Дискретная случайная величина х имеет закон распределения вероятностей: Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Х имеет вид: Х 2 5…

Содержание

24. Дискретная случайная величина х имеет закон распределения

Чему равна вероятность p ₄Построить многоугольник и диаграмму рас-

пределения.

25. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается число

очков, выпавших на обеих верхних гранях. Найти закон распределения

дискретной случайной величины Х — суммы выпавших очков на двух иг-

ральных кубиках.

26. Вероятность изготовления нестандартного изделия при некото-

ром технологическом процессе равна 0,06. Контролер берет из партии из-

делие и сразу проверяет его на качество. Если оно оказывается нестан-

дартным, дальнейшие испытания прекращаются, а партия задерживается.

Если же изделие оказывается стандартным, контролер берет следующее и

т. д., но всего проверяет не более пяти изделий. Найти закон распределения

дискретной случайной величины Х — числа проверяемых изделий.

27. Дана функция

Показать, что эта функция является функцией распределения некоторой

случайной величины X. Найти вероятность того, что эта случайная вели-

чина принимает значения из интервала .

28. Дана функция

Является ли эта функция функцией распределения некоторой случайной

величины?

29. Является ли функцией распределения случайной величины функция

30. Плотность распределения случайной величины Х задана функцией

31. Плотность вероятности случайной величины Х задается функцией

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет

значение из интервала (1;2).

32. Найти математическое ожидание дискретной случайной величи-

ны, закон распределения которой задан таблицей

33. Плотность распределения вероятности случайной величины Х

задана функцией

Найти математическое ожидание случайной величины Х.

34. Найти математическое ожидание случайной величины X, если

известна функция распределения этой величины

Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величи-

ны X.

36. Найти числовые характеристики М(Х), D{Х), (Х

) непрерывной

случайной величины X, заданной плотностью распределения вероятности

37. В энергетической системе имеется группа из четырех одинако-

вых агрегатов, находящихся в одинаковых условиях. Вероятности исправ-

ного состояния агрегатов в течение времени Т равны 0,6 и независимы.

Рассматривается случайная величина Х — число агрегатов, находящихся в

исправном состоянии в течение времени т. Построить ряд и функцию рас-

пределения случайной величины X.

38. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет

30 %. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в слу-

чайно отобранной партии из 75 изделий.

39. Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа

одного элемента в течение одного года работы равна 0,001 и не зависит от

состояния других элементов. Какова вероятность отказа двух элементов?

Какова вероятность отказа не менее двух элементов за год?

40. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого

абонента вероятность того, что в течение часа он позвонит на станцию,

равна 0,01. Найти вероятности следующих событий: «в течение часа 5 або-

нентов позвонят на станцию»; «в течение часа не более 4 абонентов позво-

нят на станцию»; «в течение часа не менее 3 абонентов позвонят на стан-

цию».

41. Определить закон распределения случайной величины X, если ее

плотность вероятности задана функцией:

Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распреде-

ления случайной величины

42. При измерении детали получаются случайные ошибки, подчи-

ненные нормальному закону распределения с параметром =10 мм . Най-

ти вероятность того, что измерение произведено с ошибкой, не превосхо-

дящей 15 мм.

43. Линия связи обслуживает 1000 абонентов. Каждый абонент раз-

говаривает в среднем 6 минут в час. Сколько каналов должна иметь линия

связи, чтобы с практической достоверностью можно было утверждать, что

не произойдет ни одной потери вызова?

44. Сколько следует произвести независимых испытаний, чтобы ве-

роятность выполнения неравенства <0,05 превысила 0,75, если

I» 1

вероятность появления данного события в отдельном испытании р = 0,8?

45. Пусть двумерная случайная величина

(Х,У) задана законом рас-

пределения (табл.1).

а) Найти законы распределения величин Х и У.

б) Найти условное распределение У при условии Х = 30.

в) Найти условное распределение Х при условии У =3.

г) Выяснить, будут ли случайные величины Х и У независимыми.

31 ‘ • .

46. Пусть распределение двумерной случайной величины (х,у) за-

дано табл. 2.

Требуется: 1) найти распределения ее компонент Л’ и У; 2) найти

распределения суммы Х-У, разности Х-У и произведения Х-У, 3) вы-

числить математические ожидания М(Х), М(У), М(Х+7), М(Х—У).

М(Х—У); 4) вычислить ковариацию со\(Х,У); 5) вычислить М(Х,У) и

0(Х,У); 6) вычислить двумя способами дисперсии 0(Х+У) и 0(Х-У);

7) проверить независимость величин Х и У; 8) найти коэффициент корре-

ляции между случайными величинами X и У.

47. Имеется выборка, содержащая 45 числовых значений некоторого

признака случайной величины Х:

39,41,40, 42, 41, 40,42.44,40, 43,42,41,43,39,42,

41,42,39, 41, 37, 43, 41,38, 43, 42, 41,40,41, 38, 44,

40,39,41,40,42, 40,41,42, 40, 43, 38, 39,41, 41, 42.

Построить дискретный вариационный ряд, полигон, кумуляту и эмпириче-

скую функцию распределения.

48. Результаты измерений отклонений от номинала диаметров 50

подшипников дали численные значения (в мкм), приведенные в табл. 3.

Для данной выборки построить интервальный вариационный ряд,

построить полигон, гистограмму, графики эмпирической функции распре-

деления и эмпирической плотности распределения. Построить кумуляту.

49. Имеется выборка (табл. 4), содержащая 100 числовых значений

некоторого признака случайной величины Х.

По приведенным данным требуется:

1) сгруппировать варианты значений признака по нескольким интер-

валам и получить таблицу статистического распределения выборки;

2) построить гистограмму частот;

3) считая уs, равными значению середины каждого интервала, по-

строить полигон частот, найти выборочную среднюю и выборочную дис-

персию.

Рекомендуемая литература

а) основная литература:

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное

исчисление. М. «Наука» 1988 г.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения.

Кратные интегралы. Ряды. ФКП. М. «Наука» 1985 г.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и ана-

литической геометрии. М. «Наука» 1984 г.

4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Задачник… М.

«Наука» 1982 г.

5. Шипачее В.С. Высшая математика. М. «Высшая школа» 1998 г.

6. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.

1 и 2. М. «Наука» 1985 г.

7. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.

М. «Высшая школа» 1998 г.

8. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятно-

стей и математической статистике. М. «Высшая школа» 1997 г.

9. Кпетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.

«Высшая школа» 1998 г.

10. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. С-

П.2000 г.

11. Шипачее В.С. Задачи по высшей математике. М. «Высшая шко-

ла» 1998 г.

12. Шнейдер В.И., Слуцкий А.И

., Шумов А.С. Краткий курс высшей

математики. Т. 1 и 2. М. «Высшая школа» 1978 г.

13. Мироненко Е.С. Высшая математика: Методические указания и

контрольные задания для студентов-заочников инженерных специально-

стей вузов. М. «Высшая школа» 1998 г. и последующие издания.

б) дополнительная литература:

14. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в

упражнениях и задачах. Т. 1 и 2. М. «Высшая школа» 1996 г.

15. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М. «Наука»

1999 г.

16. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. М. «Высшая шко-

ла» Т. 1 и 2 1998 г., Т. 3 1999 г.

17. Бутузов В.Ф., Крутицкий Н. Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. Ма-

тематический анализ в вопросах и задачах. М. «Наука», Физматлит 2000 г.

18. Корниенко В. С. Методика изучения математики на агроинженер-

ных специальностях с помощью системы Майгсаа: Монография. В 2-х ч.

Ч. 1 /Волгогр. гос. с.-х. акад.- Волгоград, 2002.- 248 с.

19. Корниенко В.С. Методика изучения математики на агроинженер-

ных специальностях с помощью системы МайсасЬ Монография. В 2-х ч.

Ч. 2 /Волгогр. гос. с.-х. акад.- Волгоград, 2002.- 252 с.

20. Корниенко В.С. Практические занятия по математике /Волгогр.

гос. с.-х. акад. — Волгоград, 2005. — 200 с. (СО)

21. Корниенко В.С. Приложения производной /Волгогр. гос. с.-х.

акад.- Волгоград, 2004. — 40 с.

22. Корниенко В.С. Представление гармонических колебаний в ком-

плексной форме. /Волгогр. гос. с.-х. акад.- Волгоград, 2004.-16 с.

23. Корниенко В.С., Горкоеенко Л.Г, Вычислительная математика в

электротехнических расчетах. /Волгогр. гос. с.-х. акад.- Волгоград, 2005. —

20 с.

24. Мильченко Н.Ю., Корниенко В.С. Введение в линейную алгебру и

аналитическую геометрию: Методические разработки /Волгогр. гос. с.-х.

акад. — Волгоград, 2005. -72с.

25. Корниенко В.С. Использование калькулятора АЬОЕВКА в реше-

ний задач по математике. Волгоград, 2005.-136 с. (СВ)

26. Корниенко В.С. Математика. Волгоград, 2005.- 744 с. (СО)

27. Гурский Д.А. Вычисления в МайсаД /Д.А. Гурский.- Мн.: Новое

знание, 2003.-814 с.

28. Ивановский Р.И. Компьютерные технологии в науке и образова-

нии. Практика применения систем МайСАВ Рго: Учеб. пособие /Р.И. Ива-

новский. — М.: «Высшая школа», 2003. — 431 с.

29. Семененко М.Г. Математическое моделирование в МаШсаД.- М.:

Альтекс-А, 2003. — 208 с.

30. Макаров Е. Г. Инженерные расчеты в Майюаа. Учебный курс. —

СПб.: Питер, 2005. — 448 с.

31. Корниенко В.С. Анализ и обработка экспериментальных данных.

Волгоград, 2004.-356 с. (СП)

32. Кирьянов Д.В. Майсаа 12. — СПб.: БХВ-Петербург. 2005. — 576 с.

33. Гурский Д., Турбина Е. Ма1Ьсас1 для студентов и школьников. По-

пулярный самоучитель. — СПб.: Питер, 2005. — 400 с.

7.2. Распределения дискретной случайной величины

Биномиальный закон распределения

Если вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна Р, то число появлений события А — дискретная случайная величина Х, принимающая значения 0, 1, 2, …, с вероятностями (формула Бернулли), где , , .

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону, вычисляется по формулам:

Распределение Пуассона

Если число испытаний велико, а вероятность появления события Р в каждом испытании очень мала, то вместо формулы Бернулли пользуются приближенной формулой Пуассона

Где Число появлений события в N независимых испытаниях; M принимает значения . (среднее число появлений события в N испытаниях).

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру , который определяет этот закон, т. е.

Геометрическое распределение

Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2, …, M, …(бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями

Где .

Определение геометрического распределения корректно, так как сумма вероятностей

Случайная величина , имеющая геометрическое распределение, представляет собой число M испытаний, проведенных по схеме Бернулли, с вероятностью Р наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х , имеющей геометрическое распределение с параметром Р вычисляются по формулам:

Где

Гипергеометрическое распределение

Пусть имеется N элементов, из которых М элементов обладают некоторым признаком А. Извлекаются случайным образом без возвращения N элементов. Х — дискретная случайная величина, число элементов обладающих признаком А, среди отобранных N элементов. Вероятность, что Х = M определяется по формуле

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по гипергеометрическому закону, определяются формулами:

Пример 7.2. В аккредитации участвуют 4 коммерческих вуза. Вероятности пройти аккредитацию и получить сертификат для этих вузов, соответственно равны 0,5; 0,4; 0,3; 0,2. Составить закон распределения числа коммерческих вузов, не прошедших аккредитацию. Найти числовые характеристики этого распределения.

Решение. В качестве случайной величины Х выступает число коммерческих вузов, не прошедших аккредитацию. Возможные значения, которые может принять случайная величина Х: 0, 1, 2, 3, 4.

Для составления закона распределения необходимо рассчитать соответствующие вероятности. Обозначим через событие — первый вуз прошел аккредитацию, — второй, — третий, — четвертый. Тогда ; ; ; . Вероятности для вузов не пройти аккредитацию соответственно равны ; ; ; .

Тогда имеем:

Запишем закон распределения в виде таблицы

Х	0	1	2	3	4
Р	0,012	0,106	0,320	0,394	0,168

Проверка: 0,012 + 0,106 + 0,32 + 0,394 + 0,168 = 1.

Вычислим

Вычислим :

. .

Пример 7.3. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые последовательно посетит студент, чтобы взять необходимую книгу, если в городе 3 библиотеки.

Решение. В качестве случайной величины Х выступает число библиотек, которые посетит студент, чтобы получить необходимую книгу. Возможные значения, которые примет случайная величина Х: 1, 2, 3.

Обозначим через событие — книга свободна в первой библиотеке, — во второй, — в третьей. Тогда . Вероятность противоположного события, что книга занята

Для составления закона распределения рассчитаем соответствующие вероятности:

Запишем закон распределения в виде таблицы.

Х	1	2	3
Р	0,3	0,21	0,49

Проверка: 0,3 + 0,21 + 0,49 = 1.

Пример 7.4. Из поступающих в ремонт 10 часов 7 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в чистке, рассматривает их поочередно и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Составить закон распределения числа просмотренных часов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение. В качестве случайной величины Х выступает число просмотренных часов. Возможные значения, которые примет случайная величина Х: 1, 2, 3, 4. Все значения случайной величины зависимы.

Для составления закона распределения вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений. Для расчета вероятностей будем использовать формулу классической вероятности и теорему умножения для зависимых событий.

Пусть событие — первые, взятые наугад, часы, нуждающиеся в чистке, — вторые, — третьи, — четвертые. Тогда имеем:

Запишем закон распределения в виде таблицы

Х	1	2	3	4
Р

Проверим, что :

Вычислим математическое ожидание случайной величины по формуле

Вычислим дисперсию случайной величины по формуле

Вычислим ,

Пример 7.5. Известно, что в определенном городе 20 % горожан добираются на работу личным автотранспортом. Случайно выбраны 4 человека. Составить закон распределения числа людей, добирающихся на работу личным автотранспортом. Найти числовые характеристики этого распределения. Написать функцию распределения и построить ее график.

Решение. В качестве случайной величины Х выступает число людей в выборке, которые добираются на работу личным автотранспортом. Возможные значения, которые может принять случайная величина Х: 0, 1, 2, 3, 4.

Вероятность того, что каждый из отобранных людей, которые добираются на работу личным автотранспортом, постоянна и равна . Вероятность противоположного события, т. е. того, что каждый из отобранных людей добирается на работу не личным автотранспортом, равна . Все 4 испытания независимы. Случайная величина Подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей с параметрами ; ; . Для составления закона распределения вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений.

Расчет искомых вероятностей осуществляется по формуле Бернулли:

Запишем закон распределения в виде таблицы

Х	0	1	2	3	4
Р	0,4096	0,4096	0,1536	0,0256	0,0016

Так как все возможные значения случайной величины образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей должна быть равна 1.

Проверка: 0,4096 + 0,4096 + 0,1536 + 0,0256 + 0,0016 = 1.

Найдем числовые характеристики дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Математическое ожидание может быть рассчитано по формуле

Так как случайная величина подчиняется биноминальному закону, то для расчета математического ожидания можно воспользоваться формулой

Дисперсия случайной величины может быть рассчитана по формуле :

В данном случае дисперсию можно рассчитать по формуле

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение случайной величины по формуле

Составим функцию распределения случайной величины Х по формуле

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

Запишем функцию распределения

График функции распределения вероятностей имеет ступенчатый вид (рис. 7.3). Скачки равны вероятностям, с которыми случайная величина принимает возможные значения.

Рис. 7.3

Пример 7.6. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 5 выданных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Решение. В качестве случайной величины Х выступает число кредитов, возвращенных клиентами в срок. Возможные значения, которые может принять случайная величина Х: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Вероятность того, что каждый клиент возвратит кредит в срок, постоянна и равна . Вероятность того, что кредит не будет возвращен в срок, равна . Все 5 испытаний независимы. Случайная величина подчиняется биномиальному распределению с параметрами ; ; ; . Для составления закона распределения вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений. Расчет искомых вероятностей осуществляется по формуле Бернулли

Запишем закон распределения в виде таблицы

Х	0	1	2	3	4	5
Р	0,00001	0,00045	0,0081	0,0729	0,32805	0,59049

Математическое ожидание вычислим по формуле

Дисперсию вычислим по формуле

Пример 7.7. Из 10 телевизоров на выставке оказались 4 телевизора фирмы «Сони». Наудачу для осмотра выбраны 3 телевизора. Составить закон распределения числа телевизоров фирмы «Сони» среди 3 отобранных.

Решение. В качестве случайной величины Х выступает число телевизоров фирмы «Сони». Возможные значения, которые может принять случайная величина Х: 0, 1, 2, 3. Для составления закона распределения вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений. Эти вероятности можно рассчитать по формуле классической вероятности :

;

Запишем закон распределения

Х	0	1	2	3
Р

Убедимся, что .

Пример 7. 8. На двух автоматических станках производятся одинаковые изделия. Даны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из них:

Х: для первого

Х	0	1	2	3
Р	0,1	0,6	0,2	0,1

Y: для второго

Y		0	1	2
Р		0,5	0,3	0,2

Составить закон распределения числа производимых в течение смены бракованных изделий обоими станками. Проверить свойство математического ожидания суммы случайных величин.

Решение. Для того чтобы составить закон распределения Х + Y необходимо складывать , а соответствующие им вероятности умножить :

; ,

Закон распределения запишем в виде таблицы

Х + Y	0	1	2	3	4	5
P	0,05	0,33	0,3	0,23	0,07	0,02

Проверим свойство математического ожидания :

Пример 7.9. Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения: И , причем . Вероятность того, что Х примет значение , равна 0,6. Найти закон распределения величины Х, если математическое ожидание ; .

Решение. Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице, поэтому вероятность того, что Х примет значение . Напишем закон распределения Х

X
P	0,6	0,4

Для того чтобы отыскать И необходимо составить два уравнения. Из условия задачи следует, что , .

Составим систему уравнений

Решив эту систему, имеем ; и ; .

По условию , поэтому задаче удовлетворяет лишь первое решение, т. е. ; . Тогда закон распределения имеет вид

X	1	2
P	0,6	0,4

Пример 7.10. Случайные величины И Независимы. Найти дисперсию случайной величины , если известно, что , .

Решение. Так как имеют место свойства дисперсии

и , то получим

< Предыдущая		Следующая >

Дискретная случайная величина X имеет следующее распределение вероятностей:\n \n \n \n \n Найдите значение k.

Ответ

Проверено

220,6 тыс.+ просмотров

Подсказка: в распределении вероятностей сумма всех вероятностей равна 1. Четыре значения даны в P(X). Итак, мы просто суммируем все значения P(X), а затем приравниваем ее к 1. Используя это, мы находим значение k.

Полный пошаговый ответ:

Если значение X равно 0,5, то вероятность P(X) равна k.
\[P(0,5)=k\].

Когда значение X равно 1, то вероятность этого 2k.
$P(1)=2k$.

Когда значение Х равно 1,5, то вероятность этого 3к.
$P(1.5)=3k$.

Когда значение X равно 2, то вероятность этого k.
$P(2)=k$.

Теперь нам нужно найти значение k.

«Сумма вероятностей всех исходов должна быть равна 1».
$\therefore $ Если два события не имеют общих исходов, вероятность того, что одно или другое произойдет, равна сумме их индивидуальных вероятностей. Вероятность того, что событие не произойдет, равна 1 минус вероятность того, что событие произойдет.
Сумма распределения всех вероятностей равна 1.

Теперь
Сложите все значения P(X) и приравняйте их к 1.
$\begin{align}
& \Rightarrow k+2k+3k +k=1 \\
& \Rightarrow 7k=1 \\
& \therefore k=\dfrac{1}{7} \\
\end{align}$

Следовательно, значение k в распределении вероятностей равно $\dfrac{1}{7}$.

Примечание: Ключевым шагом для решения этой задачи является основное свойство суммы распределения вероятностей для дискретной случайной величины X. Согласно этому свойству сумма вероятностей всех событий равна единице. Это даст нам необходимое уравнение для решения и оценки значения k.

Дата последнего обновления: 05 мая 2023 г.

•

Всего просмотров: 220,6 тыс.

•

Просмотров сегодня: 5,85 тыс. 03

Расчет изменения энтропии при преобразовании химии класса 11 JEE_Main

Закон, сформулированный доктором Нернстом, представляет собой Первый закон термодинамики Химический класс 11 JEE_Main

Для реакции при rm0rm0rmC и нормальном давлении Химический класс 11 JEE_Main

Двигатель, работающий между rm15rm0rm0rmC и rm2rm5rm0rmC Химический класс 11 JEE_Main

Для реакции rm2Clg в rmCrmlrm2rmg знаки химического класса 11 JEE_Main

Изменение энтальпии перехода жидкой воды в химический класс 11 JEE_Main

Рассчитать изменение энтропии, связанное с преобразованием химического класса 11 JEE_Main

900 02 Закон, сформулированный Д-р Нернст — это Первый закон термодинамики.

Химический класс 11 JEE_Main

Для реакции при rm0rm0rmC и нормальном давлении.0003

Для реакции rm2Clg в rmCrmlrm2rmg признаки 11 класса химии JEE_Main

Изменение энтальпии перехода жидкой воды 11 класса химии JEE_Main

Актуальные сомнения 9000 3

Дискретная случайная величина: значение и типы

Есть Вы когда-нибудь играли в стрельбу из лука и пытались узнать, сколько раз вы можете бросить стрелу, прежде чем поразите конкретную цель? Делая это, вы проверяете вероятности и исходы случайных событий. Мы можем выразить и описать результаты случайных событий с помощью случайных величин.

Дискретные случайные величины — это тип случайных величин, значения которых конечны.

Другими словами, значения являются счетными и имеют ограниченное число результатов. Примерами дискретных случайных величин являются, среди прочего, количество книг в пачке, количество кубиков сахара в коробке, количество коз в загоне и размер обуви человека. В этом уроке мы подробно узнаем о дискретных случайных величинах и их вероятностных распределениях.

А дискретная случайная величина — это переменная, которая может принимать только ограниченное число определенных счетных значений. Все значения в области определения случайной величины имеют связанные с ними вероятности. Эти вероятности должны суммироваться до $1$, когда рассматриваются все возможные значения.

Дискретные случайные величины: Типы распределения

Прежде всего, давайте вспомним понятие распределения. Распределение вероятностей для дискретной случайной величины X представляет собой исчерпывающий набор каждого потенциального значения $X$ вместе с вероятностью того, что $X$ примет это значение в одном испытании эксперимента. Другими словами, дискретные распределения вероятностей используются для описания вероятностей, связанных со значениями дискретной случайной величины. Двумя распространенными типами дискретных случайных величин являются биномиальные случайные величины (с биномиальное распределение вероятностей) и геометрические случайные величины (с геометрическим распределением вероятностей ) .

В этой статье мы рассматриваем только биномиальные и геометрические случайные величины, которые имеют отношение к курсу AP Statistics. Другие типы, которые не будут рассмотрены в этой статье, включают распределения Бернулли, мультиномиальное, гипергеометрическое и распределение Пуассона.

Биномиальные и геометрические распределения вероятностей дискретных случайных величин

Распределение вероятностей дискретной случайной величины относится к каталогу потенциальных значений этой дискретной случайной величины вместе с вероятностью того, что она примет это значение при одной попытке эксперимента.

Распределения дискретных случайных величин должны удовлетворять следующим двум условиям для данной дискретной случайной величины $X$:

Давайте рассмотрим пример того, что подразумевается под распределением вероятностей дискретной случайной величины.

Пусть $X$ будет числом выпадений орла при двукратном подбрасывании правильной монеты. Сначала постройте распределение вероятностей $X$. Во-вторых, найти вероятность того, что выпадет хотя бы один орёл.

Решение:

Для этого выборочного пространства возможные значения $X$ равны $0$, $1$ и $2$. Потенциальные результаты имеют равные шансы на появление и следуют как:

$S = {hh, ht, th, tt}$.

То есть «$hh$» относится к результату двух орлов,

«$ht$» относится к результату одной решки и одной решки и так далее.

Поскольку количество наблюдаемых головок представлено $X = 0$:

$X = 0$ соответствует ${tt}$, без наблюдаемых головок

$X = 1\ ) соответствует \({ht, th}$, с $1$ наблюдаемыми головками

$X = 2$ соответствует ${hh}$, с $2$ наблюдаемыми головками

Путем простого подсчета мы получаем вероятность каждого из этих трех событий, представленную дискретной переменной $X$. Таким образом:

Таблица 1: Распределение вероятности двукратного подбрасывания правильной монеты 49 $ P(x)$ $0,25$ $0,50$ $0,25$

математическое выражение: $X \geq 1$. Вероятность этого конкретного события (по крайней мере, одна голова) рассчитывается путем сложения двух взаимоисключающих событий $X = 1$ и $X = 2$. Следовательно, $P (X \geq 1) = P (1) + P (2) = 0,50 + 0,25 = 0,75$. Другими словами, существует вероятность $75\%$ того, что хотя бы один орел выпадет при двойном подбрасывании монеты.

Биномиальные случайные величины

Биномиальная случайная величина — это тип дискретной случайной величины, которую мы используем для выражения частоты определенного исхода (или события) на протяжении фиксированного числа экспериментальных испытаний. Биномиальная случайная величина выражается в рамках биномиального распределения.

Чтобы дискретная случайная величина также была биномиальной случайной величиной, должны применяться следующие характеристики:

Число испытаний заранее определено или исправлено .
Испытания независимы. (Результаты испытаний не влияют друг на друга.)
В каждом испытании могут быть только два исхода: «успех» или «неудача». Другими словами, конкретное интересующее событие либо произойдет, либо не произойдет. Этот тип результата также можно назвать «бинарным».
Любое данное испытание имеет такую же вероятность «успеха», как и другие в эксперименте.

Если дискретная случайная величина $(X)$ классифицируется как биномиальная, ее можно использовать для подсчета количества успехов в n испытаниях. Отсюда следует, что $X$ имеет биномиальное распределение со следующими двумя параметрами:

«$n$», который измеряет количество испытаний, и
«$p$», который измеряет вероятность успеха определенного события.

Например, давайте рассмотрим случайную выборку из 125 медсестер, выбранных из крупной больницы, в которой доля медсестер женского пола составляет 57%. Предположим, что X обозначает количество женщин-медсестер в выборке. В этом эксперименте есть 125 (n = 125) идентичных и независимых испытаний общей процедуры: выбор медсестры наугад. Для каждого испытания есть ровно два возможных исхода: «успех» (рассчитываемое нами событие, что медсестра — женщина) и «неудача» (не женщина). Наконец, вероятность успеха в любом испытании равна одному и тому же числу (p = 0,57). Поскольку доля медсестер составляет 57% женщин, случайный отбор, таким образом, дает 57%-ную вероятность выбора медсестры-женщины. Таким образом, X является биномиальной случайной величиной с параметрами n = 125 и p = 0,57. 9{n-x}}\]

где,

$P$ = биномиальная вероятность

$x$ = частота конкретного исхода в пределах определенного числа испытаний

$\begin{pmatrix} n \\ X \end {pmatrix} $= количество комбинаций

$p$ = вероятность успеха в одном испытании

$q$ = вероятность неудачи в одном испытании

$n$ = число попыток

Предположим, что правильная монета подбрасывается $10$ раз, какова вероятность того, что выпадет $6$ решка?

Решение

В эксперименте с подбрасыванием монеты можно получить два результата: орёл или решка. Следовательно:

Вероятность выпадения решки равна $50\%$ (или $0,5$) при данном броске.
Количество испытаний, $n = 10$.
Частота исхода, $x = 6$.
Вероятность успеха в одном испытании, $p = 0,5$
Вероятность неудачи в одном испытании, $q = 0,5$. 9{n-x}}\]
\[P(X=x)=0,205\]
Геометрические случайные величины
Геометрические случайные величины — это дискретные случайные величины, которые образуют геометрическое распределение . Эта концепция используется в нескольких сферах жизни, таких как анализ затрат и результатов в финансовых отраслях.
Экспериментальные условия, необходимые для геометрических случайных величин, очень похожи на условия для биномиальных случайных величин: и те, и другие классифицируют испытания как успешные или неудачные, и испытания должны быть независимыми, с одинаковой вероятностью возникновения для каждого из них. Однако, в отличие от биномиальных случайных величин, количество испытаний для геометрических случайных величин заранее не фиксируется. Скорее, это зависит от количества последовательных неудач, которые происходят до достижения успеха.
Например, рассмотрим геометрическую случайную величину $X = 3$, которая представляет получение числа $3$ в результате броска игральной кости.
В этом геометрическом эксперименте со случайной величиной мы должны подсчитать, сколько раз игральная кость бросается до достижения значения $3 (X = 3)$ раз .
Испытание, в котором выпало $3$, помечается как «успех», а любое испытание, в котором не выпало $3$, помечается как «неудача». Поскольку это эксперимент с геометрическими случайными величинами, нам нужно получить только один успех, чтобы закончить его.
Поскольку наблюдения независимы друг от друга, вероятность того, что $X = 3$ ($3$ выпадет в результате броска игральной кости) будет равна $1/6$ для каждого броска. {х-1}р\]
где $0
Представитель отдела маркетинга Национального театра случайным образом выбирает людей на случайной улице в Вашингтоне, округ Колумбия, пока не найдет человек, посетивший последний киносеанс.
Пусть \(p$, вероятность того, что ему удастся найти такого человека, равна $0,20$. И пусть $X$ обозначает количество людей, которых он выбирает, пока не добьется своего первого успеха.
а. Какова вероятность того, что специалист по маркетингу должен выбрать 4 человека, прежде чем он найдет одного из пришедших на кинопоказ? 9{4-1}0,2=0,1024\]
Таким образом, существует примерно $10\%$ вероятность того, что представителю отдела маркетинга придется выбрать $4$ человек, прежде чем он найдет того, кто посетит последний фильм показывать.
Среднее значение, дисперсия и стандартное отклонение дискретных случайных величин
В этом разделе мы обсудим среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение применительно к дискретным случайным величинам. Затем мы применяем эти концепции к примерной задаче.
Среднее
Среднее также известно как ожидаемое значение и относится к среднее значений. Для дискретных случайных величин среднее значение относится к среднему значению всех значений, присвоенных событиям, которые происходят в повторяющихся испытаниях эксперимента. Среднее значение дискретной случайной величины определяется следующим выражением:
\[\mu= E(x)=\sum x \cdot P(x)\]
Таким образом, среднее значение получается путем умножения каждого значения на вероятность его возникновения. Затем эти значения суммируются, чтобы получить среднее значение эксперимента.
Найдите среднее значение дискретного распределения вероятностей ниже:
$х$
$-2$
$1$
9000 2 $2$
$3,5$
$P(x)$
$0,21$
$0,34$
$ 0,54$
$0,31$
Решение:
Следуя формуле:
\[\mu= E(x)=\sum x \cdot P(x)\] 92P(x)}\]
Дискретная случайная величина X имеет следующее распределение вероятностей: \) $4$ $P(x)$ $0,2$ $0,5$ $α$ $0. 1$
Определяем следующее: (Х ≥ 0)\)
5. Среднее $\mu$ от $X$
6. Дисперсия $X$
7. Стандартное отклонение $X$
Решение
1. Поскольку все вероятности должны составлять в сумме $1$,$ α = 1 – (0,2 + 0,5 + 0,1) = 0,2$
2. Ссылаясь на таблицу, $P (0) = 0,5 $
3. Из таблицы еще раз, $P (X > 0) = P (1) + P (4) = 0,2 + 0,1 = 0,3$
4. Из таблицы, $P ( X ≥ 0) = P (0) + P (1) + P (4) = 0,5 + 0,2 + 0,1 = 0,8$ 92P(x)}\]
\[\sigma= \sqrt{1,84}=1,3565\]
Дискретная случайная величина — ключевые выводы
- Дискретные случайные величины — это случайные величины, которые принимают заданные или конечные значения в интервале.
  No related posts.