Как решать задачи на вероятность 11 класс егэ: Теория вероятностей на ЕГЭ по математике. Формулы, теория, решения

2-й способ
Обозначим через Х событие «кофе закончился в первом автомате», через Y – «кофе закончился во втором автомате».
Тогда по условию Р(X) = Р(Y) = 0,4, P(X ∩ Y) = 0,22. Так как P(X ∩ Y) ≠ P(X) · P(Y), то события Х и Y зависимые. По формуле для объединения событий:

P(X∪Y)=P(X)+P(Y)-P(X∩Y) = 0,4 + 0,4 – 0,22 = 0,58.

Мы нашли вероятность события Х U Y «кофе закончился хотя бы в одном автомате». Противоположным событием будет  «кофе остался в обоих автоматах», его вероятность равна = 1 –P(X ∪ Y) = 1 –0,58 = 0,42.

3-й способ.
Составим таблицу вероятностей возможных результатов в конце дня.

По условию вероятность события «кофе закончился в обоих автоматах» равна 0,22. Это число мы сразу записали в соответствующую ячейку таблицы.

В первом автомате кофе закончится с вероятностью 0,4, поэтому сумма чисел в верхних ячейках таблицы должна быть равна 0,4. Значит, в правой верхней ячейке должно быть число 0,4 – 0,22 = 0,18.

Во втором автомате кофе закончится с вероятностью 0,4, поэтому сумма чисел в левых ячейках таблицы также должна быть равна 0,4. Значит, в левой нижней ячейке должно быть число 0,4 – 0,22 = 0,18.

Так как сумма чисел во всех четырёх ячейках должна быть равна 1, то искомое число в правой нижней ячейке равно 1 – 0,22 – 0,18 – 0,18 = 0,42.

Ответ: 0,42.

Задачи на проценты

Задача 5.2 Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 40% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 48% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение.
Пусть х – искомая вероятность. Пусть всего закуплено n яиц. Тогда в первом хозяйстве закуплено x · n яиц, из них 0,6х·n высшей категории. Во втором хозяйстве закуплено (1- x) · n яиц, из них 0,4 • (1- x) • n высшей категории. Всего высшую категорию имеют 0,48n яиц.

Отсюда

Ответ: 0,4

Задача 5.3 На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Решение.
Пусть всего произведено х тарелок. Качественных тарелок 0,8х (80% от общего числа), они поступают в продажу.

Дефектных тарелок 0,2х, из них в продажу поступает 30%, то есть 0,3 • 0,2х = 0,06x.
Всего в продажу поступило 0,8х + 0,06x = 0,86x тарелок.
Вероятность купить тарелку без дефектов равна  ≈ 0,93

Ответ: 0,93.

Разные задачи

Задача 5.4 На рок-фестивале выступают группы – по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Финляндии будет выступать после группы из Бельгии, но перед группой из Греции? Результат округлите до сотых.

Решение.
1-й способ.
Будем считать исходом порядок выступления групп на фестивале. Разобьём множество исходов на подмножества следующим образом: в одно подмножество будем включать исходы, полученные перестановками рок-групп из Финляндии, Бельгии и Греции (с сохранением мест всех остальных рок-групп).

Тогда в каждом подмножестве будет 6 исходов: ФБГ, ФГБ, БГФ, БФГ, ГБФ, ГФБ. Из этих шести исходов благоприятным будет только БФГ. Следовательно, благоприятными являются 1/6 всех исходов. Искомая вероятность равна 1\6 ≈ 0,17

2-й способ (этот способ не является математически верным, но при решении на экзамене может помочь, если первый способ непонятен)

Так как в условии не указано общее число рок-групп, будем считать, что их всего три: из Финляндии, Бельгии и Греции. Будем считать исходом порядок выступлений, всего 6 исходов: ФБГ, ФГБ, БГФ, БФГ, ГБФ, ГФБ. Благоприятным является только исход БФГ. Искомая вероятность равна  1\6 ≈ 0,17.

Ответ: 0,17.

Задача 5.5 При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,2, а при каждом последующем  0,7. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Решение.
1-й способ
Вероятность промаха при первом выстреле равна 1 – 0,2 = 0,8. Вероятность промаха при каждом последующем равна 0,3. Подсчитаем число выстрелов, при котором цель остаётся непоражённой с вероятностью менее 1 – 0,98 = 0,02.

Вероятность непоражения
после второго выстрела равна 0,8 • 0,3 = 0,24;
после третьего  0,24 • 0,3 = 0,072;
после четвёртого  0,072 • 0,3 = 0,0216;
после пятого  0,0216 • 0,3 = 0,00648.

Следовательно, необходимо 5 выстрелов.

2-й способ (этот способ имеет математическое значение, но непригоден на экзамене из-за необходимости приближённого вычисления логарифма)

Вероятность непоражения после n выстрелов равна , так как при первом выстреле вероятность промаха 0,8, а при каждом последующем 0,3.

По условию необходимо, чтобы

Ответ: 5.

Задача 5.6 Чтобы поступить в институт на специальность «Архитектура», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов – математике, русскому языку и истории. Чтобы поступить на специальность «Живопись», нужно набрать не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов – русскому языку, истории и литературе.

Вероятность того, что абитуриент Н. получит не менее 60 баллов по истории, равна 0,8, по русскому языку  0, 5, по литературе  0,6 и по математике 0,9.
Найдите вероятность того, что Н. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение.

Вероятность того, что Н. не сможет набрать 60 баллов ни по литературе, ни по математике равна (1 – 0,6) • (1 –0,9) = 0,4 • 0,1 = 0,04. Следовательно, хотя бы по одному из этих двух предметов он получит 60 баллов с вероятностью 1 – 0,04 = 0,96.
Для поступления нужно набрать требуемый балл по русскому языку, истории и хотя бы по одному предмету из литературы и математики. Вероятность поступления равна 0,5 • 0,8 • 0,96 = 0,384.

Ответ: 0,384.

Задача 5.7 В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 11 марта, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 14 марта в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение.

Составим таблицу вероятностей для погоды в Волшебной стране.

Погода 12 марта с вероятностью 0,9 останется хорошей, с вероятностью 0,1 станет отличной. Занесём эти данные в таблицу.

Хорошая погода 13 марта может быть в двух случаях.
1) Погода 12 марта была хорошей и не изменилась. Вероятность этого равна 0,9 • 0,9 = 0,81.
2) Погода 12 марта была отличной и изменилась. Вероятность этого равна 0,1 • 0,1 = 0,01.

Таким образом, вероятность хорошей погоды 13 марта равна 0,81 + 0,01 = 0,82. Вероятность отличной погоды 13 марта равна 1 – 0,82 = 0,18. Заносим эти данные в таблицу.

Отличная погода 14 марта может быть в двух случаях.
1) Погода 13 марта была хорошей и изменилась. Вероятность этого равна 0,82 • 0,1 = 0,082.
2) Погода 13 марта была отличной и не изменилась. Вероятность этого равна 0,18 • 0,9 = 0,162.

Таким образом, вероятность отличной погоды 14 марта равна 0,082 + 0,162 = 0,244.

Ответ: 0,244.

Подведем итог

Это последняя часть материала по началам теории вероятностей, знание которого необходимо для успешной сдачи ЕГЭ по математике профильного уровня.

Для закрепления изученного предлагаю вам задачи для самостоятельного решения.

Вы также можете проверить правильность их выполнения, внеся свои ответы в предлагаемую форму.

Также рекомендую изучить «Задачи с параметром» и другие уроки по решению заданий ЕГЭ по математике, которые представлены на нашем канале Youtube.

Источник «Подготовка к ЕГЭ. Математика. Теория вероятностей». Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова

Одиннадцатый класс (11 класс) Статистика и концепции вероятности Вопросы для тестов и рабочих листов

Из них можно создавать печатные тесты и рабочие листы. вопроса по статистике и теории вероятностей для 11 класса! Выберите один или несколько вопросов, установив флажки над каждым вопросом. Затем нажмите кнопку добавить выбранные вопросы в тест , прежде чем перейти на другую страницу.

Предыдущий Страница 1 из 9 Следующий

Сколько комбинаций студентов возможно, если в группе должно быть ровно 3 первокурсника?

1. 5000
2. 4550
3. 4000
4. 3550

Какой график лучше всего использовать для сравнения цен на шесть разных автомобилей?

1. Линейный график
2. Круговая диаграмма
3. Таблица данных
4. Гистограмма

Вокруг круглого стола есть 10 посадочных мест. Если 8 мужчин и 2 женщины должны сидеть вокруг круглого стола так, чтобы двух женщин разделял хотя бы один мужчина. Если P и Q обозначают соответствующее количество способов рассадить этих людей вокруг стола, когда места пронумерованы и не пронумерованы, то чему равно P : Q?

1. 9 : 1
2. 72 : 1
3. 10 : 1
4. 8 : 1 9{-5}[/математика]

Госпожа Чой преподает английский язык в средней школе. {-6}[/математика] 9{-1}[/математика] В шахматном клубе 5 первокурсников, 8 второкурсников и 7 юниоров. Для участия в конкурсе будет выбрана группа из 6 студентов.

Сколько комбинаций студентов возможно, если группа состоит ровно из 3 первокурсников и 3 второкурсников?

1. 360
2. 460
3. 560
4. 660

Если Анна подбросит монету 10 раз, какова вероятность того, что она выпадет 4 орла?

1. 0,50
2. 0,07
3. 0,40
4. 0,21

Для данного эксперимента два события называются A и B. Если P(A) = 0,86, P(B) = 0,18 и P(A и B) = 0,11, чему равно P(A|B) относительно равно?

1. 0,86
2. 0,18
3. 0,13
4. 0,61

Форма, полученная с помощью нормального распределения данных, обычно обозначается как

1. нормальный график.
2. кривая колокола.
3. нормальная карта.
4. кривая отклонения.

Когда известно стандартное отклонение генеральной совокупности, мы выполняем то, что называется                .

1. t-тест
2. б-тест
3. h-тест
4. z-тест

Что указывает z-оценка на заданную точку данных (или исходную оценку) из нормального распределения?

1. Вероятность появления точки данных.
2. Процентиль, в котором находится точка данных.
3. Количество стандартных отклонений от среднего значения, в котором находится точка данных.
4. Частота точки данных.

В колледже учатся 10 баскетболистов. Из этих 10 игроков будет выбрана команда из 5 человек и капитан. Сколько различных выборов можно сделать?

1. 1260
2. 210
3. 8300
4. 340

В коробке 2 белых, 3 черных и 4 красных шара. Сколькими способами можно достать из коробки 3 шара, если в розыгрыше должен быть хотя бы один черный шар?

1. 32
2. 64
3. 48
4. 96

В школе Карен к каждому шкафчику прилагается кодовый замок. В замках используются четыре числа от 1 до 60, которые не повторяются. Карен надеется, что в ее комбинации шкафчиков есть числа 4, 10, 22 и 50, которые имеют для нее особое значение. Ей все равно, в каком порядке стоят эти числа. {-6}[/math]. Права ли она, а если нет, то почему? 9{-6}[/математика].

Определите следующую ситуацию как перестановку или комбинацию.
Сколькими способами можно получить три медали (золотую, серебряную и бронзовую) за забег с участием девяти бегунов?

1. Перестановка
2. Комбинация

Что из следующего лучше всего определяет стандартное нормальное распределение?

1. Нормальное распределение с [math]mu = 0[/math] и [math]sigma = 1[/math].
2. Нормальное распределение с [math]mu = 1[/math] и [math]sigma = 0[/math].
3. Нормальное распределение с [math]mu=1[/math] и [math]sigma=1[/math].
4. Нормальное распределение с [math]mu = 0[/math] и [math]sigma = 0[/math].

Что из следующего является эффективным способом визуализации выбросов?

1. Гистограмма
2. Точечный график
3. Коробка Сюжет
4. Все вышеперечисленное.

Стандартное отклонение лучше всего описывается как

1. разница между числом и средним значением.
2. сумма разностей между числами и средним значением.
3. квадратный корень из суммы разностей между числами и средним квадратом, деленный на количество членов.
4. квадратный корень из среднего, деленный на Z-показатель, умноженный на сумму чисел.

Сколькими способами можно составить комитет, состоящий из 5 мужчин и 6 женщин, из 8 мужчин и 10 женщин?

1. 266
2. 11 760
3. 5040
4. 86 400

Чтобы найти вероятность появления двух независимых событий, необходимо

1. умножить элементы вместе.
2. определите количество элементов, затем умножьте.
3. найти вероятность каждого элемента, а затем умножить.
4. разделить количество благоприятных исходов на общее количество исходов.

Предыдущий Страница 1 из 9 Далее

У вас должно быть не менее 5 репутации, чтобы голосовать против вопроса. Узнайте, как заработать значки.

6.2 Использование нормального распределения

Введение Расчеты вероятностей

Введение

Заштрихованная область на следующем графике обозначает область слева от x . Эта область может представлять процент учащихся, набравших меньше определенного балла на выпускном экзамене. Эта область представлена ​​вероятностью Р ( х х). Обычные таблицы, компьютеры и калькуляторы используются для получения или вычисления вероятности P ( X x).

Рисунок 6.4

Площадь справа равна P ( X > x ) = 1 – P ( X x). Помните, P ( X x) = Площадь слева от вертикальной линии через x . Р ( Х х) = 1 – Р ( X x) = Площадь справа от вертикальной линии через x . P ( x x) то же самое, что P ( x ≤ x ) и P ( x > x ). То же самое, как и то же самое, как и так же, как 262626263> x ). То же самое. x ) для непрерывных раздач.

Предположим, что приведенный выше график представляет процент учащихся, набравших менее 75 баллов на выпускном экзамене, с вероятностью, равной 0,39.. Это также указывало бы на то, что процент учащихся, набравших более 75 баллов, был равен 1 минус 0,39 или 0,61.

Расчеты вероятностей

Вероятности рассчитываются с помощью технологии. Приведены необходимые инструкции для калькуляторов ТИ-83+ и ТИ-84.

ПРИМЕЧАНИЕ

Для расчета вероятности используйте таблицы вероятностей, представленные на рисунке G1, без использования технологии. Таблицы содержат инструкции по их использованию.

Вероятность представлена ​​площадью под нормальной кривой. Чтобы найти вероятность, вычислите z -значение и найдите z -значение в таблице z в столбце z . Большинство таблиц z показывают площадь под нормальной кривой слева от z . Другие показывают среднее значение для области z . Используемый метод будет указан в таблице.

Мы обсудим таблицу z , которая представляет площадь под кривой нормали слева от z . После того, как вы нашли счет z , найдите соответствующую область. Это будет площадь под нормальной кривой слева от z -оценки. Эту площадь можно использовать для нахождения площади справа от z -счета или путем вычитания из 1 или общей площади под нормальной кривой. Эти площади также можно использовать для определения площади между двумя z -оценками.

Пример 6.7

Если площадь слева равна 0,0228, то площадь справа равна 1 – 0,0228 = 0,9772.

Пример 6.8

Итоговые баллы за экзамен по статистике были нормально распределены со средним значением 63 и стандартным отклонением, равным пяти.

а. Найти вероятность того, что случайно выбранный студент наберет на экзамене более 65 баллов.

Раствор 6.8

а. Пусть X = балл на выпускном экзамене. X ~ N (63, 5), где μ = 63 и σ = 5.

Нарисуйте график.

Вычислите z -значение:

z=x−μσ=65−635=25=.40z=x−μσ=65−635=25=.40

Таблица z показывает, что площадь слева от z равна 0,6554. Вычитание этой площади из 1 дает 0,3446.

Затем найдите P ( x > 65).

P(x > 65) = 0,3446P(x > 65) = 0,3446

Рис. 6.5

Вероятность того, что любой выбранный наугад учащийся наберет больше 65 баллов, равна 0,3446.

Историческая справка

Программа вероятностей TI вычисляет z -оценку, а затем вероятность на основе z -оценки. До появления технологий z -оценка искалась в стандартной таблице нормальных вероятностей, также известной как Z-таблица — математика, используемая для определения вероятности, громоздка. В этом примере использовалась стандартная таблица нормалей с областью слева от z -оценки. Вы вычисляете z -score и ищете область слева. Вероятность – это площадь справа.

б. Найти вероятность того, что случайно выбранный студент наберет меньше 85 баллов.

Решение 6.8

b. Нарисуйте график.

Затем найдите P ( x

Используя компьютер или калькулятор, найдите P ( x

normalcdf(0,85,63,5) = 1 (округляется до единицы)

Вероятность того, что один учащийся наберет меньше 85 баллов, приблизительно равна единице, или 100 процентам.

в. Найдите 90 ^й процентиль, то есть найти счет k , у которого 90% баллов меньше k и 10% баллов выше k.

Раствор 6.8

c. Найдите процентиль 90 ^th . Для каждой проблемы или части проблемы нарисуйте новый график. Нарисуйте ось x . Заштрихуйте область, соответствующую 90   перцентилю. На этот раз мы ищем оценку, которая соответствует заданной области под кривой.

Пусть k = 90 ^й процентиль. Переменная k расположена на оси x . P ( x k) — это область слева от k . 90 90 460 th 90 461 процентиль 90 262 k 90 263 разделяет экзаменационные баллы на те, которые равны или ниже 90 262 k 90 263, и такие же или выше. Девяносто процентов результатов теста равны или ниже k , а 10 процентов равны или выше. Переменная k часто называют критическим значением.

Мы знаем среднее значение, стандартное отклонение и площадь под нормальной кривой. Нам нужно найти оценку z , которая соответствует площади 0,9, а затем заменить ее средним значением и стандартным отклонением в нашу формулу оценки z . Таблица z показывает z-показатель приблизительно 1,28 для площади под нормальной кривой слева от z (большая часть) приблизительно 0,9. Таким образом, мы можем написать следующее:

1,28=x−6351,28=x−63,5

Умножение каждой части уравнения на 5 дает

6,4=x−636,4=x−63

Добавление 63 к обеим частям уравнения дает