Дифференциальные уравнения линейные онлайн: Дифференциальные уравнения. Пошаговый калькулятор

Открытое образование — Дифференциальные уравнения

Select the required university:

———

Закрыть

В курсе излагаются методы решения основных типов обыкновенных дифференциальных уравнений и систем линейных дифференциальных уравнений. Приводятся примеры их приложений при моделировании физических и других процессов. Рассматриваются также элементы теории устойчивости. Курс в основном ориентирован на студентов технических специальностей.

• About
• Format
• Information resources
• Requirements
• Course program
• Education results
• Formed competencies
• Education directions

About

Курс посвящён изучению методов решения основных типов обыкновенных дифференциальных уравнений, а также систем линейных дифференциальных уравнений. Цель курса – научить слушателей некоторым способам аналитического нахождения решений и дать представление о том, каким образом дифференциальные уравнения могут применяться на практике.
В состав курса входят видеолекции, а также наборы заданий для самостоятельного решения. В результате прохождения курса обучающийся получит базовые навыки работы с дифференциальными уравнениями, которые он сможет применить в прикладных областях знания.
Дифференциальные уравнения являются мощным инструментом изучения окружающего мира. Повсеместное применение дифференциальных уравнений в науке и технике при моделировании различного рода явлений делает их изучение необходимой частью образования будущего инженера.

Format

В состав курса входят видеолекции, электронный конспект, задачи для самостоятельного решения, электронное тестирование.

Продолжительность курса – 10 недель, средняя нагрузка составляет 7,2 часа в неделю. Общая трудоёмкость – 2 зачётные единицы.

1. Матвеев Н. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения – СПб: Специальная Литература, 1996.
2. Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений – М.: КомКнига, 2007. – 240 с.
3. Филиппов А. Ф., Сборник задач по дифференциальным уравнениям – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» — 2000 – 176 с.
4. Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко, Г. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями —  М.: Едиториал УРСС, — 2002 – 256 с.
5. Лапин И.А., Ратафьева Л.С., Рябова А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения — СПб: НИУ ИТМО, 2014. – 104 с. http://books.ifmo.ru/book/1315/obyknovennye_differencialnye_uravneniya.htm 
6. Б.П. Демидович, В.П. Моденов Дифференциальные уравнения — СПб: Лань, 2019. — 280 с. https://e.lanbook.com/book/115196 

Requirements

Для успешного освоения курса необходимо иметь математическую подготовку в объеме программы первого курса технического вуза. В частности, необходимо владеть дифференциальным и интегральным исчислением функций одной переменной, а также основными приёмами линейной алгебры.

Дополнительный инструментарий не требуется.

Course program

В курсе рассматриваются следующие темы:

1. Введение
2. Уравнения первого порядка. Основные понятия
3. Элементарные методы нахождения решений
4. Линейные уравнения высшего порядка. Общий случай
5. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
6. Системы дифференциальных уравнений
7. Линейные системы с постоянными коэффициентами
8. Теория устойчивости

Каждая тема предполагает изучение в течение одной недели.

 

Education results

• Способность находить общие и частные решения основных типов обыкновенных дифференциальных уравнений (РО-1)
• Способность решать системы линейных дифференциальных уравнений (РО-2)
   

Formed competencies

• Способен применять математические, естественнонаучные и общепрофессиональные знания для понимания окружающего мира и для решения задач профессиональной деятельности (ОПК-1)
• Способен формулировать, строить и применять математические модели для управления достижением планируемых результатов процессов и объектов профессиональной деятельности на базе знаний математики, программирования и унифицированных пакетов программ (ОПК-3)
   

Education directions

09. 03.01 Информатика и вычислительная техника
09.03.04 Программная инженерия
10.03.01 Информационная безопасность
11.03.03 Конструирование и технология электронных средств

12.03.01 Приборостроение
13.03.02 Электроэнергетика и электротехника
15.03.04 Автоматизация технологических процессов и производств
15.03.06 Мехатроника и робототехника
24.03.02 Системы управления движением и навигация
27.03.04 Управление в технических системах
44.03.04 Профессиональное обучение (по отраслям)

Университет ИТМО

Бабушкин Максим Владимирович

Кандидат физико-математических наук
Position: преподаватель факультета систем управления и робототехники Университета ИТМО

Тертычный Владимир Юрьевич

Доктор физико-математических наук, профессор
Position: старший преподаватель факультета систем управления и робототехники Университета ИТМО

Танченко Юлия Валерьевна

Position: преподаватель факультета систем управления и робототехники Университета ИТМО

Certificate

По данному курсу возможно получение сертификата.

Similar courses

15 February 2021 — 31 December 2023 г.

Строение вещества: от атомов и молекул до материалов и наночастиц

СПбГУ

15 February 2021 — 31 December 2023 г.

Современные финансовые технологии

СПбГУ

New course

13 September 2021 — 31 December 2023 г.

Противодействие финансовому мошенничеству и управление индивидуальным риском

СПбГУ

К сожалению, мы не гарантируем корректную работу сайта в вашем браузере. Рекомендуем заменить его на один из предложенных.

Также советуем ознакомиться с полным списком рекомендаций.

Google Chrome

Mozilla Firefox

Apple Safari

Дифференциальные уравнения I-го порядка

Как я и обещал в своей предыдущей статье, сегодня продолжим более детально изучать Дифференциальные уравнения.  

§3. Однородные дифференциальные уравнения I-го порядка

Функцию f(x, y) называют однородной функцией порядка mотносительно своих аргументовxиy, если она выполняется тождество

f(tx, ty)= t^mf(x, y) (3.1), где t – любой множитель.

Так, например, функции x²y– xy², 2x

2 – 3xy однородные: первая – третьего порядка, вторая – первого.

Определение 3.1. Дифференциальное уравнение y’ = f(x, y) (3.2) называется однородным, если его правая часть функция f(x, y) является однородной функцией нулевого порядка относительно своих аргументов x и y.

Интегрирование однородного уравнения с помощью специальной подстановки сводится к интегрированию уравнения с отделяемыми переменными.

Действительно, учитывая нулевой порядок однородности функции f(x, y), для любого t имеем f(tx, ty)= f(x, y).

В частности, если t = 1/x, получим:

Уравнение (3.2) запишется в виде

Введем вспомогательную неизвестную функцию с помощью подстановки: y = x· u,  y’ = u + x· u’.

Уравнение (3.2) записывается в виде  u + x· u’ = φ(u),

в котором переменные разделяются:

Отсюда находим общий интеграл уравнения:

где C=const.

Наконец, после вычисления интегралов и замены вспомогательной функции u ее выражением через x и y, найдем решение однородного уравнения.

Пример 3.1. Решить “дифур”

Решения. Это однородное Дифференциальное уравнение I-го порядка. Применим подстановку y = x· u,  y’ = u +

x· u’.

Тогда получим уравнение с переменными, которые можно разделить, относительно вспомогательной функции u.

u +xu’ = u(ln u + 1)

xu’ = uln u

Решая его, получим

Это ОР уравнения.

Замечания. Уравнение вида P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (3.4), в котором функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные, относительно своих аргументов x и y функции одного и того же измерения, является однородным и заменой y = ux сводится к уравнению с разделяемыми переменными.

Пример 3.2. Решить “дифур”

Решение. Это однородное уравнение, так как коэффициенты при dxи dy являются однородными функциями I-го порядка.

Сделаем замену

y = ux, dy = xdu + udx

Получим “дифур” с переменными, которые можно разделить:

 

Заменив вспомогательную функцию u = y/x получаем, после преобразований, общий интеграл уравнения:

Пример 3.3. Решить “дифур”

Решения. Произведем следующюю замену

Получим

               

§4. Линейные дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнение Бернулли 

Определение 4.1. Дифференциальное уравнение I-го порядка называется линейным, если и сама неизвестная функция и ее производная входят в это уравнение только в первой степени и не содержит их произведения.

В общем виде линейное дифференциальное уравнения I-го порядка:

y’ + P(x)y = Q(x) (4.1)

Используют несколько приемов решения дифференциального уравнений (4.1). Мы рассмотрим здесь метод Бернулли, согласно которому решение в следующем виде y(x) = u(x) · v(x) (4. 3).

Тем самым искомыми становятся функции u(x) и v(x), одну из которых можно выбрать произвольно, а вторая – должна определяться уравнением.

Дифференцируем обе части равенства (4.3)

Подставим выражения для y(x) и y‘(x) в уравнение (4.1). Имеем

Подберем функцию v так, чтобы выполнялось равенство

Тогда функция u должна удовлетворять уравнению

Уравнение (4.4) является уравнением с переменными, которые можно разделить,

В результате интегрирования получим.

Если C = 0, получим

Подставляя значение v(x) в уравнение (4.5), получим относительно u(x) дифференциальное уравнение I-го порядка с переменными, которые можно разделить,

Окончательно по формуле (4.3) получим ОР уравнения (4.1) в виде

При решении конкретных линейных дифференциальных уравнений I-го порядка можно пользоваться готовыми формулами (4. 6) или использовать прием Бернулли.

Пример 4.1. Решить “дифур”

Решения. Это линейное неоднородное уравнение I-го порядка, решаем методом Бернулли. Сведем его к виду (4.1.) (хотя это необязательно). Для чего обе части уравнения умножим на х. Получим:

y’ – 2xy = (x – x³)· e^x2.

Произведем замену

y= u· v.

Дифференцируем это выражение по x:

Заменим в уравнении y’  и y выражениями через u и v, получим

Сгруппируем члены, содержащие функцию u, и вынесем эту функцию за скобки. Получим:

Найдем теперь такую функцию u, чтобы

При этом условии функция u(x) должна удовлетворять уравнению

Решим уравнение (1), разделив переменные:

По определению логарифма

Подставив найденное значение в уравнение ,получим следующий результат:

 

Это “дифур” с переменными, которые можно разделить,. Проинтегрировав его, получим следующее

ОР уравнения получим в виде

Пример 4.2. К линейному уравнению заменой z = y^1-α сводят уравнения

y’ + P(x) · y = Q(x) · y^α, α≠ 0, α≠ 1 (4.7), которое называется уравнением Бернулли.

Пример 4.3. Решить “дифур” со следующим начальным условием.

Имеем уравнение Бернулли. Разделив наш “дифур” на √y, получим

Сделаем замену  

Получим линейное уравнение

Из предыдущего следует

 

Тогда, искомое ОР “дифура” имеет такой вид

Перейдем к поиску частного решения, удовлетворяющего начальному условию y(0)= 4, отсюда

Тогда частное решение первоначального “дифура” имеет такой вид

Уважаемые студенты, записывайтесь на мои занятия и я помогу Вам разобраться с «Дифурами» раз и навсегда!
Онлайн репетитор Андрей Зварыч.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Изучение дифференциальных уравнений с помощью онлайн-курсов, занятий и уроков

Пройдите бесплатные онлайн-уроки по дифференциальным уравнениям от лучших школ и институтов на edX уже сегодня!

Что такое дифференциальные уравнения?

Дифференциальные уравнения — это уравнения, учитывающие любую функцию с ее производными. Эти уравнения часто используются для описания того, как вещи меняются с течением времени, помогая нам делать прогнозы и учитывать как начальные условия, так и эволюцию переменных. Дифференциальные уравнения используются для описания всевозможных природных явлений, но иногда их трудно решить. В чистой математике мы изучаем дифференциальные уравнения с разных точек зрения, а для более сложных уравнений мы используем возможности компьютерной обработки для аппроксимации решения. Дифференциальные уравнения включают много типов: линейные уравнения против нелинейных уравнений, обыкновенные дифференциальные уравнения против уравнений в частных производных и, наконец, однородные уравнения против неоднородных уравнений. Общие решения или исследование зависят от расшифровки типа уравнения.

Узнайте о дифференциальных уравнениях

Дифференциальные уравнения играют важную роль в нашем понимании большинства областей науки. Изучение их функций может помочь в ваших исследованиях и поможет рассказать о сложных природных явлениях. Различные типы дифференциальных уравнений могут использоваться для описания различных скоростей изменений в динамических системах. Приближение этих скоростей изменений дает вам преимущество в открытии. EdX.org предлагает курсы, разработанные в сотрудничестве с лидерами в области математики и естественных наук, которые могут познакомить вас с этими сложными уравнениями, не выходя из дома или офиса.

Курсы и сертификаты по дифференциальным уравнениям

Массачусетский технологический институт предлагает вводный курс по дифференциальным уравнениям. Вы научитесь решать уравнения первого порядка, автономные уравнения и нелинейные дифференциальные уравнения. Вы будете применять эти знания, используя такие вещи, как волновые уравнения и другие численные методы. Вы можете расширить эти знания с помощью курса 2×2 Systems Массачусетского технологического института, предназначенного для введения связанных дифференциальных уравнений. Вы поймете, как решать скорости изменения с помощью дифференциальных уравнений первого порядка и линейных дифференциальных уравнений. Вы можете продолжить изучение всей серии X, изучая все более и более сложные уравнения, включая дифференциальные уравнения второго порядка и частные производные. Оттуда вы можете пройти практические курсы, предназначенные для интеграции использования дифференциальных уравнений в практические приложения. МИСиС предлагает курс «Комплексный анализ с физическими приложениями», призванный дать вам возможность исследовать мир сложных уравнений. Или вы можете применить эти знания к творческим занятиям, используя эти уравнения для CGI с Мичиганским университетом.

Постройте карьеру, зная дифференциальные уравнения

Понимание сложной природы роста и изменений является важной частью исследований и разработок во многих научных областях. Скорость изменений может быть сложно предсказать, но при правильном знании математики вы можете делать более точные прогнозы, используя язык математики более высокого порядка. EdX и партнеры могут помочь вам расшифровать этот сложный язык и обрести уверенность в своих навыках.

18,03x Дифференциальные уравнения Программа XSeries

XSeries Program in

18.03x Дифференциальные уравнения

MITx

Чему вы научитесь

• Использование дифференциальных уравнений для моделирования реальных явлений
• Как решать линейные дифференциальные уравнения, а также как использовать матрицы методы решения системы дифференциальных уравнений
• Как использовать графические методы для понимания качественного поведения линейных и нелинейных систем
• Формулировать и решать задачи на собственные значения и собственные вектора
• Как решать ОДУ и разделимые УЧП, используя входные данные ряда Фурье и граничные условия 6 часов в неделю, в течение 14 недель

  Ученые и инженеры понимают мир через дифференциальные уравнения. Вы тоже можете.

  Просмотреть курс

• 2–5 часов в неделю, 10 недель

  Чтобы понять большинство явлений в мире, нам нужно понимать не просто отдельные уравнения, а системы дифференциальных уравнений. В этом курсе мы начинаем с систем 2×2.

  Посмотреть курс

• Начато 11 января 2023 г.
  5–8 часов в неделю, в течение 9 недель

  Узнайте, как использовать линейную алгебру и MATLAB для решения больших систем дифференциальных уравнений.

  Посмотреть курс

• Начато 22 марта 2023 г.
  5–8 часов в неделю, в течение 11 недель

  Научитесь использовать ряды Фурье для решения дифференциальных уравнений с периодическими входными сигналами и решения краевых задач, включающих уравнение теплопроводности и волновое уравнение.

  Просмотреть курс

• 3–6 часов в неделю, в течение 10 недель

  Введение в тайны частотной области и преобразования Лапласа и их использование для понимания механических и электрических систем.

  No related posts.