Длина медианы формула: Все формулы медианы треугольника

Содержание

формула и свойства :: SYL.ru

Пышная асимметрия и не только: варианты рождественских причесок от знаменитостей

Орехи и молоко: продукты, увеличивающие и снижающие чувство тревоги

У мужчин не бывет целлюлита из-за уровня коллагена в коже

Не страшны лужи и слякоть: обувь осени, которая поможет держать ноги в тепле

Семерка мечей для Водолеев: Таро-прогноз на период ретроградного Урана

Капризный цвет: как наносить трендовые лиловые румяна и не выглядеть странно

Выгодно подчеркивает черты лица: окрашивание Money piece по-прежнему актуально

Французский боб — хит этой осени: секреты выбора прически под фигуру и возраст

Паста получается вкусной. Бюджетное блюдо из минимума продуктов

Полное обезвоживание кожи рук: рецепты ванночек, скрабов и обертываний

Автор Алексей Красновский March 22, 2017

Медианой именуется отрезок, проведенный из вершины треугольника на середину противоположной стороны, то есть делит ее точкой пересечения пополам. Точка, в которой медиана пересекает противоположную вершине, из которой она выходит, сторону, именуется основанием. Через одну точку, называемую точкой пересечения, проходит каждая медиана треугольника. Формула длины ее может выражаться несколькими способами.

Формулы для выражения длины медианы

Зачастую в задачах по геометрии ученикам приходится иметь дело с таким отрезком, как медиана треугольника. Формула ее длины выражается через стороны:

где a, b и c – стороны. Причем с является стороной, на которую медиана опускается. Таким образом выглядит самая простая формула. Медианы треугольника иногда требуется проводить для вспомогательных расчетов. Есть и другие формулы.

Если при расчете известны две стороны треугольника и определенный угол α, находящийся между ними, то длина медианы треугольника, опущенной к третьей стороне, будет выражаться так.

Основные свойства

Все медианы имеют одну общую точку пересечения O и ею же делятся в отношении два к одному, если вести отсчет от вершины. Такая точка носит название центра тяжести треугольника.
Медиана разделяет треугольник на два других, площади которых равны. Такие треугольники называются равновеликими.
Если провести все медианы, то треугольник будет разделен на 6 равновеликих фигур, которые также будут треугольниками.
Если в треугольнике все три стороны равны, то в нем каждая из медиан будет также высотой и биссектрисой, то есть перпендикулярна той стороне, к которой она проведена, и делит надвое угол, из которого она выходит.
В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная из вершины, которая находится напротив стороны, не равной никакой другой, будет также высотой и биссектрисой. Медианы, опущенные из других вершин, равны. Это также является необходимым и достаточным условием равнобедренности.
Если треугольник является основанием правильной пирамиды, то высота, опущенная на данное основание, проецируется в точку пересечения всех медиан.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к наибольшей стороне, равняется половине ее длины.
Пусть O — точка пересечения медиан треугольника. Формула, приведенная ниже, будет верная для любой точки M.

Еще одним свойством обладает медиана треугольника. Формула квадрата ее длины через квадраты сторон представлена ниже.

Свойства сторон, к которым проведена медиана

Если соединить любые две точки пересечения медиан со сторонами, на которые они опущены, то полученный отрезок будет являться средней линией треугольника и составлять одну вторую от стороны треугольника, с которой она не имеет общих точек.
Основания высот и медиан в треугольнике, а также середины отрезков, соединяющих вершины треугольника с точкой пересечения высот, лежат на одной окружности.

В заключение логично сказать, что одним из самых важных отрезков является именно медиана треугольника. Формула ее может использоваться при нахождении длин других его сторон.

Медиана проведенная из прямого угла прямоугольного треугольника.

Свойства медианы прямоугольного треугольника

Примечание . В данном уроке изложены теоретические материалы и решение задач по геометрии на тему «медиана в прямоугольном треугольнике». Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. Почти наверняка курс будет дополнен.

Определение медианы

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины угла. Точка их пересечения называется центром тяжести треугольника (относительно редко в задачах для обозначения этой точки используется термин «центроид»),
Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.

Задачи по геометрии, предлагаемые для решения, в основном, используют следующие свойства медианы прямоугольного треугольника .

Сумма квадратов медиан, опущенных на катеты прямоугольного треугольника равна пяти квадратам медианы, опущенной на гипотенузу (Формула 1)

Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы (Формула 2)
Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, равна радиусу окружности, описанной вокруг данного прямоугольного треугольника (Формула 2)
Медиана, опущенная на гипотенузу, равна половине корня квадратного из суммы квадратов катетов (Формула 3)
Медиана, опущенная на гипотенузу, равна частному от деления длины катета на два синуса противолежащего катету острого угла (Формула 4)
Медиана, опущенная на гипотенузу, равна частному от деления длины катета на два косинуса прилежащего катету острого угла (Формула 4)
Сумма квадратов сторон прямоугольного треугольника равна восьми квадратам медианы, опущенной на его гипотенузу (Формула 5)

Обозначения в формулах :

a, b — катеты прямоугольного треугольника

c — гипотенуза прямоугольного треугольника

Если обозначить треугольник, как ABC, то

ВС = а

(то есть стороны a,b,c — являются противолежащими соответствующим углам)

m a — медиана, проведенная к катету а

m b — медиана, проведенная к катету b

m c — медиана прямоугольного треугольника , проведенная к гипотенузе с

α (альфа) — угол CAB, противолежащий стороне а

Задача про медиану в прямоугольном треугольнике

Медианы прямоугольного треугольника, проведенные к катетам, равны, соответственно, 3 см и 4 см. Найдите гипотенузу треугольника

Решение

Прежде чем начать решение задачи, обратим внимание на соотношение длины гипотенузы прямоугольного треугольника и медианы, которая опущена на нее. Для этого обратимся к формулам 2, 4, 5 свойств медианы в прямоугольном треугольнике . В этих формулах явно указано соотношение гипотенузы и медианы, которая на нее опущена как 1 к 2. Поэтому,для удобства будущих вычислений (что никак не повлияет на правильность решения, но сделает его более удобным), обозначим длины катетов AC и BC через переменные x и y как 2x и 2y (а не x и y).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. Угол C у него прямой по условию задачи, катет AC — общий с треугольником ABC, а катет CD равен половине BC согласно свойствам медианы. Тогда, по теореме Пифагора

AC 2 + CD 2 = AD 2

Поскольку AC = 2x, CD = y (так как медиана делит катет на две равные части), то
4x 2 + y 2 = 9

Одновременно, рассмотрим прямоугольный треугольник EBC. У него также угол С прямой по условию задачи, катет BC является общим с катетом BC исходного треугольника ABC, а катет EC по свойству медианы равен половине катета AC исходного треугольника ABC.
По теореме Пифагора:

EC 2 + BC 2 = BE 2

Поскольку EC = x (медиана делит катет пополам), BC = 2y, то
x 2 + 4y 2 = 16

Так как треугольники ABC, EBC и ADC связаны между собой общими сторонами, то оба полученных уравнения также связаны между собой.
Решим полученную систему уравнений.
4x 2 + y 2 = 9
x 2 + 4y 2 = 16

Формулы для выражения длины медианы

Зачастую в задачах по геометрии ученикам приходится иметь дело с таким отрезком, как медиана треугольника. Формула ее длины выражается через стороны:

где a, b и c — стороны. Причем с является стороной, на которую медиана опускается. Таким образом выглядит самая простая формула. Медианы треугольника иногда требуется проводить для вспомогательных расчетов. Есть и другие формулы.

Если при расчете известны две стороны треугольника и определенный угол α, находящийся между ними, то длина медианы треугольника, опущенной к третьей стороне, будет выражаться так.

Основные свойства

Все медианы имеют одну общую точку пересечения O и ею же делятся в отношении два к одному, если вести отсчет от вершины. Такая точка носит название центра тяжести треугольника.
Медиана разделяет треугольник на два других, площади которых равны. Такие треугольники называются равновеликими.
Если провести все медианы, то треугольник будет разделен на 6 равновеликих фигур, которые также будут треугольниками.
Если в треугольнике все три стороны равны, то в нем каждая из медиан будет также высотой и биссектрисой, то есть перпендикулярна той стороне, к которой она проведена, и делит надвое угол, из которого она выходит.
В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная из вершины, которая находится напротив стороны, не равной никакой другой, будет также высотой и биссектрисой. Медианы, опущенные из других вершин, равны. Это также является необходимым и достаточным условием равнобедренности.
Если треугольник является основанием правильной пирамиды, то высота, опущенная на данное основание, проецируется в точку пересечения всех медиан.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к наибольшей стороне, равняется половине ее длины.
Пусть O — точка пересечения медиан треугольника. Формула, приведенная ниже, будет верная для любой точки M.

Еще одним свойством обладает медиана треугольника. Формула квадрата ее длины через квадраты сторон представлена ниже.

Свойства сторон, к которым проведена медиана

Если соединить любые две точки пересечения медиан со сторонами, на которые они опущены, то полученный отрезок будет являться средней линией треугольника и составлять одну вторую от стороны треугольника, с которой она не имеет общих точек.
Основания высот и медиан в треугольнике, а также середины отрезков, соединяющих вершины треугольника с точкой пересечения высот, лежат на одной окружности.

1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.

2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.

3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Свойства биссектрис треугольника

1. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.

2. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам: .

3. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Свойства высот треугольника

1. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.

2. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.

Свойства серединных перпендикуляров треугольника

1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Свойство средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Подобие треугольников

Два треугольника подобны, если выполняется одно из следующих условий, называемых признаками подобия:

· два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника;

· две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны;

· три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Теорема синусов

Теорема косинусов

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos

Формулы площади треугольника

1. Произвольный треугольник

a, b, c — стороны; — угол между сторонами a и b ; — полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; h a — высота, проведенная к стороне a .

S = ah a

S = ab sin

S = pr

2. Прямоугольный треугольник

a, b — катеты; c — гипотенуза; h c — высота, проведенная к стороне c .

S = ch c S = ab

3. Равносторонний треугольник

Четырехугольники

Свойства параллелограмма

· противолежащие стороны равны;

· противоположные углы равны;

· диагонали точкой пересечения делятся пополам;

· сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;

· сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2).

Четырехугольник является параллелограммом, если:

1. Две его противоположные стороны равны и параллельны.

2. Противоположные стороны попарно равны.

3. Противоположные углы попарно равны.

4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Свойства трапеции

· ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;

· если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;

· если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;

· если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

Свойства прямоугольника

· диагонали равны.

Параллелограмм является прямоугольником, если:

1. Один из его углов прямой.

2. Его диагонали равны.

Свойства ромба

· все свойства параллелограмма;

· диагонали перпендикулярны;

· диагонали являются биссектрисами его углов.

1. Параллелограмм является ромбом, если:

2. Две его смежные стороны равны.

3. Его диагонали перпендикулярны.

4. Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Свойства квадрата

· все углы квадрата прямые;

· диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

Основные формулы

1. Произвольный выпуклый четырехугольник
d 1 , d 2 — диагонали; — угол между ними; S — площадь.

S = d 1 d 2 sin

При изучении какой-либо темы школьного курса можно отобрать определенный минимум задач, овладев методами решения которых, учащиеся будут в состоянии решить любую задачу на уровне программных требований по изучаемой теме. Предлагаю рассмотреть задачи, которые позволят увидеть взаимосвязи отдельных тем школьного курса математики. Поэтому составленная система задач является эффективным средством повторения, обобщения и систематизации учебного материала в ходе подготовки учащихся к экзамену.

Для сдачи экзамена не лишними будут дополнительные сведения о некоторых элементах треугольника. Рассмотрим свойства медианы треугольника и задачи, при решении которых этими свойствами можно воспользоваться. В предложенных задачах реализуется принцип уровневой дифференциации . Все задачи условно поделены на уровни (уровень указан в скобках после каждого задания).

Вспомним некоторые свойства медианы треугольника

Свойство 1. Докажите, что медиана треугольника ABC , проведённая из вершины A , меньше полусуммы сторон AB и AC .

Доказательство

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif» alt=»$\displaystyle {\frac{AB + AC}{2}}$»>.

Свойство 2. Медиана рассекает треугольник на два равновеликих.

Доказательство

Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE..gif» alt=»Площадь»>

Поскольку отрезок BD является медианой, то

что и требовалось доказать.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif» alt=»Медиана» align=»left»>Свойство 4. Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Доказательство

Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC, равна площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF .

В силу свойства 2,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif» alt=»Медиана» align=»left»>

Свойство 6. Медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Доказательство

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif» alt=»Медиана»> что и требовалось доказать.

Следствия: 1. Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.

2. Если в треугольнике длина медианы равна половине длины стороны, к которой она проведена, то этот треугольник – прямоугольный.

ЗАДАЧИ

При решении каждой последующей задачи используются доказанные свойства.

№1 Темы: Удвоение медианы. Сложность: 2+

Признаки и свойства параллелограмма Классы: 8,9

Условие

На продолжении медианы AM треугольника ABC за точку M отложен отрезок MD , равный AM . Докажите, что четырёхугольник ABDC — параллелограмм.

Решение

Воспользуемся одним из признаков параллелограмма. Диагонали четырёхугольника ABDC пересекаются в точке M и делятся ею пополам, поэтому четырёхугольник ABDC — параллелограмм.

Геометрия Докажите, что медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника — ЭкзаменТВ

Задача: докажите, что медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника.

Подсказка: медиана разбивает треугольник на треугольники с равными основаниями и одной и той же высотой.

Решение:

Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

Рис.1

Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

На рисунке 1 медианой является отрезок BD.

Утверждение 1. Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади (равновеликих треугольника).

Доказательство. Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

Рис.2

и заметим, что

Поскольку отрезок BD является медианой, то

что и требовалось доказать.

Утверждение 2. Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.

Доказательство. Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

Рис.3

Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

Рис. 4

Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

Рис.5

Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC. Следовательно,

Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC. Следовательно,

откуда вытекает, что стороны ED и FG четырёхугольника FEDG равны и параллельны. Следовательно, четырехугольник FEDG является параллелограммом, а у параллелограмма диагонали в точке пересечения делятся пополам (рис.6).

Рис.6

Таким образом,

| FO | = | OD | , | GO | = | OE | .

Следовательно,

| AF | = | FO | = | OD | , | CG | = | GO | = | OE | .

Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.

Доказательство завершено.

Следствие. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O, которая делит эту медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины A (рис.7).

Рис.7

Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.

Определение. Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

Утверждение 3. Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

Рис.8

Доказательство. Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC, равна площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).

Рис.9

Тогда

В силу утверждения 1,

что и требовалось доказать.

Утверждение 4. Длина медианы треугольника (рис. 10) вычисляется по формуле:

Рис.10

Доказательство. Воспользуемся теоремой косинусов, примененной к треугольникам DBC и ABD:

Складывая эти равенства, получим:

что и требовалось доказать.

Следствие. Длины медиан и длины сторон треугольника связаны формулой

Доказательство. В силу утверждения 4 справедливы равенства:

Складывая эти равенства, получим:

что и требовалось доказать.

Утверждение 5. В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон.

Доказательство. Рассмотрим рисунок 11.

Рис.11

Поскольку AO – медиана треугольника ABD, а DO – медиана треугольника ADC, то, в силуутверждения 4, справедливы равенства:

Следовательно,

d₁² = 2a² + 2b² – d₂²,

d₂² = 2a² + 2b² – d₁².

Складывая эти равенства, получим

что и требовалось доказать.

Утверждение 6. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы (рис. 12).

Рис.12

Доказательство. Продолжим медиану CO за точку O до точки D так, чтобы было выполнено равенство CO = OD, и соединим полученную точку D с точками A и B (рис. 13).

Рис.13

Получим четырехугольник ADBC, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам. В силу признака параллелограмма заключаем, что четырехугольник ADBC является параллелограммом, а поскольку полученный параллелограмм содержит прямой угол C, то и все его углы прямые, следовательно, четырехугольник ADBC – прямоугольник. Поскольку диагонали прямоугольника равны, получаем равенства:

что и требовалось доказать.

Следствие. Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около треугольника окружности (рис. 14).

Рис.14

Утверждение 7. Рассмотрим в пространстве или на плоскости декартову систему координат с началом в точке O и произвольный треугольник ABC. Если обозначить буквой M точку пересечения медиан этого треугольника (рис.15), то будет справедливо равенство

Рис.15

Доказательство. По свойствам векторов

Далее получаем

что и требовалось доказать.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке которая. Медиана

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Свойства медиан треугольника

1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.

2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника (центроидом).

3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Длина медианы проведенной к стороне: (док-во достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме удвоенной суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей )

Т1. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке М, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин треугольника. Дано: ∆ABC, СС 1 , АА 1 , ВВ 1 — медианы
∆ABC . Доказать: и

Д-во: Пусть М — точка пересечения медиан СС 1 , АА 1 треугольника ABC. Отметим A 2 — середину отрезка AM и С 2 — середину отрезка СМ. Тогда A 2 C 2 — средняя линия треугольника АМС. Значит,А 2 С 2 || АС

и A 2 C 2 = 0,5*АС. С 1 А 1 — средняя линия треугольника ABC. Значит, А 1 С 1 || АС и А 1 С 1 = 0,5*АС.

Четырехугольник А 2 С 1 А 1 С 2 — параллелограмм, так как его противоположные стороны А 1 С 1 и А 2 С 2 равны и параллельны. Следовательно, А 2 М = МА 1 и С 2 М = МC 1 . Это означает, что точки А 2 и M делят медиану АА 2 на три равные части, т. е. AM = 2МА 2 . Аналогично СМ = 2MC 1 . Итак, точка М пересечения двух медиан АА 2 и CC 2 треугольника ABC делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин треугольника. Совершенно аналогично доказывается, что точка пересечения медиан АА 1 и BB 1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин треугольника.

На медиане АА 1 такой точкой является точка М, следовательно, точка М и есть точка пересечения медиан АА 1 иBB 1.

Таким образом, n

T2. Докажите, что отрезки, которые соединяют центроид с вершинами треугольника, делят его на три равновеликие части. Дано: ∆ABC , — его медианы.

Доказать:S AMB =S BMC =S AMC . Доказательство. В, у них общая. т.к. равны их основания и высота, проведенная из вершины М, у них общая. Тогда

Аналогичным образом доказывается, чтоS AMB = S AMC . Таким образом,S AMB = S AMC = S CMB . n

Биссектриса треугольника.Теоремы связанные с биссектрисами треугольника. Формулы для нахождения биссектрис

Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Биссектриса угла есть геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от сторон угла.

Свойства

1. Теорема о биссектрисе: Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон

2. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — инцентре — центре вписанной в этот треугольник окружности.

3. Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса).

Вычисление длины биссектрисы

l c — длина биссектрисы, проведённой к стороне c,

a,b,c — стороны треугольника против вершин A,B,C соответственно,

p — полупериметр треугольника,

a l ,b l — длины отрезков, на которые биссектриса l c делит сторону c,

α,β,γ — внутренние углы треугольника при вершинах A,B,C соответственно,

h c — высота треугольника, опущенная на сторону c.

Метод площадей.

Характеристика метода. Из названия следует, что главным объектом данного метода является площадь. Для ряда фигур, например для треугольника, площадь довольно просто выражается через разнообразные комбинации элементов фигуры (треугольника). Поэтому весьма эффективным оказывается прием, когда сравниваются различные выражения для площади данной фигуры. В этом случае возникает уравнение, содержащее известные и искомые элементы фигуры, разрешая которое мы определяем неизвестное. Здесь и проявляется основная особенность метода площадей – из геометрической задачи он «делает» алгебраическую, сводя все к решению уравнения (а иногда системы уравнений).

1) Метод сравнения: связан с большим кол-вом формул S одних и тех же фигур

2) Метод отношения S: основан на след опорных задачах:

Теорема Чевы

Пусть точки A»,B»,C» лежат на прямых BC,CA,AB треугольника. Прямые AA»,BB»,CC» пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

Доказательство.

Обозначим через точку пересечения отрезков и . Опустим из точек С и А перпендикуляры на прямую ВВ 1 до пересечения с ней в точках Kи L соответственно (см. рисунок).

Поскольку треугольники и имеют общую сторону , то их площади относятся как высоты, проведенные на эту сторону, т.е. AL иCK:

Последнее равенство справедливо, так как прямоугольные треугольники и подобны по острому углу.

Аналогично получаем и

Перемножим эти три равенства:

что и требовалось доказать.

Замечание. Отрезок (или продолжение отрезка), соединяющий вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне или ее продолжении, называется чевианой.

Теорема (обратная теорема Чевы) . Пусть точки A»,B»,C» лежат на сторонах BC,CA и AB треугольника ABC соответственно. Пусть выполняется соотношение

Тогда отрезки AA»,BB»,CC» и пересекаются в одной точке.

Теорема Менелая

Теорема Менелая. Пусть прямая пересекает треугольник ABC, причем C 1 – точка ее пересечения со стороной AB, A 1 – точка ее пересечения со стороной BC, и B 1 – точка ее пересечения с продолжением стороны AC. Тогда

Доказательство . Проведем через точку C прямую, параллельную AB. Обозначим через K ее точку пересечения с прямой B 1 C 1 .

ТреугольникиAC 1 B 1 иCKB 1 подобны (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1 , ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). Следовательно,

ТреугольникиBC 1 A 1 иCKA 1 такжеподобны (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1). Значит,

Из каждого равенства выразим CK:

Откуда что и требовалось доказать.

Теорема (обратная теорема Менелая). Пусть дан треугольник ABC. Пусть точка C 1 лежит на стороне AB, точка A 1 – на стороне BC, а точка B 1 – на продолжении стороны AC, причем выполняется соотношение

Тогда точки A 1 ,B 1 и C 1 лежат на одной прямой.

Формулы для выражения длины медианы

Зачастую в задачах по геометрии ученикам приходится иметь дело с таким отрезком, как медиана треугольника. Формула ее длины выражается через стороны:

Если при расчете известны две стороны треугольника и определенный угол α, находящийся между ними, то длина медианы треугольника, опущенной к третьей стороне, будет выражаться так.

Основные свойства

Все медианы имеют одну общую точку пересечения O и ею же делятся в отношении два к одному, если вести отсчет от вершины. Такая точка носит название центра тяжести треугольника.
Медиана разделяет треугольник на два других, площади которых равны. Такие треугольники называются равновеликими.
Если провести все медианы, то треугольник будет разделен на 6 равновеликих фигур, которые также будут треугольниками.
Если в треугольнике все три стороны равны, то в нем каждая из медиан будет также высотой и биссектрисой, то есть перпендикулярна той стороне, к которой она проведена, и делит надвое угол, из которого она выходит.
В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная из вершины, которая находится напротив стороны, не равной никакой другой, будет также высотой и биссектрисой. Медианы, опущенные из других вершин, равны. Это также является необходимым и достаточным условием равнобедренности.
Если треугольник является основанием правильной пирамиды, то высота, опущенная на данное основание, проецируется в точку пересечения всех медиан.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к наибольшей стороне, равняется половине ее длины.
Пусть O — точка пересечения медиан треугольника. Формула, приведенная ниже, будет верная для любой точки M.

Еще одним свойством обладает медиана треугольника. Формула квадрата ее длины через квадраты сторон представлена ниже.

Свойства сторон, к которым проведена медиана

Если соединить любые две точки пересечения медиан со сторонами, на которые они опущены, то полученный отрезок будет являться средней линией треугольника и составлять одну вторую от стороны треугольника, с которой она не имеет общих точек.
Основания высот и медиан в треугольнике, а также середины отрезков, соединяющих вершины треугольника с точкой пересечения высот, лежат на одной окружности.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Урок 1

Медианы треугольника. Точка пересечения медиан.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Доказательство:

Точка пересечения медиан треугольника является центром тяжести этого треугольника.

Задача 1 Точка пересечения медиан треугольника отстоит от его вершин на расстояния, равные 4, 6 и 8. Найти длины медиан треугольника.

Решение. Пусть в треугольнике АВС AM, BE и CD — медианы, К – точка их пересечения, KС=4, KА=6 и КВ=8.

https://pandia.ru/text/78/182/images/image004_34.gif»>, то есть на отрезок КА приходится 2 части, а на отрезок КМ – одна часть, то вся медиана АМ состоит из трех равных частей и https://pandia.ru/text/78/182/images/image006_24.gif»>.

Аналогично,

Ответ: 6, 9 и 12

Задача 2 Медианы AM и СК треугольника АВС взаимно перпендикулярны и равны соответственно 6 и 9 . Вычислить длины сторон АВ и ВС.

https://pandia.ru/text/78/182/images/image010_15.gif»>,

поэтому и

, .

Кроме того

, .

Вычислим по теореме Пифагора длины отрезков AK и СМ, получаем

Теперь вычислим длины сторон АВ и ВС:

АВ=2АК=10, ВС=2СМ=.

Ответ : 10;.

Тест для самоконтроля.

1. Медиана треугольника делит пополам (выбрать один из вариантов ответов)

1) угол треугольника

2) сторону треугольника

3) две стороны треугольника

2. В каком отношении точка пересечения медиан треугольника делит каждую из медиан треугольника (выбрать правильные варианты ответов).

1) 2:1 считая от основания треугольника

2) 1:2 считая от вершины треугольника

3) 2:1 считая от вершины треугольника

4) 1:2 считая от основания треугольника

5) на две равные части

3. Если в треугольнике АВС проведена медиана АM и Р – точка пересечения медиан треугольника, то какую часть медианы АМ составляет отрезок АР? (выбрать один из вариантов ответов)

4. В треугольнике АВС проведена медиана АM и Р – точка пересечения медиан треугольника. Какую часть медианы АМ составляет отрезок РМ? (выбрать один из вариантов ответов)

5. В треугольнике АВС проведена медиана АM и Р – точка пересечения медиан треугольника. Какую часть отрезка АР составляет отрезок РМ? (выбрать один из вариантов ответов)

Посмотреть правильные ответы.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Точка пересечения медиан треугольника отстоит от его вершин на расстояния, равные 6 см, 8 см и 12 см. Найдите длины медиан треугольника.

Посмотреть решение.

2. Медианы ВM и СК треугольника АВС взаимно перпендикулярны и равны соответственно 15 и 36 . Найдите длины сторон АВ и АС.

Посмотреть решение.

3. Медианы треугольника равны 6, 9 и 12. На каком расстоянии от вершин находится точка пересечения медиан треугольника?

Посмотреть решение.

4. Медианы треугольника равны 9, 12 и 18. Найдите расстояния от середин сторон треугольника до центра тяжести данного треугольника.

Посмотреть решение.

5. Центр тяжести треугольника отстоит от середин его сторон на расстояния. Равные 5, 6 и 7. Найдите медианы данного треугольника.

Посмотреть решение.

6. Точка пересечения медиан треугольника удалена от середин его сторон на расстояния, равные 2, 3 и 4. На каких расстояниях от вершин треугольника находится эта точка?

Посмотреть решение.

Сбор и использование персональной информации

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Точка пересечения медиан треугольника — свойства, формулы и теоремы » Kupuk.

net

Процесс решения задачи по геометрии существенно упрощается при использовании теорем и следствий. Одной из них является утверждение о точке пересечения медиан треугольника, доказательство которой необходимо рассмотреть подробно. Специалисты в математической сфере рекомендуют изучить теоретические аспекты, а затем переходить для их закрепления к практике.

Общие сведения

Перед доказательством теорем необходимо ознакомиться с основными понятиями. Прямой называется совокупность точек, расположенных в одной плоскости, через которые можно провести линию без искажений в пространстве. Отрезок — часть прямой, ограниченной правой и левой границами.

Треугольник (обозначается «Δ») — геометрическая фигура, состоящая из трех сторон и вершин. Предпоследние являются отрезками, а последние — точками, не лежащими на одной прямой и соединяющими стороны между собой. Следует отметить, что треугольники бывают нескольких типов. К ним относятся следующие:

Произвольный.

Равнобедренный.

Равносторонний (правильный).

Первая группа состоит из сторон различной длины. При двух эквивалентных между собой сторонах фигура является равнобедренной. Обязательным условием для третьей группы считается равенство всех сторон. Кроме того, фигуры делятся по типу градусных мер таким образом:

Остроугольные.

Прямоугольные.

Тупоугольные.

Остроугольным называется треугольник, у которого углы (в задачах обозначается символом «∠ «) меньше 90 градусов.

Если у него один из ∠ эквивалентен 90, то этот признак свидетельствует о принадлежности его ко второму типу. Когда у фигуры хотя бы один из ∠ больше 90, тогда он принадлежит к третьему виду.

Понятие дополнительных отрезков

У любого Δ существуют дополнительные отрезки, которые используются при решении задач по геометрии. К ним относятся следующие: медиана, биссектриса и высота. Они существенно отличаются между собой в произвольных треугольниках, а также совпадают в равнобедренных и правильных геометрических телах.

Медиана (М) — некоторый отрезок, исходящий из вершины на середину стороны. Иными словами, любой геометрический элемент, опущенный из вершины на среднюю точку, является медианой. Последних в треугольнике может быть не более трех.

Биссектриса (Б) — часть прямой, которая делит угол на два равных компонента. В любом треугольнике можно провести всего три таких отрезка. Высота (В) — перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону. Следует отметить, что высоты бывают внешними и внутренними. Первые проводятся из вершины на проекцию Δ, а вторые находятся внутри фигуры. В каждом треугольнике можно провести определенное количество дополнительных отрезков:

Произвольный: М — 3, В — 3 и Б — 3. Все они не совпадают между собой.

Равнобедренный: М — 2, В — 2, Б — 2 и М=В=Б=1 (совпадают между собой). Всего элементов: 2+2+2+3*1=9.

Правильный: М=В=Б=3. Общее количество элементов: 3.

Во втором случае М, В и Б совпадают между собой только один раз, а в последнем — полное сходство, поскольку медианы являются биссектрисами и высотами. Их точка пересечения — центр треугольника. Далее следует перейти к непосредственному доказательству теорем.

Теорема о взаимном пересечении

Первую базовую теорему, которую следует разобрать, имеет такую формулировку: медианы любого треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром фигуры. Ее доказательство осуществляется по такому алгоритму:

Начертить произвольный ΔSTU. Провести в нем медианы SS’ и TT’. Обозначить точку их пересечения «F».

Доказывать утверждение нужно от противного, т. е. предположить, что медианы не пересекаются, т. е. являются параллельными отрезками (SS’||TT’).

Из этого утверждения следует, что сторона фигуры ST является их секущей.

Следовательно, ∠S+∠T=360. Однако это противоречит свойству градусных мер углов треугольника, которые должны быть не более 180. Исходя из этого, предыдущая гипотеза не подтверждается.

На основании вывода из четвертого пункта теорема доказана полностью.

Аналогично можно доказать, что медиана UU’ также пересекается с SS’ и TT’ в точке F. Для этой цели необходимо начертить еще один треугольник с таким же обозначением, т. е. ΔSTU.

После этого выполнить все пять пунктов алгоритма, но для медиан SS’ и UU’. Затем сопоставить два доказательства для получения общей формулировки.

Утверждения о соотношении

Однако для решения задач одной теоремы о пересечении медиан недостаточно. Математики доказали несколько других утверждений, которые могут быть полезными при нахождении неизвестных величин. Первая из них гласит, что точка, в которой пересекаются медианы, пропорционально делит медианы 2:1 относительно вершины. Для доказательства утверждения необходимо воспользоваться такой методикой:

Начертить ΔSTU и провести в нем SS’ и UU’, обозначив их пересечения точкой «F».

Из точек S’ и U’ опустить отрезки на SF и UF так, чтобы разделить их на две равные части (U» и S»).

В результате операций, выполненных во втором пункте, получился четырехугольник. Его сторона U’S’ является средней линией ΔSTU, т. е. U’S’||SU и U’S’=0,5SU.

Сторона U»S» — средняя линия ΔSFU, т. е. U»S»||SU и U»S»=1/2(SU).

Из третьего и четвертого пунктов можно сделать вывод, что U’S’U»S» — параллелограмм, у которого диагонали пересекаются в точке и делятся на две равные части.

Выполнив анализ информации, полученной на пятом шаге, можно завершить доказательство теоремы, т. к. диагонали параллелограмма делятся в пропорциональном соотношении 2:1.

Следующим полезным утверждением является формула, позволяющая найти длину медианы. Она в словесном эквиваленте звучит таким образом: длина равна квадратному корню из суммы половины квадратов двух других сторон, не принадлежащих ей, без четвертой части квадрата стороны, на которую она опущена. Для доказательства рекомендуется использовать такой алгоритм:

Начертить ΔSTU с медианой SS’=М{u} (опущена на UT), обозначив его стороны s=US, t=ST и u=UT.

(1/2).

Вышеописанные формулы рекомендуется применять, когда требуется определить координаты точек без чертежа. Специалисты на ранних этапах обучения рекомендуют размещать треугольник в прямоугольной декартовой системе координат. После этого отмечать каждую вершину с заданными координатами, а затем проводить медианы.

Для нахождения величины абсциссы и ординаты нужно из искомой точки опускать перпендикуляры на последние.

Нахождение координаты будет очень простым и удобным. Кроме того, в интернете существует множество приложений для этих целей. Они называются онлайн-калькуляторами.

Иногда встречаются задания со следующей формулировкой: выведите формулы, выражающие координаты точки пересечения медиан, с исходными данными (вершинами или сторонами). Для этого рекомендуется просто подставить искомые значения в соответствующие формулы нахождения абсциссы и ординаты.

Полезные свойства

Математики для облегчения учебы вывели важные свойства медианы. К ним относятся следующие:

Точка пересечения является центром вписанной и описанной окружностей, почему ее еще и называют симметрией фигуры.

Точки соприкосновения медиан со сторонами образуют средние линии искомого треугольника. Их всего три.

Подобие фигур относительно исходной.

Медианы делят произвольный треугольник на шесть подобных.

Отрезок, опущенный на гипотенузу, делит ее на два радиуса описанной окружности.

На координатной плоскости, руководствуясь первым свойством, чертится треугольник. После этого требуется провести две медианы, обозначив общую точку (где они пересекаются). Далее необходимо поставить в нее иголку циркуля, и начертить окружность вокруг фигуры. Затем в искомом круге проводится диаметр D.

В результате у вписанной окружности величина радиуса должна соответствовать значению D/4. На основании этого необходимо полагать, что построение выполнено правильно. В противном случае допущена некоторая неточность.

Используя второе свойство, можно найти следующие параметры: площадь, стороны и другие элементы фигуры. В любых задачах допускается подобное дополнительное построение. Однако специалисты рекомендуют его применять только при необходимости, а не загромождать чертеж.

Третье и четвертое свойства применяются для подсчета площадей подобных фигур. Коэффициент подобия зависит от количества проведенных медиан:

Одна: 1:0,75.

Две: 1:3,2.

Три: 1:6.

Последние цифры являются коэффициентом подобия. В прямоугольном треугольнике медиана, опущенная из прямого угла, делит ее на две равные части-радиусы описанной окружности.

Таким образом, сведения о медианах в треугольнике расширяет возможности расчета некоторых параметров фигуры.

Вычисление медиан треугольника. Площадь треугольника онлайн расчет

Данная страница посвящена достаточно распространенному информационному ресурсу — описанию и расчету площади произвольного треугольника. Отличие от других ресурсов, это расчет площади онлайн, непосредственно в процессе прочтения статьи

Площадь через высоту и основание

Это самая простая для запоминания формула. Словами эта формула звучит так — площадь треугольника равна половине произведения основания треугольника на его высоту.

В случае прямоугольного треугольника это выражение приобретает еще более простой смысл: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух катетов

площадь через стороны треугольника

Площадь треугольника выраженная через стороны известна очень давно — она фигурирует в книгах, датированных 1 веком до нашей эры.

Эту формулу можно выразить по разному, благо формул расчета параметров треугольника достаточно.

Но если попытаться мыслить категориями времен до нашей эры, когда не было формул в современном преставлении, не было переменных и знаков корня, то единственной аксимомой, на базе которого, Герон, создал свою формулу, была теорема Пифагора. А так как в те времена, еще не знали иррациональных чисел, да к отрицательным у ученых было достаточно скептическое видение, то для размышлений использовались целые числа.

Самого доказательства здесь не будет, предположив только что Герон, дополнял произвольный пифагоровый треугольник до прямоугольника высчитывал его площадь, и делил на два.

Площадь через координаты вершин

Когда известны координаты вершин треугольника, формула площади может быть выражена вот такой формулой

Определитель третьего порядка легко раскладывается, и поэтому расчет площади даже в ручном режиме не вызовет никаких затруднений.

Площадь через две стороны и угол между ними

Площадь через сторону и два угла

Редко встречающаяся задача, но и для таких исходных данных высчитали формулу. Внимательный читатаель сразу видит «ошибку». Заголовок гласит, что площадь узнается через сторону и два угла, то есть через три переменных, а в формуле присутствут все четыре. Как же так?

На самом деле ошибки никакой нет, зная одну из основных аксиом треугольника, гласящая, что сумма внутренних углов треугольника всегда(!!) равна 180 градусов

Поэтому нет ничего сложного, зная два угла треугольника, узнать третий.

Площадь через медианы треугольника

Медиана на сторону а
Медиана на сторону b
Медиана на сторону с

Красивая формула не правда ли?

Чтобы по сторонам треугольника найти медиану, не обязательно запоминать дополнительную формулу. Достаточно знать алгоритм решения.

Для начала рассмотрим задачу в общем виде.

Дан треугольник со сторонами a, b, c. Найти длину медианы, проведенной к стороне b.

AB=a, AC=b, BC=c.

На луче BF отложим отрезок FD, FD=BF.

Соединим точку D с точками A и C.

Четырехугольник ABCD — параллелограмм (по признаку), так как у него диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Свойство диагоналей параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Отсюда: AC²+BD²=2(AB²+BC²), значит, b²+BD²=2(a²+c²),

BD²=2(a²+c²)-b². По построению, BF — половина BD, следовательно,

Это — формула нахождения медианы треугольника по его сторонам. Обычно ее записывают так:

Переходим к рассмотрению конкретной задачи.

Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найти медиану треугольника, проведенную к его средней по длине стороне.

Применяя аналогичные рассуждения, получаем:

AC²+BD²=2(AB²+BC²).

14²+BD²=2(13²+15²)

Свойства

Медианы треугольника пересекаются в одной точке , которая называется центроидом , и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.
При аффинных преобразованиях медиана переходит в медиану.
Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.

Формулы

Формула медианы через стороны (выводится через теорему Стюарта или достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей):

, где m c — медиана к стороне c; a, b, c — стороны треугольника, поэтому сумма квадратов медиан произвольного треугольника всегда в 4/3 раза меньше суммы квадратов его сторон.

Формула стороны через медианы:

, где медианы к соответствующим сторонам треугольника, — стороны треугольника.

Если две медианы перпендикулярны, то сумма квадратов сторон, на которые они опущены, в 5 раз больше квадрата третьей стороны.

Мнемоническое правило

Медиана-обезьяна,
у которой зоркий глаз,
прыгнет точно в середину
стороны против вершины,
где находится сейчас.

Примечания

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Медиана треугольника» в других словарях:

Медиана: Медиана треугольника в планиметрии, отрезок соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны в статистике медианой называется значение совокупности, делящее ранжированный ряд данных пополам Медиана (статистика) … … Википедия

Медиана: Медиана треугольника в планиметрии, отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны Медиана (статистика) квантиль 0. 5 Медиана (трасса) средняя линия трассы, проведённая между правым и левым … Википедия

Треугольник и его медианы. Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок. Содержание 1 Свойства 2 Формулы … Википедия

Линия, соединяющая вершину треугольника с серединой его основания. Полный словарь иностранных слов, вошедших в употребление в русском языке. Попов М., 1907. медиана (лат. mediana средняя) 1) геол. отрезок, соединяющий вершину треугольника с… … Словарь иностранных слов русского языка

Медиана (от латинского mediana средняя) в геометрии, отрезок, соединяющий одну из вершин треугольника с серединой противоположной стороны. Три М. треугольника пересекаются в одной точке, которую иногда называют «центром тяжести» треугольника, так … Большая советская энциклопедия

Треугольника прямая (или ее отрезок внутри треугольника), соединяющая вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три М. треугольника пересекаются в одной точке, к рая называется центром тяжести треугольника, центроидом, или… … Математическая энциклопедия

— (от лат. mediana средняя) отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны … Большой Энциклопедический словарь

МЕДИАНА, медианы, жен. (лат. mediana, букв. средняя). 1. Прямая линия, проведенная от вершины треугольника к середине противолежащей стороны (мат.). 2. В статистике для ряда многих данных величина, обладающая тем свойством, что число данных,… … Толковый словарь Ушакова

МЕДИАНА, ы, жен. В математике: отрезок прямой линии, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

МЕДИАНА (от лат. mediana средняя), отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны … Энциклопедический словарь

Свойства медиан треугольника

1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.

3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

и A 2 C 2 = 0,5*АС. С 1 А 1 — средняя линия треугольника ABC. Значит, А 1 С 1 || АС и А 1 С 1 = 0,5*АС.

На медиане АА 1 такой точкой является точка М, следовательно, точка М и есть точка пересечения медиан АА 1 иBB 1.

Таким образом, n

Аналогичным образом доказывается, чтоS AMB = S AMC . Таким образом,S AMB = S AMC = S CMB . n

Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Биссектриса угла есть геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от сторон угла.

Свойства

3. Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса).

Вычисление длины биссектрисы

l c — длина биссектрисы, проведённой к стороне c,

a,b,c — стороны треугольника против вершин A,B,C соответственно,

p — полупериметр треугольника,

a l ,b l — длины отрезков, на которые биссектриса l c делит сторону c,

α,β,γ — внутренние углы треугольника при вершинах A,B,C соответственно,

h c — высота треугольника, опущенная на сторону c.

Метод площадей.

1) Метод сравнения: связан с большим кол-вом формул S одних и тех же фигур

2) Метод отношения S: основан на след опорных задачах:

Теорема Чевы

Доказательство.

Последнее равенство справедливо, так как прямоугольные треугольники и подобны по острому углу.

Аналогично получаем и

Перемножим эти три равенства:

что и требовалось доказать.

Тогда отрезки AA»,BB»,CC» и пересекаются в одной точке.

Теорема Менелая

ТреугольникиAC 1 B 1 иCKB 1 подобны (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1 , ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). Следовательно,

ТреугольникиBC 1 A 1 иCKA 1 такжеподобны (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1). Значит,

Из каждого равенства выразим CK:

Откуда что и требовалось доказать.

Тогда точки A 1 ,B 1 и C 1 лежат на одной прямой.

Медиана треугольника (формулы, примеры и видео) // Tutors.com

Медиана треугольника (определение, формула и примеры)

Область медиана Центроид Как найти медиану Примеры

Математическое слово «медиана» имеет разные значения при различных операциях. В статистике это значение, лежащее в середине набора данных. Таким образом, для набора данных {3, 5, 7, 9, 11} 7 является медианой. В геометрии медиана — это отрезок прямой от внутреннего угла треугольника до середины противоположной стороны. Изучение геометрической медианы может облегчить вашу жизнь в геометрии и, возможно, на кухне.

Чему вы научитесь:

Проработав этот урок и видео, вы сможете:

Вспомнить, что каждый треугольник имеет три медианы
Нарисуйте или определите медианы в треугольниках
Определите центр тяжести треугольника, используя его медианы
Вычислить длину медианы
Свяжите площадь треугольника с его медианами

Треугольник

Любой треугольник представляет собой многоугольник с тремя прямыми сторонами, ограничивающими пространство. Треугольники, названные по их углам, могут быть остроугольными или тупоугольными (которые группируются как косоугольные треугольники) или прямоугольными треугольниками. Треугольники, названные по их сторонам, могут быть разносторонними, равнобедренными или равносторонними.

Площадь

Площадь — это пространство, занимаемое многоугольником в двух измерениях. Каждый треугольник имеет внутреннее пространство, которое является площадью треугольника. Эта площадь всегда измеряется в квадратных единицах, независимо от того, какую форму вы измеряете. Вы измеряете площадь, умножая длину на ширину. Высоту также можно назвать , высоту .

Вот формула площади треугольника:

A = 12 (основание × высота)

Какова медиана треугольника?

Если вы нашли середину любой стороны треугольника, вы нашли его середину. От этой средней точки можно построить отрезок к противоположному внутреннему углу. Эта построенная линия от середины стороны до противоположного внутреннего угла является медианой .

Поскольку треугольник всегда имеет три стороны, всегда имеет три медианы.

Центроид треугольника

Там, где медианы пересекаются, точка, общая для всех трех медиан, называется центроид . Центроид представляет собой точку параллелизма . всегда будет внутри треугольника, в отличие от других точек параллелизма, таких как ортоцентр.

Медианы, сходящиеся в центроиде, обладают своеобразным свойством. Центроид всегда находится на расстоянии двух третей пути вдоль каждой медианы от внутреннего угла этой медианы. Это означает, что он устанавливает соотношение 2:1 для каждой из трех медиан:

2 части медианы находятся между центроидом и внутренним углом
1 часть медианы находится между центром тяжести и противоположной стороной

Центр масс

Центр тяжести треугольника не является чисто теоретическим. Это центр масс или центр тяжести треугольника. Нарисовав все три медианы, вы сможете найти точное место, где физически существующий треугольник будет идеально сбалансирован!

Это может иметь для вас практическое применение, если вы имеете дело с треугольниками, вырезанными из картона или дерева. Вы можете найти центр тяжести и сбалансировать треугольник кончиком карандаша или кончиком пальца.

Как найти медиану треугольника

Теорема, называемая Теорема Аполлония , может дать вам длину медианы треугольника. Это немного многословно, но может быть переведено в формулу. Во-первых, Теорема:

Теорема Аполлония утверждает, что в любом треугольнике сумма квадратов любых двух сторон равна удвоенному квадрату половины третьей стороны вместе с удвоенным квадратом медианы, которая делит третью сторону пополам. .

В виде формулы это выглядит так, где a, b и c — длины сторон, а m — медиана от внутреннего угла A до стороны a:

m = 2b2 + 2c2 — a24

Медиана треугольника Пример

Медиана — это разделительная линия, разделяющая исходный треугольник на два меньших треугольника равной площади. Эта особенность медианы может пригодиться.

Здесь у нас есть △EAT, пицца с разносторонними треугольниками, приготовленная в начале науки о семье и потреблении. Форма не на что смотреть, но вы приготовили свою первую пиццу и гордитесь ею. Вы предлагаете поделиться им с другом. Как вы разделите свою пиццу, чтобы каждый получил одинаковое количество?

Использовать медиану. С любого внутреннего угла режьте до середины противоположной стороны. Теперь у вас и вашего друга поровну порций пиццы.

Предположим, к вам присоединятся еще двое друзей и захотят попробовать вашу пиццу необычной формы. Разрежьте по другой медиане от любого внутреннего угла до середины противоположной стороны! Кусочки меньше и определенно странной формы, но все они одинаковой площади.

О-о! Еще двое друзей хотят войти. Пицца может выглядеть странно, но пахнет чудесно. Так что отрежьте третью срединную линию, и все шестеро из вас получат одинаковое количество пиццы, даже если все формы будут немного… разными.

Резюме урока

Проработав этот урок, вы теперь можете вспомнить, что каждый треугольник имеет три медианы, нарисовать или определить медианы в треугольниках, определить центр тяжести треугольника, используя его медианы, вычислить длину медианы , и свяжите площадь с медианами треугольников.

Следующий урок:

Найдите высоту треугольника

Объяснение урока: Медианы треугольников

В этом объяснении мы научимся определять медианы треугольника и использовать их свойства пропорциональности, чтобы найти недостающую длину.

Медианы треугольников — это специальные линии с особыми свойствами. Давайте начнем с определением медианы.

Определение: медиана

Медианы треугольника — это три отрезка, идущие от каждой вершины к середина противоположной стороны.

На следующей диаграмме показан пример, содержащий медиану треугольника и две другие линии в треугольнике, которые не являются медианами.

Так как в треугольнике 3 вершины, то и 3 медианы. Когда мы рисуем все мы видим, что все они пересекаются. Это общее свойство медиан которые мы изложим в следующей теореме.

Теорема: совпадение медиан треугольника

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке (то есть они параллельны). Точка их пересечения называется точкой совпадение медиан.

Другое свойство медиан треугольника состоит в том, что относительное положение точка пересечения медиан всегда одна и та же. Действительно, точка совпадение расположено на двух третях длины медианы от вершина.

Давайте представим это. Мы можем разделить каждую медиану на три трети, как показано на диаграмма. Две трети находятся между вершиной и точкой пересечения, и одна треть находится между точкой пересечения и серединой сторона.

Эквивалентно это означает, что длина отрезка между вершиной и точка совпадения в два раза больше, чем между точкой совпадения и середина противоположной стороны.

Это можно найти и с помощью алгебры.

Если 𝐴𝑃=23⋅𝐴𝐸 а также 𝑃𝐸=13⋅𝐴𝐸, то из второго уравнения (умножая обе части на 3) получаем 𝐴𝐸=3𝑃𝐸, и заменив 𝐴𝐸 на 3𝑃𝐸 в первое уравнение, получаем 𝐴𝑃=23⋅3𝑃𝐸, что дает 𝐴𝑃=2𝑃𝐸.

Давайте повторим это.

Теорема: положение точки пересечения медиан треугольника

Расстояние от каждой вершины треугольника до точки пересечения его medians составляет две трети длины медианы от этой вершины.

Эквивалентно, расстояние от точки пересечения медиан до вершина в два раза больше, чем расстояние до противоположной средней точки.

Давайте посмотрим на наш первый пример, где нам нужно использовать свойство, указанное в эта теорема о положении точки пересечения медиан треугольник.

Пример 1: Свойства точки пересечения медиан треугольника

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝑀 является точкой совпадение его медиан. Если 𝐴𝐷 медиана, тогда 𝐴𝑀=𝑀𝐷.

Ответ

Напомним, что медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Нарисуем все медианы треугольник 𝐴𝐵𝐶 с точкой 𝑀 совпадение. 𝐴𝐷 — медиана, соединяющая вершину 𝐴 с 𝐷; следовательно, 𝐷 — середина стороны 𝐵𝐶.

Мы знаем из теоремы о точке пересечения трех медиан треугольника, что расстояние от каждой вершины до точки пересечения медиан составляет две трети длины медианы от этой вершины. Это значит у нас тут 𝐴𝑀=23𝐴𝐷.

Это означает, что если мы разрежем 𝐴𝐷 на три равных сегмента, 𝐴𝑀 будет сделан из двух из них. Это следует из того 𝑀𝐷 состоит из третьего. Следовательно, 𝐴𝑀 в два раза длиннее 𝑀𝐷.

Следовательно, 𝐴𝑀=2𝑀𝐷.

Во втором примере нам нужно определить медианы, а затем использовать свойство точка пересечения медиан, чтобы найти длину от вершины до точки согласия.

Пример 2. Определение медиан и использование свойства их точки пересечения с Найдите недостающую длину

Найдите длину 𝐴𝑀, если 𝐴𝐸=54.

Ответ

Глядя на диаграмму, мы видим, что оба 𝐴𝐸 и 𝐶𝐷 — отрезки, соединяющие вершину с середина противоположной стороны. Следовательно, 𝐴𝐸 и 𝐶𝐷 медианы треугольника 𝐴𝐵𝐶. Таким образом, точка 𝑀 является точкой совпадения медиан треугольника 𝐴𝐵𝐶.

Напомним, что длина 𝐴𝑀, т. е. расстояние от вершины до точки пересечения составляет две трети от медианы 𝐴𝐸: 𝐴𝑀=23⋅𝐴𝐸=23⋅54=36.

Таким образом, длина 𝐴𝑀 равна 36.

Теперь рассмотрим пример, где мы используем наши знания о медианах треугольник, чтобы составить и решить линейное уравнение.

Пример 3. Использование свойств точки пересечения медиан Треугольник для построения и решения линейного уравнения

В △𝐾𝑀𝐻, 𝐾𝑄=2 и 𝑄𝑃=(5𝑥−7). Найдите 𝑥.

Ответ

В треугольнике 𝐾𝑀𝐻 точка 𝑄 совпадение его медиан. 𝐾 является вершиной и 𝑃 — середина противоположной стороны, 𝐻𝑀. Напомним, что расстояние от каждой вершины треугольника до точки совпадение его медиан составляет две трети общей длины медианы из этой вершины. Следовательно, для медианы 𝐾𝑃 имеем 𝐾𝑄=23𝐾𝑃 а также 𝑄𝑃=13𝐾𝑃.

Как 𝐾𝑄=2×13𝐾𝑃, Мы видим, что 𝐾𝑄=2𝑄𝑃.

В вопросе сказано, что 𝐾𝑄=2 а также 𝑄𝑃=5𝑥−7.

Отсюда имеем 2=2(5𝑥−7).

Деление обеих частей этого уравнения на 2 дает 1=5𝑥−7.

Прибавление 7 к обеим сторонам дает 8=5𝑥.

И, наконец, разделив обе части на 5, находим, что 𝑥=85=1,6.

Теперь посмотрим на медианы прямоугольного треугольника. Помните, что право треугольник является половиной прямоугольника, как показано на следующей диаграмме, где 𝐴𝐵𝐶𝐷 — прямоугольник, а △𝐴𝐵𝐶 и △𝐶𝐷𝐴 — конгруэнтные прямоугольные треугольники.

В △𝐴𝐵𝐶, 𝐵𝐸 является медианой. В прямоугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐵𝐸 составляет половину диагонали. Так как диагонали прямоугольников делят друг друга пополам (это свойство параллелограмма) и равны по длине (это свойство прямоугольники; это происходит от того, что △𝐴𝐵𝐶 и △𝐶𝐷𝐴 конгруэнтны), имеем 𝐵𝐷=𝐴𝐶, поэтому 12𝐵𝐷=12𝐴𝐶, то есть 𝐵𝐸=𝐴𝐸=𝐸𝐶.

Мы доказали следующее свойство.

Теорема: длина медианы прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике длина медианы, проведенной из вершины правого треугольника угол равен половине длины гипотенузы треугольника.

Стоит отметить, что одно из следствий этой теоремы состоит в том, что проведенная медиана из вершины прямого угла всегда делит прямоугольный треугольник на два равнобедренные треугольники.

Давайте воспользуемся этой последней теоремой в нашем следующем примере и в то же время обнаружим его следствием в специальном прямоугольном треугольнике, а именно, 30∘-60∘ прямоугольный треугольник.

Пример 4. Нахождение длины меньшей стороны прямоугольного треугольника с углами 30°-60° с помощью свойства его медианы, проведенной под прямым углом

Определите длины 𝐵𝐷 и 𝐴𝐵.

Ответ

Из диаграммы видно, что △𝐴𝐵𝐶 — прямоугольный треугольник в точке 𝐵, а поскольку 𝐷 — середина 𝐴𝐶, 𝐵𝐷 — медиана △𝐴𝐵𝐶 нарисовано под прямым углом.

Напомним, что в прямоугольном треугольнике длина медианы, проведенной из вершина прямого угла равна половине длины гипотенуза треугольника. Следовательно, у нас есть 𝐵𝐷=12𝐴𝐶=12×49=24.5.cm

Нас также просят найти длину 𝐴𝐵. Мера угла при вершине 𝐶 указана на диаграмме: это 30∘. Так как угол в 𝐵 — прямой угол, это означает, что мера угла при вершина 𝐴 равна 180−(30+90)=60∘. Кроме того, как мы нашли выше, что 𝐵𝐷=12𝐴𝐶, это означает, что 𝐵𝐷=𝐴𝐷.

Значит, △𝐴𝐵𝐷 равнобедренный, значит, два угла, образованные каждой конгруэнтной стороной и третьей стороной, равны, то есть 𝑚∠𝐴𝐵𝐷=𝑚∠𝐴=60. ∘

Это означает, что третий угол в △𝐴𝐵𝐷 также имеет меру 60∘ (поскольку 180−(60+60)=60∘), и поэтому △𝐴𝐵𝐷 равносторонний. Таким образом, у нас есть 𝐴𝐵=𝐵𝐷=𝐴𝐷=24.5.cm

Обратите внимание, что в последнем примере мы используем тот факт, что △𝐴𝐵𝐷 равнобедренный, чтобы доказать, что 𝑚∠𝐴𝐵=60∘. Мы могли бы также заметили, что △𝐵𝐷𝐶 равнобедренный, что обозначает 𝑚∠𝐷𝐵𝐶=𝑚∠𝐶=30.∘

Отсюда, как 𝑚∠𝐴𝐵𝐷=90−30=60.∘

Давайте подытожим наши выводы из последнего примера.

Теорема: Длина меньшей стороны в прямоугольном треугольнике 30°-60°

В треугольнике 30°-60° прямоугольного треугольника, длина меньшей стороны (т. е. стороны, противоположной угол 30∘) равен половине длина гипотенузы треугольника.

В нашем последнем примере мы будем использовать свойства медиан и их точку согласие на решение задачи по геометрии.

Пример 5. Нахождение периметра треугольника с помощью медиан треугольника

Учитывая, что 𝐴𝐷=9см и 𝐸𝐵=𝐴𝐵, найдите периметр △𝑀𝐷𝐸.

Ответ

Нас просят найти периметр △𝑀𝐷𝐸. Заметим, что длины 𝐶𝐷 и 𝐷𝐵 отмечены на диаграмме как равны, поэтому 𝐷 является средней точкой. Сходным образом, 𝐶𝐸=𝐸𝐴, поэтому 𝐸 также является средней точкой. Следовательно, 𝐸𝐷 — это отрезок, соединяющий середины двух сторон △𝐴𝐵𝐶, а 𝐴𝐷 и 𝐵𝐸, которые соединяют каждую вершину △𝐴𝐵𝐶 с середина противоположной стороны, две медианы △𝐴𝐵𝐶.

Напомним, что теорема о середине треугольника утверждает, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника параллельны третьей стороне и равны половину своей длины. 𝐸𝐷 поэтому параллелен 𝐴𝐵 и составляет половину его длины; то есть половина от 12 см, или 6 см.

Теперь мы можем найти длину 𝑀𝐸 и 𝑀𝐷, вспомнив, что расстояние от каждого вершины треугольника до точки пересечения его медиан составляет две трети длина медианы от этой вершины. Отсюда следует, что расстояние от точки совмещения с серединой одной стороны составляет одну треть длины медиана от вершины, противоположной этой стороне. Следовательно, у нас есть 𝑀𝐸=13𝐸𝐵 а также 𝑀𝐷=13𝐴𝐷.

Дано, что 𝐸𝐵=𝐴𝐵 и указано на на схеме 𝐴𝐵=12см. Следовательно, 𝐸𝐵=12см. Нам также дано, что 𝐴𝐷=9см. Подставляя эти значения в приведенные выше уравнения, мы получаем 𝑀𝐸=13×12=4см а также 𝑀𝐷=13×9=3.cm

Чтобы найти периметр △𝑀𝐷𝐸, нам нужно чтобы сложить длины его трех сторон следующим образом: Периметрсм=𝐸𝐷+𝑀𝐸+𝑀𝐷=6+4+3=13.

Давайте теперь обобщим то, что мы узнали из этого объяснения.

Ключевые точки

Медианы треугольника — это три отрезка, идущие от каждой вершины к середина противоположной стороны.
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке: мы говорим, что они одновременны. Точка их пересечения называется точкой совпадение медиан.
Расстояние от каждой вершины треугольника до точки пересечения его медианы составляют две трети общей длины медианы от этой вершины. То есть расстояние от точки пересечения медиан до вершина в два раза больше, чем расстояние до противоположной средней точки.
В прямоугольном треугольнике длина медианы, проведенной из вершины Прямой угол равен половине длины гипотенузы треугольника.
В 30∘-60∘ прямоугольного треугольника, длина меньшей стороны (т. е. стороны, противоположной угол 30∘) равен половине длина гипотенузы треугольника.

Значение, примеры, формула и расчет

Предположим, вам нужно разделить последний кусок пирога со своим братом. И ни один из вас не хочет получить меньший кусок. Чтобы избежать ссоры между вами и вашим братом из-за торта, ваша мать отрезает треугольный кусок торта от его 9 частей. 0028 медиана , так что вы оба получите торт одинакового размера. Но что это за медиана? Как твоя мама решила, где разрезать торт?

Определим медиану треугольника как отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. В этой статье мы рассмотрим определение медианы , ее различные свойства, математическую формулу и, наконец, рассмотрим несколько примеров.

В конце этой статьи вы сможете:

Определить медиану и связать ее с площадью треугольника.
Определите и начертите медианы в треугольнике.
Вычислить длину медианы по сторонам и координатам треугольника.

Значение медианы

Итак, что именно означает медиана? Представьте, что у вас есть кусок пиццы, который вам нужно разделить между собой и вашим другом. Для простоты назовем эту пиццу $\bigtriangleup ABC$. Теперь имейте в виду, что вам нужно разделить пиццу поровну между своими друзьями. Здесь может помочь медиана .

Медиана куска пиццы, pexels.com

Выберите сторону пиццы, скажем, сторону $a$ (то есть сторону $BC$), и разрежьте пиццу по отрезку, соединяющему среднюю точку линии и противоположный внутренний угол, как показано на рисунке ниже. Ура! Теперь вы и ваш друг можете наслаждаться пиццей поровну. Воображаемая линия, которая разрезает пиццу на две равные части, является медианой . Так как все треугольники имеют $3$ сторон и $3$ внутренних углов. У него всегда будут $3$ медианы.

Медиана — построенная линия, соединяющая середину одной стороны с противоположным внутренним углом.

Интересно отметить, что периметр треугольника всегда больше суммы трех его медиан.

Что такое центроид?

Теперь, когда мы знаем, что такое медиана, давайте рассмотрим, что такое центроид. Точка пересечения трех медиан называется центроидом . Центроид представляет собой точек параллелизма. Точка параллелизма — это точка, в которой пересекаются две или более линий. Например, точка пересечения медиан, серединных перпендикуляров и высот. Центроид всегда будет лежать внутри треугольника, в отличие от других точек параллелизма.

Точка пересечения трех медиан называется центроидом .

Три медианы с центроидом в качестве точки пересечения, StudySmarter Originals

Центроид обладает несколькими интересными свойствами. Он всегда будет делить медиану на соотношение $2:1$. Центроид всегда расположен на расстоянии двух третей медианы от внутреннего угла.

Представим себе, как медиана делится на отношение $2:1$. Возьмите $\bigtriangleup ABC$ и проведите $3$ медианы из каждой вершины. Пусть теперь $O$ будет центром тяжести треугольника. Если $AM$ — медиана треугольника из вершины $A$, то $2OM = OA$.

Центроид делит медиану на части $2:1$, StudySmarter Originals

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, составляет половину длины гипотенузы треугольника. Медиана из прямого угла треугольника делит гипотенузу на две равные части и каждая часть гипотенузы равна длине медианы.

Медиана, равная половине гипотенузы, StudySmarter Originals

На приведенном выше рисунке медиана $AD$ делит гипотенузу на две равные части $CD$ и $BD$ таким образом, что $AD=CD; AD=BD$.

Свойства медианы

Свойства медианы можно описать следующим образом:

Любой треугольник содержит 3 медианы с точкой пересечения, называемой центром тяжести.
Соединительная сторона медианы разделена на две равные части.
Два треугольника одинакового размера и площади образуются путем построения медианы из любой из вершин треугольника.
На самом деле любой треугольник делится на 6 меньших треугольников с одинаковой площадью 3 медианами треугольника.

Медиана и высота треугольника

Различие между медианой и высотой треугольника может немного сбить с толку, но легко принять их за одно и то же. Но медиана и высота треугольника — это два разных элемента треугольника. Медиана треугольника — это отрезок прямой от одной вершины до середины его противоположной стороны. Принимая во внимание, что высота треугольника — это перпендикулярный отрезок прямой от вершины до его противоположной стороны.

Медиана и высота треугольников, StudySmarter Originals

На приведенном выше рисунке $AD, BE,$ и $CF$ — медианы треугольника $\bigtriangleup ABC$, а $XM, YN,$ и $ZO$ — высоты треугольника $\bigtriangleup XYZ$.

Разница между медианой и высотой

Давайте посмотрим на разницу между медианой и высотой треугольника.

Медиана	Высота
	Высота – это отрезок перпендикулярной линии, образованный от одной стороны к противоположной точке вершины.
Треугольник имеет 3 медианы с точкой пересечения, называемой центром тяжести.	Треугольник имеет 3 высоты с точкой пересечения, называемой ортоцентром.
Все 3 медианы находятся внутри треугольника любой формы.	Высота может быть или не быть внутри треугольника в зависимости от формы.
Медиана делит треугольник на два меньших треугольника равной площади.	Высота делит треугольник на два меньших треугольника, но их площади могут быть разными.

Медиана формулы треугольника

Базовая формула может использоваться для вычисления медианы треугольника. Давайте посмотрим на медиану формулы треугольника, чтобы вычислить длину каждой медианы.

Три медианы треугольника, StudySmarter Originals 9{2}}{4}}\]

, где медиана треугольника равна $m_c$, стороны треугольника равны $a, b,$ и $c$, а медиана образована на стороне \ (‘с’\).

Но как тогда вычислить длину, используя только координаты треугольника? Сначала мы оцениваем середины стороны с медианой, используя приведенную ниже формулу.

Треугольник с серединой и медианой, StudySmarter Originals

\[M(x_m, y_m)=\frac{(x_2+x_3)}{2}, \frac{(y_2+y_3)}{2}\]

где $M(x_m,y_m)$ — один из концов медианы. Используя эти координаты и оставшуюся точку, мы можем вычислить длину медианы. Координаты нужно подставить в следующую формулу. Это формула расстояния, и она дает расстояние между любыми двумя координатами на двумерной плоскости. 92}\]

, где $M(x_m, y_m)=\frac{(x_1+x_2)}{2}, \frac{(y_1+y_2)}{2}$.

Примеры медиан

Давайте посмотрим на некоторые примеры медиан и поймем их.

Найдите длину медианы данного треугольника $ABC$, стороны которого заданы следующим образом: $AB = 10\, единицы$, $BC = 6\, единицы$ и $AC = 8\, ед.$ соответственно, в котором АМ — медиана, образованная на стороне $ВС$.

Треугольник с длинами сторон, StudySmarter Originals

Решение: 92}{4}} = 8,54\]

Следовательно, длина медианы $AM$ равна $8,54 \; единиц$.

Найдите длину медианы $AM$, если координаты треугольника $ABC$ заданы как $A (2,5), B (6,3), C (-3,0 )$.

Треугольник с координатами, StudySmarter Originals. {(x_1+x_2)}{2}, \frac{(y_1+y_2)}{2} \\&=\frac{(6+(-3))}{2}, \frac{3+0} {2} \\&=(1.5, 1.5)\end{выравнивание} 92} \\&=\sqrt{12.5} \\&=3.53\end{align}

Это дает нам длину $3.53$ единиц.

На этом мы подошли к концу статьи. Вот ключевые выводы, чтобы освежить в памяти то, что мы уже узнали.

Медиана — ключевые выводы

Медиана — это отрезок, соединяющий вершину и середину противоположной стороны.
Делит противоположную сторону на две равные части, делит ее пополам.
Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. $3$ медианы разделят треугольник на $6$ равных треугольников. 92}\), где $D$ — расстояние.

Калькулятор медианы равностороннего треугольника

✖Длина ребра равностороннего треугольника — это длина одной из сторон равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике все три стороны равны.ⓘ Длина ребра равностороннего треугольника [l _e ]

A.U. of LengthAlnAngstromArpentAstronomical UnitAttometerBarleycornBillion Light YearBohr RadiusCable (International)Cable (UK)Cable (US)CaliberCentimeterChainCubit (Greek)Cubit (UK)DecameterDecimeterEarth-Moon DistanceEarth’s Distance from SunEarth’s Equatorial RadiusEarth’s Polar RadiusElectron Radius (Classical)EllExameterFamnFathomFemtometerFermiFinger (Cloth)FingerbreadthFootFoot (US Survey)FurlongGigameterHandHandbreadthHectometerInchKenKilometerKiloparsecKiloyardLeagueLeague (Statute)Light YearLinkLong CubitLong ReedMegameterMegaparsecMeterMicroinchMicrometerMicronMilMileMile (Roman)Mile (US Survey)MillimeterMillion Light YearNail (Cloth)NanometerNautical League (int)Nautical League UKNautical Mile (International)Nautical Mile (UK)ParsecPerchPetameterPicaPicometerPlanck LengthPointPoleQuarterReedRodRoman ActusRopeRussian ArchinSpan (Cloth)Sun’s RadiusTerameterTwipVara CastellanaVara ConuqueraVara De TareaYardYoctometerYottameterZeptometerZettameter

+10%

-10%

✖Медиана равностороннего треугольника — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны и делящий эту сторону пополам. ⓘ Медиана равностороннего треугольника [M]

А.У. of LengthAlnAngstromArpentAstronomical UnitAttometerBarleycornBillion Light YearBohr RadiusCable (International)Cable (UK)Cable (US)CaliberCentimeterChainCubit (Greek)Cubit (UK)DecameterDecimeterEarth-Moon DistanceEarth’s Distance from SunEarth’s Equatorial RadiusEarth’s Polar RadiusElectron Radius (Classical)EllExameterFamnFathomFemtometerFermiFinger (Cloth)FingerbreadthFootFoot (US Survey)FurlongGigameterHandHandbreadthHectometerInchKenKilometerKiloparsecKiloyardLeagueLeague (Statute)Light YearLinkLong CubitLong ReedMegameterMegaparsecMeterMicroinchMicrometerMicronMilMileMile (Roman)Mile (US Survey)MillimeterMillion Light YearNail (Cloth)NanometerNautical League (int)Nautical League UKNautical Mile (International)Nautical Mile (UK)ParsecPerchPetameterPicaPicometerPlanck LengthPointPoleQuarterReedRodRoman ActusRopeRussian ArchinSpan (Cloth)Sun’s RadiusTerameterTwipVara CastellanaVara ConuqueraVara De TareaYardYoctometerYottameterZeptometerZettameter

⎘ Копировать

👎

Формула

Перезагрузить

👍

Медиана решения равностороннего треугольника

ШАГ 0: Итоги предварительного расчета

ШАГ 1: Преобразование входных данных в базовые единицы

Длина стороны равностороннего треугольника: 8 метров —> 8 метров Преобразование не требуется

ШАГ 2: Вычисление формулы

ШАГ 3: Преобразование результата в единицу измерения выхода

6,92820323027551 Метр —> Преобразование не требуется

< 2 Калькулятор равностороннего треугольника
Формула медианы равностороннего треугольника
Медиана равностороннего треугольника = (sqrt(3)*длина ребра равностороннего треугольника)/2
М = (кв. (3)*1 _e )/2
Что такое равносторонний треугольник?
Равносторонний треугольник в геометрии — это треугольник, у которого все три стороны имеют одинаковую длину. В знакомой евклидовой геометрии равносторонний треугольник также является равноугольным; то есть все три внутренних угла также конгруэнтны друг другу и равны 60° каждый.
Что такое медиана равностороннего треугольника и как ее вычислить?
Медиана равностороннего треугольника — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны, таким образом делящий эту сторону пополам. В равностороннем треугольнике длины всех трех сторон треугольника равны, а все углы равны 60 градусов. Его медиана вычисляется по формуле M = √3a/2, где M — медиана равностороннего треугольника, а a — длина стороны равностороннего треугольника.
Как вычислить медиану равностороннего треугольника?
Калькулятор медианы равностороннего треугольника использует Медиана равностороннего треугольника = (sqrt(3)*Длина ребра равностороннего треугольника)/2 для расчета медианы равностороннего треугольника. Медиана равностороннего треугольника — это отрезок, соединяющий вершину с серединой треугольника. противоположную сторону, тем самым разделив эту сторону пополам. Медиана равностороннего треугольника обозначается цифрой 9.0040 М символ.
Как рассчитать медиану равностороннего треугольника с помощью этого онлайн-калькулятора? Чтобы использовать этот онлайн-калькулятор для расчета медианы равностороннего треугольника, введите длину ребра равностороннего треугольника (l _e ) и нажмите кнопку расчета. Вот как можно объяснить вычисление медианы равностороннего треугольника с заданными входными значениями -> 6,928203 = (sqrt(3)*8)/2 .
Часто задаваемые вопросы
Что такое медиана равностороннего треугольника?
Медиана равностороннего треугольника — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны, таким образом делящий эту сторону пополам и представленный как M = (sqrt(3)*l _e )/2 или Медиана равностороннего треугольника Равносторонний треугольник = (sqrt(3)*Длина ребра равностороннего треугольника)/2 . Длина ребра равностороннего треугольника равна длине одной из сторон равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике все три стороны равны.
Как вычислить медиану равностороннего треугольника?
Медиана равностороннего треугольника — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны, таким образом делящий эту сторону пополам, рассчитывается с помощью Медиана равностороннего треугольника = (sqrt(3)*Длина ребра равностороннего треугольника)/2 . Чтобы вычислить медиану равностороннего треугольника, вам потребуется длина ребра равностороннего треугольника (l _e ) . С помощью нашего инструмента вам нужно ввести соответствующее значение длины ребра равностороннего треугольника и нажать кнопку расчета. Вы также можете выбрать единицы измерения (если есть) для ввода (ов) и вывода.
Поделиться
Скопировано!
Калькулятор треугольника
Введите 3 значения, включая хотя бы одну сторону, в следующие 6 полей и нажмите кнопку «Рассчитать». Если в качестве единицы измерения угла выбран радиан, он может принимать такие значения, как пи/2, пи/4 и т. д.
Треугольник — это многоугольник с тремя вершинами. Вершина — это точка, в которой встречаются две или более кривых, линий или ребер; в случае треугольника три вершины соединены тремя отрезками, называемыми ребрами. Треугольник обычно называют его вершинами. Следовательно, треугольник с вершинами a, b и c обычно обозначается как Δabc. Кроме того, треугольники, как правило, описываются на основе длины их сторон, а также их внутренних углов. Например, треугольник, в котором все три стороны имеют одинаковую длину, называется равносторонним треугольником, а треугольник, в котором две стороны имеют одинаковую длину, называется равнобедренным. Когда ни одна из сторон треугольника не имеет одинаковой длины, он называется разносторонним, как показано ниже.
Засечки на ребрах треугольника — общепринятое обозначение, отражающее длину стороны, где одинаковое количество засечек означает одинаковую длину. Аналогичные обозначения существуют для внутренних углов треугольника, обозначаемых разным количеством концентрических дуг, расположенных в вершинах треугольника. Как видно из приведенных выше треугольников, длина и внутренние углы треугольника напрямую связаны, поэтому имеет смысл, что равносторонний треугольник имеет три равных внутренних угла и три стороны одинаковой длины. Обратите внимание, что треугольник, представленный в калькуляторе, показан не в масштабе; хотя он выглядит равносторонним (и имеет маркировку углов, которые обычно читаются как равные), он не обязательно является равносторонним и представляет собой просто изображение треугольника. При вводе фактических значений выходные данные калькулятора будут отражать форму входного треугольника.
Треугольники, классифицированные по их внутренним углам, делятся на две категории: прямоугольные и косоугольные. Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов равен 90°, и обозначается двумя отрезками, образующими квадрат в вершине, составляющей прямой угол. Самая длинная сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой. Любой треугольник, который не является прямоугольным, классифицируется как косоугольный и может быть либо тупоугольным, либо остроугольным. В тупоугольном треугольнике один из углов треугольника больше 90°, а в остроугольном треугольнике все углы меньше 90°, как показано ниже.
Факты, теоремы и законы треугольника
Зная длины всех трех сторон любого треугольника, каждый угол можно вычислить с помощью следующего уравнения. Обратитесь к треугольнику выше, предполагая, что значения a, b и c известны.
Площадь треугольника
Существует несколько различных уравнений для расчета площади треугольника, в зависимости от того, какая информация известна. Вероятно, наиболее известное уравнение для вычисления площади треугольника включает его основание, b и высота h . «Основание» относится к любой стороне треугольника, где высота представлена длиной отрезка, проведенного от вершины, противоположной основанию, к точке на основании, образующей перпендикуляр.
Зная длину двух сторон и угол между ними, можно использовать следующую формулу для определения площади треугольника. Обратите внимание, что используемые переменные относятся к треугольнику, показанному в калькуляторе выше. Учитывая а = 9, b = 7 и C = 30°:
Другой метод вычисления площади треугольника использует формулу Герона. В отличие от предыдущих уравнений, формула Герона не требует произвольного выбора стороны в качестве основания или вершины в качестве начала координат. Однако для этого требуется, чтобы длины трех сторон были известны. Опять же, в отношении треугольника, представленного в калькуляторе, если a = 3, b = 4 и c = 5:
Медиана, внутренний радиус и радиус описанной окружности
Медиана
Медиана треугольника определяется как длина отрезка, проходящего от вершины треугольника до середины противоположной стороны. Треугольник может иметь три медианы, каждая из которых будет пересекаться в центре тяжести (среднее арифметическое положение всех точек треугольника) треугольника. Обратитесь к приведенному ниже рисунку для пояснения.
Медианы треугольника представлены отрезками m _a , m _б и м _с . Длину каждой медианы можно рассчитать следующим образом:
Где a, b и c представляют длину стороны треугольника, как показано на рисунке выше.
Например, учитывая, что a=2, b=3 и c=4, медиану m _a можно рассчитать следующим образом: круг, который поместится внутри заданного многоугольника, в данном случае треугольника. Внутренний радиус перпендикулярен каждой стороне многоугольника. В треугольнике внутренний радиус можно определить, построив две биссектрисы угла, чтобы определить центр треугольника. Внутренний радиус — это расстояние по перпендикуляру между центром вписанной стороны и одной из сторон треугольника. Можно использовать любую сторону треугольника, если определено перпендикулярное расстояние между стороной и центром вписанной стороны, поскольку центр вписанной стороны по определению равноудален от каждой стороны треугольника.
Для целей этого калькулятора внутренний радиус рассчитывается с использованием площади (Area) и полупериметра (s) треугольника по следующим формулам:
внутренний радиус =
с =
а + б + в
2
где a, b и c — стороны треугольника
Радиус окружности
Радиус окружности определяется как радиус окружности, проходящей через все вершины многоугольника, в данном случае треугольника. Центр этой окружности, где встречаются все серединные перпендикуляры каждой стороны треугольника, является центром описанной окружности треугольника и является точкой, от которой измеряется радиус описанной окружности. Центр описанной окружности треугольника не обязательно должен находиться внутри треугольника. Стоит отметить, что у всех треугольников есть описанная окружность (окружность, проходящая через каждую вершину) и, следовательно, радиус описанной окружности.
Для целей данного калькулятора радиус описанной окружности рассчитывается по следующей формуле:
радиус описанной окружности =
а
2sin(A)
Где а — сторона треугольника, а А — угол, противоположный стороне а
Хотя используются сторона а и угол А, в формуле можно использовать любую из сторон и соответствующие им противоположные углы.
Формула медианы | Как рассчитать медиану в статистике?
Медианная формула в статистике относится к формуле, которая используется для определения среднего числа в данном наборе данных, который расположен в порядке возрастания, и в соответствии с формулой добавляется количество элементов в наборе данных. с одним, а затем результаты будут разделены на два, чтобы получить место медианного значения, т. е. число, помещенное в идентифицированную позицию, будет средним значением.
Это инструмент для измерения центра набора числовых данных. Он суммирует большие объемы данных в одно значение. Его можно определить как среднее число в группе чисел, отсортированных в порядке возрастания. Другими словами, медиана — это число, над которым и под ним будет одинаковое количество чисел в указанной группе данных. Это широко используемая мера наборов данных в статистике. В статистике статистика — это наука, стоящая за выявлением, сбором, организацией и обобщением, анализом, интерпретацией и, наконец, представлением таких данных, как качественных, так и количественных, что помогает принимать более эффективные и эффективные решения с уместностью. читать дальше и теория вероятностей.
Медиана = {(n+1)/2} ^th
Вы можете использовать это изображение на своем веб-сайте, в шаблонах и т. д. Пожалуйста, предоставьте нам ссылку на авторствоКак указать авторство?Статья Ссылка на быть гиперссылкой
Например:
Источник: формула медианы (wallstreetmojo.com)
Формула для расчета медианы в статистике
Расчет медианы (шаг за шагом)
Примеры формулы медианы в статистике
Пример №1
Пример №2
Пример №3
Релевантность и использование шаблона в статистике Excel
5 Медиана 900
Рекомендуемые статьи
Если количество элементов в группе четное – Найдите {(n+1)/2}-й член в этой группе и среднюю точку между числами по обе стороны от медианы. Например, если имеется восемь наблюдений, медиана равна (8+1)/2-й позиции, что равно 4,5 ^th Медиана может быть вычислена путем добавления членов 4 ^th и 5 ^th в эту группу, которая затем делится на 2.
Таким образом, медиана равна 7. организации, включая генерального директора. Генеральный директор Адам Смит считает, что зарплата сотрудников высока. Он хочет оценить зарплату, получаемую группой, и, следовательно, принимать решения.
Джеффу Смиту, генеральному директору производственной организации, необходимо заменить семь машин на новые. Он беспокоится о предстоящих затратах и поэтому звонит финансовому директору фирмы, чтобы тот помог ему рассчитать медианную стоимость семи новых машин.
Финансовый менеджер предположил, что новые машины можно покупать только в том случае, если средняя цена машин ниже 85 000 долларов. Затраты следующие: 75 000 долларов, 82 500 долларов, 60 000 долларов, 50 000 долларов, 1 00 000 долларов, 70 000 долларов, 90 000 долларов. Рассчитайте медианную стоимость машин. Затраты следующие: 75 000 долларов, 82 500 долларов, 60 000 долларов, 50 000 долларов, 1 00 000 долларов, 70 000 долларов, 90 000 долларов.
Основное преимущество медианы над средними заключается в том, что на нее не оказывают чрезмерного влияния экстремальные значения, то есть очень высокие и очень низкие значения. Таким образом, это дает человеку лучшее представление о репрезентативной ценности. Например, если вес 5 человек в кг, это 50, 55, 55, 60 и 150. Среднее значение равно (50+55+55+60+150)/5 = 74 кг. Однако 74 кг не является истинным репрезентативным значением, поскольку большинство весов находится в диапазоне от 50 до 60. Вычислим медиану в таком случае. Это будет (5+1)/2-й член = 3-й член. Третий член — 55 кг, что является медианой. Поскольку большинство данных находится в диапазоне от 50 до 60, 55 кг являются истинным репрезентативным значением данных.
Мы должны быть осторожны в интерпретации того, что означает медиана. Например, когда мы говорим, что средний вес составляет 55 кг, не все люди весят 55 кг. Кто-то может весить больше, а кто-то меньше. Однако 55 кг – это хороший показатель веса 5 человек.
В реальном мире для понимания наборов данных, таких как доход домохозяйства или активы домохозяйства, которые сильно различаются, среднее значение может быть искажено небольшим количеством очень больших или малых значений. Таким образом, медиана используется, чтобы предположить, каким должно быть типичное значение.
Билл — владелец обувного магазина. Он хочет знать, какой размер обуви ему следует заказать. Он спрашивает 9 покупателей, какой у них размер обуви. Результаты: 7, 6, 8, 8, 10, 6, 7, 9, 6. Вычислите медиану, чтобы помочь Биллу принять решение о заказе.
В Excel есть встроенная формула для медианы, которую можно использовать для вычисления медианы группы чисел. . Выберите пустую ячейку и введите это = МЕДИАНА (B2: B10) (B2: B10 указывает диапазон, из которого вы хотите вычислить медиану).
Это руководство по формуле медианы в статистике. Здесь мы обсуждаем, как рассчитать медиану, используя ее формулу, а также практические примеры в Excel и загружаемый шаблон Excel. Вы можете узнать больше об Excel из следующих статей —
ФормулаФормулаНормальное распределение — это симметричное распределение, т. е. положительные и отрицательные значения распределения можно разделить на равные половины, и поэтому среднее значение, медиана и мода будут равны. У него два хвоста, один известен как правый хвост, а другой известен как левый хвост. Нормальное распределение нормального распределения Нормальное распределение — это симметричное распределение, т. на равные половины и, следовательно, среднее значение, медиана и мода будут равны. У него два хвоста, один известен как правый хвост, а другой известен как левый хвост.Подробнее
Вычислить стандартное нормальное распределениеВычислить стандартное нормальное распределениеСтандартное нормальное распределение представляет собой симметричное распределение вероятностей относительно среднего или среднего значения, показывающее, что данные, близкие к среднему или среднему, встречаются чаще, чем данные, далекие от среднего или нормы. Таким образом, оценка называется «Z-оценка».Подробнее

формула и свойства :: SYL.ru

Формулы для выражения длины медианы

Основные свойства

Свойства сторон, к которым проведена медиана

Похожие статьи

Медиана проведенная из прямого угла прямоугольного треугольника.

Определение медианы

Задача про медиану в прямоугольном треугольнике

Формулы для выражения длины медианы

Основные свойства

Свойства сторон, к которым проведена медиана

Геометрия Докажите, что медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника — ЭкзаменТВ

Медианы треугольника пересекаются в одной точке которая. Медиана

Формулы для выражения длины медианы

Основные свойства

Свойства сторон, к которым проведена медиана

Сбор и использование персональной информации

Раскрытие информации третьим лицам

Защита персональной информации

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Сбор и использование персональной информации

Раскрытие информации третьим лицам

Защита персональной информации

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Точка пересечения медиан треугольника — свойства, формулы и теоремы » Kupuk.

Общие сведения

Понятие дополнительных отрезков

Теорема о взаимном пересечении

Утверждения о соотношении

Полезные свойства

Вычисление медиан треугольника. Площадь треугольника онлайн расчет

Площадь через высоту и основание

площадь через стороны треугольника

Площадь через координаты вершин

Площадь через две стороны и угол между ними

Площадь через сторону и два угла

Площадь через медианы треугольника

Свойства

Формулы

Мнемоническое правило

Примечания

См. также

Ссылки

Смотреть что такое «Медиана треугольника» в других словарях:

Медиана треугольника (формулы, примеры и видео) // Tutors.com

Медиана треугольника (определение, формула и примеры)

Чему вы научитесь:

Треугольник

Площадь

Какова медиана треугольника?

Центроид треугольника

Центр масс

Как найти медиану треугольника

Медиана треугольника Пример

Резюме урока

Следующий урок:

Объяснение урока: Медианы треугольников

Определение: медиана

Теорема: совпадение медиан треугольника

Теорема: положение точки пересечения медиан треугольника

Пример 1: Свойства точки пересечения медиан треугольника

Ответ

Пример 2. Определение медиан и использование свойства их точки пересечения с Найдите недостающую длину

Ответ

Пример 3. Использование свойств точки пересечения медиан Треугольник для построения и решения линейного уравнения

Ответ

Теорема: длина медианы прямоугольного треугольника

Пример 4. Нахождение длины меньшей стороны прямоугольного треугольника с углами 30°-60° с помощью свойства его медианы, проведенной под прямым углом

Ответ

Теорема: Длина меньшей стороны в прямоугольном треугольнике 30°-60°

Пример 5. Нахождение периметра треугольника с помощью медиан треугольника

Ответ

Ключевые точки

Значение, примеры, формула и расчет

Значение медианы

Свойства медианы

Медиана и высота треугольника

Разница между медианой и высотой

Медиана формулы треугольника

Примеры медиан