Решение дробно-рациональных неравенств
Понятие неравенства с одной переменной
Определение 1
Неравенство вида $f(x) > (≥)g(x)$ будет называться неравенством с одной переменной.
Определение 2
Значение $x$, при котором выполняется неравенство из определения 1, называется корнем неравенства.
Если вспомнить курс лекций по математике и углубиться в тему «Дробно-рациональные неравенства», то можно изучить множество видов неравенств: линейные, тригонометрические, логарифмические, показательные… Приведем пример решения одного из таких неравенств с помощью построения совокупностей.
Пример 1
Решить $log_x(x+4)+log_x3 >log_x(2-2x)$
Решение.
Пользуясь свойством логарифма, получим
$log_x(3(x+4)) >lg(2-2x)$
$log_x(3x+12) >lg(2-2x)$
Данная система уравнений равносильна совокупности
Рисунок 1. Совокупность. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Ответ: $(1,+∞)$.
Дробно-рациональные неравенства
Рассмотрим теперь понятие дробно-рационального неравенства.
Определение 3
Неравенство, которое имеет вид $\frac{P(x)}{Q(x)} >( ≥)0$ будем называть дробно рациональным неравенством.
Решение дробных неравенств, а также решение рациональных неравенств зачастую осуществляется методом промежутков (интервалов). В основе этого метода лежит следующий алгоритм решения.
Пусть нам дана функция $f(x)=\frac{(x-n)(x-m)}{(x-l)(x-k)}$, причем $n$
$x∈(-∞,n)$:
Используя неравенство (1), будем получать:
$(x-n)$
Четыре минуса, в общем, нам дадут плюсовое значение, то есть $f(x) >0$.
$x∈(n,m)$:
Используя неравенство (1) будем получать:
$(x-n) >0$, $(x-m)$
Три минуса, в общем, нам дадут минусовое значение, то есть $f(x)$
$x∈(m,l)$:
Используя неравенство (1) будем получать:
$(x-n) >0, (x-m) >0$, $(x-l)$
Два минуса, в общем, нам дадут плюсовое значение, то есть $f(x) >0$.
$x∈(l,k)$:
Используя неравенство (1) получим:
$(x-n) >0, (x-m) >0, (x-l) >0$, $(x-k)$
Один минус дает нам минусовое значение, то есть $f(x)$
$x∈(k,+∞)$:
Используя неравенство (1) будем получать:
$(x-n) >0, (x-m) >0, (x-l) >0, (x-k) >0$.
Все плюсы нам дадут плюсовое значение, то есть $f(x) >0$
Это рассуждение можно иллюстрировать на числовой прямой (рис. 2).
Рисунок 2. Числовая прямая. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Эта иллюстрация называется кривой знаков и используется для решения рациональных и других неравенств $q(x) >( ≥)0$ методом промежутков.
Такое рассуждение справедливо для любого количества линейных множителей и в числителе, и в знаменателе. Также справедливо для случая, когда параметры не являются линейными. Поэтому из него можно вывести метод для решения большинства уравнений (и не только рациональных).
Замечание 1
На самом деле знаки на такой кривой не всегда чередуются. К примеру, такое может быть при наличии в уравнение квадратного множителя.
Метод промежутков (интервалов)
- Вначале необходимо найти все корни уравнения $q(x)=0$ и части, в которых область определения имеет разрыв.
- И всех полученных в пункте $1$ числовых значений составляем кривую знаков для данного уравнения.
- Записываем ответ из кривой знаков, с учетом знака неравенства.
Пример решения рациональных и дробных неравенств методом промежутков.
Пример 2
Решить.
$\frac{(z-1)^7 (z+2)^4}{z≤ 0}$
Решение.
Решим для начала следующее уравнение и найдем точки разрыва ее области определения:
$\frac{(z-1)^7 (z+2)^4}{z}=0$
$(z-1)^7 (z+2)^4=0$
Корни: $z=1$ и $z=-2$
$z=0$-точка разрыва области определения.
Изобразим все полученные точки на числовой прямой и построим кривую знаков:
Рисунок 3. Кривая. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Так как у нас знак неравенства «меньше или равно», то нам нужно выбрать промежуток со знаком минус, причем $1$ нужно включить в решение, а ноль (так как он не попадает в область определения) нет. Также необходимо не забыть значение $z=-2$.
Ответ: ${-2}∪(0,1]$.
spravochnick.ru
Решение линейных неравенств | Алгебра
Рассмотрим решение линейных неравенств на конкретных примерах.
Как и в случае линейных уравнений, решение линейных неравенств с дробями удобно начинать с приведения дробей к наименьшему общему знаменателю.
Наименьший общий знаменатель здесь равен 12. Находим дополнительный множитель к каждой дроби. После умножения обеих частей неравенства на наименьший общий знаменатель знаменатели сокращаются и остается целое выражение
Как показывает практика, лучше не торопиться и записать произведение дополнительных множителей и числителей с помощью скобок:
только после этого раскрывать скобки
и приводить подобные слагаемые
Неизвестные — в левую часть, известные — в правую с противоположными знаками:
Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Поскольку — 5 — отрицательное число, знак неравенства изменяется на противоположный:
Неравенство нестрогое, поэтому на числовой прямой 4,2 отмечаем закрашенной точкой. Штриховка от 4,2 идёт вправо, на плюс бесконечность:
Так как неравенство нестрогое и точка закрашенная, 4,2 записываем в ответ с квадратной скобкой:
Ответ:
Умножаем обе части на наименьший общий знаменатель 20. При умножении на положительное число знак неравенства не меняется.
Раскрываем скобки
Приводим подобные слагаемые
Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками
Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как 31 — положительное число, знак неравенства не изменяется.
Поскольку неравенство строгое, 1 на числовой прямой отмечаем выколотой точкой. Штриховка от 1 уходит вправо, на плюс бесконечность.
Так как неравенство строгое и точка выколотая, в ответ 1 записываем с круглой скобкой.
Ответ:
Умножаем обе части неравенства на наименьший общий знаменатель 18. При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется.
Раскрываем скобки
Приводим подобные слагаемые
Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками
Обратите внимание: хотя разность в левой части неравенства равна нулю, пишем 6x-6x=0x.
Получили частный случай линейного неравенства. Какое бы число мы не подставили вместо x, левая часть неравенства равна нулю. Неверно, что нуль меньше отрицательного числа -23. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.
Ответ: x ∈ Ø. (решений нет).
Обе части неравенства умножаем на наименьший общий знаменатель 8.
Раскрываем скобки
Приводим подобные слагаемые
Неизвестные переносим в одну сторону неравенства, известные — в другую с противоположным знаком
Получили частный случай линейного неравенства. Неравенство верно при любом значении x.
Ответ:
(или: x — любое число).
www.algebraclass.ru
Как решать дробные неравенства 🚩 как решить неравенство с дробями 🚩 Математика
Автор КакПросто!
Дробные неравенства требуют к себе более внимательного отношения, чем обычные неравенства, поскольку в некоторых случаях в процессе решения меняется знак. Дробные неравенства решаются методом интервалов.
Статьи по теме:
Инструкция
Представьте дробное неравенство таким образом, чтобы с одной стороны стояло дробно-рациональное выражение, а по другую сторону знака — 0. Теперь неравенство в общем виде выглядит так: f(x)/g(x) > (Определите точки, в которых g(x) меняет знак, запишите все интервалы, на которых g(x) знакопостоянна.
Для каждого интервала представьте исходное дробное выражение в виде произведения функций f(x) и g(x), меняя знак неравенства, когда это необходимо. Фактически вы умножаете правую и левую часть неравенства на одно и то же число. При этом знак неравенства меняется на противоположный, если число (в нашем случае g(x)) отрицательно и остается тем же, если число положительно. Также при этом сохраняется строгость (>,Для полученного неравенства f(x)*g(x) > (<, ≤ или ≥) 0 применяйте стандартные методы решения, но теперь уже для каждого найденного ранее интервала числовой прямой. Одним из них будет тот же метод интервалов знакопостоянства, примененный к функции f(x).
Источники:
- Метод интервалов для решения дробно-рациональных неравенств
Совет полезен?
Статьи по теме:
Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:
www.kakprosto.ru
Как решать С3. Урок 1. ЕГЭ по математике 2014. Метод интервалов — решения.егэцентр.рф
Здравствуйте!
Задание С3 представляет собой систему неравенств (наверняка, вы об этом уже знаете). Но основа основ, с чего начинаются все неравенства, — метод интервалов. Без него ни одно задание решить будет практически невозможно. Поэтому, если решение неравенств этим методом вызывает у вас хоть малейшие затруднения, уделите ему особое внимание.
Методу интервалов будут посвящены два видеоурока с детальным пояснением.
Итак, приступим.
Предположим, надо решить неравенство
$$x^2 +3x +2 >0.$$
Напомню, в 8 классе все начиналось с того, что вы, скорее всего, строили график функции `f(x) = x^2+3x+2` и смотрели, где этот график находится выше оси абсцисс. График — парабола, которая пересекает ось `x` в точках `x_1 = -2` и `x_2 = -1`, ветви направлены вверх.
Получили решение: `(-∞, -2) \cup (-1, ∞)`. (Точки `-2` и `-1` не пошли в ответ, потому что в них функция равна нулю. Нам же нужны значения строго больше нуля.)
Однако этот способ решения подходит не для всех уравнений — далеко не все графики функций мы можем построить.
Чтобы понять более универсальный метод интервалов, давайте внимательнее взглянем на нашу параболу и проследим, как меняются ее значения, когда она переходит через точки `x_1` и `x_2`. Слева направо: до того, как парабола прошла точку `x_1`, она была положительной, после нее стала отрицательной вплоть до точки `x_2`. Пройдя через `x_2`, она стала опять положительной.
Получается, что на каждом интервале `(-\infty, x_1), (x_1, x_2), (x_2, \infty)` функция имеет один и тот же знак.
Точки `x_1` и `x_2` — это нули функции то есть значения `x`, при которых функция равна нулю. Между ними она всегда имеет один и тот же знак (то есть положительна или отрицательн) и менять знак она может только проходя через ноль функции.
Сразу оговоримся: функция может менять знак, а может и не менять, и нам придется постоянно это проверять. Но самое главное, что кроме как в нулях функции, она знак сменить не может.
Это утверждение будет верно для любой непрерывной функции (то есть, грубо говоря, функции, график которой можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги).
Значит, нам достаточно понять, будет `f(x)` положительна или отрицательна в какой-нибудь конкретной точке внутри интервала, и мы сразу узнаем, какой она будет на всем интервале.
Например: чтобы узнать, какой будет знак функции на промежутке `(-\infty, x_1)`, мы можем подставить `x=-3` в `f(x)`. Получим:
$$(-3)^2 +3\cdot (-3)+2 = 9 — 9+2 =2 >0.$$
Значит, на интервале `(-\infty, x_1)` функция положительна.
Аналогично получим знак на интервале `(-2, -1)`, если подставим `x=-1{,}5`:
$$f(-1{,}5) = (-1.5)^2 + 3\cdot (-1.5) +2 = 2.25 — 4.5 +2 = -0.25 < 0.$$
На интервале `(-1, \infty)` возьмем `x=0`:
$$f(0) = (0)^2 + 3\cdot (0) +2 =2 > 0.$$
Итак, мы убедились, что способ работает. Но пока что он не выглядит легким — приходится подставлять неудобные числа, и проводить сложные вычисления.
У меня хорошая новость: от них можно избавиться 🙂 Сделать это можно, если мы разложим многочлен на множители. В общем виде это тема отдельного урока. Для квадратных уравнений справедлива формула:
$$ax^2+ bx+ c = a (x-x_1) (x-x_2).$$
Советую ее выучить, она понадобится нам в дальнейшем.
Как ею пользоваться в методе интервалов?
Наше уравнение разложится таким образом: `x^2 +3x +2 = (x+2)(x+1)`. Теперь мы можем подставлять точки не в исходное уравнение, а в скобки. Причем даже не обязательно вычислять точное значение, достаточно понимать, какой знак примет каждая скобка. Теперь понятно, что например, в точки `x=-1.5` первая скобка будет положительна, а вторая — отрицательна, их произведение — отрицательно.
Примеры использования метода интервалов для решения рациональных неравенств
Решим неравенство посложнее
$$(2x+4) (x^2 -x -6) \geq 0.$$
Разложим вторую скобку на множители (можно делать это через дискриминант, можно через теорему Виета):
$$(2x+4) (x-3)(x+2)\geq 0.$$
Еще раз о том, как находить нули функции. Если при каком-то `x`, занулится хотя бы одна скобка, то при нем занулится и все выражение. Получим `x_1 = -2, x_2 = 3, x_3 = -2`. (Для внимательных: обратите внимание, как равенство `x_1` и `x_3` повлияет на знаки функции.)
Отметим эти точки на оси `x`.
Теперь выясним знаки скобок на каждом интервале. Я это оформлю в виде таблицы:
| Интервал | Точка | `2x+4` | `x-3` | `x+2` | `f(x)` |
|---|---|---|---|---|---|
| `(-∞,-2)` | `x=-100000` | – | – | – | – |
| `(-2,3)` | `x=0` | + | – | + | – |
| `(3,∞)` | `x=100000` | + | + | + | + |
Колонка `f(x)` — это наша функция, знак которой получается как произведение знаков скобок. В качестве первой точки я взял заведомо большое число (чтобы наверняка увидеть знак каждой скобки), аналогично взята третья точка. Вторая точка взята из расчета, что она принадлежит интервалу `(-2, 3)`.
Расставим знаки на оси:
Вернемся к заданию. Нам нужно выяснить, где функция неотрицательна. Из рисунка видно, что на промежутке `x> 3` она положительна. Точки `x=-2` и `x= 3` тоже пойдут в ответ, поскольку в них функция принимает нулевое значение.
Ответ: `\{2\} \cup [3,\infty)`.
Метод интервалов для неравенств с дробями
Пусть нам нужно решить неравенство `\frac{a}{b} > 0`.
Давайте подумаем, в каких случаях дробь `\frac{a}{b}` положительна? Она положительна, если `a` и `b` одновременно отрицательны или положительны. Но ведь неравенство с произведением `a·b>0` ведет себя точно так же: для его решения нам так же нужно, чтобы `a` и `b` были одного знака. Значит, при решении подобного неравенства с дробью, мы можем заменить его на неравенство `a · b > 0`.
Если знак неравенства `<`, то замена производится аналогично.
Более интересны случаи с неравенствами `\frac{a}{b}\geq 0` (или `\leq`). Равенство дроби нулю достигается только если числитель равен нулю. Произведение же равно нулю, если `a` или `b` равно нулю. В этом случае нам нужно учесть ОДЗ: знаменатель `b ≠ 0`.
Подведем итог:
$$\frac{a}{b} > 0 \Leftrightarrow a·b >0,$$
$$\frac{a}{b} \geq 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a·b \geq 0, \\ b ≠ 0.\end{array} \right.$$
Теперь давайте потренируемся решать задачи.
Пример неравенства с дробью
Решение следующего неравенства проведем по алгоритму решения методом интервалов, без дополнительных пояснений.
$$\frac{2x-3}{3x-5} \geq 0.$$
$$\left\{\begin{array}{l}(2x-3)(3x-5) \geq 0, \\ 3x — 5 ≠ 0.\end{array} \right.$$
Решим первое неравенство системы. Нули функции: `x= \frac{3}{2}, x= \frac{5}{3}`.
Расставим знаки, взяв некоторые значения `x` на каждом интервале, и подставив их в функцию.
Из второго неравенства, получим `x≠ \frac{5}{3}`. Отметим это на рисунке.
Таким образом, ответ `(-∞, \frac{3}{2}] \cup (\frac{5}{3}, ∞)`.
Задания для тренировки
Решите неравенства
- `(x-5)(3-x) < 0`,
- `x^2 +7x +10 <0`,
- `(x+2)(x^2 -5x +4) <0`,
- `(x-5)(x^2 -8x +15) \leq 0`,
- `\dfrac{2x^2-32}{x^2 +6x +8} \leq 0`.
Основа хорошей подготовки к ЕГЭ — это решение как можно большего количества задач. Решайте понемногу каждый день и тогда экзамен покажется вам смешным 🙂
На этом все. Первый урок будем считать законченным. В нем было много сказано о методе интервалов. Понимаю, за один раз понять такую тему сложно. Поэтому, если у вас остались вопросы, оставляйте их в комментариях.
Если вопросов не осталось — ставьте лайки 🙂
Во втором уроке вы сможете познакомиться с некоторыми неравенствами из тренировочных и диагностических ЕГЭ, которые решаются с помощью метода интервалов.
PS: На самом деле есть еще более удобный способ расставлять знаки на интервалах. О нем я немного упомянул в приложенном видео.
xn--e1aajtm3cwc.xn--c1adb6aplz9c.xn--p1ai