Дроби — дробные числительные в английском языке
Счет на английском языке, а также образование и употребление количественных и порядковых числительных – темы, знакомые многим изучающим английский язык буквально с начальных классов. А вот дроби могут вызвать настоящие затруднения не только при изучении математики, но и при изучении английского языка. Дроби встречаются в повседневной речи не так уж и редко и становятся особенно важными, когда речь заходит о неких точных экономических, промышленных, медицинских и научных данных.
| Air contains 23.15 % of oxigen. | Воздух на 23,15 % состоит из кислорода. |
| Add 1/3 of the milk to the dough. | Добавьте 1/3 молока в тесто. |
Как многие помнят из школьного курса математики, дроби делятся на простые (1/3, 4/5, 5 4/5) и десятичные (0.5; 3.16; 12.
425). Рассмотрим подробнее, как оформляется на письме и произносится каждый из этих видов.
Простые дроби
Дробь, состоящая из числителя и знаменателя (1/8), разделенных чертой, называется простой. Простые дроби, называемые смешанными, содержат помимо дробной составляющей целое число, например 9 1/8. При произнесении таких дробей следует учитывать то, что числитель в них произносится как количественное числительное, а знаменатель – как порядковое числительное, например:
| 1/5 – one fifth – одна пятая | The youngest son has got only one fifth from his father’s inheritance. | Младший сын получил только одну пятую долю от наследства своего отца. |
Следует отметить, что для обозначения простых дробей в речи довольно часто применяются слова, обозначающие части целого, например «половина» – a half, четверть – a quarter, например:
| 7 ½ – seven and a half – семь с половиной | During the hungry men competition he was able to eat seven and a half apple pies. | Во время конкурса на самый большой аппетит он смог съесть семь с половиной яблочных пирогов. |
| 5 ¼ – five and a quarter – пять с четвертью | During the test I managed to complete only five and a quarter of all the tasks. | Во время теста я смог выполнить только пять заданий с четвертью. |
2/13 – | Doing sums Jason got two thirteenths as a result. | Решая примеры, Джейсон в результате получил две тринадцатых. |
Причем, если возможно обозначение дроби посредством слов a quarter и a half, то именно оно считается предпочтительным.
То есть, ½ следует называть, например, не one second, а one half.
Если числитель представлен цифрой, которая больше единицы «1», то знаменатель должен стоять во множественном числе:
3/4 — three fourths — три четверти
.Если дробь представляет собой смешанный вариант целого числа и простой дроби (8 3/5), то сначала следует назвать целое число, добавить слово and (и), а затем произнести простую дробь в обычном порядке, например:
8 3/5 – eight and three fifths
В следующей таблице приведены примеры прочтения на английском простых дробей:
| Дробь | Написание | Перевод | Пример | Перевод примера |
| ½ | one half | половина | We did that task for one half of the necessary time. | Мы выполнили это задание за половину отведенного времени. |
| one quarter (one-fourth) | четверть (одна четвертая) | She has read only one quarter of the book by now. | Она прочитала только четверть книги до настоящего времени. | |
| 1/9 | one-ninth | одна девятая | One ninth of all the explosives in this box is enough to explode the whole building. | Одной девятой доли взрывчатки в этом ящике довольно, чтобы все здание взлетело на воздух. |
| 3/16 | three -sixteenths | три шестнадцатых | The answer to that difficult maths problem was three –sixteenths. | Ответом на эту сложную математическую задачу является три шестнадцатых. |
| 2/5 | two– fifth s | две пятых | The guests have eaten two-fifths of all the birthday cake before the party started. | Гости съели две пятых доли от всего торта ко дню рождения еще до того, как началась вечеринка. |
| 11 ½ | eleven and a half | одиннадцать с половиной | We have been living next door to each other for eleven and a half months. | Мы живем по соседству друг с другом вот уже одиннадцать с половиной месяцев. |
| 6 ¼ | six and a quarter | шесть с четвертью | Her total weight gain was about six and a quarter pounds. | Ее общая прибавка в весе составила шесть фунтов с четвертью. |
Если после дробного числительного, не содержащего целой части, стоит связанное с ним существительное, то оно используется с предлогом of, и стоит в единственном числе, например:
1/5 kilogram – one fifth of a kilogram – одна пятая килограмма
½ metre – one half of a metre – половина метра
Передача существительных, связанных со смешанными дробями (состоящими из целой части и дробной) осуществляется без предлога и во множественном числе, например:
8 ¼ miles – eight and one fourth miles
11 1/3 kilograms – eleven and one third kilograms
Десятичные дробиДробь, в которой целая и дробная части разделены запятой, называется десятичной (2,5).
При этом важным отличием английского языка от русского в отношении десятичных дробей является тот факт, что в русском языке целую и дробную части разделяет запятая, а в английском языке – точка, например:
| Русская версия | Английская версия |
| 2,5 | 2.5 |
| 1, 124 | 1.124 |
В русском языке такая точка служит разделению каждых трех разрядов справа налево внутри длинного числа. В английском же подобной цели служит запятая, например:
| Русская версия | Английская версия |
| 2.500 | 2,500 |
| 1.140 | 1,140 |
Десятичные дроби читаются следующим образом: после целой части используется слово point (точка) или decimal (десятичная дробь), а затем по порядку называются цифры, следующие после точки, например:
4.
5.34 – five point/decimal three four
Если в качестве целой части используется ноль, то он будет читаться как nought (ничего) в британском варианте английского языка и как zero (ноль) в его американском варианте, например:
0.5 – nought/zero point/decimal five
0.8 – nought/zero point/decimal eight
В случае, когда целая часть равняется нулю, ее можно и вовсе не читать:
0.7 – point/decimal seven
Нули, которые стоят уже после точки, могут произноситься как «о» [əu].
В следующей таблице приведены примеры десятичных дробей:
| Дробь | Написание | Перевод | Пример | Перевод примера |
| 8.251 | eight point two five one | восемь целых двести пятьдесят одна тысячная | 8.251 per cent of the population of that country possess one half of its resources. | 8,251 % населения этой страны владеет половиной ее ресурсов. |
| 0.006 | point double o six | шесть тысячных | The probability that this happens is only 0.006 per cent. | Вероятность того, что это произойдет, составляет только 0,006 %. |
| 0.98 | point nine eight | девяносто восемь сотых | 0.98 is a decimal fraction. | 0,98 – это десятичная дробь. |
| 0.2 | point two | две десятых | 0.2 gram is 200 milligram. | 0,2 грамма – это 200 милиграммов. |
| 1.7 | one point seven | одна целая семь десятых | The village is 1.7 kilometres distant from the capital city. | Деревня удалена от столицы на 1,7 километра. |
И даже не смотря на тот факт, что различные виды дробей – это скорее предмет изучения математики, в лингвистике изучению их образования и употребления также придается немалое значение.
В действительности дроби, как простые, так и десятичные, встречаются в нашем повседневном общении довольно часто. Вот несколько примеров предложений, в которых употребляются дробные числительные:
| The headmaster announced that 1/3 of high school graduates enter universities. | Директор школы объявил, что треть выпускников школы поступают в вузы. |
| This Alpine country gets 9.5% of its GDP from tourism. | Эта альпийская страна получает 9,5 % ВВП от туризма. |
| This year, sales of Ford vehicles increased by 1.025%. | В этом году объемы продаж автомобилей Ford увеличились на 1, 025 %. |
| One-third of all crimes in the city make robberies. | Треть всех преступлений, совершаемых в городе – ограбления. |
| Jenny wanted to buy a coat with three quarter sleeves. | Дженни хотела купить пальто с рукавом три четверти. |
| The number π, commonly approximated as 3.14159, has a lot of mysteries. | Число π, обычно округляемое до 3.14159, имеет много загадок. |
Как можно видеть из приведенных выше предложений, ситуации с использованием дробей буквально преследуют нас повсюду, поэтому знакомство с ними неизбежно и может принести вам достаточно полезных навыков . Изучив приведенные сведения о различных видах дробных числительных, Вы сможете употреблять их для передачи точных данных на английском языке, что является особенно важным в профессиональном общении.
Автор- Александра Певцова
Нахождение числа по его дроби, дробные выражения
Используй поиск, чтобы найти научные материалы и собрать список литературы
База статей справочника включает в себя статьи написанные экспертами Автор24, статьи из научных журналов и примеры студенческих работ из различных вузов страны
Содержание статьи
1.
Нахождение числа по его дроби
2. Дробные выражения
Нахождение числа по его дроби
Замечание 1
Чтобы найти число по данному значению его дроби нужно это значение разделить на дробь.
Пример 1
Антон за неделю учебы заработал три четверти отличных отметок. Сколько всего отметок получил Антон, если отличных отметок было 6.
Решение.
По условию задачи $6$ отметок – это $\frac{3}{4}$.
Найдем количество всех отметок:
$6\div \frac{3}{4}=6 \cdot \frac{4}{3}=\frac{6 \cdot 4}{3}=\frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{3}=2 \cdot 4=8$.
Ответ: всего $8$ отметок.
Пример 2
Выкосили $\frac{4}{9}$ пшеницы на поле. Найти площадь поля, если было скошено $36$ га.
Решение.
По условию задачи $36$ га – это $\frac{4}{9}$.
Найдем площадь всего поля:
$36\div \frac{4}{9}=36 \cdot \frac{9}{4}=\frac{36 \cdot 9}{4}=\frac{4 \cdot 9 \cdot 9}{4}=81$.
Ответ: площадь всего поля $81$ га.
Пример 3
За один день автобус проехал $\frac{2}{3}$ маршрута. Найти продолжительность намеченного маршрута, если за день автобус проехал $350$ км?
Решение.
По условию задачи $350$ км – это $\frac{2}{3}$.
Найдем продолжительность всего маршрута автобуса:
$350\div \frac{2}{3}=350 \cdot \frac{3}{2}=\frac{350 \cdot 3}{2}=175 \cdot 3=525$.
Ответ: продолжительность намеченного маршрута $525$ км.
Пример 4
Рабочий поднял производительность своего труда на $%\ $и сделал за такой же срок на $24$ детали больше, чем было запланировано. Найти количество деталей, запланированных для выполнения рабочим.
Решение.
По условию задачи $24$ детали = $8\%$, а $8\% = 0,08$.
Найдем количество деталей, запланированных для выполнения рабочим:
$24\div 0,08=24\div \frac{8}{100}=24 \cdot \frac{100}{8}=\frac{24 \cdot 100}{8}=\frac{3 \cdot 8\ cdot 100}{8}=300$.
Ответ: запланировано $300$ деталей для выполнения рабочим.
Пример 5
В цехе отремонтировали $9$ станков, что составляет $18\%$ всех станков цеха. Сколько станков находится в цехе?
Решение.
По условию задачи $9$ станков = $18\%$, а $18\% = 0,18.$
Найдем количество станков в цехе:
$9\div 0,18=9\div \frac{18}{100}=9 \cdot \frac{100}{18}=\frac{9 \cdot 100}{18}=\frac{9 \cdot 100}{2 \cdot 9}=\frac{100}{2}=50$.
Ответ: в цехе $50$ станков.
Дробные выражения
Рассмотрим дробь $\frac{a}{b}$, которая равна частному $a\div b$. В таком случае частное от деления одного выражения на другое удобно записывать также с помощью черты.
Пример 6
Например, выражение $(13,5–8,1)\div (20,2+29,8)$ можно записать следующим образом:
$\frac{13,5-8,1}{20,2+29,8}$.
После выполнение расчетов получим значение данного выражения:
$\frac{13,5-8,1}{20,2+29,8}=\frac{5,4}{50}=\frac{10,8}{100}=0,108$.
Определение 1
Дробным выражением называется частное двух чисел или числовых выражений, в котором знак $«:»$ заменен дробной чертой.
Пример 7
$\frac{2,4}{1,3 \cdot 7,5}$, $\frac{\frac{5}{8}+\frac{3}{11}}{2,7-1,5}$, $\frac{2a-3b}{3a+2b}$, $\frac{5,7}{ab}$ – дробные выражения.
Определение 2
Числовое выражение, которое записывается выше дробной черты, называется числителем, а числовое выражение, которое записывается ниже дробной черты, – знаменателем дробного выражения.
В числителе и знаменателе дробного выражения могут стоять числа, числовые или буквенные выражения.
Для дробных выражений могут применяться правила, которые справедливы для обыкновенных дробей.
Пример 8
Найти значение выражения $\frac{5 \frac{3}{11}}{3 \frac{2}{7}}$.
Решение.
Умножим числитель и знаменатель данного дробного выражения на число $77$:
$\frac{5 \frac{3}{11}}{3 \frac{2}{7}}=\frac{5 \frac{3}{11} \cdot 77}{3 \frac{2}{7} \cdot 77}=\frac{406}{253}=1,6047…$
Ответ: $\frac{5 \frac{3}{11}}{3 \frac{2}{7}}=1,6047…$
Пример 9
Найти произведение двух дробных чисел $\frac{16,4}{1,4}$ и $1 \frac{3}{4}$.
Решение.
$\frac{16,4}{1,4} \cdot 1 \frac{3}{4}=\frac{16,4}{1,4} \cdot \frac{7}{4}=\frac{4,1}{0,2}=\frac{41}{2}=20,5$.
Ответ: $\frac{16,4}{1,4} \cdot 1 \frac{3}{4}=20,5$.
Пример 10
Найти сумму двух дробей $\frac{2}{0,7}+\frac{3}{1,4}$.
Решение.
$\frac{2}{0,7}+\frac{3}{1,4}=\frac{4+3}{1,4}=\frac{7}{1,4}=\frac{70}{14}=5$.
Ответ: $\frac{2}{0,7}+\frac{3}{1,4}=5$.
Для выполнения сложения дробных выражений удобно сразу их преобразовать к виду обыкновенных дробей, а затем выполнить сложение:
$\frac{2}{0,7}+\frac{3}{1,4}=\frac{20}{7}+\frac{30}{14}=\frac{20}{7}+\frac{15}{7}=\frac{35}{7}=5$.
Пример 11
Найти значение выражения: $\frac{\frac{7}{11} \cdot \frac{33}{21}+1,23}{5,1-2,8}$.
Решение.
$\frac{\frac{7}{11} \cdot \frac{33}{21}+1,23}{5,1-2,8}=\frac{\frac{7 \cdot 33}{11 \cdot 21}+1,23}{2,3}=\frac{1+1,23}{2,3}=\frac{2,23}{2,3}=\frac{9,79}{2,3}=0,96956…$
Ответ: $\frac{\frac{7}{11} \cdot \frac{33}{21}+1,23}{5,1-2,8}=0,96956…$
Пример 12
Найти значение выражения $\frac{2,48+3 \frac{5}{9} \cdot 1 \frac{1}{8}}{6,1-3,7}$.
Решение.
В числителе смешанные числа преобразуем к виду неправильных дробей и выполним вычисления:
$\frac{2,48+3 \frac{5}{9} \cdot 1 \frac{1}{8}}{6,1-3,7}=\frac{2,48+\frac{32}{9} \cdot \frac{9}{8}}{2,4}=\frac{2,48+4}{2,4}=\frac{6,48}{2,4}=2,7$.
Ответ: $2,7$.
Сообщество экспертов Автор24
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 20.06.2022
Выполнение любых типов работ по математике
Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами
Подбор готовых материалов по теме
Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы
Обыкновенные дроби в жизни людей
Руководитель:
Яруллина Гульсиня Ситдиковна
Учреждение:
Школа МБОУ «Гимназия №1» г.
Абдулино
В данном исследовательском проекте по математике на тему «Обыкновенные дроби в жизни людей» автор изучает историю возникновения дробей, даёт определение «обыкновенная дробь», а также наглядно показывает обыкновенные дроби.
Подробнее о проекте:
В авторском исследовательском проекте по математике «Обыкновенные дроби в жизни людей» ученик 5 класса стремится показать, что дроби нужны не только в математике, но и в повседневной жизни. Учащийся дает развернутое определение понятия «дроби в математике», а также приводит подробную характеристику обыкновенных дробей.
Автор творческого проекта по математике на тему «Обыкновенные дроби в жизни людей» изучил использование обыкновенных дробей в профессиональной деятельности человека, а также порассуждал и аргументированно доказал важность знания и применения дробей для профессии «Разметчик». Также в работе можно найти определение других математических дробей.
Оглавление
Введение
1. Теоретическая часть.
1.1 Понятие дроби.
1.2 История возникновения дробей.
1.3 Использование обыкновенных дробей в профессиональной деятельности человек.
1.3.1 Дроби для профессии «Разметчик».
2. Практическая часть.
2.1. Мои наблюдения.
Заключение
Список использованной литературы
Введение
Уважаемые друзья! Ответственно вам сообщаю, есть люди, которые считают, будто дробям нет места в нашей жизни. За примерами далеко ходить не надо. Когда я учился в начальных классах, думал: «Зачем математики придумали дроби?» Наверное, только для того, чтобы портить жизнь школьникам. Другого объяснения не знал, пока не начали изучать в 5 классе тему «Дроби»
С первого знакомства с дробями было понятно, что они очень необычные числа, начиная с их непривычной записи и заканчивая сложными правилами действий с ними.
В обычной жизни, и взрослым, и детям каждый день приходится сталкиваться с проблемой деления целого на части, и даже в определенный момент кажется, что нас больше окружают не целые, а дробные числа, что является актуальностью данной темы.
Мне стало интересно узнать: как и когда появились дроби? В какой сфере жизни больше всего практически их применяют? Хотелось в ходе исследования этого вопроса убедиться и убедить других в необходимости дробей в повседневной жизни.
Объект исследования: обыкновенные дроби
Предмет исследования: использование дробей в нашей повседневной жизни.
Цель: показать, что дроби нужны не только в математике, но и в повседневной жизни.
Задачи:
- Узнать, что такое дробь, какие виды дроби существуют
- Изучить историю возникновения дробей.
- Рассмотреть применение дробей в повседневной жизни.
- Оценить достижения науки в данной области.
Понятие дроби
Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы.
Дробь выражается отношением двух целых чисел m/n, где n — показывает на сколько долей разделена единица, а m – показывает сколько таких долей содержится в дроби.
В математике применяются следующие виды дробей:
- обыкновенная дробь;
- правильная дробь;
- неправильная дробь;
- смешанная дробь;
- десятичная дробь.
Дроби разные нужны, дроби всякие важны
Обыкновенная дробь имеет вид n/m или m/n где m и n — натуральные числа. Делимое (m) — называют числителем дроби, делитель (n) — называют знаменателем данной дроби. Горизонтальная или косая линия в дроби обозначает деление. Черта наклонная называется — «солидус», а горизонтальная – «винкулум».
Если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь называется правильной (например 3/7), если больше или равен — неправильной (например 7/3).
Числа, в состав которых входит целое число и правильная дробь, называются смешанными. Целое число называют целой частью смешанного числа, а правильная дробь называется дробной частью смешанного числа.
Например, для смешанной дроби число 3 — целая часть, 2/5 — дробная.
Десятичная дробь, это дробь, которая записывается без знаменателя.
Выглядят они так: 5,6; 3,17; 0,17 и т.д. На самом деле это особая запись обыкновенных дробей, у которых знаменатель равен 10, 100, 1000 и т. д.
История возникновения дробей
Память человечества не сохранила для нас имя изобретателя колеса. Также невозможно назвать точно даже тот отрезок времени, когда появились дроби.
Можно предположить, что потребность делить целое на части возникала ещё в первобытном обществе. Могло быть и так…
Были у древнего человека жена и двое детей. Вот пошла однажды древняя женщина собирать плоды и нашла всего лишь 1 яблоко. Детей у неё двое, а яблоко одно. Наверное, она догадалась: взяла каменный нож да и разделила это яблоко на 2 половины.
А в это время самый — самый древний человек пошёл на охоту и убил самого — самого древнего кабана.
Пришёл домой и разделил свою добычу на четыре равные части: себе, жене, сыну и дочке. Конечно, эти древние люди и не догадывались, что, разделив целое число на части, они занимались таким трудным разделом математики, который впоследствии назовут «дроби». Итак, дроби появились в тот период времени, когда в трудовой деятельности людей появилась потребность более точно измерять какие-то величины, хотя делением на части люди пользовались, наверное, с древнейших времён.
Дроби в Древнем Египте
На протяжении многих веков египтяне именовали дроби «ломаным числом», а первая дробь, с которой они познакомились, была 1/2 . За ней последовали 1/4, 1/8 , 1/16, … затем 1/3, 1/6, … т.е. самые простые дроби, называемые единичными или основными дробями.
У них числитель всегда единица. Лишь значительно позже у греков, затем у индийцев и других народов стали входить в употребление и дроби общего вида, называемые обыкновенными, у которых числитель и знаменатель могут быть любыми натуральными числами.
В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику.
Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, что египтяне 4000 лет назад имели десятичную систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела.
Одним из первых известных упоминаний о дробях является математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 1/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.
Египтяне ставили иероглиф (ер, «один из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию.
У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4, которыми можно было записывать также другие дроби.
Остальные дроби они записывали в виде суммы долей. Дробь 7/8 они записывали в виде ½ ¼ 1/8, но знак «+» не указывали. А сумму 4+1/3 записывали в виде 41/3. Такая запись смешанных чисел (без знака «+») сохранилась до сих пор.
Вавилонские дроби
Жители древнего Вавилона примерно за 3000 лет до нашей эры создали систему мер аналогичную нашей метрической, только в основе её лежало не число 10, а число 60, в которой меньшая единица измерения составляла 1/60 часть высшей единицы. Полностью эта система выдерживалась у вавилонян для измерения времени и углов, и мы унаследовали от них деление часа и градуса на 60 минут, а минуты на 60 секунд.
Исследователи по-разному объясняют появление у вавилонян шестидесятеричной системы. Число 60 прекрасно делится на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60, что значительно облегчает всякие расчеты.
Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян.
Вот почему они пользовались шестидесятеричными дробями, имеющими знаменателем всегда число 60 или его степени: 602, 603 и т.д. В этом отношении шестидесятеричные дроби можно сравнить с нашими десятичными дробями.
Вавилонская математика оказала влияние на греческую математику. Следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались в современной науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60 мин., минуты на 60 с, окружности на 360˚, градуса на 60 мин., минуты на 60с.
Вавилоняне внесли ценный вклад в развитие астрономии. Шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов до XVII века, называя их астрономическимидробями. В отличие от них, дроби общего вида, которыми пользуемся мы, были названы обыкновенными.
Дроби в Древней Греции
Греки работали с обыкновенными дробями не часто, поэтому использовали различные обозначения.
Герон и Диофант, самые известные арифметики среди древнегреческих математиков, записывали дроби в алфавитной форме, причем числитель располагали под знаменателем. Но в принципе предпочтение отдавалось либо дробям с единичным числителем, либо шестидесятеричным дробям.
Недостатки греческой системы счисления относят к их любви к строгости, которое заметно увеличило трудности, связанные с анализом отношения несоизмеримых величин. Слово «число» греки понимали, как набор единиц, поэтому то, что мы теперь рассматриваем как единое число – дробь, – греки понимали, как отношение двух целых чисел. Именно этим объясняется, почему обыкновенные дроби редко встречались в греческой арифметике.
Дроби в Древнем Китае
В Древнем Китае уже пользовались десятичной системой мер, обозначали дробь словами, используя меры длины чи: цуни, доли, порядковые, шерстинки, тончайшие, паутинки. Дробь вида 2,135436 выглядела так: 2 чи, 1 цунь, 3 доли, 5 порядковых, 4 шерстинки, 3 тончайших, 6 паутинок.
Так записывались дроби на протяжении двух веков, а в V веке китайский ученый Цзу-Чун-Чжи принял за единицу не чи, а чжан = 10 чи, тогда эта дробь выглядела так: 2 чжана, 1 чи, 3 цуня, 5 долей, 4 порядковых, 3 шерстинки, 6 тончайших, 0 паутинок.
Дроби на Руси
В русском языке слово «дробь» появилось лишь в VIII веке. Происходит оно от слова «дробить, разбивать, ломать на части». В русских рукописных арифметиках XVII в. дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В старых руководствах существуют следующие названия дробей на Руси:
| 1/2 — половина, полтина | 1/3 – треть |
| 1/4 – четь | 1/6 – полтреть |
| 1/8 — полчеть | 1/12 –полполтреть |
| 1/16 — полполчеть | 1/24 – полполполтреть (малая треть) |
| 1/32 – полполполчеть (малая четь) | 1/5 – пятина |
| 1/7 — седьмина | 1/10 — десятина |
Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная система счисления.
Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.
Дроби в других государствах древности
В китайской «Математике в девяти разделах» уже имеют место сокращения дробей и все действия с дробями. У индийского математика Брахмагупты найдена достаточно развитую систему дробей. У него встречаются разные дроби: и основные, и производные с любым числителем. Числитель и знаменатель записываются так же, как и у нас сейчас, но без горизонтальной черты, а просто размещаются один над другим.
Арабы первыми начали отделять чертой числитель от знаменателя.
Леонардо Пизанский уже записывает дроби, помещая в случае смешанного числа, целое число справа, но читает так, как принято у нас. В XV – XVI столетиях учение о дробях приобретает уже знакомый нам теперь вид и оформляется приблизительно в те самые разделы, которые встречаются в наших учебниках.
Следует отметить, что раздел арифметики о дробях долгое время был одним из наиболее трудных. Недаром у немцев сохранилась поговорка: «Попасть в дроби», что означало – зайти в безвыходное положение.
Считалось, что тот, кто не знает дробей, не знает и арифметики.
Использование обыкновенных дробей в профессиональной деятельности человека
Живя в окружении дробей, мы не всегда их явно замечаем. И все же, мы сталкиваемся с ним очень часто: дома, на улице, в магазине, на работе и так далее. Покажу лишь малую часть того, где мы можно увидеть присутствие дробей.
В медицине. Чтобы приготовить необходимое лекарство нужно знать его состав, записанный с помощью дробей, или, когда врач назначает больному ½ таблетки.
Дроби в кулинарии. Поварам нужны дроби для соблюдения пропорции при приготовлении блюда. В рецептах очень часто используются такие фразы, например, как одна вторая стакана, четверть столовой ложки.
Дроби в музыке. Учащиеся музыкальной школы знакомятся с дробями раньше, чем в общеобразовательной школе. С первых дней занятий дети знакомятся с такими понятиями как размер и длительности нот.
Древнегреческий философ Пифагор (570 г. до н. э.), один из самых первых установил связь музыки и математики. Он создал учение о звуке. Пифагор связал длительность звучания нот с дробями.
Счёт длительностей в музыке ведётся от целой ноты, которая считается до четырёх. В целой ноте 2 половинные, 4 четверти, 8 восьмых, 16 шестнадцатых. Так музыка живёт в согласии с математикой.
Дроби в географии: Материк Евразия занимает 1/3 часть суши;
Масштаб карты равен 1/50000
Участки земной поверхности изображаются на карте в уменьшенном виде, для этого используется понятие масштаба: отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности.
Например, масштаб карты 1/10000 означает, что 1см на карте соответствует 10000 см на местности.
Дроби в спорте. Когда смотрим ½ финала матча по футболу.
Дроби в пропорции человека тоже связаны с дробями. Голова маленького ребенка составляет 1/5 часть роста человека.
Голова подростка – 1/6. А голова взрослого человека – 1/8 часть роста. Основываясь на этих данных, была создана кукла «Барби».
Дроби в юридической деятельности. Взрослые в жизни встречаются с такими ситуациями: в наследство каждый по завещанию получили, например А- 1/8 имущества наследодателя; Б. – 6/17; В. — завещано всё остальное . Какие доли достались каждому из наследников?
Дроби для портных. Портной при раскрое одежды использует дроби. (рукав длины три четверти — ¾ или брюки длины 7/8)
В настоящее время невозможно представить ни одну отрасль промышленности или сельского хозяйства, или строительства, где бы в расчётах не встречалось дробных чисел.
Дроби для профессии «Разметчик»
На машиностроительных заводах есть очень увлекательная профессия, называется она — разметчик. Разметчик намечает на заготовке линии, по которым эту заготовку следует обрабатывать, чтобы придать ей необходимую форму.
Разметчику приходится решать интересные и подчас нелегкие геометрические задачи, производить арифметические расчеты и т.
д.
«Понадобилось как-то распределить 7 одинаковых прямоугольных пластинок равными долями между 12 деталями. Принесли эти 7 пластинок разметчику и попросили его, если можно, разметить пластинки так, чтобы не пришлось дробить ни одной из них на очень мелкие части. Значит, простейшее решение — резать каждую пластинку на 12 равных частей — не годилось, так как при этом получалось много мелких долей. Как же быть?
Возможно ли деление данных пластинок на более крупные доли? Разметчик подумал, произвел какие-то арифметические расчеты с дробями и нашел все-таки самый экономный способ деления данных пластинок.
Впоследствии он легко дробил 5 пластинок для распределения их равными долями между шестью деталями, 13 пластинок для 12 деталей, 13 пластинок для 36 деталей, 26 для 21 и т.п.
Оказывается, разметчик представил дробь 7\12 в виде суммы единичных дробей 1\3 + 1\4. Значит, если из 7 данных пластинок 4 разрезать на три равные части каждую, то получим 12 третей, то есть по одной трети для каждой детали.
Остальные 3 пластинки разрежем 4 равные части каждую, получим 12 четвертей, то есть по одной четверти для каждой детали. Аналогично, используя представления дробей в виде суммы единичных дробей 5\6 = 1\2+1\3; 13\12 =1\3+3\4; 13\36 =1\4+1\9.
Практическая часть. Мои наблюдения
Дроби в часах. «Встреча». Видеоролик. (Приложение 1)
Мы часто отвечаем на вопрос «который час?» дробями. «Без четверти пять» без пятнадцати минут пять; «Сейчас три часа без четверти» -2 час 45 минут; «Половина второго» -1 час 30 минут.
Ситуация 1. В парке стоит молодой человек с букетом цветов:
- Извините. Не подскажете который час? — спрашивает у прохожего.
- «Без четверти пять», — отвечает прохожий.
- Что опаздывает?
- Да, на целых ¾ часа.
- Сочувствую.
- Спасибо.
Дроби в кулинарии. «Пряники».
Видеоролик. (Приложение 2)
Поварам нужны дроби для соблюдения пропорции при приготовлении блюда. В рецептах очень часто используются такие фразы, например, как одна вторая стакана, четверть столовой ложки.
Ситуация 2. Ученик в одежде повара. Готовит тесто для пряников.
— Для пряников понадобится 1 яйцо, один с четвертью стакана муки, две с половиною столовой ложки меда, треть чайной ложки соли, половина чайной ложки имбиря. Всё тщательно перемешиваем и печем пряники.
Дроби в кулинарии. «Пирожное». Видеоролик (Приложение 3)
Приготовленные блюда нужно умело делить на порции.
Ситуация 3. На столе стоит тарелка. В ней 5 пирожное.
— На день рождения пришли 6 друзей. Передо мной встал вопрос: «Как поровну разделить 5 пирожное между 6 человек»?
Решение было такое: нужно 5 пирожное разделить пополам каждый. Затем ещё 2 пирожное разделить на 3 части. Получается 6 абсолютно равных частей.
Дроби в математике.
Учитель математики после изучения сокращения дробей задал домашнее задание. Найти значение выражения рациональным способом.
65 : (407 : 9) 22 (37 : 26) — (2911 : 213) 6 (35: 287) : 45
На первый взгляд, обыкновенные натуральные числа. Сначала надо решить действия в скобках, потом делить и умножать. Но, здесь должна быть какая-то хитрость?! Надо найти рациональный способ. Я решил данное выражение так:
1) Записал выражение в виде дроби.
2) Преобразовал каждое натуральное число в виде произведения двух множителей.
3) В полученных дробях получились числа, которых можно сократить.
4) Получил ответ
Заключение
При выполнении своего проекта, я узнал много нового и интересного о дробях. Думаю, что эти знания пригодятся в учебе. Прочитал много книг и разделов из энциклопедий. Познакомился с первыми дробями, которыми оперировали люди, узнал новые для меня имена ученых, внесших свой вклад в развитие учения о дробях.
А особенно то, что дроби используются почти во всех сферах деятельности человека, а это значит, что людям всех профессий нужно обязательно изучать дроби! Уметь решать задачи на дроби, знать правила сложения и вычитания, умножения и деления дробей.
Без знания математики, особенно знания дробей вся современная жизнь была бы невозможна. Например, у нас не было бы хороших домов, потому что строители должны уметь измерять, считать, сооружать. Наша одежда была бы очень грубой, так как ее нужно хорошо скроить, то есть точно все измерить, Не было бы ни какой большой промышленности, ни какой коммерции.
И конечно, не было бы радио, телевидения, кино, телефона и тысяч других вещей, составляющих часть нашей цивилизации. Использование дробей, измерения «на сколько?», «как долго?» являются жизненно необходимой частью мира, в котором мы живем.
В заключении можно сказать, что дроби бывают разные, дроби бывают важные. Знание понятия математическая дробь очень важно!
Считаю, что материалы моей работы будут интересными для других учащихся.
Они могут быть использованы как на уроке, так и для проведения учителями внеклассных мероприятий по математике.
Список использованной литературы
- Анищенко Е. А. Число как основное понятие математики. Мариуполь, 2002.
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика. 5 класс: учеб.для общеобразовательных учреждений/- 26-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2009. — 280 с.
- Гейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981. – 239 с.
- Математика. 5 класс: учеб.для общеобразоват. учреждений. [СМ. Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В. Шевкин]. — 11-е изд, дораб. — М.: Просвещение, 2016. — 272 с. — (МГУ — школе).
- Математический энциклопедический словарь. – М., 1988.
Если страница Вам понравилась, поделитесь в социальных сетях:
11.1 — Упрощение алгебраических дробей
11.1 — Упрощение алгебраических дробей11.
1 — Упрощение алгебраических дробейНекоторые определения
- Обыкновенная дробь — это число, которое записывается в форма или а / б , где a , числитель , и b , знаменатель , оба являются целыми числами. Обыкновенная дробь используется для описания части или доли целого объекта. Обозначение означает, что мы разбиваем объект на б равные части, и у нас есть этих частей. Часть или часть объекта, который у нас есть это а / б .
- Деление определяется с точки зрения умножения.
Деление числа a на число b дает число c такое, что c умножить на b дает обратно a .
Мы используем то же обозначение дроби, a /9.0010 b для обозначения подразделения a на b , потому что, когда a и b оба были целыми числами, тогда
деление на / b дает обыкновенную дробь a / b .
- Алгебраическая дробь — это дробь, у которой числитель или знаменатель являются алгебраическими
выражения.
Два примера алгебраических дробей:
и .
- рациональная алгебраическая дробь — это алгебраическая дробь, числитель и знаменатель являются полиномами. Первый пример выше — это рациональная алгебраическая дробь; второй нет.
- Правильная обыкновенная дробь — обыкновенная дробь, числитель которой меньше ее знаменатель и неправильная обыкновенная дробь это тот, числитель которого больше или равен его знаменателю. Смешанная фракция — это сумма целого числа и правильной дроби. Длинное деление можно использовать для преобразования неправильную дробь в смешанную дробь.
- правильная алгебраическая дробь является рациональной алгебраической дробью
чей числитель младше степени чем его знаменатель, а неправильная алгебраическая дробь равна единице
числитель которого больше или равен знаменателю. Смешанное выражение представляет собой сумму многочлена и правильной алгебраической дроби. Длинное деление можно использовать для преобразования
неправильную алгебраическую дробь к смешанному выражению.
Смешанное выражение представляет собой сумму многочлена и правильной алгебраической дроби. Длинное деление можно использовать для преобразования
неправильную алгебраическую дробь к смешанному выражению.Деление на ноль
Эта операция не допускается в математике. Нажмите здесь, чтобы узнать, почему. Это означает, что в алгебраической дроби,x не может равняться 1 или −3, потому что эти значения x вызовут дробь, чтобы знаменатель был равен нулю.
Приведение алгебраической дроби к наименьшим членам
Посмотрите на алгебру, которую мы делаем здесь:- Начнем с дроби a / b .
- Умножаем на 1. Это не изменит его значение.
- Запишем «1» как дробь d / d .
- Перемножаем две дроби. Числитель новой дроби равен ad , а знаменатель равен bd .
- Последняя дробь равна , что эквивалентно первой дроби.
Если мы пойдем в обратном направлении, то мы скажем, что сводим дробь к ее простейшая эквивалентная дробь или низшая дробь . Для этого находим любой множитель, который содержится и в числителе, и в знаменателе. и зачеркнуть или зачеркнуть , например:
Пример: Сократите обыкновенные дроби 10/6 и 10/5 до меньших значений.
| Разложите числитель и знаменатель на множители. Отмените общий делитель 2. | |
| Разложите числитель и знаменатель на множители. Отмените общий делитель 5. Результат деления — целое число. Мы говорим, что знаменатель делит без остатка . в числитель. |
Если числитель и знаменатель алгебраической дроби равны мономов , то выполните все следующие шагов, чтобы сократить дробь до наименьшего члена :
- Получите знак, используя правила для знаков.
- Уменьшить коэффициент до минимума.
- Отмена идентичных множителей, которые появляются как в числителе, так и в знаменателе.
- Объедините экспоненты с одинаковым основанием, используя свойство деления экспонент.
Пример: Уменьшить алгебраическую дробь на самые низкие условия.
Решение:
| Знак − ставится перед результатом
или перед числителем; никогда не стоит перед знаменателем. Уменьшить коэффициент 6/9к самые низкие условия. |
Пример: Уменьшить алгебраическую дробь на самые низкие условия.
Решение:
Два знака — заменены знаком +, который нам не нужно отображать.
Коэффициент снижается до ¼. Числитель содержит другие множители, поэтому 1 в числителе можно опустить.Объедините экспоненты с основанием x с использованием свойств экспоненты. |
Пример: Уменьшить алгебраическую дробь на самые низкие условия.
Решение:
| Знак − ставится впереди. Коэффициент снижается до 1/3. одинаковых множителей из x 3 в числителе и знаменателе сокращаются. Числитель не содержит других множителей, поэтому на этот раз должна отображаться 1. |
Пример: Уменьшить алгебраическую дробь на самые низкие условия.
Решение:
После проведения всех упрощений знаменатель равен 1,
поэтому нам не нужно его отображать. Таким образом, результатом является обычное выражение,
не алгебраическая дробь. |
Если числитель и знаменатель алгебраической дроби равны многочленов , тогда в дополнение к шагам, перечисленным выше, попробуйте выполнить следующие шагов, чтобы сократить дробь до минимального значения :
- Фактор числителя или знаменателя или обоих. Иногда это вызывает новые появляются аннулирующие факторы.
- Множитель a − знак вне числителя или знаменателя. Иногда это приводит к появлению нового фактора отмены.
Пример: Уменьшить алгебраическую дробь на самые низкие условия.
Решение:
Разложите числитель и знаменатель на множители. Отменить общий делитель x . |
Пример: Уменьшить алгебраическую дробь на самые низкие условия.
Решение:
| Разложить числитель на множители. Отменить общий делитель x − 2. |
Пример: Уменьшить алгебраическую дробь на самые низкие условия.
Решение: Это та же алгебраическая дробь, что и в предыдущем примере, за исключением что знаменатель отличается знаком -.
| Разложить на множители числитель и фактор a − выйти
знаменателя. Отменить общий множитель x − 2. Поднесите знак − к числителю и распределите его. |
| Упражнения для тренера по алгебре |
Если вы нашли эту страницу в веб-поиске, вы не увидите
Оглавление в рамке слева.
Щелкните здесь, чтобы отобразить его.
алгебраических дробей: примеры и упрощение |
Знаете ли вы, что слово «алгебра» происходит от арабского слова, переведенного как «аль-джабр», что буквально означает скрепление частей частей целого, например скрепление сломанных костей в ранние времена.
В любом случае, вы не будете учить арабский язык, а поймете, как упростить , умножить , добавить и дробить алгебраических дробей.
Определение алгебраических дробей
Перед определением алгебраических дробей мы сначала напомним определение алгебраических выражений.
Алгебраические выражения — это выражения, содержащие переменные и константы.
, , , некоторые примеры алгебраических выражений.
Теперь мы готовы определить алгебраических дробей .
Алгебраические дроби — это дроби, числитель и знаменатель которых являются алгебраическими выражениями.
Другими словами, числовые дроби имеют вид
Между тем, вместо чисел в числителе или знаменателе в числителе и/или знаменателе присутствуют алгебраические выражения. Следовательно, алгебраические дроби имеют вид
.
Упрощение алгебраических дробей
Упрощение алгебраических дробей — это сокращение алгебраических дробей до мельчайших членов. Здесь наша способность точно делить имеет решающее значение. Мы применяем аналогичные принципы, используемые при упрощении числовых дробей, при выполнении упрощения алгебраических дробей.
И это можно сделать, следуя одному из двух следующих методов:
- Деление на наибольший общий делитель (НОД).
- Непрерывное деление на более простые общие делители.
Мы кратко объясним, как осуществляется первый метод, в последующих примерах, однако мы начнем сначала с примера того, как находить НОД между алгебраическими парами.
Найдите НОД между алгебраической парой 24x 2 y 6 и 6x 3 y 4
.
Решение
. Лучший подход состоит в том, чтобы разбить их на компоненты по отдельности.
для 24x 2 Y 6 , у вас 24, x 2 и Y 6 и для 6x 3 Y 4 , у вас 6, x 3 , и Y 499 499 499 499 499 499 499 499 499 499 499 4999 40250. .
Теперь сравните похожие компоненты и найдите их НОД попарно.
24 и 6: НОД между 24 и 6 равен 6.
x 2 и x 3 : При работе с показателями степени выражением с меньшей степенью является НОД, это означает, что x 2 равно НОД.
y 6 и y 4 : При работе с показателями выражение с меньшей степенью является НОД, это означает, что y 4 является НОД.
The next step is to multiply all your GCDs from the comparisons, to get
Hence the GCD between the algebraic pair: 24x 2 y 6 and 6x 3 y 4 is 6x 2 y 4
Теперь вы знаете, как находить НОД среди алгебраических пар, впредь следует применять его при упрощении алгебраических дробей.
Упростите следующее,
Решение
Шаг 1.
Найдите НОД между числителем и знаменателем. Применяя те же рассуждения, что и в предыдущем примере, НОД между 15t 3 s 4 и 20ts 5 это 5тс 4 .
Шаг 2.
Разделите числитель и знаменатель на НОД, чтобы получить
Теперь давайте рассмотрим использование второго метода, который включает непрерывное деление. Чтобы упростить этот метод, вы можете выразить алгебраическое выражение как произведение его множителей.
Упростите следующие алгебраические дроби
a.
б.
Раствор
а.
Разделим прямо через или переразложим выражение как произведение его множителей,
b.
Делим, чтобы получить,
Факторизация алгебраических дробей
Знание факторизации необходимо при решении задач, связанных с алгебраическими дробями.
На самом деле, давайте посмотрим, насколько хорошо вы помните факторизацию в приведенном ниже примере.
Факторизация
Решение
При разложении на множители выражайте каждое алгебраическое выражение как произведение его множителей (простых множителей для чисел).
Затем мы сравниваем и выделяем общие множители, как показано на рисунке ниже,
Рисунок 1: описание того, как общие множители получаются из алгебраической дроби, StudySmarter Originals
Наш коэффициент равен 2x. Взяв 2x в качестве общего множителя из выражения 4x, у нас останется 2. На самом деле,
И взяв 2x в качестве общего множителя из выражения -2xy, мы получим -y. На самом деле
Таким образом, при факторизации мы получаем
.
Фактор
Решение
Шаг 1.
. Принесите на подключение к терминам, чтобы получить,
Шаг 2.
Использование скобков для разделения аналогичных терминов для легкость в факторизации, чтобы получить
920505050505050505050505050505050505.
20205050505050505050505.Выведите общие факторы из того, что у вас есть в скобках.
Общий множитель между 4x и -2xy равен 2x, поэтому имеем
Общий множитель между и равен 2y, поэтому мы имеем
Таким образом, алгебраическое выражение можно переписать как
Обратите внимание, что факторизация еще не завершена. Выражения (2-y) и (y-2) отличаются знаком минус. Таким образом, переписывая получаем,
Теперь у нас в скобках такое же выражение, возьмем (2-у) как общий множитель между этими выражениями, чтобы получилось,
Мы замечаем, что множители (2x-2y) имеют общий делитель 2, таким образом, мы имеем
Таким образом, полная факторизованная форма исходного алгебраического выражения равна
Чтобы убедиться, что факторизованная форма верна, мы расширяем ее и видим, что получаем то же исходное алгебраическое выражение.
Теперь мы готовы углубиться в следующие примеры.
Упростите следующее,
а.
б.
в.
Раствор
а.
Шаг 1.
Сначала заметим, что знаменатель можно разложить на множители,
Шаг 2.
Теперь подставим факторизованное выражение в основное выражение, чтобы получить
, убедившись, что это .б.
Шаг 1.
И числитель, и знаменатель алгебраической дроби можно разложить на множители, чтобы получить
Шаг 2.
Теперь подставьте факторизованные выражения в алгебраическую дробь, чтобы получить
, убедившись, что это .
в.
Шаг 1.
И числитель, и знаменатель алгебраической дроби можно разложить на множители, чтобы получить является .
Сложение алгебраических дробей
Как и числовые дроби, алгебраические дроби можно складывать путем нахождения наименьшего общего знаменателя (LCD) между алгебраическими дробями при таких операциях.
Добавьте следующие алгебраические дроби,
а.
б.
в.
Раствор
а.
Шаг 1.
Находим наименьший общий знаменатель (LCD) между двумя знаменателями. ЖК-дисплей между y и y 2 есть у 2 .
Далее умножаем числитель и знаменатель на ЖК , чтобы получить,
Шаг 2.
Теперь у нас есть две дроби с одинаковым знаменателем, складываем только числители, чтобы получить,
б.
Шаг 1.
Находим наименьший общий знаменатель (НОД) между знаменателями. LCD между x+1 и x-2 является их произведением (x+1)(x-2).
Шаг 2.
Далее умножаем числитель и знаменатель первой дроби на (x-2), а числитель и знаменатель второй дроби на (x+1), чтобы получить,
Поскольку две полученные дроби имеют одинаковый знаменатель, мы складываем непосредственно числители, сохраняя знаменатель, чтобы получить
c.
Шаг 1.
Найдите наименьший общий знаменатель (LCD). ЖК-дисплей между p 2 -5p+6 и p-3 равен p 2 -5p+6, потому что когда p 2 -5p+6 факторизуется как (p-2)(p-3). Замените p 2 -5p+6 на (p-2)(p-3) для простоты вычислений. Теперь у вас есть ЖК-дисплей, умножьте числитель и знаменатель второй дроби на 9.0208
Поскольку они оба имеют одинаковый знаменатель, вы можете складывать напрямую, сохраняя знаменатель. Следовательно;
Обратите внимание, что p 2 -2p+1 при факторизации даст (p-1)(p-1). Таким образом, при подстановке в выражение получается
Вычитание алгебраических дробей
Алгебраические дроби можно не только складывать, но и вычитать. Вычитание алгебраических дробей очень похоже на сложение, разница заключается в применении знака минус (-).
Упростите следующее,
а.
б.
в.
Решение
Мы ссылаемся на предыдущий пример для расчета LCD между рассматриваемыми дробями.
а.
Шаг 1.
Найдите наименьший общий знаменатель (LCD). ЖК-дисплей между y и y 2 равен y 2 .
Шаг 2.
Умножьте числитель и знаменатель первой дроби на y, чтобы получить
б.
Шаг 1.
ЖКИ между двумя знаменателями (x+1)(x-2).
Шаг 2.
Умножив числитель и знаменатель первой дроби на (x-2), а числитель и знаменатель второй дроби на (x+1), получим
Шаг 3.
Поскольку у двух дробей один и тот же знаменатель, мы вычитаем напрямую, сохраняя знаменатель, чтобы получить
c.
Шаг 1.
LCD между знаменателями двух дробей .
Шаг 2.
Мы умножаем числитель и знаменатель второй дроби на (p-2), чтобы получить
Поскольку две дроби имеют одинаковый знаменатель, мы вычитаем напрямую, сохраняя знаменатель, чтобы получить
Умножение алгебраических дробей
Произведение алгебраических дробей также можно вычислять как другие числовые дроби.
Мы умножаем числители вместе и знаменатели вместе.
Умножьте следующее,
Решение
Умножьте, чтобы получить
Умножьте следующее,
a.
б.
в.
Раствор
а.
Мы можем умножить как числители, так и знаменатели, прежде чем в конечном итоге разделить общие делители напрямую, таким образом, мы получим
b.
Факторизируем знаменатель второй дроби, чтобы получить
Теперь подставим факторизованное выражение в основное выражение, чтобы получить
c.
Мы обеспечиваем факторизацию алгебраических выражений для облегчения умножения,
Затем мы подставляем факторизованные выражения в основное выражение, чтобы получить,
Деление алгебраических дробей
Частное двух алгебраических дробей можно вычислить по формуле умножение первой дроби на обратную вторую дробь.
That is,
Simplify
Solution
We write the reciprocal of the second algebraic fraction and change the division sign to multiplication sign to get
Simplify the following,
а.
б.
Раствор
а.
Преобразуем выражение, изменив знак деления на знак умножения и воспользовавшись обратной алгебраической дробью справа, чтобы получить
б.
Сначала мы преобразуем выражение, изменив знак деления на знак умножения и воспользовавшись обратной алгебраической дробью, чтобы получить
Затем разложим квадратные выражения на множители алгебраические дроби и упростить, чтобы получить
При этом гарантируя, что то есть и то есть.
Примеры алгебраических дробей
Хотя мы видели несколько примеров алгебраических дробей, вы увидите дальнейшее применение алгебраических дробей в текстовых задачах.
Когда определенное число уменьшается на 8, оно равно сумме одной трети числа и его половины. Найдите число.
Решение
Назовем неизвестный номер w. Теперь мы можем составить уравнение относительно w.
Первая часть говорит, что число уменьшается на 8, значит,
Эта вторая часть представляет собой сумму одной трети числа и его половины, это означает
Теперь нам говорят, что первая часть эквивалентна второй части.
Таким образом, мы имеем
Далее находим наименьший общий знаменатель (НОД) и умножаем на него все уравнение. ЖК между 3 и 2 равен 6. Следовательно, имеем
Соединяем одинаковые члены и решаем дальше,
Когда квадрат положительного числа прибавляется к , получается 1. Найдите целое число.
Решение
Обозначим неизвестное целое число z.
Нам говорят, что знаменатель прибавляется к квадрату целого числа. Таким образом,
Далее нам говорят, что когда это будет сделано, наш результат будет 1. Следовательно,
Таким образом,
Напомним, что вопрос указывает, что это положительное число , таким образом .
Алгебраические дроби. Ключевые выводы
- Алгебраические дроби — это дроби, содержащие алгебраические выражения.
- Упрощение алгебраических дробей означает сокращение алгебраических дробей до наименьших членов.
- Знание факторизации необходимо при решении задач, связанных с алгебраическими дробями.
- Алгебраические дроби можно складывать и вычитать.
- Алгебраические дроби можно умножать и делить.
Основы дробей | Определение, примеры, типы, правила, преобразование
Введение:Иногда дроби неправильно понимаются как сложные для понимания, хотя на самом деле они довольно просты. Когда мы не понимаем основ математической идеи, мы можем всю оставшуюся жизнь грызть ногти. Этого не должно быть в случае с дробями, поскольку мы рассмотрим их, а также основы дробей в этом посте, что сделает их полностью доступными для всех.
ОпределениеДроби — это дробные числа, обозначающие часть целого. Каждая отдельная часть предмета или группы предметов является дробью, когда они разделены на равные части. В большинстве случаев дробь представляется как 1/2, 5/12, 7/18 и так далее.
Дробь — это часть объекта, являющаяся частью целого.
Он имеет такую форму.
а/б.
Термин «фракция» происходит от латинского слова «fractious», что означает «сломанный».
Фракция существует со времен Египта, который считается одной из самых ранних цивилизаций в мире. С другой стороны, дроби не считались числами; вместо этого они использовались для сравнения целых чисел друг с другом.
Числитель — это верхняя часть, а знаменатель — нижняя часть.
Числитель обозначает общее количество равных частей, на которые делится целое, тогда как знаменатель представляет собой общее количество равных частей, на которые делится целое. Количество удаленных равных частей является числителем.
Пример
Числитель и знаменатель дроби 3/4, , например, равны 3 и 4.
Следовательно, дроби — это действительно математическое представление чего-то, что разделено на две или более составляющих. . Знаменатель и числитель — два элемента дроби. Косая черта разделяет их в печатном выражении.
Термин дробь часто используется в математике для обозначения алгебраического уравнения, которое не является рациональным значением (где числитель и знаменатель не являются целыми числами).
Например, формулы, содержащие радикалы, такие как рад2/2, и дроби, такие как пи/4, называются дробями.
Существуют дополнительные математические дроби с неизвестными значениями для a и b (при условии, что b = 0), в том числе такие ab.
Пример
Мы хотим разделить лист на три равные части
Разобьем что-нибудь на составляющие элементы. Давайте просто разрежем яблоко на четыре части. Мы хотим отдать три части яблока после того, как поделили его, оставив нам только одну.
Так как мы хотим получить процент от деления, которое мы только что сделали, мы дадим 3/4 апельсина.
Examples
- $\frac{1}{5}$
- $\frac{45}{7}$
- 5/6
- 99/100
- ½
Приближается день рождения, и ваша мама заказала пиццу для вас и ваших друзей.
Когда люди открывают коробку с пиццей, можно заметить, что она уже нарезана на кусочки. Предположим, что есть восемь ломтиков и у вас есть семь приятелей. Таким образом, восемь человек едят восемь сегментов пиццы.
Типы дробей
Дроби в математике делятся на три категории.
Правильные дроби, неправильные дроби и смешанные дроби — это три типа. Дроби – это члены со знаменателем и числителем. Мы описываем его типы на основе этих двух терминов.
Терминология, используемая для обозначения частей целого предмета, — дроби. Хлеб, например, разрезают на четыре части, каждая из которых представляет собой четверть хлеба. В числителе 1, в знаменателе 4.
Знаменатель показывает, на сколько частей разделено яблоко, а числитель показывает, сколько частей мы раздали. Знаменатель был бы 6 вместо 4, если бы мы разделили яблоко на 6 частей. А половинка яблока будет 1/2.
Чтобы выразить дробь в числовой строке, выполните следующие действия:
1.
Проведите числовую строку посередине страницы.
2. Закройте ячейки 0 и 1 (оставьте достаточно места)
3. Между 0 и 1 знаменатель (внизу) сообщит вам, сколько равных частей вам нужно сделать.
4. Чтобы изобразить дробь, числитель (вверху) сообщит вам, сколько равных частей нужно раскрасить.
Типы дробейВ дроби есть два простых варианта:
Знаменатель больше числителя.
Числитель превышает знаменатель.
Правильные дроби ОпределениеЭто правильная дробь, если числитель меньше знаменателя. Все эти дроби меньше единицы, и ни одна из них не окажется на числовой прямой больше единицы. Числитель – это количество равных частей, на которые делится целое.
Пример
Числитель — это количество этих равных компонентов, которые учитываются. Приведенный выше пример с пиццей для каждого человека, получающего 1/8 часть пиццы, является примером правильной дроби.
Если числитель больше знаменателя, это неправильная дробь. Эти дроби больше единицы и лежат на числовой прямой после единицы. Когда более чем одна вещь делится поровну на отдельные части, в игру вступает . Необходимое количество равных частей представлено в знаменателе. Числитель – это общее количество предметов.
Примеры
Правильная дробь — 3/4, а неправильная — 8/5.
Ошибочная дробь требует использования элементов из другой части с тем же объектом. 6/4 яблока, например, указывает на то, что оставшиеся два кусочка яблока были взяты из какого-то другого яблока.
Арифметика с дробями Сложение и вычитание дробейОбщие знаменатели
Когда числа внизу одинаковы, сложение и вычитание дробей выполняется просто.
Знаменатели – это числа, составляющие дробь.
Примеры
$\frac{5}{9}+\frac{3}{9} = \frac{8}{9}$
$\frac{5}{9} – \frac{ 3}{9} = \frac{2}{9}$
При вычитании дробей, у которых знаменатель одинаковый, мы просто вычитаем числители, когда дроби имеют одинаковый знаменатель.
= знаменатель/числитель
А если знаменатели дробей разные? В этой ситуации мы находим наименьшее общее кратное знаменателей, чтобы сделать их равными (НОК).
Сложение и вычитание неправильных дробей с разными знаменателями- Шаг 1: Найдите между обоими знаменателями наименьшее общее кратное (НОК).
- Шаг 2: Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на число в этом
- В качестве нового знаменателя они выбрали НОК.
- Шаг 3: Не изменяя знаменатель, добавьте или удалите числители.
- Шаг 4: Преобразуйте дробь в смешанное число, если решение имеет неподходящую форму.
Пример
Вычтите дроби из общего числа.
$\frac{1}{2} – \frac{1}{3}$
Шаг 1: Составьте список всех двух- и трехзначных кратных.
Кратные 2 равны 2, 4, 6, 8, 10, 12…
Кратные 3 равны 3, 6, 9, 12, 15, 18 …
Среди 2 и 3 наименьшее общее кратное равно 6.
Шаг 2: а) Найдите разнообразие, которое после умножения на нижнюю часть шкалы равно
в качестве нового знаменателя, мы получим НОК (6)
$\frac{1 x 3}{2 x 3} = \frac{3}{6}$
$\frac{1 x 2}{3 x 2} = \frac{2}{6}$
$\frac{3}{6} – \frac{2}{6}$
3: Теперь мы можем вычесть числители наших дробей, потому что теперь они содержат срезы одинакового размера.
В результате имеем
= $\frac{1}{6}$
Следовательно,
Приведение кратного числителя первой дроби к знаменателю последующей дроби, а также числителя второй дроби к знаменателю первой дроби
Итак, перемножьте знаменатели.
Деление дробейДеление, как и целых чисел, влечет за собой образование эквивалентных групп. Учащиеся осознают связь между равным и справедливым разделением в результате своего предыдущего опыта разделения и разделения.
Дробь — это результат деления двух целых чисел на их частное. Например, если мы хотим разделить три объекта поровну между пятью людьми, учащиеся понимают, что деление может быть использовано для решения проблемы. Однако, поскольку частное 4/7 не может быть представлено целым числом, необходимо представить дополнительные числа: дробь 4/7.
Сравнение дробей- Шаг 1: Оцените знаменатели двух дробей. Приведите одну или обе дроби к общему знаменателю, если они различны.
- Шаг 2: Дважды проверьте знаменатели. Дробь с большим числителем является большей дробью, если знаменатели одинаковы. Дробь с наименьшим числителем наименьшая. И, как было сказано ранее, дроби идентичны, если одинаковы числители.
- Дробь с большим числителем является большей дробью, потому что она содержит больше частей целого, если знаменатели одинаковы. Поскольку оно состоит из меньшего количества частей целого, дробь с меньшим числителем является меньшей дробью.
- Помните, что знак означает «меньше», тогда как символ > означает «больше». Символы неравенства представлены этими символами. В результате верное утверждение 3 8 означает «3 меньше 8», а ложное утверждение 5 > 3 означает «5 больше 3». Подумайте о том, что меньший конец символа указывает на меньшее число, чтобы помочь вам вспомнить разницу между двумя символами.
- Это означает, что для получения эквивалентных дробей необходимо умножить и числитель (верхнее число), и знаменатель (нижнее число) на одно и то же число.
- В результате понятие эквивалентности сопоставимо с идеей равенства.
Дроби также могут быть определены как отношения. 3/11, например, можно интерпретировать как вероятность того, что событие произойдет пять раз из восьми. Компонент, например соотношение самцов и самок в классе, и часть-целое, например соотношение самцов ко всему классу, — это два способа представления соотношений.
Способность учащихся понимать дроби в уме зависит от их способности общаться на дробном языке. Однако это не означает, что преподаватели должны сосредоточиться исключительно на обучении определениям дробей; скорее, педагоги должны начать с объяснения того, что такое дроби. Дроби действительно являются способом представления и описания части большего целого.
Правила упрощения дробиДаже если мы не будем следовать правилам, упростить дробь несложно.
- Когда наше решение не соответствует формату, необходимому для задачи, нам нужно уменьшить дроби. На самом деле, большинство учителей математики будут настаивать на том, чтобы вы всегда записывали результирующую дробь в ее самой простой форме.
- На практике есть две ситуации, в которых важно упростить ответ.
- Нашим ответом на самом деле могла бы быть эквивалентная правильная дробь более высокого уровня, которая лучше выражена в ее редуцированном состоянии или наименьшем компоненте. Когда это возможно, многие преподаватели предлагают учащимся сократить ответ.
- Кроме того, многочисленные процедуры часто приводят к ошибочной дроби. В этом случае числитель больше знаменателя. Нам нужно преобразовать эти ответы в смешанное число, чтобы записать их в простейшей форме. Целые части и дробная часть будут представлены таким образом.
На самом деле, большинство учителей математики будут настаивать на том, чтобы вы всегда записывали результирующую дробь в ее самой простой форме.Вот как можно упростить или привести дроби к их простейшей форме…
$\frac{ac}{bc} = \frac{a x c}{b x c} = \frac{ а}{б}$
Только помните.
..
Все, что мы имеем с числителем дроби, нужно сделать и со знаменателем. Если числитель нужно разделить на число, то и знаменатель нужно разделить на то же число. Вы не измените общее значение дроби таким образом.
Чтобы получить сокращенное решение, мы разделили числитель и знаменатель на «с» в нашем правиле.
Вот что происходит. Несмотря на то, что вы правильно рассчитали дроби, ваше решение вполне может не показывать наименьшую эквивалентную дробь. Разбивка числителя и знаменателя на простые целые числа — это самый быстрый способ убедиться, что ваш ответ будет в самой простой форме.
Факторизация простых чисел — термин для этой процедуры.
А вот пример , который поможет нам определить…
$\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6}$
= $\ frac{2}{3 x 2} = \frac{2}{3}$
Обратите внимание, что даже после объединения дробей первоначальный ответ равен «2/4». Мы должны разложить числитель и знаменатель на простые числа, чтобы увидеть, является ли наше решение простейшей формой.
Простые числа, сходные как в числителе, так и в знаменателе, — это как раз то, что мы ищем. Затем мы можем сбалансировать эти частые числа, если обнаружим их. Результатом является дробь, которая была уменьшена до наименьшей сопоставимой дроби.
Ответ не в самой простой форме, поскольку «2» является общим элементом как в числителе, так и в знаменателе нашего примера выше. В результате мы разделили на «2» один на один, чтобы исключить (/) одну из двоек как в числителе, так и в знаменателе. Конечным результатом является «сокращенная дробь», упрощенная до простейшей формы.
Упрощенные неправильные дробиМожно вспомнить, что неправильная дробь — это та, в которой числитель больше знаменателя. В результате, всякий раз, когда вы выполняете дробную операцию и получаете неправильную дробь, вам почти всегда придется уменьшать ответ. Результаты будут представлены в виде составного числа.
Чтобы из неправильной дроби сделать смешанное число, просто разделите числитель на знаменатель.
Там будет целое число и дробная часть ответа.
Пример
= $\frac{13}{2}$
= $6 \frac{1}{2}$
Как мы видим, это относительно простая процедура. Однако помните, что когда остатка нет, решением является ЦЕЛОЕ ЧИСЛО.
Убедитесь, что оставшаяся дробь написана максимально простым языком. Если нет, то придется снизить.
Как видим, упростить дроби несложно. Просто следуйте приведенным выше процедурам, и преобразование дробей в их более простую форму будет полезным.
Дробь Преобразование:Дробь — это часть целого. Числитель и знаменатель — это два элемента дроби. Термин «преобразование» относится к процессу изменения фразы из одной формы в другую. Преобразование дробей в десятичные, дробей в проценты и неправильных дробей в смешанные дроби и наоборот — все это примеры преобразования дробей.
Преобразование десятичной дроби в дробнуюДля преобразования десятичной дроби в дробную можно использовать следующие шаги:
В данном случае мы будем использовать десятичную дробь 0,25 в качестве примера.
Перепишите десятичное число как дробь с единицей в знаменателе и десятичным числом в качестве числителя.
И числитель, и знаменатель следует умножить на 10 в степени ряда чисел после запятой. Если после запятой стоит только одно число, умножьте его на десять; если их два, умножь на сто; если их три, увеличьте на тысячу и так далее.
Пример
17,48 = 1748/100
= 437/25 неправильное значение
Преобразование дроби – это процесс преобразования дроби из одной формы в другую, например, из дробей в цифры или из дробей в проценты. Важно помнить, что вы должны разделить числитель на знаменатель, чтобы преобразовать дробь в десятичную. Кроме того, разделите числитель на знаменатель, чтобы перевести дробь в проценты. Затем десятичная дробь умножается на 100.
Заключение- Дроби — обычное явление в нашей повседневной жизни.
- Дроби используются в различных ситуациях, от простого разрезания яблок до сложных научных исследований.
