Синус двойного угла через тангенс: HTTP 404 Resource not found

Синус, косинус и тангенс двойного угла | Презентация к уроку по алгебре (11 класс):

Слайд 1

Синус , косинус и тангенс двойного угла (формулы двойного аргументы) Автор – составитель: Гришина Н.И. учитель математики высшей квалификационной категории А ОУ гимназии №13 г.Долгопрудного Московской области

Слайд 2

Цель урока Вывести формулы двойного аргумента, показать их применение Показать применение полученных формул при преобразовании тригонометрических выражений Повторить формулы, связывающие тригонометрические функции одного и того же аргумента

Слайд 3

Задачи урока Повторить определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса числа α ; Повторить основное тригонометрическое тождество, формулы сложения; Повторить формулы, выражающие связь между тангенсом и косинусом, между котангенсом и синусом. Научить применять полученные знания при решении задач.

Слайд 4

Ход урока Блиц-опрос Закрепление знаний и умений Самостоятельная работа (тест) Проверка самостоятельной работы Это интересно Итог урока Домашнее задание

Слайд 5

Блиц-опрос Синусом угла α называется _____ точки, полученной поворотом точки______ вокруг начала координат на угол α tg α = sin 2 α +cos 2 α = 1+ tg 2 α = sin(- α )= tg (- α ) = cos ( α + β )= sin ( α — β )= sin 2 α = tg ( α + β )= sin( π — α )= cos ( + α )= Косинусом угла α называется _____ точки, полученной поворотом точки______ вокруг начала координат на угол α ctg α = tg α ∙ ctg α = 1+ c tg 2 α = cos (- α )= ctg (- α ) = cos ( α — β )= sin ( α + β )= cos 2 α = tg 2 α = cos( π — α )= sin ( + α )=

Слайд 6

Блиц-опрос Синусом угла α называется ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол α tg α = sin 2 α +cos 2 α = 1 1+ tg 2 α = sin(- α ) = — sin α tg (- α ) = -tg α cos ( α + β ) = cos α cos β – sin α sin β sin ( α — β ) = sin α cos β — cos α sin β sin 2 α = 2sin α cos α tg ( α + β ) = sin( π — α ) =sin α cos ( + α ) = -sin α Косинусом угла α называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол α ctg α = tg α ∙ ctg α = 1 1+ c tg 2 α = cos (- α ) = cos α ctg (- α ) = -ctg α cos ( α — β )=cos α cos β +sin α sin β sin ( α + β )= sin α cos β + cos α sin β cos 2 α =cos 2 α -sin 2 α tg 2 α = cos( π — α )= — cos α sin ( + α )=-cos α

Слайд 7

Запомним!!!

Слайд 8

Оценка «5» — 12 «4» — 10 – 11 «3» — 7 – 9 «2» — 0 – 6

Слайд 9

Закрепление знаний и умений № 546 1) дано: найти: ОТВЕТ: 3) дано: найти: ОТВЕТ:

Слайд 10

Упростить выражение Ответ: -2 Ответ: 1. 2.

Слайд 11

№ 555 1) Доказать: № 557 Упростить выражение ОТВЕТ: № 564 1) Доказать:

Слайд 12

вариант 1 1) Найдите значение а) -2,5; б) 5,5; в) -4,75; г) 3,25. 2) Дано: Найдите значение: а) ;б) ; в) ; г) . 3) Упростите выражение: а) ;б) ;в) ;г) . 4) Упростите выражение: а) ;б) ; в) ;г) вариант 2 1) Найдите значение а) -3,5; б) 9,5; в) -0,5; г) 6,5. 2) Дано: Найдите значение: а) ; б) ; в) ; г) 3) Упростите выражение: а) ; б) ;в) ;г) 4) Упростите выражение: а) ; б) ; в) ; г) .

Слайд 13

Проверка 1 вариант г) б) г) б) 2 вариант б) в) г) а)

Слайд 14

Это интересно Тригонометрия в ладони

Слайд 15

Зарождение тригонометрии относится к глубокой древности. Само название «тригонометрия» греческого происхождения, обозначающее «измерение треугольников». Гиппарх является автором первых тригонометрических таблиц и одним из основоположников астрономии . Одним из основоположников тригонометрии считается древнегреческий астроном Гиппарх, живший во 2 веке до нашей эры. Гиппарх (Hípparchos) (около 180—190 до н. э., Никея, — 125 до н. э., Родос), древнегреческий учёный.

Слайд 16

№ 0 Мизинец 0 0 № 1 Безымянный 30 0 № 2 Средний 45 0 № 3 Указательный 60 0 № 4 Большой 90 0 sin α =

Слайд 17

№ пальца Угол α 0 0 1 30 2 45 3 60 4 90 Значение синуса

Слайд 18

№ пальца Угол α 4 0 3 30 2 45 1 60 0 90 Значение косинуса

Слайд 19

Домашнее задание Проверь себя стр. 166

Слайд 20

Спасибо, урок окончен!!! Спасибо, урок окончен!!!

Лекция 14. Синус, косинус, тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла. Формулы половинного угла. — Студопедия

Поделись  

Обратимся снова к тригонометрической окружности.

Рисунок 2.4.2.2

Пусть точка A является концом радиус-вектора, отвечающего углу α. Пусть также OA = 1. Построим прямоугольный треугольник AOC. Применяя к этому треугольнику теорему Пифагора, получаем:

Но OA = 1, OC = cos α, CA = sin α. Значит, непосредственным следствием теоремы Пифагора является равенство Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством.

Отсюда следует, что

Знак + или − выбирается в зависимости от того, в какой четверти лежит угол α.

Разделим основное тригонометрическое тождество на Получим:

Разделим основное тригонометрическое тождество на Получим:

Из определений тангенса и котангенса следует:

Пример 2

Найдите sin x и cos x, если и

Формулы сложения

Рисунок 2.4.2.3

Для вывода формул сложения для тригонометрических функций рассмотрим тригонометрическую окружность и два радиус-вектора и отвечающих углам α и –β (см. рис. 2.4.2.3).

Координаты этих векторов по определению тригонометрических функций равны: Поскольку это радиус-векторы, то их длины равны 1. Вычислим скалярное произведение этих векторов двумя способами:

1. По определению.

поскольку угол между единичными векторами и равен α + β.

2. Через координаты. Имеем:

Итак, получена следующая формула сложения:

Заменим в этой формуле β на –β. Получим ещё одну формулу.

Имеем:

Значит,

Заменим в этой формуле β на –β, получим ещё одну формулу.

Из этих формул непосредственно следует, что

Последняя формула справедлива при

Эта формула справедлива при

Заменяя в последних формулах β на –β, получим ещё две формулы:

Последняя формула справедлива при

Эта формула справедлива при



Как найти тангенс удвоенного угла формула двойного угла для тангенса используется реже, чем формулы двойного угла для синуса или косинуса; однако вы не должны игнорировать его только потому, что он не так популярен, как его более крутые аналоги!

Формула тангенса двойного угла получается путем перезаписи tan 2 x как тангенс ( x + x ), а затем применить формулу суммы. Однако формула двойного угла для тангенса здесь намного сложнее, потому что она включает дроби. Так что вам нужно просто запомнить формулу.

Тождество двойного угла для касательной равно

При решении уравнений для тангенса помните, что период функции тангенса равен пи. Эта деталь важна, особенно когда вам приходится иметь дело с более чем одним углом в уравнении, потому что обычно вам нужно найти все решения на интервале [0, 2pi). Уравнения с двойным углом имеют в два раза больше решений на этом интервале, чем уравнения с одним углом.

Выполните следующие шаги, чтобы найти решения для 2 tan 2 x + 2 = 0 на интервале [0, 2pi):

1. Изолировать триггерную функцию.

   Вычтите 2 с обеих сторон, чтобы получить 2 tan 2 x = –2. Разделите обе части уравнения на 2 следующим образом: tan 2 x = –1.

2. Найдите двойной угол, используя единичную окружность.

   На единичной окружности тангенс отрицателен во втором и четвертом квадрантах. Более того, тангенс равен –1 при

   , где k — целое число.

   Примечание: Вы должны добавить pi, умноженное на k к каждому решению, чтобы найти все решений уравнения.

3. Изолировать переменную.

   Разделите обе части уравнения на 2, чтобы найти x. (Помните, что вы должны разделить угол и период на 2.) Этот шаг дает вам

4. Найдите все решения на нужном интервале.

   Продолжайте прибавлять pi/2 к (3pi)/8 и (7pi)/8, пока не получите все решения уравнения, лежащие в интервале [0,2pi). Конечно, сначала нужно найти общий знаменатель — в данном случае 8. Начиная с (3pi)/8:

   Однако (19pi)/8 не находится в интервале [0,2pi). Таким образом, вы останавливаетесь здесь, и это решение не рассматривается. Следовательно, четыре решения на данный момент: (3pi)/8, (7pi)/8, (11pi)/8 и (15pi)/8. Теперь вы должны выполнить тот же процесс, что и выше, начиная с (7pi)/8. Вскоре вы заметите, что выполнение этого процесса, начиная с (7pi)/8, не даст вам никаких дополнительных решений. Следовательно, все четыре перечисленных решения являются решениями в интервале [0, 2pi).

Эту статью можно найти в категории:

• Предварительное исчисление,

Объяснение урока: Решение тригонометрических уравнений с тождеством двойного угла

-угловая идентичность.

Тригонометрические уравнения имеют несколько реальных применений в различных областях, таких как физика, инженерия, архитектура, робототехника, теория музыки и навигация, и это лишь некоторые из них. В физике их можно использовать в движении снарядов, моделируя механику электромагнитных волн, анализируя переменные и постоянные токи и находя траекторию массы вокруг массивного тела под действием силы тяжести.

Давайте начнем с того, что вспомним тригонометрические функции, тождества с двойными углами которых мы рассмотрим в этом объяснении. Рассмотрим прямоугольный треугольник.

Тригонометрические функции могут быть выражены через отношение сторон треугольника как sinOHcosAHtanOA𝜃=,𝜃=,𝜃=.

Эти функции удовлетворяют следующему тригонометрическому тождеству: тансинкос𝜃=𝜃𝜃.

Отметим, что эти тригонометрические отношения определены для острых углов 0𝜃90∘∘, а тригонометрические функции для всех значений 𝜃 определены на единичной окружности с использованием тригонометрии прямоугольного треугольника.

Предположим, что точка движется по единичной окружности против часовой стрелки. В определенном положении (𝑥,𝑦) на единичной окружности с углом 𝜃 функция синуса определяется как 𝑦=𝜃sin, а функция косинуса как 𝑥=𝜃cos, как показано на диаграмме выше. Другими словами, тригонометрические функции определяются с помощью координат точки пересечения единичной окружности с конечной стороной 𝜃 в стандартном положении.

Домен — это набор возможных входных данных, а диапазон — это набор возможных выходных данных с заданным доменом. Для тригонометрических функций они даются следующим образом.

	Domain	Range
sin𝜃	ℝ	[−1,1]
cos𝜃	ℝ	[−1,1]
tan𝜃	ℝ− 𝜋2+𝑛𝜋,𝑛∈ℤ	ℝ

Поскольку функция тангенса определяется как отношение функций синуса и косинуса, она не определена, когда знаменатель cos𝜃 равен нулю. Другими словами, касательная функция должна исключать значения 𝜃, где cos𝜃=0, чтобы быть корректно определенной. Вот почему область определения функции тангенса равна ℝ−𝜋2+𝑛𝜋,𝑛∈ℤ, что просто означает, что мы вычитаем значения 𝜃, где cos𝜃=0, из набора действительных чисел, чтобы исключить это из ввода.

Тригонометрические функции являются периодическими, что означает, что если мы добавим целое число, кратное 2𝜋 в радианах, или 360∘ к углу 𝜃, значение функции останется прежним: sinsincoscostantan(360+𝜃)=𝜃,(360+𝜃)=𝜃,(360+𝜃)=𝜃.∘∘∘

Мы можем видеть это непосредственно из определения единичного круга тригонометрических функций.

На самом деле, функция тангенса периодична на 𝜋 в радианах или на 180∘, поскольку мы имеем tantan(180+𝜃)=𝜃.∘

Этот факт будет важен для нахождения общих решений тригонометрических функций. Области определения тригонометрических функций должны быть ограничены определенным подмножеством, известным как основная ветвь, чтобы иметь обратные функции.

Обратные тригонометрические функции, обозначаемые sin, cos и tan, являются обратными функциями тригонометрических функций sin, cos и tan. Это означает, что они работают в обратном порядке или «идут назад» от обычных тригонометрических функций. Они определяются 𝑦=𝑥⟺𝑥=𝑦,𝑦=𝑥⟺𝑥=𝑦,𝑦=𝑥⟺𝑥=𝑦.sinsincoscostantan

Они также могут быть записаны как arcsin𝑥, arccostan𝑥, arccostan𝑥, arccostan𝑥. Область определения и область значений обратных тригонометрических функций определяются следующим образом.

	Домен	Диапазон
SIN𝜃	[−1,1]	 -2, 𝜋2
COS𝜃	[–1111699999	[				[			[			. ,𝜋]
tan𝜃	ℝ	−𝜋2,𝜋2

Диапазоны значений для основных обратных тригонометрических функций ограничены только тригонометрическими ветвями в общих тригонометрических функциях. Это делается для того, чтобы тригонометрические функции были взаимно однозначными функциями, чтобы обратные тригонометрические функции оценивались как единственное значение, известное как главное значение.

Например, если у нас есть конкретное тригонометрическое уравнение, такое как грех𝜃=𝑦, мы можем найти решения в диапазоне 𝜃∈−𝜋2,𝜋2, применяя обратные тригонометрические уравнения: 𝜃=(𝑦).sin

Однако, если мы хотим определить все возможные решения, нам нужны общие решения, заданные целым числом 𝑛∈ℤ, которые мы можем получить из диаграммы CAST и периодичности тригонометрические функции.

Вспомним схему CAST.

Определение: CAST Диаграмма

• В первом квадранте все тригонометрических функций положительны.
• Во втором квадранте функция синуса положительна.
• В третьем квадранте функция тангенса положительна.
• В четвертом квадранте функция косинуса положительна.

Вспомним, как мы находим решения тригонометрических уравнений.

Свойство: Решения тригонометрических уравнений

Диаграмма CAST помогает нам запомнить знаки тригонометрических функций для каждого квадранта.

В частности, диаграмма CAST говорит нам, что решения тригонометрических уравнений даются следующим образом.

• Если sin𝜃=𝑥 и −1≤𝑥≤1, 𝜃=𝑥𝜃=180−𝑥,грех∘ для 𝜃∈[−90,270]∘∘, или, в радианах, 𝜃=𝑥𝜃=𝜋−𝑥,грех для 𝜃∈−𝜋2,3𝜋2.
• Если cos𝜃=𝑥 и −1≤𝑥≤1, то мы можем выразить угол 𝜃 через функцию арккосинуса в градусах как 𝜃=𝑥𝜃=360−𝑥,coscos∘ для 𝜃∈[0,360]∘, или, в радианах, 𝜃=𝑥𝜃=2𝜋−𝑥,coscos для 𝜃∈[0,2𝜋].
• Если tan𝜃=𝑥, то мы можем выразить угол 𝜃 через функцию арктангенса в градусах как 𝜃=𝑥𝜃=180+𝑥,тантан∘ для 𝜃∈]−90,90[∪]90,270[∘∘∘∘, или, в радианах, 𝜃=𝑥𝜃=𝜋+𝑥,тантан для 𝜃∈−𝜋2,𝜋2∪𝜋2,3𝜋2.

Диапазоны, указанные для 𝜃, следуют из диапазонов обратных тригонометрических функций.

Мы также можем видеть это на единичном круге, как показано на рисунке.

общих решений тригонометрических уравнений можно найти из решений, которые мы получаем из диаграммы CAST или обратных тригонометрических функций, 𝜃, добавляя целое число, кратное 360∘ или 2𝜋, в радианах. Мы делаем это для всех полученных решений, так как тригонометрические функции являются периодическими. Таким образом, общее решение ̂𝜃 для 𝑛∈ℤ есть ̂𝜃=𝜃+360𝑛∘ в градусах и ̂𝜃=𝜃+2𝜋𝑛 в радианах.

При решении тригонометрических уравнений нам обычно дается определенный диапазон угла 𝜃 для определения решений, что означает, что нам может понадобиться учитывать только несколько значений 𝑛, где это уместно. Набор решений — это набор значений, который содержит решения тригонометрического уравнения в требуемом диапазоне.

Теперь вспомним тождества сложения для функций синуса, косинуса и тангенса: sinsincoscosscoscossinsintantantantantan (𝜃 ± 𝜃) = 𝜃𝜃 ± 𝜃𝜃, (𝜃 ± 𝜃) = 𝜃𝜃∓𝜃𝜃, (𝜃 ± 𝜃) = 𝜃 ± 𝜃1 — 𝜃𝜃. . 

Мы будем использовать эти дополнительные тождества для получения тождеств двойного угла.

Подставляя 𝜃=𝜃=𝜃 в тождества сложения, получаем тождества двойного угла для тригонометрических функций.

Определение: Тригонометрические тождества двойного угла

Тригонометрические тождества двойного угла sinsincoscossintantantan2𝜃=2𝜃𝜃,2𝜃=𝜃−𝜃,2𝜃=2𝜃1−𝜃.

Давайте рассмотрим пример, который демонстрирует, как мы можем использовать тождество синуса двойного угла для решения конкретного тригонометрического уравнения в заданном диапазоне.

Пример 1. Решение уравнения в заданном диапазоне с использованием тождеств двойного угла

Найдите множество возможных решений 2𝜃𝜃=0sincos при заданном 𝜃∈[0,360[∘∘.

Ответ

В этом примере мы собираемся решить тригонометрическое уравнение в определенном диапазоне, используя тождества двойного угла.

Формула двойного угла для синуса: sinsincos2𝜃=2𝜃𝜃.

Следовательно, 2𝜃𝜃=0sincos эквивалентно грех2𝜃=0.

Общее решение для 𝑛∈ℤ (с использованием диаграммы CAST) этого уравнения можно найти как 2𝜃=0+360𝑛∘∘ или же 2𝜃=(180−0)+360𝑛,∘∘∘ что эквивалентно 𝜃=180𝑛∘ или же 𝜃=90+180𝑛,∘∘ для 𝑛∈ℤ. Первое выражение дает нам 𝜃=0,180∘∘, а второе выражение 𝜃=90,270∘∘, для 𝑛=0,1. Для других целых чисел 𝑛 мы получили бы углы вне требуемого диапазона.

Таким образом, при условии 𝜃∈[0,360[∘∘] возможными решениями являются {0,90,180,270}.∘∘∘∘

Тождество двойного угла также можно использовать для решения тригонометрических уравнений формы, которую мы видели ранее, 𝑎𝜃+𝑏𝜃=𝑐,синкос возведением в квадрат обеих сторон и использованием тождества Пифагора. Теперь давайте рассмотрим пример, где мы демонстрируем это, чтобы найти решения тригонометрического уравнения в этой форме.

Пример 2. Решение тригонометрических уравнений с особыми углами

Если 𝜃∈]180 360[∘∘ и sincos𝜃+𝜃=−1, найдите значение 𝜃.

Ответ

В этом примере мы собираемся решить тригонометрическое уравнение в определенном диапазоне, используя тождества двойного угла.

Чтобы решить sincos𝜃+𝜃=−1, мы начинаем с возведения обеих сторон в квадрат и распределения: (𝜃+𝜃)=(−1)𝜃+𝜃+2𝜃𝜃=1.sincossincossincos

Применяя тождество Пифагора sincos𝜃+𝜃=1 и двухугольное тождество sinsincos2𝜃=2, имеем 1+2𝜃=12𝜃=0.sin

Общее решение для 𝑛∈ℤ (с использованием диаграммы CAST) этого уравнения можно найти как 2𝜃=(0)+360𝑛=360𝑛sin∘∘ или же 2𝜃=180−(0)+360𝑛=180+360𝑛,∘∘∘∘sin что эквивалентно 𝜃=180𝑛∘ или же 𝜃=90+180𝑛,∘∘ для 𝑛∈ℤ. Второе выражение дает 𝜃=270∘, для 𝑛=1. Для других целых чисел 𝑛 мы получили бы углы вне требуемого диапазона.

Таким образом, при условии 𝜃∈]180 360[∘∘ единственным возможным решением является 𝜃=270.∘

Давайте посмотрим, как мы можем использовать тождества двойного угла для решения других тригонометрических уравнений в определенном диапазоне. В качестве примера предположим, что мы хотим найти все решения в диапазоне 𝜃∈[0,720]∘∘ тригонометрического уравнения 9𝜃−4=2𝜃.sincos

Применяя формулу двойного угла для косинуса и используя тождество Пифагора, это можно записать как 9𝜃−4=2𝜃=𝜃−𝜃=1−𝜃−𝜃=1−2𝜃2𝜃+9𝜃−5=0.sincoscossinsinsinsinsinsin

Квадратное уравнение 2𝑦+9𝑦−5=0.

Мы можем решить это, используя квадратичную формулу или факторизацию, чтобы получить 2𝑦+9𝑦−5=(2𝑦−1)(𝑦+5)=0.

Таким образом, решения равны 𝑦=12 и 𝑦=−5. Мы можем игнорировать второе решение, так как для 𝑦=𝜃sin имеем −1≤𝑦≤1. Таким образом, мы рассматриваем только решения с 𝑦=12 или грех𝜃=12, для 𝜃∈[0,720]∘∘. Острое решение дается 𝜃=12=30.sin∘

Общие решения можно найти, используя диаграмму CAST и периодичность функции синуса для 𝑛∈ℤ, как 𝜃=12+360𝑛=30+360𝑛sin∘∘∘ а также 𝜃=180−12+360𝑛=(180−30)+360𝑛=150+360𝑛.∘∘∘∘∘∘∘sin

Теперь мы можем подставить конкретные целые значения 𝑛, чтобы найти все растворы в требуемом диапазоне. В частности, при 𝑛=0 и 𝑛=1 получаем решения 𝜃=30,390∘∘ и 𝜃=150,510∘∘ из первого и второго выражений для общего решения соответственно. Для других целых чисел 𝑛 мы получили бы углы вне диапазона [0,720]∘∘.

Подводя итог, можно сказать, что решения 9𝜃−4=2𝜃sincos в градусах для 𝜃∈[0,720]∘∘ равны 𝜃=30 150 390 510.∘∘∘∘

Теперь давайте рассмотрим еще несколько примеров, чтобы попрактиковаться и углубить наше понимание решения тригонометрических уравнений с использованием тождеств с двойным углом.

В следующем примере мы будем использовать тождество двойного угла для синуса, чтобы найти решения в градусах.

Пример 3. Решение тригонометрического уравнения с использованием тождеств двойного угла

Найдите множество решений в диапазоне 0𝑥180∘∘ для уравнения (𝑥+𝑥)=22𝑥sincossin.

Ответ

В этом примере мы собираемся решить тригонометрическое уравнение в определенном диапазоне, используя тождества двойного угла.

Распределив скобки в левой части данного тригонометрического уравнения и применив тождество Пифагора sincos𝑥+𝑥=1, (𝑥+𝑥)=𝑥+2𝑥𝑥+𝑥=1+2𝑥𝑥. sincossinsincossincos

Тождество двойного угла для синуса задается выражением sinsincos2𝑥=2𝑥𝑥.

Подставив это, мы имеем (𝑥+𝑥)=1+2𝑥𝑥=1+2𝑥,sincossincossin и, таким образом, данное тригонометрическое уравнение (𝑥+𝑥)=22𝑥sincossin эквивалентно 1+2𝑥=22𝑥22𝑥−2𝑥−1=0.sinsinsinsin

Если мы допустим 𝑦=2𝑥sin, мы имеем 2𝑦−𝑦−1=0.

Решения: 𝑦=1 и 𝑦=−12. Для 𝑦=1 имеем грех2𝑥=1, которое имеет общее решение для 𝑛∈ℤ (с использованием диаграммы CAST), 2𝑥=(1)+360𝑛=90+360𝑛𝑥=45+180𝑛sin∘∘∘∘∘ а также 2𝑥=180−(1)+360𝑛=(180−90)+360𝑛=90+360𝑛𝑥=45+180𝑛.∘∘∘∘∘∘∘∘∘sin

Эти два выражения эквивалентны. Для 𝑦=−12 имеем sin2𝑥=−12, которое имеет общее решение 2𝑥=−12+360𝑛=−30+360𝑛𝑥=−15+180𝑛sin∘∘∘∘∘ а также 2𝑥=180−−12+360𝑛=(180+30)+360𝑛=210+360𝑛𝑥=105+180𝑛.∘∘∘∘∘∘∘∘∘sin

Подводя итог, общие решения для 𝑛∈ℤ таковы: 𝑥=45+180𝑛,𝑥=−15+180𝑛,𝑥=105+180𝑛. ∘∘∘∘∘∘

При 𝑛=0 получаем решения 𝑥=45∘ и 𝑥=105∘, из первого и третье выражение соответственно, а при 𝑛=1 получаем 𝑥=165∘ из второго решения. Для других целых чисел 𝑛 мы получили бы углы вне требуемого диапазона.

Таким образом, при заданном 0≤𝑥180∘∘ решения {45,105,165}.∘∘∘

Теперь давайте рассмотрим пример, в котором мы будем использовать тождество двойного угла для косинуса, чтобы найти решения тригонометрического уравнения в градусах. На этот раз мы также должны рассмотреть квадратное уравнение и диапазон функции косинуса.

Пример 4. Использование двухугольных тождеств для решения тригонометрического уравнения

Найдите набор решений для 𝑥, учитывая coscos2𝑥+13√3𝑥=−19, где 𝑥∈]0,2𝜋[.

Ответ

В этом примере мы собираемся решить тригонометрическое уравнение в определенном диапазоне, используя тождества двойного угла.

Формула двойного угла для косинуса дается выражением coscossin2𝑥=𝑥−𝑥.

Применяя тождество Пифагора, мы можем переписать это как coscoscoscos2𝑥=𝑥−1−𝑥=2𝑥−1. 

Применяя это к левой части данного тригонометрического уравнения, получаем coscoscoscos2𝑥+13√3𝑥=2𝑥−1+13√3𝑥.

Таким образом, данное тригонометрическое уравнение coscos2𝑥+13√3𝑥=−19 можно переписать в виде 2𝑥−1+13√3𝑥=−192𝑥+13√3𝑥+18=0.coscoscos

Если положить 𝑦=𝑥cos, это можно записать в виде квадратного уравнения: 2𝑦+13√3𝑦+18=0.

Мы можем найти решение этого квадратного уравнения, используя квадратную формулу, чтобы получить 𝑦=−13√3±13√3−4×2×182×2=−13√3±√3634.

Это дает 𝑦=−6√3 и 𝑦=−√32, но поскольку 𝑦=𝑥cos и мы имеем −1≤𝑦≤1, то мы можем игнорировать первое решение и должны решить cos𝑥=−√32.

Общее решение для 𝑛∈ℤ (с использованием диаграммы CAST) можно записать как 𝑥=−√32+360𝑛=150+360𝑛cos∘∘∘ а также 𝑥=360−−√32+360𝑛=(360−150)+360𝑛=210+360𝑛.∘∘∘∘∘∘∘cos

Первое выражение дает 𝑥=150∘, а второе выражение дает 𝑥=150∘ 𝑥=210∘, для 𝑛=0. Для других целых чисел 𝑛 мы получили бы углы вне требуемого диапазона.

Таким образом, учитывая 𝑥∈]0,360[∘∘, возможные решения таковы {150,210}.∘∘

В следующем примере мы увидим, как мы можем использовать тождество двойного угла синуса или косинуса для решения тригонометрического уравнения, поскольку оно может быть выражено в терминах обоих после некоторых манипуляций.

Пример 5. Решение тригонометрического уравнения с использованием тождеств двойного угла

Найдите множество возможных значений 𝑥, удовлетворяющих 1√𝑥−𝑥=2coscos, где 0𝑥360∘∘.

Ответить

В этом примере мы собираемся решить тригонометрическое уравнение в определенном диапазоне, используя тождества двойного угла.

Напомним, что тождество двойного угла для синуса sinsincos2𝑥=2𝑥𝑥.

Теперь, чтобы решить данное тригонометрическое уравнение, заметим, что, используя тождество Пифагора sincos𝑥=1−𝑥, знаменатель в левой части можно записать как √𝑥−𝑥=√𝑥(1−𝑥)=√𝑥𝑥=|𝑥𝑥|.coscoscoscossincossin

Обратите внимание, что абсолютное значение необходимо для учета того факта, что значение cossin𝑥 может быть отрицательным в интервале 0𝑥360∘∘. Таким образом, используя тождество двойного угла, левое часть данного тригонометрического уравнения становится 1√𝑥−𝑥=1|𝑥𝑥|=1||2𝑥||=2|2𝑥|.coscoscossinsinsin

Итак, приравнивая это к правой части, имеем 2|2𝑥|=22=2|2𝑥|1=|2𝑥|2𝑥=±1.sinsinsinsin

Рассмотрим два возможных значения sin2𝑥 в каждом конкретном случае. Во-первых, для sin2𝑥=1, общее решение для 𝑛∈ℤ таково: 2𝑥=(1)+360𝑛=90+360𝑛𝑥=45+180𝑛.sin∘∘∘∘∘

Обычно мы проверяли бы и дополнительный угол, но поскольку sinsin(180−90)=(90)∘∘∘, это приведет к эквивалентному выражение. Таким образом, единственные два решения sin2𝑥=1 в диапазоне 0𝑥360∘∘ равны 𝑥=45∘ и 𝑥=225∘ (находятся путем установки 𝑛=0 и 1 соответственно). Теперь давайте рассмотрим sin2𝑥=−1. Общее решение этого для 𝑛∈ℤ таково: 2𝑥=(−1)+360𝑛=−90+360𝑛𝑥=−45+180𝑛.sin∘∘∘∘∘

А для дополнительного угла имеем 2𝑥=180−(−1)+360𝑛=(180−(−90))+360𝑛=270+360𝑛𝑥=135+180𝑛. ∘∘∘∘∘∘∘∘∘sin

При ближайшем рассмотрении, мы можем видеть, что эти выражения эквивалентны, так как 135=−45+180∘∘∘. Таким образом, два решения sin2𝑥=−1 в интервале 0𝑥360∘ равны 135∘ и 315∘ (находится путем установки 𝑛=0 и 1 соответственно).

Объединяя решения для sin2𝑥=1 и sin2𝑥=−1 вместе, мы имеем {45 135 225 315}.∘∘∘∘

Некоторые тригонометрические уравнения могут потребовать использования тождеств половинного угла для тригонометрических функций, которые следуют непосредственно из тождеств двойного угла.

Тождества половинных углов для тригонометрических функций даются следующим образом.

Определение: Тригонометрические тождества полууглов

Тригонометрические тождества полууглов sincoscoscostancossin𝜃2=±1−𝜃2,𝜃2=±1+𝜃2,𝜃2=1−𝜃𝜃.

Их можно показать из тождеств двойного угла. Например, если мы рассмотрим тождество двойного угла для косинуса, коскоссин(2𝑥)=𝑥−𝑥=1−2𝑥, мы переставляем это, чтобы сделать sin𝑥 предметом уравнения: 2𝑥=1−2𝑥𝑥=1−2𝑥2𝑥=±1−2𝑥2. sincossincossincos

Теперь, если мы допустим 𝑥=𝜃2, это можно записать как sincos𝜃2=±1−𝜃2, что является тождеством половинного угла для синуса. Аналогично можно найти и другие тождества половинного угла.

Теперь давайте рассмотрим пример, в котором мы используем тождество половинного угла для косинуса для решения тригонометрического уравнения в радианах.

Пример 6. Решение тригонометрических уравнений с половинными углами

Используя формулу половинного угла sincos𝑥2=1−𝑥2, или иначе, решите уравнение sincos𝑥2+𝑥=1, где 0≤𝑥2𝜋.

Ответ

В этом примере мы будем решать тригонометрическое уравнение в определенном диапазоне, используя тождество половинного угла для косинуса.

Если мы подставим формулу половинного угла, уравнение можно переписать как 1−𝑥2+𝑥=11−𝑥2=1−𝑥.coscoscoscos

При возведении в квадрат обеих сторон имеем 1−𝑥2=(1−𝑥)1−𝑥=2(1−𝑥)1−𝑥=2−4𝑥+2𝑥2𝑥−3𝑥+1=0.coscoscoscoscoscoscos

должны решить 2𝑦−3𝑦+1=0. 

Решения: 𝑦=1 и 𝑦=12. Для 𝑦=1 имеем cos𝑥=1, которое имеет общее решение для 𝑛∈ℤ (с использованием диаграммы CAST), 𝑥=(1)+2𝜋𝑛=0+2𝜋𝑛=2𝜋𝑛кос а также 𝑥=2𝜋−(1)+2𝜋𝑛=(2𝜋−0)+2𝜋𝑛=2𝜋+2𝜋𝑛.cos

Заметим, что второе выражение эквивалентно первому; общее решение является целым числом, кратным 2𝜋. Для 𝑦=12 имеем cos𝑥=12, которое имеет общее решение при 𝑛∈ℤ, 𝑥=12+2𝜋𝑛=𝜋3+2𝜋𝑛кос а также 𝑥=2𝜋−12+2𝜋𝑛=2𝜋−𝜋3+2𝜋𝑛=5𝜋3+2𝜋𝑛.cos

Подводя итог, можно сказать, что общие решения для 𝑛∈ℤ таковы: 𝑥=2𝜋𝑛,𝑥=𝜋3+2𝜋𝑛,𝑥=5𝜋3+2𝜋𝑛.

При 𝑛=0 получаем решения 𝑥=0, 𝑥=𝜋3 и 𝑥=5𝜋3 из первого, второго и третьего выражений соответственно. Для других целых чисел 𝑛 мы получили бы углы вне требуемого диапазона.

Таким образом, при заданном 0≤𝑥2𝜋 решения 𝑥∈0,13𝜋,53𝜋.

Наконец, мы рассмотрим пример, в котором мы используем тождество половинного угла для функции тангенса для решения тригонометрического уравнения в радианах.

Пример 7. Решение тригонометрических уравнений с половинными углами

Решите tansin𝑥2=𝑥, где 0≤𝑥2𝜋.

Ответ

В этом примере мы собираемся решить тригонометрическое уравнение в определенном диапазоне, используя тождества половинного угла.

Идентичность половинного угла для функции тангенса определяется выражением танкосин𝑥2=1−𝑥𝑥.

Таким образом, мы должны решить 1−𝑥𝑥=𝑥1−𝑥=𝑥.cossinsincossin

Применяя тождество Пифагора, имеем 1−𝑥=1−𝑥𝑥−𝑥=0.coscoscos

Если положить 𝑦=𝑥cos, 𝑦−𝑦=0𝑦(𝑦−1)=0.

Решениями этого квадратного уравнения являются 𝑦=0 и 𝑦=1. Для 𝑦=0 имеем cos𝑥=0, которое имеет общее решение для 𝑛∈ℤ (с использованием диаграммы CAST), 𝑥=(0)+2𝜋𝑛=𝜋2+2𝜋𝑛кос а также 𝑥=2𝜋−(0)+2𝜋𝑛=2𝜋−𝜋2+2𝜋𝑛=3𝜋2+2𝜋𝑛.cos

Для 𝑦=1 имеем cos𝑥=1, которое имеет общее решение 𝑥=(1)+2𝜋𝑛=0+2𝜋𝑛=2𝜋𝑛кос а также 𝑥=2𝜋−(1)+2𝜋𝑛=(2𝜋−0)+2𝜋𝑛=2𝜋+2𝜋𝑛.