35. Базис векторов пространства
Рассмотрим множество V3 всех векторов пространства.
Теорема 5. Любая упорядоченная система трех некомпланарных векторов A, B, С € V3 Образуют базис векторного пространства V3.
Доказательство. Пусть A, B, С Некомпланарные векторы. По следствию 1 теоремы 8 они образует линейно независимую систему. Пусть D € V3. Отложим векторы A, B, С и D от точки O: A = , B = , С = , D = (см. рис. 18). Проведем через точку D прямую L, параллельную прямой OD. Так как векторы A, B, С некомпланарны, то прямая L пересекает плоскость OAB в точке E. Тогда =+. Так как векторы лежит в плоскости OAB, а вектора образуют базис векторов этой плоскости, то по теореме 7 = a
Так как вектор коллинеарен вектору C, То по теореме 8 § 1 он линейно выражается через вектор С: = g с. Поэтому D = = a a + b b + g с и по определению 1 вектора A, B, С образует базис пространства V3.По теореме 5 базис векторов на пространстве образуют любые три некомпланарные вектора, поэтому любой вектор в пространстве имеет три координаты. Тогда справедливо следующее утверждение.
Следствие 1. Вектора A = (a1, b1, g1), B = (a2, b2, g2), С = (a3, b3, g3) Образуют базис векторов пространства тогда и только тогда, когда
= 0.
Теорема 6. Любые четыре вектора A, B, С, D В пространстве линейно зависимы.
Доказательство. Если векторы A, B, С Компланарны, то по теоремы 5 они линейно зависимы.
Тогда по свойству линейной зависимости по свойству 4 § 3 вектора A, B, С, D линейно зависимы. Если вектора A, B, С некомпланарны, то по теореме 5 они образуют базис векторов пространства. Тогда вектор D линейная комбинация векторов A, B, С и по свойству линейной зависимости векторы A, B, С, D линейно зависимы.
Задача 1. Доказать что векторы A = (1, 2, 0), B = (3, 2, 1), С
Решение. Так как определитель
,
То векторы A, B, С образуют базис пространства V3.
Для того, чтобы найти координаты вектора D в базисе A, B, С составим векторное уравнение
X A + Y B + Z C = 0.
(14)
И запишем его в координатной форме:
Решаем эту систему линейных уравнений: X = 2, Y = 2, Z = -1 и находим D = 2A + B — С.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Лучший ответ по мнению автора | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
05.17
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика
| Похожие вопросы |
Решено
В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, AB = 4, tg А=0.
2 — 2x — 3. Найдите: а)наименьшее значение функции; б) значения x, при которых значение функции равно 5; в) значение…
Пользуйтесь нашим приложением
Правильно ли я просто проверяю, являются ли они линейно независимыми, и если они независимы, я показал, что они являются основой для R? Или мне нужно доказать, что они также охватывают R? Если это так, как показать, что они охватывают весь R?
это правильно?
Когда я это сделаю, я получу полный ранг с x=0,y=0,z=0 и k=0, и поэтому я доказал, что они линейно независимы и, следовательно, образуют основу.
Пока все хорошо.
Мне также нужно найти вектор координат к U5 относительно базиса, и здесь я их всех вычислил, но вместо последней строки, равной 0, я поместил сюда координаты вектора u5. я погасил его и обнаружил, что вектор координат для вектора u5 по отношению к базису равен (0,-3,4,0) — это правильно? [введите описание изображения здесь][3]
- векторные пространства
$\endgroup$
$\begingroup$
Пусть $V$ конечномерное векторное пространство и пусть $B\subseteq V$.
Тогда следующие операторы эквивалентны
- $B$ является базисом $V$
- $B$ охватывает $V$ и $B$ линейно независима
- $B$ содержит не менее $\dim V$-много линейно независимых векторов
- $B$ охватывает $V$ и содержит не более $\dim V$-много векторов. 9{4}$ равно 4, и у вас есть 4 вектора, так что… (вам действительно нужно проверить оба условия)
$\endgroup$
1
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
линейная алгебра — Учитывая один базис, докажите, что комбинация его векторов также находится в векторном пространстве
Задавать вопрос
Спросил
Изменено 4 года, 8 месяцев назад
Просмотрено 276 раз
$\begingroup$
У меня есть следующая задача:
Пусть $V$ — векторное пространство, а $B_1 = \{x_1,x_2,x_3\}$ — базис $V.$ Пусть $y_1 = x_1 + x_3, y_2 = x_2 + x_3$ и $y_3 = x_3$
а) Докажите, что $B_2 = \{y_1, y_2, y_3\}$ также является базисом $V.$
б) Если $x \in V,$ и координаты $x$ в базисе $B_1$ равны $[v]_{B_1} =\left[ \begin{массив}{cc} 2\\ 5\\ -1\\ \конец{массив} \right]$, найти координаты $v$ в базисе $B_2$.
Что я знаю:
Набор векторов образует базис, если векторы линейно независимы.
По сути, мне нужно доказать, что $B_2$ соответствует этому критерию, верно?
У нас есть $$\alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2 +\alpha_3 y_3 = 0$$, что равнозначно $$\alpha_1[y_1]_B + \alpha_2[y_2]_B + \alpha_3[y_3]_B = 0$$, что равно $$\alpha_1[x_1+x_3]_B + \alpha_2[x_2+x_3]_B + \alpha_3[x_3]_B = 0.$$ Поправьте меня, если я ошибаюсь, но я считаю, что это говорит о том, что векторы линейно независимы. Следовательно, $B_2$ образует базис $V.$
Что касается заданной координаты, то я не уверен, как использовать ее для поиска координат в базисе $B_2$. Что я должен делать здесь?
- линейная алгебра
- корректура
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Чтобы доказать, что $\{y_1,y_2,y_3\}$ — базис, достаточно показать, что он независим.
С этой целью предположим, что $c_1y_1+c_2y_2+c_3y_3=0$ для некоторых $c_1,c_2,c_3$ в базовом поле. Тогда у нас есть
$c_1 (x_1+x_3)+c_2 (x_2+x_3)+c_3y_3=0$, что подразумевает
$c_1x_1+c_2x_2+(c_1+c_2+c_3)x_3=0$, что приводит к
$c_1=c_2=c_3=0$,т.е. $\{y_1,y_2,y_3\} $ независим и, следовательно, является базисом. Во второй части сначала обратите внимание, что $x_3=y_3,x_2=y_2-y_3, x_1=y_1-y_3$. Последний факт с $v=2x_1+5x_2-x_3$ влечет $v=2y_1+5y_2-9y_3$.
$\endgroup$
$\begingroup$
Для первой половины: Не совсем, но довольно близко. Вам все еще нужно распределить скаляры и все рекомбинировать: $$ \alpha_1[x_1+x_3]_B + \alpha_2[x_2+x_3]_B + \alpha_3[x_3]_B = 0 \\ [\alpha_1x_1+\alpha_1x_3]_B + [\alpha_2x_2+\alpha_2x_3]_B + [\alpha_3x_3]_B = 0 \\ [\alpha_1x_1+\alpha_1x_3 + \alpha_2x_2+\alpha_2x_3 + \alpha_3x_3]_B = 0 \\ [\alpha_1x_1 + \alpha_2x_2 + (\alpha_1 +\alpha_2 + \alpha_3)x_3]_B = 0 \\ \alpha_1[x_1]_B + \alpha_2[x_2]_B + (\alpha_1 +\alpha_2 + \alpha_3)[x_3]_B = 0 \\ $$
А теперь, поскольку $x_i$ составляют основу $V$, мы можем заключить, что: $$ \alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 = 0 \\ 0 + 0 + \alpha_3 = 0 \\ \альфа_3 = 0 $$
Что показывает, что да, $y_i$ линейно независимы и, следовательно, являются базисом $V$.
Что касается заданной координаты, я не уверен, как бы я использовал ее, чтобы найти координаты в базе $B_2$.
Помните, что на самом деле означает вопрос. Нас просят найти тройку скаляров $\beta_i$, где: $$ 2x_1 + 5x_2 — 1x_3 = \beta_1(x_1 + x_3) + \beta_2(x_2 + x_3) + \beta_3x_3. $$ По результатам проверки $\beta_1$ должно быть равно 2, а $\beta_2$ должно быть равно 5, потому что это единственные термины, которые содержат $x_1$ и $x_2$ соответственно. Для конкретности вы можете представить себе $[x_1, x_2, x_3] = [\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}]$, чтобы было «визуально очевидно», почему это должно быть так. (поскольку член $\beta_1$ — единственный с компонентом $x$, а член $\beta_2$ — единственный с компонентом $y$, поэтому, если вы хотите, чтобы компоненты слева равнялись соответствующим компоненты справа, их соответствующие коэффициенты должны совпадать).
Теперь, когда мы их выбрали, оставшаяся алгебра может послужить упражнением для читателя (Подсказка: подставьте $\beta_1$ и $\beta_2$ обратно в уравнение, раскройте и сократите одинаковые члены).
$\endgroup$
$\begingroup$
Проверьте определения вашего учителя/инструктора, но для того, чтобы $B_2$ было базой для $V$, вам необходимо, чтобы каждый вектор в $V$ был разложен в линейную комбинацию векторов в $B2$. Если бы это было не так, то $B2$ все равно могло бы быть базой для некоторого подпространства в $V$. Существует другая теорема, утверждающая, что если 3 вектора линейно независимы и не равны нулю, то они образуют основу для трехмерного векторного пространства, но не путайте теоремы с определениями.
Сказав это, я считаю, что вы на правильном пути, но вы попытались мыслить немного в обратном направлении. Сделаем это вперед:
Если $B_1$ является базой для $V$, то для каждого $v\in V$ существуют константы $\alpha_1,\alpha_2$ и $\alpha_3$ такие, что:
$ $ v=\alpha_1 x_1+ \alpha_2 x_2 +\alpha_3 x_3 $$
И должно быть возможно показать то же самое для $B_2$ с константами $\beta_1,\beta_2$ и $\beta_3$.
С этой целью предположим, что $c_1y_1+c_2y_2+c_3y_3=0$ для некоторых $c_1,c_2,c_3$ в базовом поле. Тогда у нас есть
$c_1 (x_1+x_3)+c_2 (x_2+x_3)+c_3y_3=0$, что подразумевает
$c_1x_1+c_2x_2+(c_1+c_2+c_3)x_3=0$, что приводит к
$c_1=c_2=c_3=0$,
