Умножение смешанных дробей — правило и примеры решения
Изучение математических отношений важно для дальнейшего понимания алгебры. Это тема не из простых, но проявив усердие и внимание, понять её сможет каждый учащийся. С дробными числами можно делать любые операции, например, деление, сложение, вычитание и умножение. Смешанные дроби позволяют упростить расчёт, избавиться от неправильного вида выражений, поэтому нужно обязательно научиться выполнять с ними действия, особенно на практических заданиях.
Содержание
- Общие сведения
- Преобразование смешанных чисел
- Решение примеров
- Использование онлайн-калькулятора
Общие сведения
По своей сути, дробь представляет собой какое-либо отношение, то есть разделение. Например, имеется торт, который разделён на 3 равные части. Все куски составляют одно целое — пирог. Но если из него взять один кусок, целостность будет нарушена. В математике такое действие записывают дробным отношением.
В частности, для рассматриваемого случая алгебраическое выражение будет выглядеть как 1/3.
Здесь чёрточка обозначает деление. Число сверху над ней называют числителем (делимое), а снизу — знаменателем (делитель). Читается запись — «одна третья» или «одна третьей доли». Такого вида дроби принято считать обыкновенными. В них знаменатель показывает, на какое количество одинаковых частей что-либо можно поделить. Числитель же обозначает, какая часть была взята.
Обыкновенные отношения разделяют на 3 вида:
С простыми дробями можно выполнять любые действия. При сложении или вычитании суть операции сводится к нахождению общего знаменателя, то есть наименьшего общего кратного и выполнения действия в числителе с учётом дополнительного множителя.
Например, 1/15 + 2/15 = 3/15; 2/33 — 1/33 = (2 — 1) / 33 = 1/33.
Например, 1/15 + 2/15 = 3/15; 2/33 — 1/33 = (2 — 1) / 33 = 1/33.При умножении нужно числитель одного выражения умножить на делимое второго. Также поступить и со знаменателями — перемножить их. При делении в дроби, на которую уменьшают, нужно поменять местами верхнее число дроби с нижним, а после выполнить перемножение с первым отношением. Например, 2/3 * 3/6 = (2 * 3)/(3 * 6) = 6/18; 1/7: 1/7 = 1/7 * 7/1 = 7/7.
Операции сами по себе несложные. Но часто на практике приходится иметь дело с неправильными и смешанными дробями. Правило умножения при работе с ними немного изменяется. Следует знать, что смешанную дробь всегда можно представить как неправильную. Это важное замечание, именно на него и опирается закон произведения смешанных чисел. Кроме того, при выполнении действий используют основное свойство дроби — делитель и делимое можно умножить на одно и то же любое натуральное число без изменения конечного результата.
youtube.com/embed/4BYB5CrK3eY»> Преобразование смешанных чисел
Умножение на обыкновенную дробь смешанного выражения невозможно без предварительных преобразований. Чтобы понять, как их делать, нужно чётко понимать, что собой представляет смешанное число. Состоит такая запись из двух частей:
- целой — натуральное число;
- дробной — простое отношение.
Например, 3 1/3; 12 24/78; 1 ½. Другими словами, смешанная дробь — это запись числа, которая представляет сумму целой и дробной части. То есть справедливо будет записать равенство: 6 12/45 = 6 + 12/45. Это выражение всегда можно привести к неправильному виду. Для этого нужно выполнить всего два действия:
Формулой эту операцию можно записать в следующем виде: a b/c = (a * c + b)/c.
Например, нужно перевести смешанное число 3 27/34 в неправильную дробь. Используя алгоритм, знаменатель оставляют без изменения, а числитель умножают на делимое и складывают с целым: 3 27/34 = 3 + 27/34 = (3 * 34)/34 + 27/34 = (3*34 + 27)/34 = 129/34. Полученное выражение пробуют упростить, то есть разделить без остатка на одно и то же число.
Вот немного сложнее задание. Следующее выражение нужно перевести в неправильную дробь: 3 — 27/34. Существует одна хитрость: если целая часть не содержит единицу, её приводят к такому виду, чтобы она содержала единичный член. Так, задание можно преобразовать к равенству: 2 + 1 — 27/34. Единицу в выражении можно заменить отношением, согласно свойству дробей, то есть представить её как 34/34. Теперь задание примет вид: 2 + 34/34 — 27/34.
Используя правило вычитания дробей с одинаковым знаменателем довольно просто выполнить действие: 2 + ((34−27) / 34) = 2 + 7/34 = 2 7/34. Полученное число уже без затруднений можно привести к виду неправильной записи: 2 7/34 = (2 * 34 + 7)/34 = (64 + 7)/34 = 75/34.
При этом всегда можно выполнить и обратную операцию. Отсюда следует не менее важное правило, что натуральное число разрешено представлять как обыкновенную дробь с единичным знаменателем. Например, 33 = 33/1; 564 = 564/1.
Решение примеров
После изучения теории для её закрепления необходимо перейти к решению практических заданий. Начинать нужно с простых примеров, а после их освоения переходить к более сложным примерам. Существует набор типовых задач, после самостоятельного решения которых можно утверждать о понимании материала. Вот один из сборников, содержащий типовые задачи:
Для решения сложных заданий необходимо уметь комбинировать различные действия. Вот пример одного из таких заданий: (2/34 + 5 7/8) * 2 12/5 * 4 * 2/3. При решении такой задачи в первую очередь следует выполнить сложение в скобке: (2/34 + 5 7/8) = 5 + 2/34 + 7/8 = 5 + 8/136 +119/136 = 5 + (8 + 119)/136 = 5 + (127/136) = 5 127/136. Вторым действием будет приведение смешанных чисел к неправильным дробям: 2 12/5 = 2 + 12/5 = 2 + (2 * 5 + 2)/5 + 2/5 = 4 2/5.
Теперь можно перемножить первый член со вторым, а третий с четвёртым: 5 127/136 * 4 2/5 = ((5 * 136) + 127)/136) * (4 * 5 + 2)/5) = 807/136 * 22/5 = (807/ 2 * 68) * (2 * 11/5) = (807 * 11)/(68 * 5) = 8877/340 = (37 + (26 * 340))/340 = 26 37/340; 4 * 2/3 = 4/1 + 2/3 = (4 * 2) / (1 * 3) = 8/3 = (2 + 2 * 3)/3 = 2 2/3.
Последнее действие заключается в перемножении полученных членов: (26 37/340) * (2 2/3) = ((26 * 340 + 37)/340) * (2 * 3 + 2)/3) = (8877/340) * (8/3) = (3 * 2959)/(4 * 85) * (4 * 2/3) = (2959/85) * (2 /1) = 5918/85. Это и есть ответ на поставленную задачу. Но так как в ответе стоит неправильная дробь, её желательно преобразовать в смешанную: 5918/85 = (53 + 69 * 85) / 85 = 69 53/85. Пример решён.
Использование онлайн-калькулятора
На обычном калькуляторе выполнить умножение смешанных чисел возможно только путём переведения их в десятичные., то есть нужно будет представить члены выражения в виде неправильных дробей, затем разделить и найти произведение.
Но если есть подключение к интернету, удобно использовать так называемые математические онлайн-калькуляторы.
Это сайты, специализирующиеся на вычислениях. Чтобы ими воспользоваться, не нужно особой подготовки. Достаточно загрузить сервис и в предлагаемую форму ввести условия примера. После нажать кнопку «Рассчитать» и через одну-две секунды, зависит от сложности задания, получить ответ. Для этого, конечно же, понадобится подключение к интернету и гаджет, на котором установлен веб-браузер с поддержкой Flash-плеера.
Из множества сайтов, существующих в русскоязычном секторе интернета, можно выделить:
- onlinemschool;
- webmath;
- naobumium;
- 0oq;
- allcalc.
Эти сервисы предлагают свои услуги бесплатно и даже не требуют регистрации или указания каких либо своих данных. Удобство их использования ещё и в том, что кроме автоматического подсчёта правильного произведения, сайты предоставляют пошаговое решение.
Это удобно в процессе обучения. Можно не только проверить самостоятельно полученный ответ, но и проследить все этапы выполнения действий.
Для новичков на сервисах предусмотрен краткий теоретический материал, так что даже неподготовленному пользователю будет понятно, как получается то или иное преобразование. А примеры с комментариями помогут понять алгоритм вычисления задач с дробями и закрепить пройденный на уроках материал.
Онлайн-калькуляторы — это отличное подспорье учащимся при освоении материала. К тому же они будут полезны студентам и инженерам. Всё дело в том, что расчёт с их помощью занимает несколько секунд и практически исключена ошибка. В то же время самостоятельные вычисления не только требуют повышенной внимательности, но и занимают намного больше времени.
Предыдущая
МатематикаЧастное в математике — определение, свойства и формула
Следующая
МатематикаСвойства вычитания — правила и примеры для 5 класса
свойства, их применение в алгебре и примеры решения заданий
Математика
12.
11.21
11 мин.
На уроках алгебры в 8 классе рассматриваются рациональные дроби и их свойства. Тема является очень важной, поскольку приобретаются навыки упрощения тождеств, решения уравнений, анализа функций, а также выполнения других операций. Математики рекомендуют перед практикой разобрать теорию и основные алгоритмы исследования выражений этого типа.
Оглавление:
- Общие сведения
- Свойства рациональной дроби
- Сферы применения
- Примеры решения
Общие сведения
Рациональная дробь — разновидность рационального выражения, числитель и знаменатель которой содержит многочлены с целыми коэффициентами. Примером является тождество: (3р + 3v — 6v 2 ) / (5v — 2р). Для выражения такого типа существует несколько параметров:
- Математический смысл.
- Свойства.
- Преобразование.
Математический смысл этого тождества заключается в анализе допустимых значений переменных, при которых оно не теряет смысл.
Именно эту особенность упускают ученики на зачете или контрольной работе по алгебре. Рациональные дроби должны анализироваться на предмет пустого множества, т. е. следует найти все значения, приводящие выражение в бессмысленный вид.
Например, в примере (3р + 3v — 6v 2 ) / (p 2 — 2р) требуется рассмотреть знаменатель, в котором р не должен соответствовать 0 или 2. Чтобы вычислить эти значения, требуется решить тождество такого вида (р 2 — 2р):
- Записать тождество: р 2 — 2р = 0.
- Вынести общий множитель: р (р — 2) = 0.
- Найти значения p: р1 = 0 или р2 = 2.
Вторым параметром являются свойства рациональных дробей, знание которых будет очень полезно при решении заданий различного типа. Третий параметр формируется посредством второго, т. к. при выполнении операции преобразования нужно знать свойства дробей, а также уметь сокращать одинаковые выражения.
Некоторые учащиеся путают иррациональные и рациональные выражения.
Отличительной чертой первых от вторых является наличие знака радикала (корня или степени, представленной в виде обыкновенной дроби).Свойства рациональной дроби
Операции с выражениями изучаются в 8 классе. Рациональные дроби и их свойства не являются исключением, поскольку являются базовой основой знаний при решении уравнений и упрощении тождеств, а также при анализе графиков некоторых функций.
- Дробь не изменится при умножении или делении числителя и знаменателя на одинаковый многочлен: [(3m — 6m 2 ) * (m — 1)] / [(m 2 — m) * (m — 1)] = (3m — 6m 2 ) / (m 2 — m).
- Для тождества верно такое утверждение при условии, что знаменатель t не равен 0: s / t + v / t = (s + v) / t или s / t — v / t = (s — v) / t.
- При умножении одной дроби на другую нужно произвести операцию умножения числителей и знаменателей между собой: (s / t) * (v / u) = (s * v) / (t * u). 2 = t 2 / u 2 .
2 = t 2 / u 2 .В алгебре основным свойством рационального дробного тождества является первое. Следует отметить, что многочлен при умножении числителя и знаменателя требуется подбирать аккуратно. Необходимо руководствоваться таким правилом: выражение не должно превращать знаменатель в нулевое значение.
Сферы применения
Очень часто рациональные дробные элементы применяются в примерах на решения уравнений этого вида или упрощения тождеств. Первые делятся на 4 класса:
- Линейные (степень равна 1).
- Квадратные (2).
- Кубические (3).
- Биквадратные (4).
Многие ученики просматривают видеоуроки. Они пытаются понять, как решать рациональные дроби в 8 классе. Ответ на этот вопрос очевиден. Чтобы ее решить, следует упростить дробное выражение, т. е. сократить общие множители, используя свойства.
При решении линейных уравнений рационального типа нужно руководствоваться специальным алгоритмом, который разработали математики.
(½)] / (2 * A).
Математики рекомендуют проверять найденные корни посредством их подстановки в исходное выражение. Если получается значение, равное 0, в левой части, значит, тест пройден, и решение выполнено верно. В противном случае можно сделать вывод, что они являются ложными или при решении уравнения допущены ошибки.
Кубические и биквадратные тождества в программе 8 класса не рассматриваются, но суть их решения сводится к введению замены, при помощи которой происходит сведение к квадратному или линейному виду.
Примеры решения
Решение заданий с использованием рациональных дробных тождеств рекомендуется начинать с простых и заканчивать сложными. К первым можно отнести упрощение выражений, а ко вторым — уравнения различных видов. Специалисты считают, что на начальных этапах обучения следует ознакомиться с готовыми решенными примерами, а затем решать их посредством алгоритмов.
- Общий множитель выносится за скобку: 2 (v 3 — 8) = 0.
- Сокращение на 2: v 3 — 8 = 0.
- Разложить на множители: v 3 — 8 = (v — 2)(v 2 + 2v + 4).
- Одно решение v2 = 2, поскольку v 2 + 2v + 4 = 0 корней не имеет.
Для проверки нужно подставить корень v2 = 2 в числитель и выполнить следующие сопоставления результатов: v 3 — 8 = 2 3 — 8 = 0.
Таким образом, изучение рациональных дробных тождеств и их свойств оптимизирует вычисления и позволяет не только упрощать выражения, а также решать уравнения различных видов.
Правила сравнения обыкновенных дробей и пример решения задач
В пятом классе изучаются правила сравнения обыкновенных дробей.
Однако некоторые ученики не могут понять эту тему, хотя она, на первый взгляд, кажется очень простой. Не всегда получается сравнить оба дробных выражения, так как школьная методика преподносится не совсем верно. Чтобы исправить этот недочет, специалисты разработали универсальный алгоритм, который будет понятен каждому.
Общие сведения
Для применения правил сравнения дробей обыкновенного вида необходимо изучить базовые понятия. К ним относятся следующие:
- Математический смысл обыкновенного дробного выражения.
- Методика работы со смешанными числами.
- Приведение дробей к одному знаменателю.
Специалисты рекомендуют подробно изучить компоненты, необходимые для реализации алгоритма. Кроме того, нужно не только разобраться в теории, но и самостоятельно решить примеры на практике. Их необходимо придумать, а затем при помощи предложенных методик найти искомый результат. Например, разобрать работу со смешанными дробными выражениями и приведение дробей к единому знаменателю.
Математический смысл дроби
Обыкновенной дробью называется математическое выражение незавершенной операции деления, состоящее из числителя и знаменателя. Термин «незавершенная» понятен не для всех начинающих математиков. Для этого необходимо разобрать математическую запись операции деления. Она имеет такой вид: Q/R=S. Первый элемент — делимое (величина, эквивалентная произведению двух сомножителей), второй — делитель (первый основной множитель числа) и третий — частное (результат операции или II множитель).
Операция деления обозначается двумя символами. Один из них — двоеточие. Его применяют в задачах деления одной обыкновенной дроби на другую. Второе обозначение — косая черта «/. Ее используют практически во всех арифметических операциях. Кроме того, она позволяет представлять значение в виде обыкновенных дробей Q/R, где Q — числитель (эквивалентен делимому) и R — знаменатель (делитель).
Один делитель
Для сравнения дробей с разными знаменателями необходимо рассмотреть еще одно правило.
Оно позволяет оптимизировать эту операцию при помощи приведения дробных выражений к единому знаменателю. Существует три случая:
- Знаменатели перемножаются.
- Один делится на другой.
- Вычисление НОК.
Перемножать знаменатели необходимо, когда они не делятся друг на друга и не содержат общих множителей. При этом над числителями необходимо записать коэффициенты, эквивалентные величине знаменателей противоположной дроби. Например, нужно привести к единому знаменателю обыкновенные дроби Q/P и R/T. Результат выполнения операции будет выглядеть таким образом: [QT]/(PT) и [RP]/(PT).
Если Р делится на Т без остатка (нацело), то над числителем первой дроби коэффициент не пишется, а над второй он будет равен Р/Т. Однако в некоторых ситуациях знаменатели содержат общие множители. Следовательно, результирующей величиной будет НОК (наименьшее общее кратное). Оно находится по такому алгоритму для Р и Т:
- Записываются величины: Р и Т.
- Число Р раскладывается на множители: Р=р1*t1*p2*t2*p3.
- Число Т раскладывается на множители: Т=р1*t1*t4*t5*p3.
- Берутся общие элементы и умножаются на недостающие: НОК (Р,Т)=(р1*t1*р3)*p2*t2*t4*t5.
После нахождения НОК записывается результирующий знаменатель, а над каждым числителем пишется коэффициент, равный частному НОК и величине исходного знаменателя. Далее необходимо перейти к сравнению двух обыкновенных дробей.
Алгоритм сравнения
Операция сравнения двух обыкновенных дробных величин осуществляется при помощи специального математического символа «>,. Его «острие» направлено в сторону меньшего элемента, а расширение — к большему. Для демонстрации методик необходимо записать две произвольные дробные величины Q/P и R/T. В математике встречаются всего три случая:
- Знаменатели эквивалентны, а числители разные, т. е. Р=Т и Q ≠ R («≠ не равен).
- Только равенство числителей: Q=T.
- Разные знаменатели и числители, т. е. Р ≠ Т и Q ≠ R.
Чтобы сравнивать дробные выражения, необходимо проанализировать их числители и знаменатели.
Затем необходимо выбрать один из трех случаев, воспользовавшись конкретным алгоритмом. Специалисты рекомендуют записать 3 варианта на лист плотной бумаги в специальную таблицу, указав напротив каждого случая методику решения.
Эквивалентность знаменателей
При равенстве знаменателей одному значению выполнить операцию сравнения довольно просто. Для этого не нужен специальный алгоритм, состоящий из набора правил и действий. В этом случае существует только одно утверждение. Многие ученики не знают, какая дробь больше при одинаковых знаменателях. При этом они делают много ошибок и получают на контрольных плохие оценки.
Чтобы решить данную задачу, нужно воспользоваться следующим правилом: при сравнении двух дробных тождеств с одинаковыми знаменателями больше та величина, что имеет больший числитель. В этом можно убедиться, решив следующий пример: 7/8 и 4/8. Решение или доказательство утверждения выглядит таким образом:
- Записать два выражения: 7/8 и 4/8.
- Перевести их в десятичные дроби: 7/8=0,875 и 0,5.
- Сравнить числа, полученные на втором шаге: 0,875>,0,5.
В третьем пункте утверждение доказывается. Следует отметить, что при сравнении смешанных чисел необходимо сравнивать сначала их целые части. Если одна из них больше, то значит, символ «>, ставится «острием» к меньшему значению.
Равенство только числителей
В случае равенства числителей одному значению и разных знаменателей существует также только одно простое правило. Оно формулируется следующим образом: при эквивалентности числителей больше та дробь, у которой знаменатель меньше.
Чтобы доказать утверждение, необходимо разобрать такой пример: сравнить две величины 4/5 и 4/8. Для его решения требуется перевести дробные числа в десятичные дроби, т. е. 4/5=0,8 и 4/8=0,5. Следовательно, утверждение доказано, поскольку 0,8>,0,5.
При сравнении смешанных обыкновенных дробных тождеств необходимо обратить внимание на целые части. Если они равны между собой, то следует воспользоваться правилом эквивалентных числителей.
В противном случае сопоставить их целые компоненты, поставив знак больше в сторону большего элемента.
Разные компоненты
При сравнении дробных величин с разными числителями и знаменателями нужно применить специальный алгоритм. Он имеет следующий вид:
- Записать обыкновенные дроби.
- При необходимости преобразовать их в неправильные дробные выражения.
- Привести к одному знаменателю.
- Сравнить.
Далее необходимо реализовать алгоритм на практике при сравнении двух чисел 4[3/7] и 4[7/11]. Решение выглядит следующим образом:
- Записать значения: 4[3/7] и 4[7/11].
- Выполнить операцию преобразования в неправильные дроби: 4[3/7]=31/7 и 4[7/11]=51/11.
- Привести к единому знаменателю: (31*11)/77=341/77 и (51*7)/77=357/77.
- Произвести операцию сравнения: 341/77 <, 357/77.
Если целые части не равны между собой, то использовать методику нет необходимости, поскольку та смешанная дробь больше, у которой целая часть больше.
Таким образом, сравнение обыкновенных дробей осуществляется по определенным методикам, которые зависят от конкретных значений числителей и знаменателей.
Вычитание смешанных чисел | Математические вкусности
Форма поиска
Поиск
Пример 1: В рамках подготовки к марафону Карлос вчера пробежал три и одну четвертую мили, а накануне — одну и три четверти мили. Насколько дальше пробежал Карлос вчера, чем накануне?
Анализ: Эта задача требует от нас вычитания смешанных чисел с одинаковыми знаменателями.
На прошлом уроке мы узнали, что к прибавляем смешанные числа , прибавляем целые числа и прибавляем дроби отдельно: (целое + целое) + (дробь + дробь). Аналогичная процедура применяется к вычитанию смешанных чисел. Однако как из одной четвертой вычесть три четверти? Для того, чтобы вычесть большую единицу из меньшей, нам потребуется взять взаймы.
Например, если вы вычитали 31-19, вы бы взяли один десяток, а затем перегруппировали его как 10 единиц, чтобы вычесть. Напомним, что смешанное число состоит из целой и дробной частей. Давайте воспользуемся этим фактом и дробными кругами, чтобы преобразовать одно целое в 4 четверти, чтобы мы могли перегруппироваться и заимствовать.
Теперь, когда мы переписали три и одну четвертую как два и пять четвертых, мы можем вычесть эти смешанные числа.
Пример 1: В рамках подготовки к марафону Карлос вчера пробежал три и одну четвертую мили, а накануне — одну и три четверти мили. Насколько дальше пробежал Карлос вчера, чем накануне?
Анализ: Эта задача требует от нас вычитания смешанных чисел с одинаковыми знаменателями. Нам нужно перегруппироваться и занять.
Давайте рассмотрим еще несколько примеров.
Пример 2:
Анализ: Эти смешанные числа имеют одинаковые знаменатели.
Для того, чтобы вычесть большую единицу из меньшей, нам потребуется взять взаймы.
Решение:
Пример 3:
Анализ: мы вычитаем целое число из смешанного числа.
Решение:
Пример 4:
Анализ: Мы вычитаем смешанное число из целого числа. Нам нужно будет занять.
Решение:
Пример 5:
Анализ: не имеют дробных частей.
Шаг 1: Мы запишем эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея, 4.
Шаг 2: Нам нужно взять кредит.
Пример 6:
Анализ: Дробные части имеют разные знаменатели.
Шаг 1: Мы напишем эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея, 21.
Шаг 2: Нам нужно будет занять.
Пример 7:
Анализ: Дробные части имеют разные знаменатели.
Шаг 1: Мы напишем эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея, 12.
Шаг 2: Нам нужно будет занять.
Важно отметить, что другим способом вычитания смешанных чисел является преобразование каждого смешанного числа в неправильную дробь. Например 7, это будет сделано следующим образом:
Этот метод математически обоснован. Однако это может привести к небрежным арифметическим ошибкам, поэтому мы не рекомендуем это делать.
Пример 8: В конце футбольного матча главный тренер заметил, что в кувшине с водой, в котором изначально было девять и три восьмых литра, осталось три и девять шестнадцатых литров. Сколько литров воды было израсходовано?
Анализ: В этой задаче нам предлагается вычесть следующие смешанные числа:
Решение:
Было израсходовано пять и тринадцать шестнадцатых литров воды.
Резюме: Чтобы вычесть смешанные числа:
- Если знаменатели не совпадают, используйте ЖК-дисплей, чтобы преобразовать их в эквивалентные дроби.
- Если вторая дробь больше первой, возьмите целое число и преобразуйте его в эквивалентную дробь с помощью ЖК-дисплея.
- Вычесть целые числа и отдельно вычесть дроби: (целое — целое) + (дробь — дробь)
- При необходимости упростите результат.
Упражнения
Указания: Вычтите смешанные числа в каждом упражнении ниже. При необходимости обязательно упростите результат. Щелкните один раз в ПОЛЕ ОТВЕТА и введите свой ответ; затем нажмите ВВОД. После того, как вы нажмете ENTER, в ОКНЕ РЕЗУЛЬТАТОВ появится сообщение, указывающее, является ли ваш ответ правильным или неправильным. Чтобы начать сначала, нажмите ОЧИСТИТЬ.
Примечание. Чтобы написать смешанное число четыре и две трети, введите 4, пробел, а затем 2/3 в форму.
| 1. | |
| ОКНО ОТВЕТОВ: ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ: | |
2. | |
| ОКНО ОТВЕТОВ: ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ: | |
| 3. | |
| ОКНО ОТВЕТОВ: ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ: | |
| 4. | У художницы в начале дня в ведре было двадцать и одна четвертая галлона краски, а к концу дня только девять и три восьмых галлона. Сколько галлонов краски она израсходовала? |
| ОТВЕТЫ: галлонов ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ: | |
5. | Акции технологических компаний открылись в тридцать один и три восьмых и закрылись в двадцать семь и девять шестнадцатых. Каков был чистый убыток для этой акции? |
| ОКНО ОТВЕТОВ: ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ: | |
| Уроки сложения и вычитания дробей и смешанных чисел | |
| 1. | Сложение дробей с одинаковыми знаменателями |
| 2. | Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями |
| 3. | Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями |
4. | Добавление смешанных номеров |
| 5. | Вычитание смешанных чисел |
| 6. | Решение словесных задач |
| 7. | Практические упражнения |
| 8. | Упражнения с вызовом |
| 9. | Решения |
Подпишитесь на нашу БЕСПЛАТНУЮ рассылку!
Подпишитесь на нашу БЕСПЛАТНУЮ рассылку новостей!
Адрес электронной почты *
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями |
Форма поиска
Поиск
Чтобы добавить или вычесть элементы, единицы должны быть одинаковыми.
Например, посмотрите на добавляемые элементы ниже.
2 яблока + 3 яблока = 5 яблок
6 апельсинов + 3 апельсина = 9 апельсинов называть их «фруктами». Точно так же мы не можем добавлять четвертаки и пятаки, если не называем их «центами». В названии дроби единицей является знаменатель. Например, в дроби «4 десятых» единицей измерения является знаменатель, 9.0436 десятых . Следовательно, 4 десятых + 5 десятых = 9 десятых. Посмотрите на пример 1 ниже.
Пример 1: Пицца была разделена на восемь равных частей (ломтиков). Если Дженни съела пять кусочков, а Эрик — два, то какую часть пиццы они съели вместе?
Анализ: Дженни съела «5 восьмых» пиццы, а Эрик съел «2 восьмых». В каждой из этих дробей единицей является знаменатель, восьмых . Поскольку обе дроби имеют одинаковые единицы измерения, мы можем сложить их вместе.
Решение: «5 восьмых + 2 восьмых = 7 восьмых».
Знаменатель дроби называет то, что мы считаем.
В примере 1 мы считаем восьмые. Это показано на числовой строке ниже.
Начертить числовую линию не всегда практично. Итак, нам нужна арифметическая процедура сложения дробей. Задача из примера 1 записывается с использованием следующих математических обозначений:
Знаменатель дроби называет единицу измерения. Числитель показывает, сколько их. Например, в дроби пять восьмых единицей являются восьмые и их 5. Чтобы складывать дроби, знаменатели должен совпадать с . То есть они должны иметь общий знаменатель .
Эти дроби имеют общий знаменатель (знаменатели одинаковы). Если бы знаменатели не были общими, вы не могли бы складывать эти дроби.
Это приводит нас к следующей процедуре сложения дробей с общим знаменателем.
Процедура: Чтобы сложить две или более дроби с одинаковыми знаменателями, сложите числители и поместите полученную сумму над общим знаменателем. При необходимости упростите результат.
Давайте рассмотрим несколько примеров сложения дробей с помощью этой процедуры.
|
|
В примере 3 нам нужно было упростить результат: мы сократили шесть девятых до наименьших членов, что составляет две трети.
|
В примере 4 мы упростили результат, превратив неправильную дробь в целое число.
Избегайте этой распространенной ошибки!
Некоторые учащиеся ошибочно складывают знаменатели вместе с числителями. Это математически неверно, как показано ниже.
|
Не добавлять знаменатели!
Чтобы сложить дроби, сложите только числители и поместите сумму над общим знаменателем.
До сих пор мы добавляли только две дроби за раз.
Мы можем добавить более двух дробей, используя описанную выше процедуру. Это показано в примерах ниже.
|
|
Итог:
Чтобы сложить две или более дроби с одинаковыми знаменателями, сложите числители и поместите полученную сумму над общим знаменателем. При необходимости упростите результат.
Упражнения
Указания: Сложите дроби в каждом упражнении ниже. При необходимости обязательно упростите результат. Щелкните один раз в ПОЛЕ ОТВЕТА и введите свой ответ; затем нажмите ВВОД. После того, как вы нажмете ENTER, в ОКНЕ РЕЗУЛЬТАТОВ появится сообщение, указывающее, является ли ваш ответ правильным или неправильным. Чтобы начать сначала, нажмите ОЧИСТИТЬ.
Примечание: Чтобы записать дробь три четверти, введите 3/4 в форму.
| 1. | |
| ОКНО ОТВЕТОВ: ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ: | |
2. | |
| ОКНО ОТВЕТОВ: ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ: | |
| 3. | |
| ОТВЕТЫ: ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ: | |
| 4. | |
| ОКНО ОТВЕТОВ: ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ: | |
| 5. | |
| ОКНО ОТВЕТОВ: ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ: | |
| Уроки сложения и вычитания дробей и смешанных чисел | |
1. | Сложение дробей с одинаковыми знаменателями |
| 2. | Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями |
| 3. | Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями |
| 4. | Добавление смешанных номеров |
| 5. | Вычитание смешанных чисел |
| 6. | Решение словесных задач |
| 7. | Практические упражнения |
| 8. | Упражнения с вызовом |
| 9. | Решения |
Подпишитесь на нашу БЕСПЛАТНУЮ рассылку!
Подпишитесь на нашу БЕСПЛАТНУЮ рассылку новостей!
Адрес электронной почты *
Добавление смешанных номеров | Математические вкусности
Форма поиска
Поиск
Пример 1: Марта добавила в свой сад четыре и одну пятую упаковки земли в понедельник и три и две пятых упаковки земли в пятницу.
Сколько пакетов земли она добавила всего?
Анализ: Эта задача требует сложения смешанных чисел.
Дроби имеют одинаковые знаменатели. Мы будем складывать целые числа и складывать дроби отдельно.
Решение:
В примере 1 мы расположили работу вертикально, чтобы упростить сложение смешанных чисел.
К прибавьте смешанные числа , прибавьте целые числа и отдельно прибавьте дроби: (целое + целое) + (дробь + дробь)
Давайте рассмотрим еще несколько примеров.
Пример 2:
Анализ: Дроби имеют одинаковые знаменатели. Сложите целые числа и сложите дроби отдельно.
Решение:
В примере 2 нужно было упростить результат.
Пример 3:
Анализ: Мы складываем целое число и смешанное число. Думайте о десяти как о «десяти и ноль шестнадцатых».
Решение:
Пример 4:
Анализ: Дроби имеют разные знаменатели.
Мы запишем эквивалентные дроби, используя ЖК-дисплей, 8.
Решение:
Пример 5:
Анализ: Дроби имеют разные знаменатели. Мы запишем эквивалентные дроби, используя LCD, 20.
Решение:
Пример 6:
Анализ: Знаменатели дробей разные. Мы будем писать эквивалентные дроби, используя LCD, 36.
Решение:
Пример 7: Продавец мороженого продал восемнадцать и пять шестых литров мороженого в пятницу и девятнадцать с половиной литров мороженого в субботу. Сколько литров он продал всего?
Анализ: Дроби имеют разные знаменатели. Мы запишем эквивалентные дроби, используя LCD, 6.
Решение:
Итог: Чтобы сложить смешанные числа:
- Изучите дробную часть каждого смешанного числа, чтобы определить, равны ли знаменатели в отличие.
- Если знаменатели не совпадают, используйте ЖК-дисплей, чтобы преобразовать их в эквивалентные дроби.
- Сложите целые числа и сложите дроби отдельно: (целое + целое) + (дробное + дробное)
- При необходимости упростите результат.
Упражнения
Указания: Сложите смешанные числа в каждом упражнении ниже. При необходимости обязательно упростите результат. Щелкните один раз в ПОЛЕ ОТВЕТА и введите свой ответ; затем нажмите ВВОД. После того, как вы нажмете ENTER, в ОКНЕ РЕЗУЛЬТАТОВ появится сообщение, указывающее, является ли ваш ответ правильным или неправильным. Чтобы начать сначала, нажмите ОЧИСТИТЬ.
Примечание. Чтобы написать смешанное число четыре и две трети, введите 4, пробел, а затем 2/3 в форму.
| 1. | |
| ОКНО ОТВЕТОВ: ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ: | |
2. | |
| ОКНО ОТВЕТОВ: ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ: | |
| 3. | |
| ОКНО ОТВЕТОВ: ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ: | |
| 4. | |
| ОКНО ОТВЕТОВ: ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ: | |
| 5. | За одну неделю семья Глоссер выпила одну и семь двенадцатых пакетов обычного молока и четыре и одну двенадцатую пакетов соевого молока. |
| ЯЩИК ОТВЕТОВ: картонные коробки ЯЩИК РЕЗУЛЬТАТОВ: | |
Сколько всего молока они выпили? | Уроки сложения и вычитания дробей и смешанных чисел | |
| 1. | Сложение дробей с одинаковыми знаменателями |
| 2. | Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями |
| 3. | Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями |
| 4. | Добавление смешанных номеров |
5. | |