Дробные степени как считать: Дробная степень числа. Действия с дробными степенями

Как возвести число в дробную степень?

Оглавление

Время чтения:  4 минуты

649

Из статьи вы узнаете, как возвести число в дробную степень, что для этого нужно понимать и уметь. Приведены поучительные примеры с дробными степенями.

Как возводить в дробную степень

Как возвести число в натуральную степень, легко усваивают почти все учащиеся.  Достаточно помножить его само на себя столько раз, сколько указано в показателе степени. Например, запись 2³ означает, что число 2 нужно умножить само на себя три раза, а запись (1,4)⁵ значит (1,4)⁵=1,4*1,4*1,4*1,4*1,4.

А вот запись типа 3^5/6 для многих совершенно не понятна. Возникает конфликт восприятия ранее усвоенного понимания возведения числа в степень со здравым смыслом, ведь написать число помноженным само на себя 5/6 раз, просто невозможно.

Подобный вопрос возникает у тех, кто не усвоил тему извлечения из чисел корня.

Напомним, что извлечение корня из числа, это математическая операция обратная операции возведения его в степень. Она подразумевает разложение его на одинаковые множители, число которых равно показателю корня. В частности, ³√8 равно 2, ведь, как видно из приведённого ранее примера 2³ = 2*2*2 = 8.

Некоторые, при изучении извлечения корня из числа упускают один факт. Корень записывается не только в виде ^q√a (где a некоторое число, а q – показатель корня) он может быть записан и в виде a^1/q. Надеюсь, теперь смысл дробной степени вам становится ясен. q в знаменателе дроби, это и есть корень. В числителе стоит та степень, в которую указанное число нужно возвести. В данном случае она равна одному (p=1). Если бы она была равна двум (p=2), то следовало бы записать a^1/q *a^1/q. Эта запись равносильна a^2/q. Если бы она равнялась трём (p=3), т. е. ^3/q √a, то вышло бы a^1/q*a^1/q*a^1/q.

Теперь обобщим всё выше сказанное. {3} / 5\right)=2 /
\sqrt{5} 3\]. Здесь, для упрощения выражения, мы выполнили действие вынесения из-под знака корня числа 2.

Зачем нужны числа в дробной степени

Решение дробных степеней проще, чем вычисление корней. Оно занимает меньше шагов и, при наличии определённого навыка и меньше усилий. Так считают все, кто занимается математикой.

Оценить статью (34 оценки):

Поделиться

Дробные числа и их свойства

4.5

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 65.

4.5

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 65.

Дробные числа – это вечная проблема школьной программы по математике. Ученикам сложно представлять деление на множество частей. Поэтому рассмотрим все виды дробных чисел.

Виды чисел

Числа исследовали еще в Древней Греции. Любая цивилизация нуждается в методе ведения расчетов. Считаются деньги, товары и земли. Как только возникает необходимость в более сложной системе исчисления, человечество придумывает новое число.

Именно поэтому сегодня существует так много различных видов чисел:

• Натуральные числа. Это первые числа, придуманные человеком. Как только ребенок начинает считать пальцы у себя на руках, он уже использует натуральные числа. К этому виду относят все положительные целые числа от 1 до бесконечности.
• Целые числа. Сюда относят все отрицательные и положительные целые числа, а так же ноль. Это значит, что к целым числам относят все целые значения.
• Рациональные числа. Это все значения, кроме значений со знаком корня. Отдельно отметим, что рациональные числа включают в себя целые числа, а целые числа включают в себя натуральные.
• Иррациональные числа. Этот вид чисел стоит отдельно от рациональных значений. Сюда относятся все корни, которые невозможно вычислить
• Комплексные числа это еще одно большое множество чисел, которое проходят в высшей математике, поэтому подробно о нем в школьном курсе математике не говорят.

Сразу после изобретения счета понятие нуля не было известно. Позднее в Европе о существовании этой цифры узнали из переводов индийских текстов 9 века нашей эры.

Виды дробей

Дробью называют число, обозначающее деление целого на малые части. В знаменателе записывают количество частей, на которое разделили единицу, в числителе – количество таких частей, которые приняты для расчета. Рассмотрим существующие виды дробей:

• Обыкновенная дробь. Это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Такую дробь так же называют правильной.
• Неправильная дробь. У этой дроби числитель больше знаменателя. Если результатом решения является неправильная дробь, то ее нужно преобразовать в смешанное число.
• Смешанное число или смешанная дробь. Это число, которое имеет две части целую и дробную. Чтобы перевести смешанную дробь в неправильную, целую часть умножают на знаменатель и прибавляют к ней числитель. Получившееся число будет числителем неправильной дроби. Знаменатель дроби сохраняется.
• Десятичная дробь. Это смешанные и обыкновенные дроби, которые записываются без знаменателя. На знаменатель дроби указывает количество знаков после запятой, которое равняется степени числа 10. Это значит, что у дроби 0,01 знаменателем будет являться число 100 – вторая степень 10, так как в дроби 2 знака после запятой.

Понятия дробное число и дробь обозначают одно и то же.

Основное свойство дроби

Основное свойство дробей используется при преобразовании и сокращении дробей. Формулировка звучит так: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то значение дроби не изменится.

Что мы узнали?

Мы поговорили о видах чисел. Узнали, к какому виду относят дробные числа. Отдельно обсудили виды дробей. Сказали, что дробное число и дробь – это понятия, которые обозначают одно и то же. Сформулировали основное свойство дробных чисел.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка статьи

4.5

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 65.

---

А какая ваша оценка?

вычислительная математика — Расчет логарифмов и дробных показателей вручную

$\begingroup$

Учитывая то, что мы можем вычислить вручную, на листе бумаги, без использования компьютера или калькулятора, как далеко мы можем зайти в вычислении $\log$-функций и дробных степеней?

Более конкретно, существуют ли практические методы, которые в целом работают достаточно хорошо, для вычисления следующего?

• $\log(x)$ (здесь используется натуральный логарифм) для $x\in ]0,\infty[$ (например, возьмем $x=3,$, натуральный логарифм которого равен $\приблизительно 1,09{\alpha},$ ($x$ — любое действительное число), поскольку $\alpha$ не является натуральным числом. Так, например. $\альфа=1/2,1/3,\cdots$

Было бы неплохо узнать о возможных способах, возможно, сначала упростить эти вычисления, преобразовать их в более осуществимые расчеты (вручную), а затем взять оттуда. Или если существуют прямые методы, которые работают для определенных значений или полномочий. Это, безусловно, вызывает вопрос, как люди делали эти вычисления до того, как появились компьютеры.

• {2k+1}$$

  , и это сходится для всех положительных y. Таким образом, вы можете напрямую вставить $y = 3$ в этот ряд и довольно точно вычислить $\log(3)$, используя всего несколько терминов:

  $$\log(3) =1 + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{5\times 16} + \frac{1}{7\times 64} + \frac{1}{9\times 256} + \frac{1}{11\times 1024} +\cdots$$

  Таким образом, с 6 членами мы получаем 5 значащих цифр. Но для больших $y$ ряд будет сходиться медленнее, тогда удобнее использовать приведенный выше ряд для построения ряда для $\log(y+1) -\log(y) = \log\left(1+\ frac{1}{y}\right)$: 9k)$, чтобы сделать приближение лучше.

  $\endgroup$

  $\begingroup$

  До появления компьютеров таблицы журналов использовались для вычисления журналов и дробных показателей. Вы говорите «вручную», но я предполагаю, что предварительно вычисленные таблицы разумного размера разрешены.

  Метод оценки логарифма произвольного числа следующий:

  Например, чтобы вычислить $y=ln(14623)$, первым шагом будет найти $log_{10}(14623)$. 93)= log_{10}(14,623)+3 $

  Таблицы журналов написаны для базы 10, и разумного размера могут быть результаты для $log_{10}(a)$ для всех $a$ от 1 до 100.

  Мы хотим найти $log_{10}(14,623)+3$. Округлите его до двух значащих цифр точности и найдите $log_{10}(15)+3$.

  Теперь мы просто ищем $log_{10}(15)$ в таблице, которая равна $1,176$, поэтому $log_{10}(14,623)+3 \приблизительно 1,176+3=4,176$.

  Но нам нужен натуральный журнал, поэтому мы используем правило изменения базы. $ln(x)=\frac{log_{10}(x)}{log_{10}(e)}$. 9{alog_{10}(x)}$

  $\endgroup$

  2

  $\begingroup$

  Для предварительных или умственных вычислений я просто использую $$\log_{10}(2)\приблизительно 0,3$$ (на самом деле я помню $0,30103$). Отсюда следует $$\log_{10}(5)=0,7$$. Я также напомню, что $\sqrt{10}\приблизительно3,16$, так что $$\log_{10}(3.16)\приблизительно0,5$$

  Из этих значений я грубо интерполирую.

  Примеры:

  9{6.3}$: $e$ равно $2,71828\cdots$ и его логарифм ближе к $\sqrt{10}$, чем к $2$, возьмем $0,42$. Тогда произведение составляет $2,646$, с антилогарифмом около $500$ (против $544.\cdots$).

Для меня важен правильный порядок величины.

$\endgroup$

$\begingroup$

Пусть $a$ будет значением, для которого вы хотите вычислить натуральный логарифм. 3}{3}-\cdots$. Мы знаем, что $\ln(1)=0$, поэтому 9N}{N}\right)$$

для некоторого $N$.

Конечно, если $a$ далеко от $1$, тогда $N$ должно быть очень большим. Ряд сходится по критерию отношения, когда $0<1<2a$, поэтому требуется $\frac{1}{2}

Вручную это может превратиться в чудовищный расчет. Для $a=3$, $N=17$ достаточно, чтобы получить точность до $3$ знаков после запятой, но для $a=25$, $N=100$ дает точность только до $2$ знаков после запятой. Не совсем эффективно, но это простая идея. Это включает только основные алгебраические операции и осторожное округление. 9к {к!}. $$

Свойства сходимости этого приближения довольно хороши. Конечно, вы все еще вычисляете целые степени потенциально недружественных десятичных расширений.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Да, это возможно.

За несколько сотен лет человечество имеет рассчитанное лог, лн и т.д. вручную. Это кропотливая, утомительная задача, и нет простого способа проверить результаты.

Даже в начале 20-го века результаты этих расчетов все еще печатались и продавались в виде книг; любой инженер должен был иметь его.

$\endgroup$

2

Примеры: совершенные дробные показатели —

В математике мы часто изучаем один набор фактов посредством вычислений, а другой — посредством связанных вычислений. Например . Мы можем рассчитать это. Связанный с этим факт заключается в том, что . Мы знаем этот факт через ассоциации, а не расчеты. Позже, при решении алгебраических уравнений с участием квадрата, нам также нужно будет помнить, что .

А как насчет этого, . Связанный числовой факт состоит в том, что . Мы не «вычисляем», что число, умноженное на себя 5 раз, чтобы получить 32, равно 2: мы знаем это по памяти.

Чтобы облегчить запоминание фактов об экспоненте, вот краткий список наиболее часто используемых способностей: Шпаргалка экспоненты. Если вы уже не можете легко вспомнить эти факты, держите справочный лист под рукой, чтобы вы могли сосредоточиться на концепциях, а не на арифметике. Вот длинный список из википедии.

Как правило, дробный показатель степени приводит к иррациональному числу. Эти вопросы называются «идеальными», потому что все ответы представляют собой целые числа и могут быть оценены без использования калькулятора.

Пример 1:  

Мы спрашиваем, какая степень числа четыре равна 16? Это та часть, которую мы вспоминаем. (Для четвертого корня вы также можете проделать этот маленький трюк — квадратный корень, а затем квадратный корень):

   

Или просто загляните в шпаргалку Exponent.

Пример 2 : 

Во-первых, нам нужно это знать . Не зная этого, этот вопрос просто очень сложен.

Вот как мы справляемся с этим:

Мы знаем, что .

И мы знаем, что

Вот почему мы можем переписать как

В этой форме мы сначала оцениваем скобку по памяти, а затем вычисляем мощность:

   

корень из 125 и возведите его в квадрат.

   

Пример 4 : 

Возьмем квадратный корень из 64, а затем куб.

   

Пример 5 :

Нет в шпаргалке. Так что давайте искать вероятного родственника. Находим:

   

Теперь,

   

И,

   

Следовательно, .

Теперь у нас есть .

Деление может быть выражено с помощью дроби или с помощью отрицательного показателя степени. Отрицательная экспонента не делает значение отрицательным, потому что деление не делает значение отрицательным.

1 разделить на 7 можно записать как:

   

Обратите внимание, что все они положительные (все равны ).