f1′(f2(f3(f4(x))))··f2′(f3(f4(x)))·f3′(f4(x))·f4′(x)==cos(ln3 arctg(2x))·3·ln2 arctg(2x)·1arctg(2x)·11+4×2·2==6·cos(ln3 arctg(2x))·ln2 arctg(2x)arctg(2x)·(1+4×2)

Разбор таких функций напоминает матрешки. Правила дифференцирования не всегда могут быть применены в явном виде при помощи таблицы производных. Зачастую нужно применять формулу нахождения производных сложных функций.

Существуют некоторые различия сложного вида от сложных функций. При явном умении это различать, нахождение производных будет давать особенно легко.

Пример 4

Необходимо рассмотреть на приведении подобного примера. Если имеется функция вида y=tg2x+3tgx+1, тогда ее можно рассмотреть в качестве сложной вида g(x)=tgx, f(g)=g2+3g+1. Очевидно, что необходимо применение формулы для сложной производной:

f'(g(x))=(g2(x)+3g(x)+1)’=(g2(x))’+(3g(x))’+1’==2·g2-1(x)+3·g'(x)+0=2g(x)+3·1·g1-1(x)==2g(x)+3=2tgx+3;g'(x)=(tgx)’=1cos2x⇒y’=(f(g(x)))’=f'(g(x))·g'(x)=(2tgx+3)·1cos2x=2tgx+3cos2x

Функция вида y=tgx2+3tgx+1 не считается сложной, так как имеет сумму tgx2, 3tgx и 1. Однако, tgx2 считается сложной функцией, то получаем степенную функцию вида g(x)=x2 и f, являющуюся функцией тангенса. Для этого следует продифференцировать по сумме. Получаем, что

y’=(tgx2+3tgx+1)’=(tgx2)’+(3tgx)’+1’==(tgx2)’+3·(tgx)’+0=(tgx2)’+3cos2x

Переходим к нахождению производной сложной функции (tgx2)’:

f'(g(x))=(tg(g(x)))’=1cos2g(x)=1cos2(x2)g'(x)=(x2)’=2·x2-1=2x⇒(tgx2)’=f'(g(x))·g'(x)=2xcos2(x2)

Получаем, что y’=(tgx2+3tgx+1)’=(tgx2)’+3cos2x=2xcos2(x2)+3cos2x

Функции сложного вида могут быть включены в состав сложных функций, причем сами сложные функции могут являться составными функции сложного вида.

Пример 5

Для примера рассмотрим сложную функцию вида y=log3x2+3cos3(2x+1)+7ex2+33+ln2x·(x2+1)

Данная функция может быть представлена в виде y=f(g(x)), где значение f является функцией логарифма по основанию 3, а g(x) считается суммой двух функций вида h(x)=x2+3cos3(2x+1)+7ex2+33 и k(x)=ln2x·(x2+1). Очевидно, что y=f(h(x)+k(x)).

Рассмотрим функцию h(x). Это отношение l(x)=x2+3cos3(2x+1)+7 к m(x)=ex2+33

Имеем, что l(x)=x2+3cos2(2x+1)+7=n(x)+p(x) является суммой двух функций n(x)=x2+7 и p(x)=3cos3(2x+1), где p(x)=3·p1(p2(p3(x))) является сложной функцией с числовым коэффициентом 3, а p1 — функцией возведения в куб, p2 функцией косинуса, p3(x)=2x+1 — линейной функцией.

Получили, что m(x)=ex2+33=q(x)+r(x) является суммой двух функций q(x)=ex2 и r(x)=33, где q(x)=q1(q2(x)) — сложная функция, q1 — функция с экспонентой, q2(x)=x2 — степенная функция.

Отсюда видно, что h(x)=l(x)m(x)=n(x)+p(x)q(x)+r(x)=n(x)+3·p1(p2(p3(x)))q1(q2(x))+r(x)

При переходе к выражению вида k(x)=ln2x·(x2+1)=s(x)·t(x) видно, что функция представлена в виде сложной s(x)=ln2x=s1(s2(x)) с целой рациональной t(x)=x2+1, где s1 является функцией возведения в квадрат, а s2(x)=ln x — логарифмической с основанием е.

Отсюда следует, что выражение примет вид k(x)=s(x)·t(x)=s1(s2(x))·t(x).

Тогда получим, что

y=log3x2+3cos3(2x+1)+7ex2+33+ln2 x·(x2+1)==fn(x)+3·p1(p2(p3(x)))q1(q2(x))=r(x)+s1(s2(x))·t(x)

По структурам функции стало явно, как и какие формулы необходимо применять для упрощения выражения при его дифференцировании. Для ознакомления подобных задач и и для понятия их решения необходимо обратиться к пункту дифференцирования функции, то есть нахождения ее производной.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Дифференцирование сложных функций. Задача из практики подготовки к ЕГЭ по математике 10 класс онлайн-подготовка на

Тема 12: Производная. Профильный уровень

• Видео
• Тренажер
• Теория

Заметили ошибку?

Дифференцирование сложной функции. Примеры

 

Сложную функцию мы уже  дифференцировали, но аргументом служила линейная функция, а именно, умеем дифференцировать функцию . Например, . Сейчас таким же образом будем находить производные от сложной функции, где вместо линейной функции может быть другая функция.

 

Начнем с функции

1.

Итак, нашли производную синуса от сложной функции, где аргументом синуса была квадратичная функция.

Если надо будет найти значение производной в конкретной точке, то эту точку нужно подставить в найденную производную.

Итак, на двух примерах увидели, как работает правило дифференцирования сложной функции.

 

Таблица производных сложных функций

 

 

1.

 

2.

3. . Напомним, что .

Пример. 

4. .

Пример. 

5.

6.

7.

8. .

Таким образом, таблицу дифференцирования сложных функций, на данном этапе, закончим. Дальше, конечно, она будет еще больше обобщаться, а сейчас перейдем к конкретным задачам на производную.

 

Задача из практики подготовки к ЕГЭ

 

 

В практике подготовки к ЕГЭ предлагаются следующие задачи.

 

Найти минимум функции .

Решение.

ОДЗ:   .

Найдем производную . Напомним, что , .

Приравняем производную к нулю   . Точка  — входит в ОДЗ.

Найдем интервалы знакопостоянства производной (интервалы монотонности функции) (см. рис.1).

Рис. 1. Интервалы монотонности для функции .

Рассмотрим точку  и выясним, является ли она точкой экстремума. Достаточный признак экстремума заключается в том, чтобы производная при переходе через точку  меняет знак. В данном случае производная меняет знак, значит,  — точка экстремума. Так как производная меняет знак с «-» на «+», то  — точка минимума. Найдем значение функции в точке минимума: . Нарисуем схему (см. рис.2).

Рис.2. Экстремум функции .

На промежутке  — функция убывает, на  — функция возрастает, точка экстремума единственная. Наименьшее значение функция принимает только в точке .

Ответ: .

 

Итог урока

 

 

На уроке рассмотрели  дифференцирование сложных функций, составили таблицу и рассмотрели правила дифференцирования сложной функции, привели пример применения производной из практики подготовки к ЕГЭ.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер. -К.: А.С.К., 1997.
7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.
8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 
2. Портал Естественных Наук (Источник). 
3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).

 

Сделай дома

№№ 42.2, 42.3 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)

 

Заметили ошибку?

Расскажите нам об ошибке, и мы ее исправим.

Видеоурок: Дифференцирование сложных функций. Задача из практики подготовки к ЕГЭ по математике по предмету Алгебра за 10 класс.

Комплексный анализ

←Комплексный анализ→

---

Понятие комплексной производной лежит в основе теории комплексных функций. Определение комплексной производной аналогично производная действительной функции. Однако, несмотря на внешнее сходство, сложная дифференциация это совсем другая теория.

Комплексная функция $f(z)$ дифференцируема в точке $z_0\in \mathbb C$ тогда и только тогда если существует следующий коэффициент предельной разности

\begin{eqnarray}\label{diff01} f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}. \end{eqnarray}

В качестве альтернативы, полагая $\Delta z = z-z_0$, мы можем написать

\begin{eqnarray}\label{diff02} f'(z_0) = \lim_{\Delta z \rightarrow 0} \frac{f(z_0+\Delta z) -f(z_0)}{\Delta z}. \end{eqnarray}

Мы часто опускаем нижний индекс у $z_0$ и вводим число \[\Delta w = f(z+\Delta z)-f(z).\] что означает изменение значения $w=f(z)$, соответствующее изменению $\Delta z$ в точке, в которой оценивается $f$. Тогда мы можем записать уравнение (\ref{diff02}) как \[\ frac{d w}{d z}= \lim_{\Delta z \rightarrow 0}\frac{\Delta w}{\Delta z}.\]

Несмотря на то, что формула (\ref{diff01}) для производной по форме идентична формуле производная функции с действительным знаком, важно отметить, что $f'(z_0)$ следует из двумерного предела. Таким образом для существования $f'(z_0)$ соответствующий предел должен существовать независимо от направления из которой $z$ приближается к предельной точке $z_0$. Для функции одной действительной переменной у нас есть только два направления, то есть $x\lt x_0$ и $x\gt x_0$.

Рисунок 1: Существует бесконечное множество направлений для приближения к $z_0$.

Замечательной чертой комплексной дифференциации является то, что существование одного комплекса производная автоматически подразумевает существование бесконечного множества! Это отличается от случая функции действительной переменной $g(x)$, в которой $g'(x)$ может существовать без существования $g»(x)$.

---

Уравнения Коши-Римана

Теперь давайте посмотрим на замечательное следствие определения (\ref{diff01}). Сначала посмотрим, что произойдет, когда подходим к $z_0$ по двум простейшим направлениям — горизонтальному и вертикальному. Если мы устанавливаем $$z= z_0 + h = (x_0+h)+iy_0,\quad h\in \mathbb R,$$ затем $z \rightarrow z_0$ вдоль горизонтальной линии как $h\rightarrow 0.$ Если мы запишем $f$ через его действительную и мнимую составляющие, то есть $$f(z) = u(x,y)+iv(x,y),$$ затем $$f'(z_0)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}$$ затем

\begin{выравнивание*} f'(z_0)&= & \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h + iy_0)-f(x_0+iy_0)}{h} \\ &= & \lim_{h \стрелка вправо 0} \left[ \frac{u \left( x_0 +h, y_0 \right) — u \left( x_0 , y_0 \right)}{h}\right]+i \lim_{h \rightarrow 0} \left[ \frac{v \left( x_0 +h, y_0 \right) — v \left( x_0 , у_0 \справа)}{ч}\справа] \\ &= & u_x(x_0, y_0)+ i v_x(x_0,y_0) \end{eqnarray*}

где $u_x(x_0,y_0)$ и $v_x(x_0,y_0)$ обозначают частные производные первого порядка по к $x$ функции $u$ и $v$ соответственно в точке $(x_0, y_0)$. Если теперь мы установим $$z = z_0+ik = x_0 + i(y_0+k), \quad k\in \mathbb R,$$ затем $z\rightarrow 0$ вдоль вертикальной линии как $k\rightarrow 0$. Поэтому у нас также есть

\begin{выравнивание*} f'(z_0)&= & \lim_{k \rightarrow 0} \frac{f(z_0+ik)-f(z_0)}{ik} = \lim_{k \rightarrow 0} \left[ -i \frac{f(x_0 + i(y_0+k))-f(x_0+iy_0)}{k} \right] \\ &= & \lim_{k \стрелка вправо 0} \left[ \frac{v \left( x_0 , y_0 + k\right) — v \left( x_0 , y_0 \right)}{k}-i \frac{u \left( x_0 , y_0 +k \right) — u \left( x_0 , y_0 \right)}{k}\right] \\ &= & v_y(x_0, y_0)- i u_y(x_0,y_0) \end{eqnarray*}

, где частные производные от $u$ и $v$ на этот раз относятся к $y$. Приравнивая действительную и мнимую части этих двух формул для комплексной производной $f'(z_0)$, мы замечаем, что действительная и мнимая компоненты $f(z)$ должны удовлетворять однородная линейная система уравнений в частных производных: $$u_x=v_y, \quad u_y=-v_x.$$ Это Уравнения Коши-Римана названы в честь знаменитого девятнадцатого математики века Огюстен-Луи Коши и Бернхард Риман, два из основоположники современного комплексного анализа.

Теорема 1: Комплексная функция $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ имеет комплексную производную $f'(z)$ тогда и только тогда, когда ее действительная и мнимая части равны непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют уравнениям Коши-Римана \begin{выравнивание*} u_x=v_y, \quad u_y=-v_x \end{выравнивание*} 9n \log z$), а $c$ — произвольная комплексная константа. Экспоненциальные формулы для комплексных тригонометрических и гиперболических функций следует, что они также удовлетворяют стандартным правилам

\begin{выравнивание*} \frac{d}{dz}\sin z &=& \cos z, \quad \frac{d}{dz} \cos z = -\sin z.\\ \frac{d}{dz}\sinh z &=& \cosh z, \quad \frac{d}{dz} \cosh z = \sinh z. \end{eqnarray*}

Формулы дифференцирования сумм, произведений, отношений, обратных величин и композиций сложных все функции идентичны своим реальным аналогам с аналогичными доказательствами. Это означает что вам не нужно изучать какие-либо новые правила для выполнения сложной дифференциации!

---

Аналитические функции

Пусть $f:A\стрелка вправо \mathbb C$, где $A\subset \mathbb C$ — открытое множество. Функция называется аналитическим на $A$, если $f$ дифференцируема в каждом $z_0\in A$. слово «голоморфный», которое иногда используется, является синонимом слова «аналитический». Фраза «аналитический в $z_0$» означает, что $f$ является аналитическим в окрестности $z_0$

ДАЛЕЕ: Логарифмическая функция

Производная и частная производная сложных функций

Задавать вопрос

спросил 5 лет, 9 месяцев назад

Изменено 2 года, 3 месяца назад

Просмотрено 24к раз

$\begingroup$

Я знаю формальное определение производной функции с комплексным значением и как ее вычислить (так же, как и для функций с действительным знаком), но после решения некоторых задач я чувствую, что могу просто взять частичную производная по $x$ функции для вычисления производной (чтобы она не зависела от $y$?), в отличие от того, чтобы сначала взять производную по $z$, а затем заменить. Это может быть немного неясно, поэтому я приведу пару примеров 92 — 6xy$ и $\frac{\partial v}{\partial x} = 6xy$.

Похоже, что я мог бы просто взять частные производные по $x$ полученного комплексного числа и игнорировать $y$, чтобы найти производные. Почему это правда?

• комплексный анализ

$\endgroup$

$\begingroup$

Соотношение, которое вы наблюдаете, точно соответствует тому, как мы приходим к уравнениям Коши-Римана для действительной и мнимой частей аналитической функции.

Комплексная производная функции $f:U\to{\bf C}$ в $z_0\in U$, где $U$ — открытое подмножество ${\bf C}$, определяется формулой $$ f'(z_0)=\lim_{z\to z_0:z\in U\обратная косая черта\{z_0\}}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\tag{1} $$ Если ${f}$ комплексно дифференцируема в ${z_0}$, то путем специализации предела (1) для переменных ${z}$ вида ${z = z_0 + h}$ для некоторого ненулевого вещественного $ {h}$ около нуля имеем $$ \lim_{z\to z_0:z\in U\обратная косая черта\{z_0\}}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} =\lim_{h\to 0:h\in{\bf R}\обратная косая черта\{0\}}\frac{f((x_0+h)+iy_0)-f(x_0+iy_0)}{h} =u_x(z_0)+v_x(z_0)=:\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) $$ где $z_0=x_0+iy_0$ и $f=u+iv$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Все рассмотренные вами функции аналитические, поэтому ваша $x$-производная будет совпадать с комплексной производной.

Аналитичность гарантирует, что комплексная производная совпадает с «частной» производной относительно действительной/мнимой оси. Формально аналитичность означает, что комплексный предел $$\lim_{z\to 0} \frac{f(z_0 + z) — f(z_0)}z$$ не зависит от того, как $z\to 0$. В частности, вы можете просто взять предел вдоль действительной оси (что будет соответствовать вашей производной $x$) и получить тот же результат. Но вы также можете взять предел вдоль воображаемой оси и должны получить тот же результат, что и раньше. Аналитика гарантирует это. Свойство совпадения этих пределов обеспечивается уравнениями Коши — Римана, эквивалентными аналитичности (для непрерывной функции на открытом множестве). 92\to\mathbb R$ дифференцируема по Фреше или нет.