Страница не найдена – ФГОС online
Извините, страница не найдена. Она была удалена или переименована. Но вы можете перейти на главную страницу либо на страницу любой олимпиады.
Олимпиады для работников ДОУ
Олимпиады для учителей и
педагогов
Олимпиады для студентов
Олимпиады для дошкольников
Олимпиады по предметам
Олимпиады 1 класс
Олимпиады 2 класс
Олимпиады 3 класс
Олимпиады 4 класс
Олимпиады 5 класс
Олимпиады 6 класс
Олимпиады 7 класс
Олимпиады 8 класс
Олимпиады 9 класс
Олимпиады 10 класс
Олимпиады 11 класс
ТОП курсов повышения квалификации
ТОП курсов профессиональной переподготовки
| Функциональная грамотность школьников | Организация деятельности педагогических работников по классному руководству |
| Система сопровождения ребенка с ОВЗ в общеразвивающем детском саду | Основы религиозных культур и светской этики (ОРКСЭ): теория и методика преподавания в образовательной организации |
| Патриотическое воспитание в системе работы воспитателя общеобразовательной организации | Организация деятельности педагога-воспитателя группы продленного дня |
| Активизация познавательной деятельности младших школьников с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ) как стратегия повышения успешной учебной деятельности | Профилактика коронавируса, гриппа и других острых респираторных вирусных инфекций в образовательных организациях |
| Здоровьесберегающие технологии в физическом развитии дошкольников и их применение в условиях ФГОС ДО | Применение современных педагогических технологий в образовательном процессе в условиях реализации ФГОС |
| Дистанционное обучение как современный формат преподавания | Гражданская оборона и защита от чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера |
| Организация образовательной деятельности в соответствии с требованиями ФГОС НОО (федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования), утвержденного приказом Министерства просвещения РФ № 286 от 31 мая 2021 года | Охрана труда |
| Организация образовательной деятельности в соответствии с требованиями ФГОС ООО (федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования), утвержденного приказом Министерства просвещения РФ № 287 от 31 мая 2021 года | Оказание первой помощи детям и взрослым |
| Пожарно-технический минимум (ПТМ) | Пожарная безопасность |
Диофантовы уравнения.
Поиск решений. Задачи олимпиад. — МатематикаДиофант и история диофантовых уравнений.
Решение уравнений в целых числах является одной из древнейших математических задач. Наибольшего расцвета эта область математики достигла в Древней Греции. Основным источником, дошедшим до нашего времени, является произведение Диофанта – «Арифметика». Диофант суммировал и расширил накопленный до него опыт решения неопределенных уравнений в целых числах.
История сохранила нам мало черт биографии замечательного александрийского ученого-алгебраиста Диофанта. По некоторым данным Диофант жил до 364 года н.э. Достоверно известно лишь своеобразное жизнеописание Диофанта, которое по преданию было высечено на его надгробии и представляло задачу-головоломку:
«Бог ниспослал ему быть мальчиком шестую часть жизни; добавив к сему двенадцатую часть, Он покрыл его щеки пушком; после седьмой части Он зажег ему свет супружества и через пять лет после вступления в брак даровал ему сына.
Увы! Несчастный поздний ребенок, достигнув меры половины полной жизни отца, он был унесен безжалостным роком. Через четыре года, утешая постигшее его горе наукой о числах, он [Диофант] завершил свою жизнь» (примерно 84 года).
Эта головоломка служит примером тех задач, которые решал Диофант. Он специализировался на решении задач в целых числах. Такие задачи в настоящее время известны под названием диофантовых.
Наиболее известной, решенной Диофантом, является задача «о разложении на два квадрата». Ее эквивалентом является известная всем теорема Пифагора. Эта теорема была известна в Вавилонии, возможно ее знали и в Древнем Египте, но впервые она была доказана, в пифагорейской школе. Так называлась группа интересующихся математикой философов по имени основателя школы Пифагора (ок. 580-500г. до н.э.)
Жизнь и деятельность Диофанта протекала в Александрии, он собирал и решал известные и придумывал новые задачи. Позднее он объединил их в большом труде под названием «Арифметика».
Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть сохранились до Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения.
1.1 Теоремы о числе решений линейного диофантового уравнения. Приведем здесь формулировки теорем, на основании которых может быть составлен алгоритм решения неопределенных уравнений первой степени от двух переменных в целых числах.
Теорема 1. Если в уравнении , НОД , то уравнение имеет, по крайней мере, одно решение.
Теорема 2. Если в уравнении , НОД и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.
Теорема 3. Если в уравнении , НОД и , то оно равносильно уравнению , в котором .
Теорема 4. Если в уравнении , , то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:
где х0, у0 – целое решение уравнения , — любое целое число.
Алгоритм решения уравнения в целых числах.
Сформулированные теоремы позволяют составить следующий алгоритм решения в целых числах уравнения вида .
Найти наибольший общий делитель чисел a и b,
если и с не делится на , то уравнение целых решений не имеет;
если и , то
Разделить почленно уравнение на , получив при этом уравнение , в котором .
Найти целое решение (х0, у0) уравнения путем представления 1 как линейной комбинации чисел и ;
Составить общую формулу целых решений данного уравнения
где х0, у0 – целое решение уравнения , — любое целое число.
Способы решения уравнений
При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:
1.
Метод разложения на множители.
2. Выделение полного квадрата.
3. Выделение целой части и оценка дроби
4. Решение уравнения с двумя переменными как квадратное относительно одной из переменных и др.
Задачи по теме:
Решим в качестве примера диофантово уравнение: 13x+41y=8
Решить уравнение в целых числах:
Найти все целочисленные решения уравнения:
Решить уравнение в целых числах:
Найти все натуральные решения уравнения
Решить в целых числах уравнение
Решить в целых числах уравнение:
В клетке сидят кролики и фазаны, всего у них 18 ног. Узнать, сколько может быть в клетке тех и других?
Решить в целых числах уравнение:
Решить в целых числах:
Решить в целых числах уравнение:
Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению
Решить в целых числах уравнение .
Решить уравнение в целых числах: х2+ху=10
Решить уравнение в целых числах y3 — x3= 91.
Решить уравнение в целых числах: 2х2-2ху +9х+у=2
Решить в натуральных числах уравнение: , где тп.
Решить уравнение в натуральных числах: тп +25 = 4т
Найдите все пары (х; у) целых чисел, удовлетворяющие системе неравенств:
Система диофантовых линейных уравнений онлайн
| Коэффициенты первого диофантова уравнения | |
| Коэффициенты второго диофантова уравнения | |
| Система двух диофантовых уравнений |
| Общая матрица принятия решений |
| Результат строки |
. |
Рассмотрен оригинальный алгоритм решения двух произвольных однородных линейных уравнений в целых числах. Автоматический расчет матрицы решений.
Нам нужно решить систему двух диофантовых уравнений
$$\begin{alignedat}{3}2&a-11&b+13&c=1\\62&a+22&b-73&c=-31\end{alignedat}$$
Несомненно, вы можете решить эту систему, как они делают все.
— Умножая первое уравнение на 31 и вычитая из второго получаем классическое диофантово уравнение с двумя переменными.
— Решив, где можно найти все целочисленные значения системы
Схема рабочая, несмотря на множество ручных вычислений
Мне не нравится такой подход, и мы будем использовать другой метод решения.
Красиво и понятно даже для школьников, разбирающихся в векторах и матрицах.
Частично используется описанный здесь в этой статье алгоритм (стр. 36.37)
Доработан, сведен к матричным операциям и обобщен на любые значения.
Изучим алгоритм и его работу на примере.
Решим следующую систему диофантовых уравнений
$$\begin{alignedat}{3}49&a+22&b-26&c=12\\70&a-31&b+9&c=9\end{alignedat}$$
Мы взяли этот пример по той причине, что он был решен на Интернет и для него было разработано общее решение. Так что есть с чем сравнивать.
1. Находим общее решение первого уравнения из заданной системы. Например, пусть будет
8 14 20 -19 -30 -44 -1 1 0
$$\begin{cases}a=8m+14p+20\\b=-19m-30p-44\\c =-m+p+0\end{case}$$
Как проверить, что это истинное равенство? Да, просто умножьте вектор коэффициентов первого уравнения на полученную матрицу
$$\begin{pmatrix}49&22&-26\\\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}8&14&20\\-19&-30&-44\ \-1&1&0\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&12\\\end{pmatrix}$$
Как видите, ответ совпадает со свободным членом первого уравнения.
2. Теперь, когда мы нашли общее решение первого уравнения, подставим его во второе.
То есть в уравнение $70a-31b+9c=9$$ подставляем наши значения
$$\begin{cases}a=8m+14p+20\\b=-19m-30p-44\\ c=-m+p+0\end{cases}$$
Вы можете заменить и уменьшить это своими руками, но в матричном исчислении мы только умножаем вектор {70, -31,9} на нашу матрицу.
$$\begin{pmatrix}70&-31&9\\\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}8&14&20\\-19&-30&-44\\-1&1&0\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix }1140&1919&2764\\\end{pmatrix}$$
То есть мы получили уравнение
\(1140m+1919p+2764=0\)
Но, заметьте, во втором уравнении свободный член равен не нулю, а девяти.
То есть перепишем
Перенесем свободные члены в правую часть и получим классическое диофантово уравнение, которое легко решим.
Общее решение:
3. Теперь выполните обратное преобразование.
То есть
в эту систему
вместо неизвестных подставляем найденные m и p.
В матричном исчислении это решается следующим образом:
Убираем из матрицы последний столбец. Это свободные члены, и они все еще беспокоят нас.
got
Умножаем эту матрицу на матрицу составленную из этих уравнений
получаем
получаем
последний столбец который был удален в начале столбца это свободные члены этот пункт
то есть к вектору {-22 36 -11} добавляем {20 -44 0}
Получаем систему
Следовательно, общее решение системы двух диофантовых уравнений
принимает вид формы
Проверить правильность подсчета
Для первого уравнения
Для второго
Как видим, значения свободных членов совпадают со значениями правой части уравнений, и поэтому мы получили общее решение.
Но радоваться рано, несмотря на то, что мы получили общее решение, мы получаем не все возможные значения.
Почему? Да, потому что вектор \(\{-608 -2261 -3059\}\) имеет НОД = 19
и на самом деле наше общее решение равно
Поскольку числа в скобках должны быть целыми, мы обозначаем их через t а наше, уже точно окончательное общее решение системы двух диофантовых уравнений, имеет вид
Еще несколько примеров и небольшие замечания к алгоритму.
ответ
другой пример
ответ
Как видите, диофантовы уравнения можно решать с неограниченным числом переменных.
Теперь этот калькулятор не может.
Очень не любит уравнения с нулевыми коэффициентами. Особенно первое. Например, такую систему
калькулятор не решит.
Ну как не решает? Решаем, прибегнем ли мы к хитрости и попытаемся удалить все нулевые коэффициенты
Прибавим к первому уравнению второе.
| Система двух диофантовых уравнений |
| Общая матрица решений |
Проверка показывает, что общее решение верно.
И еще пример
| Система двух диофантовых уравнений |
| Общая матрица решений |
Удачи в расчетах!!
Искусство решения проблем
A Диофантово уравнение — это уравнение, связывающее целые (иногда натуральные числа или целые числа) количественные показатели.
Поиск решения или решений диофантова уравнения тесно связан с модульной арифметикой и теорией чисел. Часто, когда диофантово уравнение имеет бесконечно много решений, параметрическая форма используется для выражения отношения между переменными уравнения.
Диофантовы уравнения названы в честь древнегреческого/александрийского математика Диофанта.
Содержимое
- 1 линейная комбинация
- 2 Пифагорейские тройки
- 2.1 Метод Пифагора
- 2.2 Метод Платона
- 2.3 Вавилонский метод
- 3 Сумма четвертых степеней
- 4 уравнения Пелла
- 5 методов решения
- 5.1 Координатная плоскость
- 5.2 Модульная арифметика
- 5.3 Индукция
- 5.4 Общие решения
- 6 Великая теорема Ферма
- 7 Проблемы
- 7.1 Введение
- 7.2 Промежуточный уровень
- 7.3 Олимпиада
- 8 Каталожные номера
- 9 См. также
Линейная комбинация
Диофантово уравнение в форме известно как линейная комбинация. Если два относительно простых целых числа и записать в этой форме с , уравнение будет иметь бесконечное количество решений.
В более общем случае всегда будет бесконечное число решений, когда . Если , то решений уравнения нет. Чтобы понять почему, рассмотрим уравнение . является делителем LHS (также обратите внимание, что это всегда должно быть целым числом). Однако никогда не будет кратно , следовательно, решений не существует.
Теперь рассмотрим случай, когда . Таким образом, . Если и взаимно просты, то все решения, очевидно, имеют вид для всех целых чисел . Если это не так, мы просто делим их на их наибольший общий делитель.
См. также: Личность Безу.
Тройки Пифагора
- Основная статья: Тройка Пифагора
Тройка Пифагора — это набор из трех целых чисел, удовлетворяющих теореме Пифагора . Существует три основных метода нахождения троек Пифагора:
Метод Пифагора
Если число нечетное, то это пифагорейская тройка.
Метод Платона
Если , является пифагорейской тройкой.
Вавилонский метод
Для любого имеем пифагорейскую тройку.
Сумма четвертых степеней
Уравнение формы не имеет целочисленных решений, а именно: Предположим, что уравнение имеет целочисленные решения, и рассмотрим решение, которое минимизирует . Пусть это решение будет . Если то их НОД должен удовлетворять . Тогда решение будет решением меньше, чем , что противоречит нашему предположению. Таким образом, это уравнение не имеет целых решений.
Если , то мы продолжаем рассмотрение дела, в .
Обратите внимание, что каждый квадрат и, следовательно, каждая четвертая степень равна или или . Доказательство этого довольно простое, и вы можете показать его сами.
Случай 1:
Отсюда следует противоречие.
Случай 2:
Это будет означать противоречие, так как мы предположили .
Случай 3: , и
Мы также знаем, что квадраты либо , либо . Таким образом, все четвертые степени либо или .
Аналогичным образом мы показываем, что:
, т.
е.
Это противоречие, так как подразумевается нечетное, а подразумевается четное. QED [Ой, это не работает. 21 (или ) равны и даже не…]
Уравнения Пелла
- Основная статья: Уравнение Пелла
Уравнение Пелла представляет собой тип диофантова уравнения в форме для натурального числа . Решения уравнения Пелла, когда не является идеальным квадратом, связаны с расширением непрерывной дроби . Если период непрерывной дроби и является th сходящимся, все решения уравнения Пелла находятся в форме для положительного целого числа .
Методы решения
Координатная плоскость
Обратите внимание, что любую линейную комбинацию можно преобразовать в линейное уравнение , которое представляет собой просто уравнение пересечения наклона для прямой. Решения диофантова уравнения соответствуют точкам решетки, лежащим на прямой. Например, рассмотрим уравнение или . Одно решение (0,1). Если вы нарисуете линию, легко увидеть, что линия пересекает точку решетки, когда x и y увеличиваются или уменьшаются на одно и то же кратное и соответственно (формулировка?).
Следовательно, решения уравнения могут быть записаны параметрически (если мы рассматриваем их как «отправную точку»).
Модульная арифметика
Иногда модульная арифметика может использоваться для доказательства того, что не существует решений данного диофантова уравнения. В частности, если мы покажем, что рассматриваемое уравнение никогда не будет истинным по модулю для некоторого целого числа , то мы покажем, что уравнение ложно. Однако этот метод нельзя использовать, чтобы показать, что решения диофантова уравнения действительно существуют.
Индукция
Иногда, когда найдено несколько решений, можно использовать индукцию для поиска семейства решений. Такие методы, как бесконечный спуск, также могут показать, что не существует решений конкретного уравнения или что не существует решений вне определенного семейства.
Общие решения
Естественно задаться вопросом, существует ли общее решение для диофантовых уравнений, т. е. алгоритм, который будет находить решения для любых заданных диофантовых уравнений.
Это известно как десятая проблема Гильберта. Ответ, однако, нет.
Великая теорема Ферма
- Основная статья: Великая теорема Ферма
известна как Великая теорема Ферма для условия . В 1600-х годах Ферма, работая над книгой о диофантовых уравнениях, написал на полях комментарий: «У меня есть поистине чудесное доказательство этого утверждения, которое слишком узко для того, чтобы вместить его на полях». Ферма на самом деле сделал много предположений и предложил множество «теорем», но был не из тех, кто записывает доказательства или что-то еще, кроме набросанных комментариев. После его смерти все его предположения были заново доказаны (как ложные, так и истинные), за исключением Великой теоремы Ферма. После более чем 350 лет безуспешных попыток доказать теорему, наконец, эту теорему доказал Эндрю Уайлс после того, как он потратил более 7 лет на работу над 200-страничным доказательством и еще год на исправление ошибки в исходном доказательстве.
Проблемы
Введение
- Два фермера согласны, что свиньи стоят долларов, а козы — долларов.
