Дроби с разными знаменателями примеры: § Сложение дробей с разными знаменателями. Как найти общий знаменатель

общий знаменатель, алгоритм, решение примеров

Математика

12.11.21

14 мин.

Пожалуй, одной из самых популярных арифметических операций в алгебре является вычитание дробей с разными знаменателями. Алгоритм выполнения этого действия несложен и ничем не отличается, по сути, от сложения.

Оглавление:

• Общие сведения
• Нахождение общего знаменателя
• Алгоритм вычитания
• Решение примеров

Базируется он на основном свойстве отношений, позволяющем домножить числитель и знаменатель на одно и то же число. Следует отметить, что знание операции позволяет в дальнейшем приводить сложные выражения к простому виду, упрощая вычисления.

Общие сведения

Для того чтобы успешно научиться вычитать дроби, нужно понимать суть термина. В математике под ним понимают число, которое состоит из одной или нескольких долей единицы. Простыми словами, это отношение чего-то к целому. Например, пусть имеется арбуз. Его можно разрезать на равные части, то есть как бы подробить. По факту количество ягоды не изменится. Но если съесть один кусочек, то на тарелке останется три. Количественно в математике это действие можно описать дробью. Для рассматриваемого примера запись будет иметь вид: ¾.

В верхней части цифра обозначает долю от целого, а в нижней — на сколько равных кусков было разделено целое.

Делимое, то есть число, которое изменяется, называют числителем, а делитель — знаменателем. Дробь всегда будет меньше целой части.

В зависимости от соотношения частей, дробные выражения принято разделять на следующие типы:

1. Правильные. Рациональные числа, в которых делимое количественно меньше делителя.
2. Неправильные. Простые выражения, у которых значение знаменателя меньше величины числителя или совпадает с ним по численности.
3. Смешанные. Отношения, состоящие из натурального числа и правильной дроби.
   Практически они представляют собой их сумму.

Кроме этого, существует ещё отдельный класс выражений, называемый десятичным. К нему относят отношения, в которых знаменатель — это число десять в степени с любым натуральным числом.

Записывают десятичные выражения, используя в качестве разделителя запятую. Например, 1/10 = 0,1.

С дробями, так как по факту это числа, разрешено выполнять любые математические действия. Самые простые из них — это умножение и деление, немного сложнее сложение и вычитание. Чтобы вычитать обыкновенные дроби, нужно знать их основное свойство. Сформулировать его можно следующим образом: если делитель и делимое умножить или разделить на одну и ту же величину, то результат отношения не изменится. Причём такую операцию можно выполнять сколько угодно раз.

Естественно, это не должен быть ноль, иначе выражение потеряет смысл. Например, ¾ = (3 * n)/(4 * n). Это свойство позволяет не только преобразовывать выражение, делая вычисления проще и удобнее, но и выполнять вычитание.

Всё дело в том, что при выполнении действия находят так называемые дополнительные множители, которые можно определить, опираясь на основное свойство.

Нахождение общего знаменателя

Основная сложность, которая может возникнуть при нахождении разности дробей, — это правильное определение общего знаменателя.

В качестве него выступает положительное число, делящееся на делители вычитаемых выражений без остатка. Искомый параметр можно находить как для двух дробей, так и сразу для нескольких.

В простейшем понимании такое число можно получить простым перемножением знаменателей.

Но такой подход будет нерациональным, хотя назвать его в корне неправильным нельзя.

Общее правило для вычисления наименьшего общего знаменателя (НОЗ):

1. Из чисел, стоящих в делимых, выбрать наибольшее и исследовать его на возможность деления с оставшимися. Если такое действие возможно, то выбранное значение и будет НОЗ. В ином случае переходят ко второму пункту.
2. Наибольший знаменатель умножают на два и проверяют делимость полученного числа на все остальные.
3. На этом шаге наибольший знаменатель умножают на три и повторяют проверку.
4. Если НОЗ не найден, делители раскладывают на простые множители. В результате повторяющиеся числа убирают, а оставшиеся перемножают. Получившееся произведение и будет НОЗ.

Таким образом, чтобы найти нужный знаменатель, необходимо уметь раскладывать простые числа на множители. Эта операция является тождественным преобразованием. Выполняется она в несколько этапов.

Сначала ищется наименьшее число, на которое можно разделить исходное без остатка. Затем выполняют деление и повторяют действие, но уже для полученного значения. Операцию повторяют до тех пор, пока в ответе не получится единица.

Понять процедуру проще на примере. Пусть нужно выполнить вычитание двух дробей, у которых в знаменателях стоит 15 и 40. Следуя алгоритму, нужно наибольшее из этих чисел умножить на два и попробовать выполнить деление. В ответе получится число 80, которое на 15 разделить без остатка невозможно. Поэтому можно попробовать выполнить умножение на три: 40 * 3 = 120. Полученное произведение можно разделить на 15, в ответе будет восемь. Значит, 120 и будет искомым общим знаменателем.

Это значение можно было найти и пойдя путём разложения. Так, 15 можно представить как 5 * 3, а 40 в виде произведения 2 * 2 * 2 * 5. При сравнении записей видно, что и в первой, и во второй стоит цифра пять. Поэтому в одной из них её нужно убрать, а оставшиеся члены перемножить: 3 * 2 * 2 * 2 * 5 = 120. Ответ идентичен.

Алгоритм вычитания

Следует отметить, что сложение и вычитание дробей выполняется по одинаковому алгоритму. Единственное отличие в арифметическом знаке действия. Если нужно из одного дробного выражения вычесть другое, рекомендуется придерживаться следующего алгоритма:

• если в многочлене стоит смешанная дробь, то преобразовать её в неправильную;
• исследовать вычитаемое и уменьшаемое на возможность упрощения;
• найти наименьшее общее кратное среди знаменателей;
• вычислить дополнительные множители;
• домножить числители на найденные для них значения;
• записать в знаменатель НОЗ, а в числитель разницу произведений делимых;
• при возможности сократить дробь;
• привести ответ к виду смешанного числа в случае получения неправильной дроби.

Как можно заметить, алгоритм простой. Но может возникнуть вопрос по нахождению дополнительных множителей, несмотря на то что действие относят к простым операциям. После того как найден общий знаменатель, нужно делитель вычитаемого и уменьшаемого разделить на это число. Полученные значения и будут являться искомыми аргументами, предназначенными для домножения.

Кроме этого, необходимо обратить внимание на вычитание дробей разного типа. Чтобы правильно их вычесть, желательно вначале выполнить преобразование. Смешанное выражение можно довольно просто представить в виде неправильного числа. Для этого следует умножить целую часть на знаменатель и к полученному произведению добавить делимое. Затем результат сложения записать в числитель, а знаменатель оставить неизменным.

Существует и другой путь, обратный, то есть неправильную дробь превратить в смешанное число. Для этого числитель нужно разделить на знаменатель. По результату операции остаток записывают в делимое, а делитель оставляют без изменения. Целую же часть прибавляют к дробной. После того как два числа будут смешанными, алгоритм вычитания немного изменяется. Так, целые части вычитают отдельно от дробных чисел, а затем результаты просто складывают.

Какой алгоритм использовать для того, чтобы отнять дроби друг от друга, не принципиально.

Всё дело в привычке и навыках решающего.

Но, пожалуй, способ, заключающийся в переводе смешанного числа в неправильное выражение, проще. Другой же метод лучше использовать, когда надо вычесть из целого числа дробное или же наоборот.

Решение примеров

Чтобы научиться правильно вычитать дроби с разными знаменателями, нужно самостоятельно решить несколько задач. Обычно хватает проработать порядка пяти примеров, чтобы получить необходимый опыт. Вот некоторые наиболее интересные задания:

1. Вычислить разницу: (4 / 7) — (2 / 21). Придерживаясь алгоритма, вначале нужно найти общий знаменатель. Число в вычитаемом можно разделить на делитель уменьшаемого без остатка. Поэтому оно и будет искомым выражением. Далее, для первого члена дополнительным множителем будет 21: 7 = 3, а для второго 21: 21 = 1. Значит, решение примет следующий вид: (4 / 7) — (2 / 21) = ((3 * 4) — 2) / 21 = 10 / 21.
2. Определить результат действия: 4 (1 / 3) — 1 / 7. Перед началом выполнения вычитания нужно смешанную дробь привести к неправильному виду, а уже после действовать по алгоритму. Итак, 4 (1 / 3) = ((4 * 3) + 1) / 3 = 13 / 3. Отсюда (13 / 3) — 1 / 7 = ((7 * 13) — (3 * 1)) / 21 = (91 — 3) / 21 = 88 / 21. Полученный ответ нужно представить в виде смешанного выражения: 88 / 21 = (4 + 4 * 21) / 21 = 4 (4 / 21).
3. Сравнить два выражения по модулю: 4 / 5 — 12 / 4 — 4 (5 / 6) и 11 — 3 (1 / 3) + 8 / 7. Чтобы определить, какое из них больше, необходимо выполнить действия. Первый многочлен будет равен: 4 / 5 — 25 / 4 — 4 (5/6) = 4 / 5 — 12/ 4 — (4 * 6 + 5) / 6 = 4 / 5 — 25 / 4 — 29 / 6 = ((12*4) — (15 * 25) — (29 * 10)) / 60 = (48 — 375 — 290) / 60 = — 617 / 60 = -(17 + 10 * 60) / 60 = -10 (17 / 60). Второе выражение можно вычислить так: 11 — 3 (1 / 3) — 8 / 7 = 11 — 3 + 1 / 3 — 8 / 7 = 8 + 1 /3 — 8 / 7 = 8 + ((1*7) — (8 * 3)) / 21 = 8 + (7 — 24) / 21 = 8 — 17 / 21 = (8 / 1) — (17 / 21) = (168 — 17) / 21 = 151 / 21 = 74 / 21. Полученные ответы нужно сравнить без учёта знака. Поэтому можно утверждать, что первое выражение будет больше второго.

Таким образом, отнимать дроби с разными знаменателями не так уж и сложно. Нужно просто найти общий знаменатель, дополнительные множители и выполнить вычитание. При этом следует упомянуть так называемые онлайн-калькуляторы. Это веб-сервисы, которые в автоматическом режиме выполняют вычитание.

Их довольно удобно использовать не только для проверки самостоятельно решённых примеров, но и на стадии обучения.

Всё дело в том, что, кроме быстрого решения, эти сайты могут предоставить пользователям подробные решения того или иного примера.

Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями / Обыкновенные дроби / Справочник по математике 5-9 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по математике 5-9 класс
4. Обыкновенные дроби
5. Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

 Мы уже умеем сравнивать, складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями. Теперь рассмотрим сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, надо: 1) привести данные дроби к общему знаменателю; 2) применить правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример:

Сравним дроби .

Приведем данные дроби к наименьшему общему знаменателю 10, получим:

Чтобы сложить (вычесть) две дроби с разными знаменателями, надо: 1) привести данные дроби к общему знаменателю; 2) применить правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.

Примеры:

1) Найдем сумму .

Наименьший общий знаменатель дробей равен 15. Каждую из этих дробей заменим на ей равную со знаменателем 15. Этой заменой мы сложение дробей с разными знаменателями сведем к сложению дробей с одинаковыми знаменателями, получим:

2) Найдем разность .

Наименьший общий знаменатель дробей равен 35. Каждую из этих дробей заменим на ей равную со знаменателем 35. Этой заменой мы вычитание дробей с разными знаменателями сведем к вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями, получим:

Для дробей, как и для натуральных чисел, выполняются свойства сложения:

1) Переместительное свойство:

2) Сочетательное свойство:

Сложение и вычитание смешанных чисел

Чтобы выполнить сложение смешанных чисел, нужно: 1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; 2) отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно дробных частей. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить ее к полученной целой части.

Пример:

Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, нужно: 1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть; 2) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей.

Пример:

Обычно, примеры такого вида, как пример 2, записывают коротко:

Обратите внимание: если в результате сложения или вычитания дробей получается сократимая дробь, то нужно выполнить сокращение.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Доли. Обыкновенные дроби

Сравнение дробей

Делители и кратные

Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Четные и нечетные числа

Признаки делимости на 9 и на 3

Простые и составные числа

Разложение на простые множители

Наибольший общий делитель

Наименьшее общее кратное

Деление и дроби

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Смешанное число

Сложение и вычитание смешанных чисел

Основное свойство дроби

Решето Эратосфена

Приведение дробей к общему знаменателю

Умножение обыкновенных дробей

Деление обыкновенных дробей

Обыкновенные дроби

Правило встречается в следующих упражнениях:

6 класс

Номер 248, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 368, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 477, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 489, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 826, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1276, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 307, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 313, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 665, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1160, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

7 класс

Номер 2, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 4, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 34, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 40, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 75, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 139, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 290, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 429, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 430, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 482, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

---

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями (основные правила, простейшие случаи) 8 класс

Сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями

 

Чтобы складывать и вычитать алгебраические дроби с разными знаменателями, проведём аналогию с обыкновенными дробями и перенесём её на алгебраические дроби.

 

 Рассмотрим простейший пример для обыкновенных дробей.

Пример 1. Сложить дроби: .

Решение:

Вспомним правило сложения дробей. Для начала дроби необходимо привести к общему знаменателю. В роли общего знаменателя для обыкновенных дробей выступает наименьшее общее кратное (НОК) исходных знаменателей.

Определение

 – наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на числа  и .

Для нахождения НОК необходимо разложить знаменатели на простые множители, а затем выбрать все простые множители, которые входят в разложение обоих знаменателей.

; . Тогда в НОК чисел  должны входить две двойки и две тройки: .

После нахождения общего знаменателя, необходимо для каждой из дробей найти дополнительный множитель (фактически, поделить общий знаменатель на знаменатель соответствующей дроби).

.

Затем каждая дробь умножается на полученный дополнительный множитель. Получаются дроби с одинаковыми знаменателями, складывать и вычитать которые мы научились на прошлых уроках.

Получаем: .

Ответ:.

Рассмотрим теперь сложение алгебраических дробей с разными знаменателями. Сначала рассмотрим дроби, знаменатели которых являются числами.

 

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

 

 

Пример 2. Сложить дроби: .

 

Решение:

Алгоритм решения абсолютно аналогичен предыдущему примеру. Легко подобрать общий знаменатель данных дробей:  и дополнительные множители для каждой из них.

.

Ответ:.

Итак, сформулируем алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями:

1. Найти наименьший общий знаменатель дробей.

2. Найти дополнительные множители для каждой из дробей (поделив общий знаменатель на знаменатель данной дроби).

3. Домножить числители на соответствующие дополнительные множители.

4. Сложить или вычесть дроби, пользуясь правилами сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим теперь пример с дробями, в знаменателе которых присутствуют буквенные выражения.

Пример 3. Сложить дроби: .

Решение:

Поскольку буквенные выражения в обоих знаменателях одинаковы, то следует найти общий знаменатель для чисел . Итоговый общий знаменатель будет иметь вид: . Таким образом, решение данного примера имеет вид:.

Ответ:.

Пример 4. Вычесть дроби: .

Решение:

Если «схитрить» при подборе общего знаменателя не удаётся (нельзя разложить на множители или воспользоваться формулами сокращённого умножения), то в качестве общего знаменателя приходится брать произведение знаменателей обеих дробей.

.

Ответ:.

Вообще, при решении подобных примеров, наиболее сложным заданием является нахождение общего знаменателя.

 

Пример вычитания алгебраических дробей с разложением знаменателя на множители

 

 

Рассмотрим более сложный пример.

 

Пример 5. Упростить: .

Решение:

При нахождении общего знаменателя необходимо прежде всего попытаться разложить знаменатели исходных дробей на множители (чтобы упростить общий знаменатель).

В данном конкретном случае:

;

.

Тогда легко определить общий знаменатель: .

Определяем дополнительные множители и решаем данный пример:

.

Ответ:.

 

Примеры на закрепление правил сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями

 

 

Теперь закрепим правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.

 

Пример 6. Упростить: .

Решение:

Ответ:.

Пример 7. Упростить: .

Решение:

.

Ответ:.

 

Пример сложения трёх алгебраических дробей с разными знаменателями

 

 

Рассмотрим теперь пример, в котором складываются не две, а три дроби (ведь правила сложения и вычитания для большего количества дробей остаются такими же).

 

Пример 8. Упростить: .

Решение:

.

Ответ:.

 

Пример вычитания алгебраических дробей с предварительным сокращением

 

 

Теперь рассмотрим пример, в котором необходимо сначала сократить дроби, а затем уже их складывать (вычитать).

 

Пример 9. Упростить: .

Решение:

Рассмотрим первую дробь:

. При этом следует указать, что .

Проведём аналогичные преобразования со второй дробью:

 . При этом следует указать, что .

Таким образом, получаем следующее преобразование:

Ответ:.

 На данном уроке мы рассмотрели правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями, а также решили типовые несложные задачи с использованием этих правил. В дальнейшем мы рассмотрим более сложные примеры задач на эти правила.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
2. Учеба-Легко (Источник).

 

Домашнее задание

1. №№48–51, 53, 54. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
2. Упростить выражение: а) , б) , в) .
3. Вычислить значение выражения  при .
4. Упростить выражение .

 

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Поиск

Нам нужно сделать несколько дополнительных шагов, чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями. Общая стратегия обсуждается ниже. В этом уроке мы рассмотрим несколько примеров, чтобы убедиться, что вы знакомы с этой процедурой.

---

Шаг 1: Даны две разные дроби, знаменатели которых НЕ совпадают.

Шаг 2: Сделайте знаменатели одинаковыми, найдя наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей. Этот шаг точно такой же, как нахождение наименьшего общего знаменателя (LCD).

Шаг 3: Преобразуйте каждую дробь в эквивалентную ей дробь со знаменателем, равным наименьшему общему кратному, найденному на шаге 2.

Шаг 4: Теперь добавьте или вычтите «новые» дроби из шага №3. Всегда сокращайте ответ до самых низких условий.

---

Примеры сложения и вычитания дробей с разными знаменателями

Пример 1: Сложение дробей с разными знаменателями.

Знаменатели двух дробей равны не равно . Нам нужно сделать их равными, найдя их наименьшее общее кратное, которое будет служить их наименьшим общим знаменателем (LCD).

Начните с перечисления кратных каждого знаменателя и определите наименьшее число, которое является общим для них обоих.

У первой дроби уже есть знаменатель, равный НОК = 15, поэтому мы оставим его в покое.

Вторая дробь требует некоторых корректировок, чтобы сделать ее знаменатель равным 15. Сделайте это, умножив ее числитель и знаменатель на число 3.

• Когда их знаменатели сравняются, сложите дроби, добавив их числители, а затем скопировав общий знаменатель.

Дробь {{11} \over {15}} является нашим окончательным ответом, потому что она уже находится в наименьшем члене.

---

Пример 2: Сложите дроби с разными знаменателями.

Мы пока не можем сложить две дроби, потому что у них разные знаменатели, а именно 5 и 9. Начните с перечисления их кратных и выберите наименьшее число, общее для обеих дробей. Это станет их общим знаменателем.

Теперь преобразуйте каждую дробь в эквивалентную дробь с НОК в качестве знаменателя, затем продолжите обычное сложение.

Найдите возможность сократить ответ до наименьшего члена. Числитель и знаменатель {{33} \over {45}} делятся на 3 .

---

Пример 3: Сложите дроби с разными знаменателями.

Иногда нет необходимости находить наименьший общий знаменатель методом списка. Мы можем немедленно найти его, если оба числа являются простыми.

• Простое число — это целое число больше 1, которое делится на 1 и само на себя.

Обратите внимание, что знаменатели 3 и 5 — простые числа. LCD будет просто их произведением, то есть 3 x 5 = 15.

---

Пример 4: Сложите дроби с разными знаменателями.

Решение :

Найдите наименьшее общее кратное знаменателей.

Внесите необходимые коррективы в знаменатель и действуйте как обычно. Сократите свой окончательный ответ до наименьшего члена.

---

Пример 5: Сложите дроби с разными знаменателями.

Решение :

Поскольку знаменатели 11 и 13 являются простыми числами, их произведение будет наименьшим общим знаменателем.

Преобразуйте текущие знаменатели двух дробей в ЖКИ и продолжите обычное сложение.

---

Пример 6: Вычтите дроби с разными знаменателями.

Вычитание дробей с неравными знаменателями очень похоже на сложение.

Приравняйте их знаменатели, используя принцип наименьшего общего кратного. Затем вычтите их числители соответственно.

Преобразуйте каждую дробь в эквивалентную ей дробь со знаменателем, равным LCM = 30 , затем вычтите их числители. Обязательно сократите свой ответ до наименьшего члена.

---

Пример 7: Вычтите дроби с разными знаменателями.

Поскольку оба знаменателя являются простыми числами, их НОК является просто их произведением, таким образом, 7 x 5 = 35,

---

Пример 8: Вычтите дроби с разными знаменателями.

Решение :

Найдите наименьший общий знаменатель, определив НОК знаменателей.

Перепишите две дроби с общим знаменателем, равным НОК = 42 . Вычтите их числители и, если возможно, уменьшите ответ до наименьшего члена.

---

Пример 9: Вычтите дроби с разными знаменателями.

Решение :

Найдите наименьший общий знаменатель, определив наименьшее общее кратное знаменателей.

Вносим коррективы в существующие дроби, чтобы их знаменатель был равен LCD = 40 . После этого вычтите их числители и скопируйте общий знаменатель.

---

Вас также может заинтересовать:

Сложение и вычитание дробей с одинаковым знаменателем
Умножение дробей
Деление дробей
Упрощение дробей
Равные дроби
Обратная дробь

Как складывать дроби с разными знаменателями

Если дроби, которые вы хотите сложить, имеют разные знаменатели, это можно сделать несколькими способами.

Простое добавление дробей

В какой-то момент вашей жизни какой-то учитель где-то сказал вам эти золотые слова мудрости: «Нельзя складывать две дроби с разными знаменателями». Ваш учитель ошибся! Вы можете использовать простой способ, когда числители и знаменатели малы (скажем, 15 или меньше).

Вот как это сделать:

1. Перемножьте две дроби и сложите результаты вместе, чтобы получить числитель ответа.

   Предположим, вы хотите сложить дроби 1/3 и 2/5. Чтобы получить числитель ответа, перемножьте. Другими словами, умножьте числитель одной дроби на знаменатель другой:

   1*5 = 5

   2*3 = 6

   Сложите результаты, чтобы получить числитель ответа:

   5 + 6 = 11

2. Умножьте два знаменателя, чтобы получить знаменатель ответа.

   Чтобы получить знаменатель, просто перемножьте знаменатели двух дробей:

   3*5 = 15

   Знаменатель ответа равен 15.

3. Запишите свой ответ в виде дроби.

Когда вы складываете дроби, вам иногда нужно уменьшить ответ, который вы получаете. Вот пример:

Поскольку и числитель, и знаменатель — четные числа, вы знаете, что дробь можно уменьшить. Так что попробуйте разделить оба числа на 2:

Эту дробь нельзя уменьшить, поэтому 37/40 — окончательный ответ.

В некоторых случаях может потребоваться добавить более одной дроби. Метод аналогичен, с одной небольшой поправкой.

1. Начните с умножения числителя первой дроби на знаменателя всех остальных дробей.

   (1*5*7) = 35

2. Проделайте то же самое со второй дробью и прибавьте это значение к первой.

   35 + (3*2*7) = 35 + 42

3. Проделайте то же самое с оставшимися фракциями.

   35 + 42 + (4*2*5) = 35 + 42 + 40 = 117

   Когда вы закончите, у вас будет числитель ответа.

4. Чтобы получить знаменатель, просто умножьте все знаменатели вместе:

   Вам может понадобиться уменьшить или заменить неправильную дробь смешанным числом. В этом примере вам просто нужно изменить номер на смешанный:

Добавление дробей с помощью метода быстрого трюка

Вы не всегда можете использовать этот метод, но вы можете использовать его, когда один знаменатель кратен другому. Посмотрите на следующую задачу:

Сначала решите ее простым способом:

Это большие числа, и вы еще не справились, потому что числитель больше знаменателя. Ответ — неправильная дробь. Что еще хуже, числитель и знаменатель являются четными числами, поэтому ответ все равно нужно сократить.

При некоторых проблемах со сложением дробей существует более разумный способ работы. Хитрость заключается в том, чтобы превратить задачу с разными знаменателями в более простую задачу с тем же знаменателем.

Прежде чем сложить две дроби с разными знаменателями, проверьте знаменатели, чтобы узнать, кратен ли один из них другому. Если это так, вы можете использовать быстрый трюк:

1. Увеличьте члены дроби с меньшим знаменателем, чтобы она имела больший знаменатель.

   Взгляните на предыдущую задачу по-новому:

   Как видите, 12 делится на 24 без остатка. В этом случае вы хотите возвести члены 11/12 так, чтобы в знаменателе было 24:

   Чтобы заполнить вопросительный знак, трюк состоит в том, чтобы разделить 24 на 12, чтобы узнать, как связаны знаменатели; затем умножьте результат на 11:

   ? = (24 ÷ 12) 11 = 22

2. Перепишите задачу, подставив эту увеличенную версию дроби, и дополните.

   Теперь вы можете переписать задачу так:

   Как видите, цифры в этом случае намного меньше и с ними проще работать. Ответ здесь — неправильная дробь; превратить его в смешанное число легко:

Сложение дробей традиционным способом

Используйте традиционный способ только тогда, когда вы не можете использовать ни один из других методов (или когда вы знаете наименьшее общее кратное [НОК], просто взглянув на знаменатели).

Вот традиционный способ сложения дробей с двумя разными знаменателями:

1. Найдите НОК двух знаменателей.

   Предположим, вы хотите сложить дроби 3/4 + 7/10. Сначала найдите НОК двух знаменателей, 4 и 10. Вот как найти НОК, используя метод таблицы умножения:

   • Кратность 10: 10, 20, 30, 40

   • Кратность 4: 4, 8, 12, 16, 20

   Таким образом, НОК 4 и 10 равно 20.

2. Увеличьте члены каждой дроби так, чтобы знаменатель каждой равнялся НОК.

   Увеличьте каждую дробь до большего члена так, чтобы знаменатель каждой был равен 20.

3. Замените эти две новые дроби исходными и сложите.

   На данный момент у вас есть две дроби с одинаковым знаменателем:

   Когда ответ представляет собой неправильную дробь, вам все равно нужно изменить ее на смешанное число:

Об этой статье

Эту статью можно найти в категории:

• Предварительная алгебра ,

Сложение дробей с разными знаменателями

Сложение дробей с разными знаменателями, которые нам нужны для суммирования означает . В этом случае мы преобразуем данные дроби в подобные дроби, чтобы получить общие знаменатели, чтобы их стало легче складывать. Это делается путем нахождения наименьшего общего кратного (НОК) заданных знаменателей. Преобразуем каждую дробь таким образом, чтобы у нас был общий знаменатель, а затем складываем числители, чтобы получить сумму.

В этой статье мы научимся поэтапно складывать дроби с разными знаменателями. Мы также обсудим сложение смешанных дробей с разными знаменателями вместе с несколькими решенными примерами для лучшего понимания концепции.

1.	Что такое сложение дробей с разными знаменателями?
2.	Шаги для сложения дробей с разными знаменателями
3.	Как складывать дроби с разными знаменателями?
4.	Сложение смешанных чисел с разными знаменателями
5.	Часто задаваемые вопросы о сложении дробей с разными знаменателями

Что такое сложение дробей с разными знаменателями?

Когда знаменатели не совпадают, дроби называются непохожими дробями. Например, 3/5 и 6/7 называются разными дробями, потому что у них разные знаменатели. Чтобы сложить две или более заданные дроби, знаменатели которых различны или различны, нам нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. После нахождения НОК умножаем данные дроби на такое число, чтобы их знаменатели оставались общими. Уравняв знаменатели, мы можем просто сложить числители.

шагов для сложения дробей с разными знаменателями

Следующие шаги показывают процедуру сложения дробей с разными знаменателями.

• Шаг 1: Сначала мы находим наименьшее общее кратное (НОК) заданных знаменателей.
• Шаг 2: Затем мы запишем каждую дробь в такой форме, чтобы НОК стал общим знаменателем. Для этого умножаем числитель и знаменатель на обычное число с помощью НОК.
• Шаг 3: После этого шага мы складываем числители этих одинаковых дробей (у которых теперь есть общие знаменатели).
• Шаг 4: Наконец, мы уменьшаем результирующую дробь до наименьшего члена, если это необходимо.

Эти шаги можно понять с помощью примера, приведенного в следующем разделе.

Как складывать дроби с разными знаменателями?

Теперь давайте научимся складывать дроби с разными знаменателями, выполнив шаги, указанные выше.

Пример: Добавить 5/6 + 7/3

Решение:

• Шаг 1: Поскольку у дробей разные знаменатели, находим НОК 6 и 3. НОК 6 и 3 6.
• Шаг 2: Теперь преобразуйте данные дроби в эквивалентные дроби так, чтобы НОК стал их общим знаменателем. Как мы видим, 5/6 уже имеет LCM в качестве знаменателя, поэтому мы изменим только дробь 7/3 и сделаем ее эквивалентной дробью, которая будет равна 14/6.
• Шаг 3: После этого мы можем сложить числители обеих дробей, так как знаменатели одинаковы.
• Шаг 4: 5/6 + 14/6 = (5 + 14)/6 = 19/6. Это можно преобразовать в смешанную дробь и записать как \(3\dfrac{1}{6}\)

Сложение 3-х дробей с разными знаменателями

Для сложения трех или более дробей с разными знаменателями мы применяем те же шаги, что и выше. Давайте научимся складывать 3 дроби с разными знаменателями на следующем примере.

Пример: Добавить 1/2 + 3/5 + 7/3

• Шаг 1: Сначала мы найдем НОК 2, 5 и 3, что равно 30.
• Шаг 2: Теперь мы сделаем каждую дробь эквивалентной дробью таким образом, чтобы НОК 30 стал знаменателем каждой дроби.
• Шаг 3: Эквивалентные дроби со знаменателем 30: 15/30, 18/30 и 70/30.
• Шаг 4: Сложите все числители (15 + 18 + 70)/30 = 103/30. Это можно преобразовать в смешанную дробь и записать как \(3\dfrac{13}{30}\)

Сложение смешанных чисел с разными знаменателями

Если нам нужно сложить смешанные числа с разными знаменателями, мы преобразуем смешанную дробь в неправильную дробь. После этого мы можем добавить дроби, выполнив шаги, указанные выше. Давайте разберемся в этом с помощью следующего примера.

Пример: Сложите \(5\dfrac{1}{7}\) и \(4\dfrac{1}{5}\)

Сначала преобразуйте смешанное число в неправильную дробь.

\(5\dfrac{1}{7}\) = 36/7

\(4\dfrac{1}{5}\) = 21/5

Теперь добавьте 36/7 и 21/5

LCM 7 и 5 равно 35

Равные дроби

36/7 = 180/35

21/5 = 147/35

Теперь добавим числители,

(180 + 5/75 = 143) = \(9\dfrac{12}{35}\)

Важные замечания по сложению дробей с разными знаменателями

• Для сложения дробей с разными знаменателями мы берем НОК разных знаменателей и преобразуем их в одинаковые дроби а затем добавить числители.
• Для сложения смешанных дробей с разными знаменателями мы преобразуем их в неправильные дроби и затем складываем.

☛ Статьи по теме

• Сложение дробей с разными знаменателями Рабочие листы
• Сложение и вычитание дробей
• Вычитание дробей с разными знаменателями
• Добавление смешанных фракций

 

Сложение дробей с разными знаменателями Примеры

1. Пример 1: Сложить 8/9 + 1/3 + 7/6

   Решение: Для сложения дробей с разными знаменателями сначала найдем НОК чисел 9, 3 и 6

   НОК = 18

   Теперь мы преобразуем каждую дробь в эквивалентные дроби, взяв знаменатель в качестве НОК. , мы можем добавить числители.

   (16 + 6 + 21)/18 = 43/18. Это можно преобразовать в смешанную дробь \(2\dfrac{7}{18}\)

2. Пример 2: Сложить 5/8 + 1/5

   Решение: Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, сначала найдем НОК чисел 8 и 5

   НОК = 40

   Затем преобразует каждую дробь в эквивалентные дроби, взяв знаменатель в качестве НОК.

   (25 + 8)/40 = 33/40

   Итак, сумма 5/8 + 1/5 равна 33/40

3. Пример 3: Сложить смешанные дроби \(3\dfrac{1}{4}\) и \(2\dfrac{2}{3}\)

   Решение: Чтобы сложить данные смешанные дроби, мы сначала преобразуйте их в неправильные дроби.

   \(3\dfrac{1}{4}\) = 13/4 и \(2\dfrac{2}{3}\) = 8/3

   Теперь, поскольку знаменатели разные, возьмем НОК 3 и 4. НОК (3, 4) = 12. Теперь преобразуйте дроби в подобные дроби.

   13/4 = 39/12 и 8/3 = 32/12. Теперь сложите две дроби.

   39/12 + 32/12 = 71/12 = \(5\dfrac{11}{12}\)

   Ответ: \(3\dfrac{1}{4}\) + \(2 \dfrac{2}{3}\) = \(5\dfrac{11}{12}\)

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Запись на бесплатный пробный урок

Сложение дробей с разными знаменателями Вопросы

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о сложении дробей с разными знаменателями

Как складывать дроби с разными знаменателями?

Сложение дробей с разными знаменателями означает, что необходимо сложить две дроби с разными знаменателями. В этом случае мы преобразуем данные дроби в подобные дроби, чтобы получить общие знаменатели, чтобы их стало легче складывать. Это делается путем нахождения наименьшего общего кратного (НОК) заданных знаменателей. Нам нужно преобразовать каждую дробь таким образом, чтобы у нас был общий знаменатель, и после этого мы складываем числители, чтобы получить сумму.

Каковы примеры сложения дробей с разными знаменателями?

Пример сложения дробей с разными знаменателями приведен ниже. Прибавим 1/3 + 6/5.

• Мы видим, что знаменатели не совпадают, следовательно, нам нужно сделать знаменатели равными, после чего мы можем сложить дроби.
• В этом примере 1/3 + 6/5 мы сначала найдем НОК знаменателей 3 и 5, который равен 15.
• Затем мы умножим обе дроби на такое число, чтобы знаменатели остались прежними.
• Получается (5 + 18)/15 = 23/15.
• Теперь преобразуем неправильную дробь в смешанное число: 23/15 = \(1\dfrac{8}{15}\)

Какова стратегия сложения дробей с разными знаменателями?

Стратегия сложения дробей с разными знаменателями состоит в том, чтобы найти НОК заданных знаменателей и сделать каждую дробь эквивалентной дробью с НОК в качестве знаменателя.

Как сложить дроби с разными знаменателями?

Ниже приведены шаги для сложения дробей с разными знаменателями. Давайте разберем это на примере и добавим 1/5 + 1/10

• Шаг 1: Сначала мы найдем LCM 5 и 10, что равно 10.
• Шаг 2: Теперь превратите каждую дробь в эквивалентную дробь таким образом, чтобы НОК (10) стал знаменателем каждой дроби.
• Шаг 3: Эквивалентные дроби со знаменателем 10 будут 2/10 и 1/10
• Шаг 4: Добавьте часть числителя (2 + 1)/10 = 3/10

Можем ли мы складывать дроби с разными знаменателями без использования НОК?

Нет, мы не можем складывать дроби с разными знаменателями без НОК.

Каково правило сложения дробей с разными знаменателями?

Основное правило сложения дробей с разными знаменателями состоит в том, чтобы найти НОК разных знаменателей и преобразовать данные неодинаковые дроби в одинаковые дроби. Это можно сделать, изменив их знаменатели равными НОК. Как только знаменатели станут одинаковыми, можно добавить числители.

Как сложить 3 дроби с разными знаменателями?

Чтобы сложить 3 дроби с разными знаменателями, мы используем те же правила, что и для сложения 2 дробей с разными знаменателями. Например, давайте сложим 1/6 + 1/3 + 1/2

. Нам нужно найти НОК 6, 3 и 2, что равно 6. Теперь мы преобразуем каждую дробь в эквивалентную дробь, используя НОК как знаменатель.

1/6 = 1/6

1/3 = 2/6

1/2 = 3/6

Теперь сложите числители этих дробей: 1/6 + 2/6 + 3/ 6 = (1 + 2 + 3)/6 = 6/6. Эта дробь может быть дополнительно уменьшена до 1 после упрощения.

Как складывать и вычитать дроби с разными знаменателями?

Чтобы складывать и вычитать дроби с разными знаменателями, мы используем одни и те же правила. Нам нужно найти НОК различных знаменателей и преобразовать данные неодинаковые дроби в одинаковые дроби. После этого шага мы добавляем или вычитаем числители в соответствии с вопросом.

Как складывать дроби с целыми числами и разными знаменателями?

Чтобы складывать дроби с целыми числами и разными знаменателями, мы должны записать целое число в виде дроби, то есть записать 1 в качестве знаменателя, а затем сложить его по тем же правилам сложения дробей.