Доверительный интервал для среднего (математического ожидания) и доверительный интервал для дисперсии. Теория вероятностей и математическая статистика
Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины при неизвестной дисперсии
Пусть , причем и неизвестны. Необходимо построить доверительный интервал, накрывающий с надежностью истинное значение параметра .
Для этого из генеральной совокупности СВ извлекается выборка объема : .
1) В качестве точечной оценки математического ожидания используется выборочное среднее , а в качестве оценки дисперсии – исправленная выборочная дисперсия
которой соответствует стандартное отклонение .
2) Для нахождения доверительного интервала строится статистика
имеющая в этом случае распределение Стьюдента с
числом степеней свободы
независимо
от значений параметров
и
.
3) Задается требуемый уровень значимости .
4) Применяется следующая формула расчета вероятности:
где – критическая точка распределения Стьюдента, которая находится по таблице критических точек распределения Стьюдента (односторонняя критическая область).
Тогда:
Это означает, что интервал:
накрывает неизвестный параметр с надежностью
Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины при известной дисперсии
Пусть количественный признак генеральной совокупности имеет нормальное распределение с заданной дисперсией и неизвестным математическим ожиданием . Построим доверительный интервал для .
1) Пусть для оценки
извлечена
выборка
объема
.
Тогда
2) Составим случайную величину:
Нетрудно показать, что случайная величина имеет стандартизированное нормальное распределение, то есть:
3) Зададим уровень значимости .
4) Применяя формулу нахождения вероятности отклонения нормальной величины от математического ожидания, имеем:
Это означает, что доверительный интервал
накрывает неизвестный параметр с надежностью . Точность оценки определяется величиной:
Число определяется по таблице значений функции Лапласа из равенства
Окончательно получаем:
Доверительный интервал для дисперсии нормальной случайной величины при неизвестном математическом ожидании
Пусть
, причем
и
–
неизвестны.
Пусть для оценки
извлечена выборка объема
:
.
1) В качестве точечной оценки дисперсии используется исправленная выборочная дисперсия :
которой соответствует стандартное отклонение .
2) При нахождении доверительного интервала для дисперсии в этом случае вводится статистика
имеющая – распределение с числом степеней свободы независимо от значения параметра .
3) Задается требуемый уровень значимости .
4) Тогда, используя таблицу критических точек хи-квадрат распределения, нетрудно указать критические точки , для которых будет выполняться следующее равенство:
Подставив вместо соответствующее значение, получим:
Получаем доверительный интервал для неизвестной дисперсии:
Доверительный интервал для дисперсии нормальной случайной величины при известном математическом ожидании
Пусть
, причем
–
известна, а
–
неизвестна.
Пусть для оценки
извлечена выборка объема
:
.
1) В качестве точечной оценки дисперсии используется выборочная дисперсия:
2) При нахождении доверительного интервала для дисперсии в этом случае вводится статистика
имеющая – распределение с числом степеней свободы независимо от значения параметра .
3) Задается требуемый уровень значимости .
4) Тогда, используя таблицу критических точек хи-квадрат распределения, нетрудно указать критические точки , для которых будет выполняться следующее равенство:
Подставив вместо соответствующее значение, получим:
Получаем доверительный интервал для неизвестной дисперсии:
Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения
Извлекая квадратный корень:
Положив:
Получим следующий доверительный интервал для среднего квадратического отклонения:
Для отыскания
по заданным
и
пользуются специальными таблицами.
Для проверки на нормальность заданного распределения случайной величины можно использовать правило трех сигм.
Задача
Имеется три независимых реализации нормальной случайной величины: 0.8, 3.2, 2.0.
Построить доверительные интервалы для среднего и дисперсии с надежностью
Указание: воспользоваться таблицами Стьюдента и хи-квадрат.
Решение
Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.
Вычисление средней и дисперсии
Вычислим среднее и исправленную дисперсию :
Нахождение доверительных интервалов для средней и дисперсии
Найдем доверительный интервал для оценки неизвестного среднего. Он считается по формуле:
По таблице критических точек t-критерия Стьюдента, для уровня значимости (односторонняя критическая область):
Искомый доверительный интервал для среднего:
Найдем доверительный интервал для оценки дисперсии.
Он считается по формуле:
Для уровня значимости и получаем по таблице значений хи-квадрат:
Искомый доверительный интервал для дисперсии:
Ответ
Кроме этой задачи на другой странице сайта есть пример расчета доверительного интервала математического ожидания и среднего квадратического отклонения для интервального вариационного ряда
Доверительный интервал для дисперсии — Энциклопедия по экономике
Доверительный интервал для дисперсии [c.222]Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения находится извлечением квадратного корня из границ доверительного интервала для дисперсии, т.е. [c.236]
Прикладная статистика. Доверительный интервал для дисперсий [c.32]
Таким образом доверительная вероятность 1 —а определяет доверительный интервал для дисперсии генеральной совокупности а2.
[c.140]
Пример 7.11 ]. Методом случайного отбора было взято 10 образцов из числа деталей, прошедших термообработку. В результате измерения глубины закаленного слоя была получена дисперсия s2 = 2,35 мм2. Определим 95%-ные границы доверительного интервала для дисперсии глубины слоя в генеральной совокупности этих деталей, прошедших термообработку. [c.140]
Пример 7.12]. Полагая, что дисперсия генеральной совокупности одинакова, из трех групп совокупности были взяты выборки, каждая величиной п = 10, и после вычисления дисперсии были получены следующие значения s =3,15, 1 =3,50, si =3,35. Определим 98%-ные границы доверительного интервала для дисперсии генеральной совокупности а . [Решение]. [c.141]
Доверительный интервал для дисперсии нормальной СЕ [c.69]
Для нахождения доверительного интервала для дисперсии в [c.69]
Двусторонний доверительный интервал для дисперсии нормальной генеральной совокупности. В силу свойства N11) случайная величина
[c.
538]
Доверительный интервал для дисперсии доходности с надежностью 96е, можно найти из условия [c.74]
Описательная статистика вычисляет статистические показатели среднее, медиана, стандартное отклонение, эксцесс, интервал, максимум, счет, k-й наименьший, k-й наибольший, стандартная ошибка, мода, дисперсия, асимметричность, минимум, сумма, доверительный интервал для заданного уровня надежности. Результаты описательной статистики выводятся в указанное место (текущий лист, другой лист, новая книга). [c.462]
Доверительный интервал для индивидуальных значений зависимой переменной. Построенная доверительная область для M Y) (см. рис. 3.6) определяет местоположение модельной линии регрессии (т.е. условного математического ожидания), но не отдельных возможных значений зависимой переменной, которые отклоняются от средней. Поэтому при определении доверительного интервала для индивидуальных значений у зависимой переменной необходимо учитывать еще один источник вариации — рассеяние вокруг линии регрессии, т.
е. в оценку суммарной дисперсии s следует
[c.67]
Для построения доверительного интервала для М[c.68]
Чтобы построить доверительный интервал для индивидуального значения у о=8, найдем дисперсию его оценки по (335) [c.69]
Для построения доверительного интервала для Мх( Y) необходимо знать дисперсию его оценки — s . Для ее вычисления об- [c.99]
Доверительный интервал для генеральной дисперсии. [c.68]
Отсюда следует, что доверительный интервал для генеральной дисперсии через выборочную дисперсию задается в виде [c.68]
Распределение Пирсона при m > 25 можно заменить распределением Гаусса с дисперсией а/ = 2т [52], что дает возможность определить доверительный интервал для информации [c.74]
Для того чтобы найти 95%-ный доверительный интервал для точечной оценки дисперсии, мы должны определить значение X2, задающее по 2,5% в каждой из граничных площадей под кривой распределения (рис. 5.3). Таким образом, мы должны знать величину х2 Для 97,5% значений, лежащих справа, и другую величину х2 — Для 2,5% значений, лежащих справа.
Если обозначить степень доверия через 1-а, тогда нам необходимы величины х в/2 и Ха/2 Если мы работаем с 95%-ным уровнем доверительной вероятности, тогда значение а будет 0,05, a
[c.234]
Мы уже видели ранее, что отклонения от предположения нормальности распределения могут существенно сказываться на эффективности оценок среднего и дисперсии [14, п. 8.6.1 и 10.4.4]. Проиллюстрируем еще раз этот факт на примере влияния эксцесса на величину доверительного интервала для [c.396]
Пусть количественный признак X генеральной совокупности имеет нормальное распределение с заданной дисперсией а и неизвестным математическим ожиданием m (X N(m, а)). Построим доверительный интервал для т. [c.66]
Что, если независимый процесс отличается от гауссова процесса Как мы видели в таблице 5.2, независимое распределение с толстыми хвостами и высоким пиком действительно обнаруживает средние значения, как они были предсказаны в уравнении (5.6). Тем не менее, дисперсия все-таки отличается.
К сожалению, дисперсия для распределений, которые не являются нормально распределенными, отличается на индивидуальном основании. Поэтому наш доверительный интервал
[c.80]
Предельное значение ожидаемой ошибки генеральной совокупности о может быть определено и другим образом — как верхняя граница доверительного интервала. Поскольку известна дисперсия D биномиального распределения, то доверительный интервал ожидаемой ошибки р может быть известным образом выражен через дисперсию и функцию Лапласа. Формула для подсчета доверительного интервала при этом получается громоздкой, но в [11] показано, что для п порядка сотен можно пользоваться удобной для практических расчетов приближенной формулой [c.93]
Было показано, что, если нас не интересует доверительный интервал для среднего, можно определить р-ошибку и альтернативную гипотезу (т. е. р ), а также оценить неизвестную дисперсию по предварительной выборке (см. уравнение (91)). Вместо двойной выборочной процедуры Штейна можно взять выборочную процедуру с зоной безразличия (см.
уравнение (96)). Третья альтернатива — это полностью последовательная проверка гипотез с учетом стохастического характера объема выборки. Этот подход дает полезные процедуры при отсутствии мешающих параметров (вроде а2). Он основан на критерии последовательного отношения вероятностей (КПОВ) Вальда, который осуществляет выбор между двумя простыми гипотезами, Я0 9 = 60 и Яг в = 6ГКПОВ состоит в следующем. Произво-
[c.156]
В V.A.3 мы приведем ряд хорошо известных результатов для доверительных интервалов и критериев для среднего одной нормальной совокупности или разности между средними двух нормальных совокупностей. Мы обсудим, например, /-критерий для одной либо двух совокупностей с неизвестными и возможно различными дисперсиями. Рассматриваются предположения -критерия и имитационное моделирование, а также биномиальное распределение и оценивание квантилей. В V.A.4 изучается определение объема выборки. Для доверительного интервала заданной длины обсуждается двойная выборка и (асимптотически состоятельная и эффективная) последовательная выборка.
Многочисленные применения в моделировании и экспериментах Монте-Карло показывают, что правила останова срабатывают. Мы также определим объем выборки для проверки гипотез с заданными ошибками аир при применении двойной выборочной процедуры. В качестве альтернативы можно взять подход, основанный на селекции ( зона безразличия ), который отбирает с заданной надежностью уточненную совокупность. Эвристический последовательный метод применен в имитационном эксперименте. Проверку гипотез с заданными ошибками а и р и строго последовательной выборкой можно осуществить по критерию последовательного отношения вероятностей Вальда (Wald) (КПОВ) (при условии, что нет мешающих параметров следовательно, для биномиальной совокупности существует точный КПОВ). Часть А заканчивается приложениями, упражнениями и библиографией.
[c.121]
Доверительные интервалы для отклонений и стандартных отклонений
Доверительные интервалы для отклонений и стандартных отклонений
Мы используем MathJax
Мы узнали, что оценки средних значений населения могут быть сделаны на основе выборочных средних,
и могут быть построены доверительные интервалы для лучшего описания этих оценок.
Точно так же мы можем оценить стандартное отклонение совокупности от стандартного отклонения выборки, и
когда исходная популяция нормально распределена, мы можем построить доверительные интервалы
стандартного отклонения, а также.
Теория
Дисперсия и стандартное отклонение — это совсем другой тип меры, чем среднее значение. таким образом, мы можем ожидать некоторых существенных различий в том, как делаются оценки.
Мы знаем, что формула дисперсии генеральной совокупности при использовании на выборке не дает объективной оценки дисперсии населения. На самом деле он склонен недооценивать реальную дисперсию населения. По этой причине существует два формулы для дисперсии, одна для генеральной совокупности и одна для выборки. Пример Формула дисперсии представляет собой несмещенную оценку дисперсии населения. (К сожалению, выборочное стандартное отклонение по-прежнему является смещенной оценкой.) 92}}$
Стоит отметить, что поскольку распределение хи-квадрат несимметрично, мы будем
получение доверительных интервалов, несимметричных относительно точечной оценки.
Пример
Статистик выбирает 27 случайно выбранных дат, и при изучении записей о занятости конкретного мотеля на эти даты, находит стандартное отклонение 5,86 арендованных комнат. Если количество арендуемых комнат распределено нормально, найдите 95% доверительный интервал для стандартное отклонение населения от количества арендуемых комнат. 92 \le 64.492$ для дисперсии и извлечения квадратных корней, $4,615 \le \sigma \le 8,031$ для стандартного отклонения.
Доверительный интервал для калькулятора дисперсии
Решатели Статистика
Инструкции: Используйте этот пошаговый калькулятор доверительного интервала для дисперсии и стандартного отклонения, предоставив образцы данных в форме ниже:
значений X (через запятую или пробел) =
Имя случайной величины (необязательно)
Дисперсия выборки (необязательно.
2\)) используется следующее выражение:
92 _ {\ альфа / 2, n-1} \).
Предположения, которые необходимо выполнить
Большинство людей не утруждают себя проверкой предположений и без оглядки спешат использовать приведенное выше выражение для расчета доверительного интервала для дисперсии или калькулятор доверительного интервала выше. Но на самом деле вы гарантируете, что выборка исходит из хотя бы приблизительно нормально распределенной совокупности, чтобы гарантировать достоверность полученного интервала.
Существует также случай, когда вместо одной дисперсии генеральной совокупности вам нужно иметь дело с отношением двух дисперсий генеральной совокупности, и в этом случае вы будете использовать это
калькулятор коэффициента дисперсии
.