Рекомендации учащимся 8-го класса по изучению темы «Решение квадратных уравнений»
- Алфёрова Елена Николаевна, учитель математики
Разделы: Математика
Что нужно знать и уметь, чтобы решать квадратные уравнения.
- Определение квадратного уравнения;
- Формула дискриминанта квадратного уравнения;
- Формула корней квадратного уравнения;
- Формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения, если второй коэффициент четное число;
- Теорема Виета.
Выучи и запомни!
Квадратным уравнением называется уравнение вида abx + c = 0, где x – переменная,
Числа a, b и c – коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, b – вторым коэффициентом и c – свободным членом.
Дискриминантом квадратного уравнения abx + c = 0 (“дискриминант” по-латыни – различитель) называют выражение вида D = b — 4 ac.
- Если D>0, то квадратное уравнение имеет два действительных корня;
- Если D=0, то квадратное уравнение имеет один действительный корень;
- Если D<0, то квадратное уравнение действительных корней не имеет.
Формула корней квадратного уравнения имеет вид:
При решении квадратного уравнения по формуле целесообразно поступать следующим образом:
- Вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;
- Если дискриминант положителен или равен нулю,
то воспользоваться формулой корней, если
дискриминант отрицателен, то записать, что
действительных корней нет.
Для квадратных уравнений, у которых второй коэффициент является четным числом, формулу корней удобно записывать в другом виде:
, где k = .
Полезно запомнить, что если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю, то один из корней равен единице.
Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Справедливо утверждение, обратное теореме Виета.
Теорема. Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х + px + q =0.
1. Для каждого уравнения вида abx + c = 0 укажи значения
a, b, c.
а) 3х + 6x -9 = 0;
б) х — 4x +4 = 0;
в) х — 2x -15 = 0;
г) -3х + 8x -18 = 0;
2.
Продолжи вычисление дискриминанта D
квадратного уравнения по формуле D = b — 4 ac.
а) 5х — 7х + 2 = 0, D = (-7)? -
4*5*2 = 49 – 40 = …;
б) х — х – 2 = 0, D = (-1)? -
4*1*(-2) = …;
в) х — 2x -15 = 0, D = (-2) — 4 …;
г) -3х + 8x -18 = 0, D = …;
3. Внимательно рассмотри решение квадратных уравнений. 3х — 5х – 2 = 0:
Вычислим дискриминант по формуле D = b — 4 ac. D =(-5) — 4*3*(-2) = 25 + 24 =49, D>0, значит уравнение имеет два действительных корня. Найдем их значения по формуле . = = 2, = = — =- . Ответ: 2; ;
9х — 6х + 1 = 0: D=0, значит, уравнение имеет один действительный корень=; 9х — 6х + 10 = 0: D= 36 – 360 = — 324, D< 0, значит, уравнение действительных корней не имеет.
4. Реши уравнение:
а) 3х — 13х + 4 = 0;
б) 2х — 9х -5 = 0;
в) 5х — 13х + 6 = 0;
г) 9х — 12х + 4 = 0;
д) 4х — х + 1 = 0;
е) 49х — 28х + 3 = 0.
Проверь себя!
Дискриминант равен а) 121; б) 121; в) 49; г) 0; д) -15; е) 196.
Ответ: а); 4; б) ; 5; в) ; 2; г) ; д) корней нет; е) и .
Оцени себя!
- Если все уравнения решены правильно, то молодец! Работа выполнена на 5 баллов.
- Если допустил одну ошибку, то ничего страшного. Будь внимательней! Работа выполнена на 4 балла.
- Если ошибок намного больше, не огорчайся. Помни! Не ошибается тот, кто ничего не делает. Попробуй еще раз.
Советую изучить следующую литературу:
- Энциклопедический словарь юного математика. А.П.Савин-М:Педагогика,1985-352с.
- Математика. Школьная энциклопедия. С.М.Никольский -М: Большая Российская энциклопедия. Дрофа 1997-527с.
- За страницами учебника алгебры. Л.Ф.Пичурин.
Москва, Просвещение, 2008г.
- Алгебра, учебник для 8 класса. В.Г. Дорофеев. Москва, Просвещение, 2010г.
- Алгебра, учебник для 8 класса. А.Г.Мордкович. Москва, Просвещение, 2008г.
- Алгебра, учебник для 8 класса Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К.И.Нешков, С. Б. Суворова. Москва, Просвещение, 2010г.
абстрактная алгебра — Вычисление дискриминанта
В этой первой части я просто представляю общую теорию дискриминантов. Это довольно хорошо объясняется в учебниках и конспектах лекций по алгебраической теории чисел (см. заметки Роберта Эша или заметки Милна).
Для заданного числового поля $K$ с $n$ различными вложениями в $\mathbb{C}$ можно определить дискриминант любого множества $\{b_1, b_2, \ldots, b_n\}$ элементов в $ K$ (не обязательно базис) как:
$$\text{disc}(b_1, b_2, \ldots, b_n) = \begin{vmatrix} \sigma_1(b_1) & \sigma_1(b_2) &\cdots & \sigma_1(b_n) \\ \sigma_2(b_1) & \sigma_2(b_2) &\cdots & \sigma_2(b_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sigma_n(b_1) и \sigma_n(b_2) и \cdots & \sigma_n(b_n) \end{vmatrix}^2$$ 92\text{disc}(b_1′, b_2′, \ldots, b_n’)$$
Теперь ограничимся целочисленными базисами.
Базис для $K$, заданный $\{b_1, b_2, \ldots, b_n\}$, является целочисленным базисом, если он охватывает $\mathcal{O}_K$ как $\mathbb{Z}$-модуль (т.е. каждый элемент $\mathcal{O}_K$ однозначно выражается в виде линейной комбинации $b_i$, где каждый коэффициент является целым числом).
Можно показать, что дискриминант любого целочисленного базиса один и тот же. Это следует из предыдущей формулы, так как матрица замены базиса $A$ должна быть обратимой при наличии коэффициентов в $\mathbb{Z}$. Тогда его определитель должен быть равен $1$ или $-1$, а квадрат всегда равен $1$. 9{n-1}\}$), то вы можете показать, что дискриминант $d_K$ совпадает с дискриминантом минимального полинома $\alpha$ (применяя общую формулу для дискриминанта, вы получаете определитель Вандермонда , как вы сказали). Обратите внимание, однако, что не каждое числовое поле $K$ имеет целочисленную степенную основу, поэтому вы не всегда можете использовать дискриминанты многочленов для вычисления дискриминанта числового поля.
{n-1}\}$ и любому целочисленному базису $\mathcal{ О}_К$. Только если степени $\alpha$ образуют целочисленный базис, можно сказать, что дискриминант минимального полинома равен $d_K$. 92 — 5$, так как это силовая основа).
Однако $\{1, \sqrt{5}\}$ не является целочисленным базисом $\mathcal{O}_K$. Кольцо целых чисел имеет целочисленный базис $\{1, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\}$. Дискриминант этого базиса на самом деле равен 5$, что является делителем 20$. Вы можете заметить, что матрица изменения базиса от $\{1, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\}$ до $\{1, \sqrt{5}\}$ дана на $A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ -1 & 2\end{pmatrix}$ и квадрат его определителя равен $4$, так что это следует из формулы замены базиса.
И последнее, что я могу добавить: полезный критерий целочисленного базиса состоит в том, что если дискриминант базиса (состоящего из элементов в $\mathcal{O}_K$) не содержит квадратов, то он должен быть интегральная основа. Это снова следует из формулы замены базиса и того факта, что любой базис (состоящий из элементов из $\mathcal{O}_K$), не являющийся целочисленным, будет иметь соответствующую матрицу замены базиса $A $ с целочисленным определителем больше $1$ по величине.
Это позволяет нам доказать, что $\{1, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\}$ на самом деле является целочисленным базисом $\mathcal{O}_K$, поскольку его дискриминант равен $5$ который является бесквадратным. Однако обратите внимание, что обратное не обязательно верно. У вас могут быть целочисленные базы, дискриминант которых не свободен от квадратов.
Числовые поля — Конструкции
Переключить боковую панель оглавления
Разветвление
Как вычислить числовые поля с заданным дискриминантом и разветвление в Sage?
Sage может получить доступ к базе данных Джонса числовых полей с ограниченным
ветвления и степени меньше или равной 6. Он должен быть
устанавливается отдельно ( database_jones_numfield ).
Первая загрузка базы данных:
sage: J = JonesDatabase() # необязательно — база данных sage: J # необязательно — база данных Таблица числовых полей Джона Джонса с ограниченным разветвлением и степенью <= 6
Список степеней и дискриминантов всех полей в базе данных, которые иметь разветвление не более 2:
sage: [(k.
