Доказать неравенство бернулли: Неравенства и лемма Бернулли (с доказательствами)

Неравенства Бернулли в математике с примерами решения

Оглавление:

Неравенства Бернулли

Бернулли Якоб (1654-1705) — швейцарский учёный, профессор Базель-ского университета (Швейцария). Известен своими работами по дифференциальной геометрии, вариационному исчислению и математической физике.

Теорема 1 (неравенство Бернулли с натуральным показателем). При любом действительном x (x > — 1) и при любом натуральном n справедливо неравенство

Доказательство. Воспользуемся для доказательства методом полной математической индукции (по параметру n ).

1) При n=1 имеем: — верно.

2) Предположим, что неравенство выполняется при некотором произвольном n = k , т.е. и докажем, что тогда оно выполняется и при n = k + 1, т. е. . В самом деле,

3) В силу произвольности k отсюда следует, что данное неравенство выполнено сразу при всех натуральных n . Заметим, что неравенство Бернулли обращается в равенство только при x = 0 или n = 1.

Сформулируем без доказательства неравенство Бернулли в случае, когда показатель степени в неравенстве не является натуральным.

Теорема 2 (неравенство Бернулли с произвольным показателем). Пусть . Тогда справедливы неравенства

причём неравенства обращаются в равенства только при x = 0.

Пример №135.

Найти наибольшее значение функции

Решение:

Дважды воспользуемся на области определения функции неравенством Бернулли:

Складывая эти неравенства, получаем неравенство

причём равенство достигается при x = 0 (в каждом из двух неравенств). Поэтому f(о) = 2 — наибольшее значение функции.

Ответ:

Рассмотрим, наконец, обобщённое неравенство Бернулли для нескольких действительных чисел.

Теорема 3 (неравенство Бернулли для n чисел). Пусть— числа одного знака, Тогда

Доказательство (методом математической индукции).

1) При n = 1 неравенство, очевидно, выполняется.

2) Предположим, что неравенство верно при некотором n = k

, т.е.

и докажем, что тогда оно выполняется и при n = k + 1, т.е.

Действительно,

3) В силу произвольности k отсюда заключаем, что данное неравенство выполняется при любом натуральном n . Неравенство обращается в равенство, только если n = 1 или

В частности, при получаем

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Предмет математика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Помогите решить / разобраться (М)

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Правила форума

Посмотреть правила форума

CMTV	Равенство неравенства Бернулли 09. 01.2020, 11:56
26/08/16 91 Москва	Здравствуйте! Есть неравенство Бернулли при и : Доказывается по индукции оно элементарно. Меня же интересует вопрос равенства. Очевидны два случая: 1. 2. Любой допустимый по условию при . Теперь надо доказать, что при не существует другого числа кроме , которое дает равенство. Идем от обратного. Пусть такое число и существует. Расписываем левую часть «неравенства» по биному Ньютона: Очевидно, что все слагаемые после первых двух при тоже больше нуля и никаким равенством тут не пахнет. То есть, получаем противоречие. Но я никак не могу получить противоречие для случая . То есть, надо показать, что Как это сделать? Может есть другие, более простые способы показать, что кроме ничего не годится. Прошу только производные не подключать)

Shadow	Re: Равенство неравенства Бернулли 09.01.2020, 12:50
26/08/11 1970	Пусть Надо доказать неравенство при

nnosipov	Re: Равенство неравенства Бернулли 09. 01.2020, 13:45
Заслуженный участник 20/12/10 8859	CMTV в сообщении #1434091 писал(а): Доказывается по индукции оно элементарно. Вот точно так же докажите индукцией по строгое неравенство , где и .

novichok2018	Re: Равенство неравенства Бернулли 09. 01.2020, 18:32
Заблокирован 16/04/18 ∞ 1129	Вопрос рассматривается в классических книгах Д.Митриновича по неравенствам. В первой по времени 1970 D.S.Mitrinovich. Analytic inequalities (c. 34-35) цитируется работа, в которой доказано что единственный корень уравнения лежит на промежутке , поэтому равенство при рассматриваемых Вами значениях не достигается (там есть более точные оценки). Во второй книге 1993 Mitrinovic, Pecaric, Fink. Classical and New Inequalities in Analysis (c. 65-81) эти результаты повторены более подробно, а также рассмотрены несколько десятков обобщений неравенства Бернулли. Кстати там замечено, что обычно пропускается, что это неравенство в обычной формулировке справедливо и при .

CMTV	Re: Равенство неравенства Бернулли 16.01.2020, 22:20
26/08/16 91 Москва	Извиняюсь за долгое отсутствие. Итак, подход, предложенный nnosipov один из самых простых. Прямо во время доказательства индукционного перехода, на этапе появления квадратного трехчлена можно доказать, что никакой кроме не подходит. На вопросно-ответном сайте «Mathematics Stack Exchange» предложили еще один хитрый способ. Суть ниже. Предположим, что существует некое число , которое тоже обращает наше неравенство в равенство: Разобьем левую часть на два множителя: Так как , то для множителя воспользуемся уже доказанным неравенством: Умножим скобки друг на друга в правой части: В итоге, с учетом нашего предположения, получаем следующее неравенство: Из обеих частей этого неравенства вычитаем : Это неравенство не может быть истинным, так как и . Произведение слева всегда строго положительное число. Получили противоречие, а значит не существует такого , кроме , которое обращало бы неравенство в равенство при . Очень элегантно, как по мне.

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 5 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

Найти:

2>1+(к+1)х. $$

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.