Проверить является ли функция решением дифференциального уравнения онлайн: Дифференциальные уравнения онлайн

Дифференциальные уравнения — общий интеграл, начальные условия, задача Коши. Решение задач и контрольных работ по высшей математике онлайн

• Дифференциальное уравнения — основные определения
• Примеры решения задач
• Методы решения различных видов дифференциальных уравнений
  • Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
  • Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
  • Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
  • Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
  • Дифференциальные уравнения высших порядков
  • Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
  • Системы дифференциальных уравнений

Краткая теория

---

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную , искомую функцию  и ее производные. Если искомая функция есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Следовательно, общий вид дифференциального уравнения n-го порядка следующий:

   (*)

причем в частных случаях в это уравнение могут и не входить  и отдельные производные, ниже чем . Например, уравнения

имеет соответственно первый и второй порядок.

Всякая функция , которая, будучи подставлена в дифференциальное уравнение, обращает его в тождество, называется решением дифференциального уравнения.

Интеграл

   (**)

дифференциального уравнения (*), содержащий n независимых произвольных постоянных  и эквивалентный (в данной области) уравнению (*), называется общим интегралом дифференциального уравнения (в соответствующей области).

Придавая в соотношении (**) постоянным  определенные значения, получаем частный интеграл уравнения (*).

Если для искомого частного решения  дифференциального уравнения

заданы начальные условия (задача Коши)

и известно общее решение уравнения

то произвольные постоянные  определяются, если это возможно, из системы уравнений:

Решение многих научных и технических задач приводит к интегрированию дифференциальных уравнений. В этих задачах требуется установить зависимость между переменными величинами некоторого физического, химического или другого процесса, найти уравнение линии или поверхности и т. п.

При решении таких задач можно руководствоваться следующим:

Необходимо сначала составить дифференциальное уравнение из условия задачи.Определить тип полученного уравнения и выбрать метод решения. Найти общее решение уравнения.Получить частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям.В случае необходимости вычислить значения вспомогательных параметров (коэффициент пропорциональности и др.).Если это требуется, найти численные значения искомых величин.

Составление дифференциального уравнения по условию научной или технической задачи состоит в определении математической зависимости между переменными величинами и их приращениями, в нахождении выражения для производной. В некоторых случаях приращения целесообразно сразу заменить соответствующими дифференциалами. При составлении дифференциальных уравнений используются соответственно геометрический или механический смысл производной; кроме того, в зависимости от условия задачи применяются соответствующие законы физики, механики, химии и других наук.

---

Задача 1

Проверить, что функция

является решением дифференциального уравнения

Решение

Имеем:

и следовательно:

 

Ответ: заданная функция является решение заданного дифференциального уравнения.

---

Задача 2

Найти кривую семейства

для которой

Решение

Имеем:

Получаем:

Искомое  уравнение кривой:

 

Ответ:

---

Задача 3

Найти линию, у которой отрезок нормали в любой ее точке, заключенный между осями координат, делится пополам в этой точке. Составить уравнение такой линии, проходящей через точку

Решение

Пусть  – произвольная точка искомой линии

Уравнение нормали к линии . В точке :

Обозначим через  и  точки пересечения нормали с координатными осями. Положив в этом уравнении  найдем  – абсциссу точки .

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

При  из того же уравнения найдем ординату точки

Поскольку  – середина отрезка , то

Каждое из этих уравнений приводится к уравнению

Этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки  искомой линии, поэтому:

Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получаем общий интеграл:

Общий интеграл определяет множество гипербол. Найдем ту линию, которая проходит через точку

 или

 

Ответ:

Первые интегралы

6.1Уравнения в полных дифференциалах

6.1.1Напоминание: дифференциал функции нескольких переменных

Нам нужно вспомнить некоторые понятия многомерного математического анализа, возможно, посмотрев на них под новым углом.

Пусть f:Rn→R — некоторая функция от точки x=(x1,…,xn). (В этой главе мы будем обозначать полужирным шрифтом объекты из многомерных пространств, чтобы не путать их с координатами.) Если эта функция достаточно «хорошая», у неё есть частные производные ∂f∂x1,…,∂f∂xn, а если она совсем хорошая, то для любого вектора v=(v1,…,vn) справедливо равенство:

f(x+v)−f(x)=∂f(x)∂x1v1+…+∂f(x)∂xnvn+o(∥v∥),

где ∥v∥ — какая-нибудь норма вектора v (например, сумма модулей его координат). Здесь предполагается, что норма вектора v достаточно маленькая для того, чтобы левая часть равенства была определена.

Давайте посмотрим на это равенство повнимательнее. В левой части написана разность значений функции f в точках x и x+v. Если откинуть o(∥v∥), в правой части останется выражение, зависящее от точки x и вектора v, причём оно зависит от вектора v линейно, поскольку при фиксированном x является просто линейной комбинацией координат вектора v.

Иными словами, здесь сказано, что при изменении точки x на вектор v значение функции f меняется примерно как значение линейной функции от вектора v. Чем меньше норма вектора v, тем точнее равенство. Сама линейная функция зависит от точки x.

Итак, выражение в правой части является дифференциальной 1-формой. Она обычно обозначается символом df. Дадим формальное определение.

Определение 1. Пусть f:Rn→R — некоторая функция. Её дифференциалом называется дифференциальная 1-форма df(x,v), для которой справедливо следующее:

f(x+v)=f(x)+df(x,v)+o(∥v∥).(6.1)

Здесь x∈Rn — точка в n-мерном пространстве и v∈Vn — вектор, также из n-мерного линейного пространства.

Итак, дифференциал на самом деле — это дифференциальная 1-форма.

Напомним, что мы ранее определяли координатные функционалы: если в пространстве Vn задан базис и вектор v имеет координаты v=(v1,…,vn), можно определить функционалы dxk(v)=vk. В этих обозначениях дифференциал запишется так:

df(x,v)=∂f(x)∂x1dx1(v)+…+∂f(x)∂xndxn(v).

Обычно зависимость от v не указывают и пишут просто:

df(x)=∂f(x)∂x1dx1+…+∂f(x)∂xndxn.

6.1.2Дифференциал и скорость

Напомним механический смысл производной в одномерном случае. Пусть f:R→R — некоторая дифференцируемая числовая функция одной переменной x. Рассмотрим следующий вопрос:

Вопрос 1. С какой скоростью меняется значение f при x=x0?

Если задать этот вопрос любому человеку, знакомому с математическим анализом, он мгновенно ответит «производная же!». И будет прав, но лишь отчасти. Производная f′(x0) действительно является мгновенной скоростью изменения f, но лишь в том случае, когда x является временем. Иными словами, это ответ на такой вопрос:

Вопрос 2. С какой скоростью меняется значение f в момент времени x=x0, если x — это время?

Можно предложить другую интерпретацию вопроса 1: не отождествлять x со временем, а предположить, что x само зависит от времени t, то есть x есть функция от t. Пусть x(t0)=x0. В этом случае получится такой вопрос:

Вопрос 3. С какой скоростью меняется значение функции f в тот момент, когда x=x0, если x зависит от времени: x=x(t).

Ответ на него будет отличаться от ответа на вопрос 2, он даётся теоремой о производной сложной функции.

df(x(t))dt∣∣∣t=t0=f(x)dx∣∣∣x=x0⋅dx(t)dt∣∣∣t=t0=f′(x0)˙x(t0)(6.2)

Таким образом, чтобы ответить на вопрос 3, достаточно знать производную функции f в точке x0 и скорость, с которой x проходит точку x0: (никакая другая информация о функции x=x(t) нам не нужна. Если обозначить эту скорость через v, правая часть (6.2) запишется в виде

f′(x0)v

Для фиксированной точки x0 это линейная функция от v. Таким образом, перед нами дифференциальная 1-форма, определённая на одномерном пространстве. Эта форма называется полным дифференциалом функции f и обозначается df. Как видим, в случае функции одной переменной дифференциал задаётся просто значением производной. Однако, это разные понятия: производная — это число, а дифференциал — это линейная функция. Просто в одномерном мире каждая линейная функция имеет вид kv и задаётся одним числом, поэтому знания производной достаточно, чтобы задать дифференциал, и поэтому о дифференциалах функций одной переменной почти не говорят. Но они есть.

Понятие дифференциала функции нескольких переменных создано, чтобы отвечать на вопрос 1 для многомерного случая, однако сначала его нужно правильно задать. Рассматривая функцию одной переменной можно отождествить её аргумент со временем и рассматривать вопрос 2. Для функций нескольких переменных это невозможно, поскольку время одномерно. В то же время, переформулировка вопроса 3 вполне осмысленна. Ответ на него даётся следующей теоремой.

Теорема 1. Действительно, пусть x — точка в многомерном пространстве Rn и функция f:Rn→R определена на этом многомерном пространстве. Пусть точка x движется со временем, то есть определена вектор-функция x:R→Rn, x=x(t). Рассмотрим момент времени t=t0. Пусть x(t0)=x0 и точка x движется в этот момент со скоростью ˙x(t0)=v. Тогда скорость изменения функции f в этот момент времени равна значению дифференциала df, вычисленного в точке x0 на векторе v.

Доказательство. Мы приведём «бескоординатное» доказательство, опирающееся на определение 1. В параграфе 6.2.3 приводится доказательство близкого утверждения с помощью координат.

Из определения производной вектор-функции следует, что утверждение ˙x(t0)=v можно переформулировать так:

x(t0+Δt)=x(t0)+Δt⋅v+o(Δt)=x0+Δt⋅v+o(Δt),(6.3)

где o(Δt) — это вектор, каждая из компонент которого является o(Δt). Это просто векторная форма записи аналогичных утверждений для каждой из компонент x.

Из формулы (6.1) теперь следует, что f(x(t0+Δt))=f(x0+Δt⋅v+o(Δt))==f(x0)+df(x0,Δt⋅v+o(Δt))+o(Δt∥v∥)==f(x0)+df(x0,v)Δt+o(Δt). Мы воспользовались здесь линейностью дифференциала (вынесли из него o(Δt)), а также тем фактом, что o(Δt∥v∥)=o(Δt) при фиксированном векторе v.

По определению производной функции одной переменной, из получившегося равенства следует, что производная функции f(x(t)) в точке t=t0 равна df(x0,v), что и требовалось.∎

6.1.3Поле направлений и линии уровня

Как мы обсуждали в параграфе 5.4.1, дифференциальные формы задают поля направлений. Возникает естественный вопрос: как устроено поле направлений, заданное уравнением

dH=0

для некоторой дифференцируемой функции H?

Прежде, чем отвечать на него в общем виде, рассмотрим пример.

Пример 1. Пусть

H(x,y)=x22+y22.

Тогда

dH(x,y)=xdx+ydy.

Поле направлений, заданное уравнением

xdx+ydy=0

выглядит следующим образом: через произвольную точку (x0,y0) проходит прямая, состоящая из векторов v=(vx,vy), для которых

x0vx+y0vy=0.

Это уравнение задаёт прямую с угловым коэффициентом −x0/y0 при y0≠0, или вертикальную прямую при y0=0,x0≠0.

Легко показать, что для каждой точки (x0,y0) соответствующая прямая будет перпендикулярной к радиус-вектору этой точки (угловой коэффициент радиус-вектора равен y0/x0 и если умножить его на угловой коэффициент прямой, то получится -1).

Таким образом, наше поле направлений выглядит примерно так.

Заметим, что линии уровня функции H — окружности и наше поле направлений касается этих окружностей.

Случайное совпадение? А вот и нет.

Утверждение 1. Пусть H:R2→R — некоторая дифференцируемая функция. Её линии уровня H=const в каждой своей точке касаются поля направлений, заданного уравнением dH=0.

Доказательство. Давайте вернёмся к определению дифференциала. Значение дифференциала на некотором векторе показывает, как в первом приближении меняется значение функции при сдвиге на этот вектор. Линии уровня — это линии, на которых значение функции не меняется. Если мы хотим двигаться вдоль линии уровня, нам нужно двигаться в направлении такого вектора, на котором дифференциал равен нулю. То есть в направлении вектора, лежащего на прямой из нашего поля направлений. Значит, линия уровня касается поля направлений.

Аккуратное доказательство требует применения теоремы о неявной функции, но по существу будет повторять это рассуждение.∎

6.1.4Полные дифференциалы

Утверждение 1 даёт новый метод решения дифференциальных уравнений.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

dydx=f(x,y)g(x,y)(6.4)

и поле направлений, заданное дифференциальной 1-формой:

f(x,y)dx−g(x,y)dy=0.(6.5)

Согласно упражнению 2 из предыдущей главы, поля направлений, соответствующие уравнениям (6.4) и (6.5), совпадают. Как обсуждалось в параграфе 1.3, найти решение уравнения (6. 4) — это всё равно, что найти всевозможные кривые, касающиеся в каждой своей точке соответствующего поля направления. Может так случиться, что существует функция H, дифференциал которой dH совпадает с левой частью уравнения (6.5). В этом случае, согласно утверждению 1, искомыми кривыми являются линии уровня функции H. В этом случае решение y=y(x) уравнения (6.4) будет задано как неявная функция уравнением H(x,y)=C, где константа C зависит от начального условия.

Определение 2. Уравнение

F(x,y)dx+G(x,y)dy=0(6.6)

называется уравнением в полных дифференциалах, если форма, стоящая в левой части, является дифференциалом некоторой функции H:

dH(x,y)=F(x,y)dx+G(x,y)dy

Итак, интегральные кривые уравнения в полных дифференциалах совпадают с линиями уровня функции H.

6.1.5Опознание уравнений в полных дифференциалах

Предположим, что уравнение (6.6) является уравнением в полных дифференциалах. В этом случае функции F и G являются частными производными некоторой функции H:

F(x,y)=∂H(x,y)∂xG(x,y)=∂H(x,y)∂y.(6.7)

Если частные производные функции H непрерывны (а мы будем предполагать, что это так), то её смешанные производные равны:

∂2H(x,y)∂x∂y=∂2H(x,y)∂y∂x

Отсюда следует, что

∂F(x,y)∂y=∂G(x,y)∂x(6.8)

Это условие является необходимым для того, чтобы уравнение (6.6) было уравнением в полных дифференциалах. Оказывается, оно же является и достаточным.

Теорема 2. Если выполняется условие (6.8), то уравнение (6.6) является уравнением в полных дифференциалах.

Упражнение 1. Доказать теорему 2.

Если выполняется условие (6.8), функцию H можно найти следующим образом: проинтегрировать функцию F по x, полагая y фиксированным; при этом константа интегрирования будет зависеть от y, и её можно будет найти, подставив результат интегрирования в уравнение ∂H∂y=G.

Пример 2. Рассмотрим уравнение

dydx=−2x+3x2yx3−3y2.(6.9)

Ему соответствует уравнение с дифференциальной 1-формой:

(2x+3x2y)dx+(x3−3y2)dy=0.(6.10)

Оно является уравнением в полных дифференциалах, потому что

∂(2x+3x2y)∂y=3×2=∂(x3−3y2)∂x

Найдём H. Для этого зафиксируем y и проинтегрируем условие

∂H(x,y)∂x=2x+3x2y

по x. Имеем:

H(x,y)=∫(2x+3x2y)dx=x2+x3y+C(y).

Заметим, что константа интегрирования здесь зависит от y (мы брали интеграл при фиксированном y). Подставим теперь H во второе из уравнений (6.7). Получим:

∂H(x,y)∂y=x3+dC(y)dy=x3−3y2

Слагаемое x3 магическим образом сократится и мы получим уравнение на C, зависящее только от y (если бы в этом уравнении оказался x, всё бы сломалось), которое легко решается с помощью интегрирования:

C(y)=∫−3y2dy=−y3

Таким образом, решением дифференциального уравнения (6. 9) является семейство функций y=y(x), задающихся в неявном виде с помощью уравнения

x2+x3y−y3=C

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
x = np.linspace(-4, 4, 200)
y = np.linspace(-4, 4, 200)
x, y=np.meshgrid(x, y)
ob.axes4x4(labels=("x","y"))
levels = np.linspace(-20, 20, 40)
levels = levels**2*np.sign(levels)
plt.contour(x, y, x**2-x**3*y-y**3, levels=levels, cmap='gnuplot')

Рис. 6.2: Интегральные кривые уравнения (6.9).

Итак, мы имеем новый метод решения дифференциальных уравнений — правда, снова не любых, а только принадлежащих специальному классу. Насколько часто встречаются уравнения в полных дифференциалах? По правде говоря, не очень часто: условие (6.8) весьма жёсткое.

Однако, справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Если функции F и G не обращаются в ноль в некоторой окрестности U точки (x0,y0), то в ней существует функция I(x,y) (интегрирующий множитель), такая что уравнение F⋅dx+G⋅dy=0 становится уравнением в полных дифференциалах после того, как мы домножим его на I, то есть существуют такие функции I и H, что I(F⋅dx+G⋅dy)=dH

Это хорошая новость: интегрирующий множитель всегда существует. Плохая новость состоит в том, что найти его так же сложно, как решить исходное уравнение. Так что теорема 3 представляет скорее теоретический интерес. Впрочем, есть приёмы, позволяющие в некоторых ситуациях угадать интегрирующий множитель, но мы не будем их подробно обсуждать.

6.2Первые интегралы

6.2.1Напоминание: гармонический осциллятор

Напомним уравнение гармонического осциллятора:

¨x=−x.

Ему соответствует система

˙x=y,˙y=−x(6.11)

Которой в свою очередь соответствует уравнение

dydx=−xy.

Это уравнение является уравнением в полных дифференциалах:

xdx+ydy=0

d(x22+y22)=0

Интегральные кривые этого уравнения (а значит и фазовые кривые исходного уравнения (6.11)) являются линиями уровня функции H(x,y)=x22+y22, в просторечии называемыми окружностями. Таким образом, если (x(t),y(t)) — решение системы (6. 11), функция H(x(t),y(t)) не зависит от t. Иными словами, вдоль фазовых кривых нашей системы функция H(x,y) постоянна.

Определение 3.Первым интеграломавтономного уравнения

˙x=v(x),x(t)∈Rn(6.12)

называется непрерывная функция H:Rn→R, определенная на фазовом пространстве, не являющаяся тождественной константой, и такая, что для любого решения x(t) уравнения (6.12) выполнено условие H(x(t))=const. Заметим, что константа может быть разной для разных решений, но всегда не зависит от t.

Фазовые кривые системы обязаны лежать на линиях уровня первого интеграла, поэтому знание первого интеграла (для уравнений на плоскости) позволяет многое сказать о фазовом портрете и поведении решений.

Пример 3. Пусть дана какая-то система дифференциальных уравнений и известно, что её первый интеграл H(x,y)=xy. Тогда её фазовые кривые лежат на гиперболах, см. рис. 6.3

import matplotlib. pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
ob.axes4x4(labels=('x','y'))
plt.figure(figsize=(6,6))
x = np.linspace(-4, 4, 300)
y = np.linspace(-4, 4, 300)
x, y = np.meshgrid(x, y)
plt.contour(x, y, x*y, levels=np.linspace(-16,16,31), cmap='gnuplot')

Рис. 6.3: Линии уровня xy=C

При этом, однако, только по первому интегралу мы не можем сказать, как именно линии уровня разбиваются на фазовые кривые и как на них направлены стрелочки: чтобы ответить на эти вопросы нужно посмотреть на векторное поле соответствующей системы.

В двумерном фазовом пространстве знание первого интеграла позволяет решить уравнение: из условия H(x,y)=const можно выразить y через x и подставить в одно из уравнений, получив таким образом уравнение уже с одной неизвестной, которое решается по формуле Барроу.

Если же фазовое пространство имеет размерность больше двух, первый интеграл не позволяет найти даже фазовые кривые: одно равенство задаст поверхность размерности (n−1) и не будет фазовой кривой. (Пример: равенство x+y+z=0 в трёхмерном пространстве задаёт плоскость.) Однако в этом случае знание первого интеграла позволяет уменьшить число фазовых переменных.

Пример 4. Рассмотрим две системы: ˙x=−y,˙y=x˙x=y,˙y=−x(6.13)(6.14) Они имеют одинаковый первый интеграл: функцию H(x,y)=x2/2+y2/2, фазовые кривые являются окружностями.

Вопрос 4. Как нужно поставить стрелочки на фазовых портретах этих систем?

  У обеих систем по часовой стрелке

Неверный ответ. Неверно! Попробуйте нарисовать векторное поле.

  У (6.13) по часовой стрелке, а у (6.14) против часовой стелки.

Неверный ответ. Неверно! Попробуйте нарисовать векторное поле.

  У (6.13) против часовой стрелки, а у (6.14) по часовой стелке.

Верный ответ. Верно!

  У обеих систем против часовой стрелки

Неверный ответ. Неверно! Попробуйте нарисовать векторное поле.

Пример 5. Рассмотрим две системы: ˙x=−y,˙y=x˙x=−2y,˙y=2x(6.15)(6.16) Они имеют одинаковый первый интеграл: функцию H(x,y)=x2/2+y2/2.

Вопрос 5. Совпадают ли у систем (6.15) и (6.16) фазовые кривые? А интегральные кривые?

  Совпадают и фазовые и интегральные кривые.

Неверный ответ. Неверно! Подумайте о том, как меняются интегральные кривые при умножении правой части уравнения на константу.

  Фазовые кривые совпадают, а интегральные нет.

Верный ответ. Верно! Интегральные кривые уравнения (6.16) «сжаты» вдоль оси времени: они соответствуют вдвое более быстрому прохождению фазовых кривых.

  Фазовые кривые различны, а интегральные кривые совпадают.

Неверный ответ. Нет, это даже сложно себе представить. Фазовые кривые у обеих систем — окружности.

  Различны и фазовые, и интегральные кривые.

Неверный ответ. Нет, это даже сложно себе представить. Фазовые кривые у обеих систем — окружности.

6.2.2Опознание первых интегралов

Задача о нахождении первого интеграла, как водится в этой науке, имеет примерно такую же сложность, как задача решения соответствующей системы. Впрочем, обратная задача — проверить, является ли данная функция первым интегралом данной системы — решается гораздо проще.

Пример 6. Как можно было бы понять, что функция H(x,y)=x2/2+y2/2 является первым интегралом системы (6.11), не решая её?

Пусть (x(t),y(t)) — некоторое решение системы (6.11). Рассмотрим функцию

h(t)=H(x(t),y(t)).

Мы хотим показать, что h на самом деле не зависит от t. Для этого посчитаем производную

dhdt=∂H(x(t),y(t))∂x⋅dxdt+∂H(x(t),y(t))∂y⋅dydt.

Заметим, что мы можем вычислить правую часть этого равенства: частные производные H по каждой из переменных нам известны, а производные dxdt и dydt являются просто компонентами правой части исходной системы. Имеем:

dhdt=x(t)y(t)+y(t)(−x(t))=0.

Следовательно, H действительно первый интеграл.

Чтобы сделать это рассуждение более универсальным, нам потребуется ввести новое понятие.

6.2.3Производная вдоль векторного поля

Рассмотрим некоторую дифференцируемую функцию F:Rn→R, заданную на фазовом пространстве уравнения (6.12). (Эта функция не обязана быть первым интегралом уравнения — просто какая-то дифференцируемая функция.)

Пусть x=x(t;x0) — решение уравнения (6.12) с начальным условием x(0;x0)=x0.

Нас интересует, с какой скоростью меняется функция F при прохождении точки x0 вдоль решения уравнения (6.12).

Определение 4. Производной функции F вдоль векторного поля v называется функция LvF:Rn→R, определяемая следующим образом:

(LvF)(x0)=F(x(t;x0))dt∣∣∣t=0.

Мы берём здесь производную в точке t=0, поскольку именно при t=0 решение проходит через точку x0.

Производная вдоль векторного поля также называется производной Ли.

Производная функции вдоль векторного поля — это новая функция, определённая на фазовом пространстве. Как найти её значение в некоторой точке x0? Траектория, проходящая через точку x0, имеет в этой точке вектор скорости, равный v(x0). Как показано в параграфе 6.1.2, скорость изменения функции F при движении из точки x0 со скоростью, заданной вектором v, определяется как значение дифференциала dF в точке x0, вычисленного на векторе v. Именно это число и будет значением LvF(x0).

Приведём ещё одно доказательство этого факта (можно считать его также альтернативным доказательством теоремы 1).

Теорема 4. Пусть v(x)=(v1(x),…,vn(x)). Тогда

(LvF)(x0)=∂F(x0)∂x1v1(x0)+…+∂F(x0)∂xnvn(x0)=dF(x0,v(x0))=(∇F(x0),v(x0))

Доказательство. Это мгновенно следует из теоремы о производной сложной функции. Действительно, пусть x(t)=(x1(t),…,xn(t)). Тогда ˙xk(t)=vk(x(t)), k=1,…,n и по указанной теореме dF(x(t;x0))dt∣∣∣t=0=∂F(x0)∂x1⋅dx1dt∣∣∣t=0+…+∂F(x0)∂xn⋅dxndt∣∣∣t=0==∂F(x0)∂x1v1(x0)+…+∂F(x0)∂xnvn(x0).(6.17)(6.18) ∎

Утверждение 2. Дифференцируемая функция H является первым интегралом системы (6.12) тогда и только тогда, когда LvH=0.

Доказательство. Очевидно.∎

Пример 7. Рассмотрим систему

˙x=1,˙y=0

Ей соответствует векторное поле

v=(1,0)

Пусть F(x,y) — некоторая функция. Тогда

LvF=∂F∂x⋅1+∂F∂y⋅0=∂F∂x

Пример 8. Рассмотрим систему

˙x=x,˙y=−y.

Ей соответствует векторное поле

v(x,y)=(x,−y)

Пусть F(x,y)=x2+y2. Тогда

LvF=2x⋅x+2y⋅(−y)=2×2−2y2

Как видите, находить производную функции вдоль векторного поля проще, чем понять определение этого понятия.

6.2.4Локальные и глобальные первые интегралы

Рассмотрим систему

˙x=x,˙y=y(6.19)

Вопрос 6. Существует ли непрерывный первый интеграл этой системы, определенный на всём пространстве R2?

Напомним, что фазовыми кривыми системы (6.19) являются открытые лучи: её решения стремятся к началу координат при t→−∞ вдоль этих лучей.

Пусть существует функция F(x,y), являющаяся первым интегралом. У неё есть какое-то значение в точке (0,0). Допустим, не ограничивая общности, что F(0,0)=0. Тогда на фазовой кривой y=2x,x>0 функция F(x,y) также нулевая (потому что предел этой фазовой кривой при t→−∞ как раз (0,0)). Но и все остальные фазовые кривые обладают этим свойством! Поэтому первый интеграл должен быть всюду константой. Но первый интеграл по определению не должен быть константой. (Константа, конечно, не меняется вдоль фазовых кривых любого уравнения, и не несет таким образом никакой информации об уравнении.) Значит, непрерывного глобально определенного первого интеграла в этом случае не существует.

Оказывается, это довольно распространённая ситуация: глобального первого интеграла может не существовать. Однако, всегда существуют локальные первые интегралы вне окрестности особых точек. Например, в данном случае вблизи точки (1,1) в качестве такого первого интеграла можно выбрать функцию y/x.

Вопрос 7. А какую функцию надо выбрать в качестве первого интеграла в окрестности точки (0,1)?

---

← Предыдущая глава Следующая глава →

заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:

• решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
• написание лабораторных, рефератов и курсовых
• выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.

Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.

Объединение сервисов в одну систему

Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:

• Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
• Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
• Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
• Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос

Принцип работы

Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.

Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.

Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.

Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте). Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т. к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).

Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.

За счет чего будет развиваться сервис

Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.

Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.

Преимущества для заказчиков

Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.

Преимущества для решающих задания

Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.

Преимущества для владельца сервиса

Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.

В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.

Что необходимо для создания сервиса

1. Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.

   Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.

2. Выбрать платежную систему.
3. Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
4. Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.

2\Psi}{\парциальное у\парциальное х}???

Мы можем переписать это уравнение в другой форме как

???\Psi_{xy}=\Psi_{yx}???

???\влево(\Psi_x\вправо)_y=\влево(\Psi_y\вправо)_x???

???(М)_у=(Н)_х???

???M_y=N_x???

Другими словами, мы просто использовали тот факт, что ???\Psi(x,y)??? должно быть решением точного дифференциального уравнения, чтобы разработать тест для точных дифференциальных уравнений, и тест говорит нам, что дифференциальное уравнение является точным, если ???M_y=N_x???. Итак, если частная производная ???M??? относительно ???y??? равна частной производной от ???N??? относительно ???x???, то дифференциальное уравнение является точным.

Это тест, который мы можем использовать, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение точным, прежде чем мы найдем решение ???\Psi(x,y)???.

Общее или неявное решение точного дифференциального уравнения определяется выражением

???\Psi(x,y)=c???

где ???с??? является константой. Если мы хотим, мы можем доказать, что это решение, начав со стандартной формы точного дифференциального уравнения

???M(x,y)+N(x,y)\frac{dy}{dx} =0???

Мы уже говорили, что

???\frac{\partial\Psi}{\partial x}=\Psi_x=M(x,y)=M???

и

поэтому мы можем подставить в стандартную форму и получить

???\Psi_x+\Psi_y\frac{dy}{dx}=0???

Используя цепное правило для функций с несколькими переменными, мы можем изменить левую часть на

???\frac{d}{dx}\left[\Psi(x,y)\right]=0???

Интегрирование обеих сторон относительно ???x??? чтобы получить ???\Psi(x,y)??? само собой, мы получаем

???\int\frac{d}{dx}\left[\Psi(x,y)\right]\ dx=\int 0\ dx???

???\Psi(x,y)+c_1=c_2???

???\Psi(x,y)=c_2-c_1???

???\Psi(x,y)=c???

Теперь, когда мы доказали, что ???\Psi(x,y)=c??? всегда является решением точного дифференциального уравнения, нам нужно найти ???\Psi(x,y)???.

Мы уже использовали тот факт, что

???\frac{\partial\Psi}{\partial x}=\Psi_x=M(x,y)=M???

и

, и мы снова воспользуемся им, чтобы найти решение. Начнем с

???\Psi_x=M(x,y)???

и

???\Psi_y=N(x,y)???

Левые части обоих являются частными производными от ???\Psi???, но нам нужно вернуться к ???\Psi??? сам. Для этого нам нужно взять интегралы

???\int\Psi_x\ dx=\int M(x,y)\ dx???

и

???\int\Psi_y\dy=\int N(x,y)\dy???

Взятие интеграла по ???x??? частной производной по ???x??? отменяет обе операции и оставляет нам только ???\Psi???, точно так же, как взятие интеграла по ???y??? частной производной по ???y??? отменяет эти операции и оставляет нам только ???\Psi???.

???\Psi=\int M(x,y)\ dx???

и

???\Psi=\int N(x,y)\dy???

Другими словами, если мы хотим найти уравнение для ???\Psi???, мы можем либо взять интеграл от ???M??? относительно ???x???, или интеграл от ???N??? относительно ???y???. Оба интеграла будут работать, поэтому мы должны посмотреть на ???M??? и н??? а затем выберите ту функцию, которую будет легче интегрировать.

Если мы используем первый интеграл, тот, что с ???M???, мы должны помнить, что мы интегрируем функцию многих переменных с точки зрения ???x??? и ???й??? относительно ???x??? Только. Это означает, что вместо добавления ???+C??? чтобы учесть константу интегрирования после интегрирования, нам придется добавить ???+h(y)??? для учета функции с точки зрения ???y???.

Точно так же, если мы используем второй интеграл, тот, что с ???N???, мы должны помнить, что мы интегрируем функцию многих переменных в терминах ???x??? и ???й??? относительно ???y??? Только. Это означает, что вместо добавления ???+C??? чтобы учесть константу интегрирования после интегрирования, нам придется добавить ???+h(x)??? для учета функции с точки зрения ???x???.

Тогда нужно просто найти ???h(y)??? или ???h(x)???, что мы сделаем, продифференцировав уравнение для ???\Psi??? относительно ???y??? если мы пытаемся найти ???h(y)???, или относительно ???x??? если мы пытаемся найти ???h(x)???.

Этот процесс дифференциации даст нам либо ???\Psi_x??? с ???h\prime(x)??? или ???\Psi_y??? с ???h\prime(y)???. Мы заменим ???M(x,y)??? для ???\Psi_x??? или ???N(x,y)??? для ???\Psi_y???, а затем упростите уравнение для решения ???h\prime(y)??? или ???h\prime(x)???. Затем мы можем интегрировать обе части оставшегося уравнения, чтобы найти ???h(y)??? или ???h(x)???.

Наконец-то подключим ???h(y)??? или ???ч(х)??? обратно в уравнение для ???\Psi???, установите уравнение равным ???c???, и это будет общее или неявное решение точного дифференциального уравнения.

Таким образом, чтобы найти решение точного дифференциального уравнения, мы

1. Убедимся, что ???M_y=N_x??? чтобы убедиться, что дифференциальное уравнение является точным.

2. Использовать ???\Psi=\int M(x,y)\ dx??? или ???\Psi=\int N(x,y)\dy??? найти ???\Psi(x,y)???, включая значение ???h(y)??? или ???h(x)???.

3. Установить ???\Psi(x,y)=c??? чтобы получить неявное решение.

Дифференциальные уравнения — Точные уравнения

Онлайн-заметки Пола
Главная / Дифференциальные уравнения / DE первого порядка / Точные уравнения

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 2-3: Точные уравнения

Следующий тип дифференциальных уравнений первого порядка, который мы рассмотрим, — это точные дифференциальные уравнения. Прежде чем мы углубимся во все подробности решения точных дифференциальных уравнений, вероятно, лучше всего привести пример, который поможет нам понять, что такое точное дифференциальное уравнение. Он также покажет некоторые детали за кулисами, которыми мы обычно не занимаемся в процессе решения.

Подавляющее большинство следующего примера не будет выполнено ни в одном из оставшихся примеров, и работа, которую мы вложим в оставшиеся примеры, не будет показана в этом примере. Весь смысл этого примера в том, чтобы показать вам, что такое точное дифференциальное уравнение, как мы используем этот факт для получения решения и почему этот процесс работает именно так. Большая часть фактических деталей решения будет показана в следующем примере. 93}\]

Пока не беспокойтесь о том, откуда взялась эта функция и как мы ее нашли. Нахождение функции \(\Psi\left(x,y\right)\), которая необходима для любого конкретного дифференциального уравнения, — это то, где находится подавляющее большинство работы по этим проблемам. Однако, как было сказано ранее, цель этого примера состоит в том, чтобы показать вам, почему процесс решения работает, а не показать вам фактический процесс решения. Мы увидим, как найти эту функцию в следующем примере, поэтому на данный момент не беспокойтесь о том, как ее найти, просто примите, что ее можно найти, и что мы сделали это для этого конкретного дифференциального уравнения. 92} + 1\конец{выравнивание*}\]

Теперь сравните эти частные производные с дифференциальным уравнением, и вы заметите, что теперь с ними мы можем записать дифференциальное уравнение как.

\[\begin{equation}{\Psi _x} + {\Psi _y}\frac{{dy}}{{dx}} = 0 \label{eq:eq1} \end{equation}\]

Теперь вспомните из своего класса исчисления с несколькими переменными (вероятно, Исчисления III), что \(\eqref{eq:eq1}\) есть не что иное, как следующая производная (для этого вам понадобится цепное правило с несколькими переменными …).

\[\ frac{d}{{dx}}\left( {\Psi \left({x,y\left( x \right)} \right)} \right)\]

Итак, дифференциальное уравнение теперь можно записать как

\[\ frac{d}{{dx}}\left( {\Psi \left({x,y\left( x \right)} \right)} \right) = 0\]

Теперь, если обычная (не частная…) производная чего-то равна нулю, это что-то должно было быть константой с самого начала. Другими словами, мы должны иметь \(\Psi \left({x,y} \right) = c\). Или, 93} = с\]

Тогда это неявное решение нашего дифференциального уравнения! Если бы у нас было начальное условие, мы могли бы найти \(c\). Мы также могли бы найти явное решение, если бы захотели, но мы отложим это до следующего примера.

Итак, что мы узнали из последнего примера? Давайте посмотрим на вещи немного шире. Предположим, что у нас есть следующее дифференциальное уравнение.

\[\begin{equation} M\left( {x,y} \right) + N\left( {x,y} \right)\frac{{dy}}{{dx}} = 0 \label{eq :eq2} \end{уравнение} \]

Обратите внимание, что важно, чтобы он был именно в такой форме! С одной стороны должен стоять «= 0», а знак, разделяющий два термина, должен быть «+». Теперь, если где-то в мире есть функция \(\Psi\left(x,y\right)\), то

\[{\Psi _x} = M\left( {x,y} \right)\hspace{0,25 дюйма}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, {\ mbox {и}} \, \, \ hspace {0,25 дюйма} {\ Psi _y} = N \ left ({x, y} \ right) \]

то мы называем дифференциальное уравнение точным . В этих случаях мы можем записать дифференциальное уравнение как

\[\begin{equation} {\Psi _x} + {\Psi _y}\frac{{dy}}{{dx}} = 0 \label{eq:eq3} \end{equation} \]

Затем, используя цепное правило из вашего класса Multivariable Calculus, мы можем дополнительно свести дифференциальное уравнение к следующей производной:

\[\ frac{d}{{dx}}\left( {\Psi \left({x,y\left( x \right)} \right)} \right) = 0\]

Тогда (неявное) решение точного дифференциального уравнения равно

\[\begin{equation} \Psi \left( {x,y} \right) = c \label{eq:eq4} \end{equation} \]

Что ж, это решение при условии, что мы все равно сможем найти \(\Psi\left(x,y\right)\). Поэтому, получив функцию, мы всегда можем сразу перейти к \(\eqref{eq:eq4}\), чтобы получить неявное решение нашего дифференциального уравнения.

Нахождение функции \(\Psi\left(x,y\right)\) явно является центральной задачей при определении точности дифференциального уравнения и при поиске его решения. Как мы увидим, нахождение \(\Psi\left(x,y\right)\) может быть несколько длительным процессом, в котором есть вероятность ошибок. Поэтому было бы хорошо, если бы существовал какой-нибудь простой тест, который мы могли бы использовать, прежде чем даже начать проверять, является ли дифференциальное уравнение точным или нет. Это будет особенно полезно, если окажется, что дифференциальное уравнение неточное, так как в этом случае \(\Psi\left(x,y\right)\) не будет. Было бы пустой тратой времени пытаться найти несуществующую функцию!

Итак, давайте посмотрим, сможем ли мы найти тест для точных дифференциальных уравнений. Начнем с \(\eqref{eq:eq2}\) и предположим, что дифференциальное уравнение на самом деле является точным. Поскольку оно точное, мы знаем, что где-то есть функция \(\Psi\left(x,y\right)\), которая удовлетворяет

\[\begin{align*}{\Psi _x} & = M\\ {\Psi _y} & = N\end{align*}\]

Теперь, если \(\Psi\left(x,y\right)\) непрерывно и его производные первого порядка также непрерывны, мы знаем, что

\[{\Psi _{х\,у}} = {\Psi _{у\,х}}\]

Однако у нас также есть следующее.

\[\ begin{align*}{\Psi _{x\,y}} & = {\left({{\Psi _x}} \right)_y} = {\left(M \right)_y} = { M_y} \\ {\Psi _{y\,x}} & = {\left({{\Psi _y}} \right)_x} = {\left(N \right)_x} = {N_x}\end {выровнять*}\]

Следовательно, если дифференциальное уравнение является точным и \(\Psi\left(x,y\right)\) удовлетворяет всем условиям его непрерывности, мы должны иметь.

\[\begin{уравнение} {M_y} = {N_x} \label{eq:eq5} \end{уравнение}\]

Аналогично, если \(\eqref{eq:eq5}\) неверно, дифференциальное уравнение не может быть точным.

Поэтому мы будем использовать \(\eqref{eq:eq5}\) в качестве теста для точных дифференциальных уравнений. Если \(\eqref{eq:eq5}\) истинно, мы будем считать, что дифференциальное уравнение является точным и что \(\Psi\left(x,y\right)\) удовлетворяет всем условиям его непрерывности, и приступим к нахождению Это. Обратите внимание, что для всех приведенных здесь примеров условия непрерывности будут быть удовлетворены, и поэтому это не будет проблемой. 92} + 1\hspace{0.25in}{N_x} = 2x\end{align*}\]

Итак, согласно тесту, дифференциальное уравнение является точным. Однако мы уже знали это, поскольку дали вам \(\Psi\left(x,y\right)\). Тем не менее, неплохо проверить это и хотя бы один раз пройти тест.

Теперь, как мы на самом деле находим \(\Psi\left(x,y\right)\)? Хорошо напомним, что

\[\begin{align*}{\Psi _x} & = M\\ {\Psi _y} & = N\end{align*}\]

Мы можем использовать любой из них, чтобы начать поиск \(\Psi\left(x,y\right)\) путем интегрирования следующим образом.

\[\Psi = \int{{M\,dx}}\hspace{0,25 дюйма}{\mbox{OR}}\hspace{0,25 дюйма}\Psi = \int{{N\,dy}}\]

Однако нам нужно быть осторожными, так как это не даст нам именно той функции, которая нам нужна. Часто не имеет значения, с какой из них вы решите работать, в то время как в других задачах одна будет значительно проще другой. В этом случае не имеет значения, какой из них мы используем, так как любой из них будет таким же простым. 93} + ч\влево( у \вправо)\]

Обратите внимание, что в этом случае «константа» интегрирования на самом деле вовсе не константа, а вместо этого она будет функцией оставшейся переменной (переменных), \(y\) в данном случае.

Вспомним, что при интегрировании мы спрашиваем, какую функцию мы дифференцировали, чтобы получить функцию, которую мы интегрируем. Поскольку здесь мы работаем с двумя переменными и говорим о частичном дифференцировании по \(x\), это означает, что любой терм, содержащий только константы или \(y\), дифференцировался бы до нуля, поэтому нам нужно признать этот факт, добавив функцию \(y\) вместо стандартной \(c\). 2} + 25} }}{2}\] 92} + 25 = 0\]

При решении этого уравнения равен нулю при \(x\) = –11,81557624 и \(x\) = –1,396911133. Обратите внимание, что при решении этого уравнения вам понадобится какая-то вычислительная помощь. Вот график многочлена под радикалом.

Итак, похоже, есть два интервала, где многочлен будет положительным.

\[\begin{array}{c} — \infty < x \le - {\mbox{11}}{\mbox{.81557624}}\\ - {\mbox{1}}{\mbox{.396911133}} \le x < \infty \end{массив}\]

Однако помните, что интервалы действия должны быть непрерывными интервалами и содержать значение \(x\), используемое в начальном условии. Поэтому интервал годности должен быть.

\[ — {\mbox{1}}{\mbox{.396911133}} \le x <\infty \]

Вот краткий график решения.

Это был длинный пример, но в основном из-за первоначального объяснения того, как найти \(\Psi\left(x,y\right)\). Остальные примеры не будут такими длинными. 92} + 4 = М\]

Итак, это выглядит как

\[ч’\влево( х \вправо) = 4\hпробел{0,25 дюйма} \Стрелка вправо \hпробел{0,25 дюйма}\,\,\,ч\влево( х \вправо) = 4x\]

Опять же, мы опустим постоянную интегрирования, которая технически должна присутствовать в \(h(x)\), так как она просто будет поглощена константой, которую мы получим на следующем шаге. Также обратите внимание, что \(h(x)\) должен включать только \(x\) на данном этапе. Если на этом этапе остались какие-либо \(y\), значит, была допущена ошибка, поэтому вернитесь и найдите ее. 92} + 9 = 0\]

Единственным реальным решением здесь является \(x = 3,217361577\). Ниже приведен график полинома.

Итак, похоже, что многочлен будет положительным, и, следовательно, все в порядке при извлечении квадратного корня из

\[ — \infty < x < {\mbox{3}}{\mbox{. {3xy}} — x\] 9{3ху}} — х = 1\]

Это все, что мы можем сделать. Невозможно решить это для \(y\) и получить явное решение.

Точные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка — это уравнение, содержащее первую, но не более высокую, производную неизвестной функции. Практически для каждого такого уравнения, встречающегося на практике, общее решение будет содержать одну произвольную константу, т. е. один параметр, поэтому IVP первого порядка будет содержать одно начальное условие. Не существует общего метода, который решает все уравнения первого порядка, но есть методы для решения конкретных типов.

Учитывая функцию f ( x, y ) двух переменных, ее полный дифференциал df определяется уравнением

   

Пример 1 : Если f ( x, y ) = x ² y + 6 x – y 90,905 90, то

Уравнение f ( x, y ) = c дает семейство интегральных кривых (то есть решений) дифференциального уравнения

Следовательно, если дифференциальное уравнение имеет вид

для некоторой функции f ( x, y ), то она автоматически имеет вид df = 0, поэтому общее решение немедленно дается выражением f ( x, y ) = c . В данном случае

называется точным дифференциалом , а дифференциальное уравнение (*) называется точным уравнением . Чтобы определить, является ли данное дифференциальное уравнение

точно, используйте тест на точность : Дифференциальное уравнение M dx + N dy = 0 точно тогда и только тогда, когда

Пример 2 : Является ли следующее дифференциальное уравнение точным?

Функция, умножающая дифференциал dx , обозначается как M ( x, y ), поэтому M ( x, y ) = y 2 – 6 х 0127 ; функция, умножающая дифференциал dy , обозначается как N ( x, y ), поэтому N ( x, y ) = 2 xy + 1. Так как

Тест на точность говорит, что данное дифференциальное уравнение действительно является точным (так как M _y = N _x ). Это означает, что существует функция f ( x, y ) такая, что

и как только эта функция f найдена, общее решение дифференциального уравнения будет просто

(где c — произвольная константа).

После определения точности дифференциального уравнения M dx + N dy = 0 остается только найти функцию f ( x, y ), такую, что f _x = М и ф _y = N . Метод прост: интегрировать M по отношению к x , интегрировать N по отношению к y , а затем «объединить» два полученных выражения для построения желаемой функции f .

Пример 3: Решите точное дифференциальное уравнение примера 2:

 

Сначала интегрируем M ( x,y ) = y ² – 2 x по отношению к x (и игнорировать произвольную «константу» интегрирования):

   

Затем интегрируем N ( x,y ) = 2 xy + 1 относительно y (и снова игнорируем произвольную «константу» интегрирования):

Теперь, чтобы «объединить» эти два выражения, запишите каждый термин ровно один раз, даже если определенный термин встречается в обоих результатах. Здесь два выражения содержат члены xy ² , – x ² , и y , поэтому

(Обратите внимание, что общий термин xy ² — это , а не , записанное дважды.) Общее решение дифференциального уравнения:

Пример 4: Проверьте следующее уравнение на точность и решите его, если оно точное:

 

Сначала перенесите член dx в левую часть, чтобы записать уравнение в стандартной форме:

Therefore, M ( x,y ) = y + cos y – cos x , and N ( x, y ) = x – x sin y .

Сейчас, с

   

Тест на точность говорит, что дифференциальное уравнение действительно является точным (поскольку M _y = N _x ). To construct the function f ( x,y ) such that f _x = M and f _y N , first integrate M with respect to х:  

Затем проинтегрируйте N по отношению к y :

 

Запись всех терминов, которые появляются в обоих этих результирующих выражениях — без повторения каких-либо общих терминов — дает желаемую функцию:

 

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения равно

 

Пример 5: Является ли следующее уравнение точным?

   

Начиная с

, но

ясно, что M _y ≠ N _x , поэтому тест на точность говорит, что это уравнение не является точным.