Двойной интеграл калькулятор онлайн: Решение двойных определенных интегралов онлайн

Формула Грина

Формула Грина устанавливает связь между двойным интегралом по области и криволинейным интегралом по контуру, ограничивающему эту область. Будем считать, что областьявляется стандартной в направлении каждой координатной оси и снизу ограничена графиком функции (дугой), сверху — графиком функции (дугой), которые вместе составляют замкнутый контур.

Пусть в области и на ее границезаданы функцииинепрерывные вместе со своими частными производными ,, тогда

,

где обход контура совершается в положительном на­правлении, т. е. против часовой стрелки (областьостается слева). Следовательно,

. (1)

Аналогично получаем

, (2)

где обход контура также совершается в положительном направлении.

Вычитая почленно (1) из (2), получаем формулу Грина

.

Замечание 1.Если обход контурасовершается в отрицательном направлении, т. е. по часовой стрелке (областьостается справа), то формула Грина принимает вид

.

Замечание 2.Формула Грина дает возможность вычислять площадь области с помощью криволинейного интеграла. Действительно, если,, то формула Грина перепишется так:

,

откуда

, (3)

где обход контура совершается против часовой стрелки.

Пример. Определить с помощью криволинейного интеграла площадь, ограниченную эллипсом с полуосямии.

Решение.Запишем параметрические уравнения эллипса

.

Тогда

И по формуле (3) получим

.

Рассмотрим криволинейный интеграл

,

взятый по некоторой плоской кривой , соединяющей точки и .

Будем предполагать, что функции и имеют непрерывные частные производные в рассматриваемой области . Выясним, при каких условиях написанный криволинейный интеграл не зависит от формы кривой , а зависит только от положения начальной и конечной точек и .

Рассмотрим две произвольные кривые и , лежащие в рассматриваемой области и соединяющие точки и . Пусть

, (1)

т. е.

.

Тогда на основании свойств 1 и 2 криволинейных интегралов имеем:

,

т. е. криволинейный интеграл по замкнутому контуру

(2)

В последней формуле криволинейный интеграл взят по замкнутому контуру , составленному из кривых и . Этот контур можно, очевидно, считать произвольным.

Таким образом, из условия, что для любых двух точек и криволинейный интеграл не зависит от формы соединяющей их кривой, а зависит только от положения этих точек, следует, что криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.

Справедливо и обратное заключение: если криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, то этот криволинейный интеграл не зависит от формы кривой, соединяющей две любые точки, а зависит только от положения этих точек. Действительно, из равенства (2) следует равенство (1).

Естественно возникает вопрос: каким условиям должны удовлетворять функции и для того, чтобы криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру был равен нулю. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема:

Теорема. Пусть во всех точках некоторой области функции и вместе со своими частными производными,непрерывны. Тогда, для того чтобы криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру , лежащему в этой области, был равен нулю, т. е. чтобы ,необходимо и достаточно выполнение равенства

(3)

во всех точках области .

Доказательство.Рассмотрим произвольный замкнутый контур в области D и запишем для него формулу Грина:

.

Если выполняется условие (3), то двойной интеграл, стоящий слева, тождественно равен нулю и, следовательно,

Таким образом, достаточность условия (3) доказана.

Докажем теперь необходимость этого условия, т.е. докажем, что если равенство (2) выполняется для любой замкнутой кривой в области , то в каждой точке этой области выполняется и условие (3).

Допустим, напротив, что равенство (2) выполняется, т. е.

,

а условие (3) не выполняется, т. е.

хотя бы в одной точке. Пусть, например, в некоторой точке

выполняется неравенство

.

Так как в левой части неравенства стоит непрерывная функция, то она будет положительна и больше некоторого числа во всех точках некоторой достаточно малой области, содержащей точку. Возьмем двойной интеграл по этой области от разности. Он будет иметь положительное значение. Действительно,

.

Но по формуле Грина левая часть последнего неравенства равна криволинейному интегралу по границе области, который, по предположению, равен нулю. Следовательно, последнее неравенство противоречит условию (2), и значит, предположение, чтоотлично от нуля хотя бы в одной точке, неверно. Отсюда вытекает, чтово всех точках данной области , а следовательно

.

Теорема доказана.

Определенный интегральный калькулятор-матеря-Google Suce

ALLBILDERVIDEOSBüchermApsNewshopping

Sucoptionen

Определенный интегральный калькулятор-Mathway

WWW.Mathway.com ›Calculator› Define-integral-calculator

WWW.mathway.com ›Calculator› Define-integral-Calculator

WWW. Редактор Mathway подлежит оценке. Калькулятор определенных интегралов находит решения интегралов с определенными границами.

Интегральный калькулятор — Mathway

www.mathway.com › Калькулятор › интеграл-калькулятор

Калькулятор интегралов находит неопределенный интеграл от функции. Вы также можете получить лучшее визуальное представление и понимание функции и площади под …

Примеры исчисления | Интегралы | Вычисление определенных интегралов — Mathway

www.mathway.com › примеры › Вычисление определенных интегралов…

Бесплатное средство решения математических задач отвечает на ваши домашние вопросы по алгебре, геометрии, тригонометрии, исчислению и статистике с пошаговыми объяснениями, . ..

Примеры вычислений | Интегралы | Evaluating Indefinite Integrals

www.mathway.com › примеры › Evaluating-indefin…

Бесплатное средство решения математических задач отвечает на ваши домашние вопросы по алгебре, геометрии, тригонометрии, исчислению и статистике с пошаговыми объяснениями, ..

Ähnliche Fragen

Может ли Photomath вычислять интегралы?

Какой интегральный калькулятор лучше?

Как найти интеграл в Mathway?

Вычисление интегрального интеграла от -1 до -1 от 4x-4 относительно x

www.mathway.com › Popular-Problems › Исчисление

Исчисление. Оцените интегральный интеграл от -1 до -1 от 4x-4 относительно … Поскольку границы одинаковы, значение определенного интеграла равно 0 0 .

Калькуляторы — Mathway

www.mathway.com › калькуляторы

Исчисление · Калькулятор производных · Калькулятор интегралов · Калькулятор пределов · Калькулятор области и диапазона · Калькулятор суммирования · Калькулятор определенных интегралов · Предел . ..

Нахождение производной с помощью основной теоремы исчисления

www.mathway.com › применения дифференцирования

Ищете английскую версию Mathway? Мэтуэй. Посетите Mathway в Интернете. Скачать бесплатно в Google Play. Скачать бесплатно в iTunes. Скачать бесплатно на Амазоне.

Es fehlt: определенный- | Muss Folgendes enthalten:definite-

Калькулятор интегрирования вычисляет определенные интегралы шаг за шагом и показывает … Шаг 1: Введите интеграл в редакторе Mathway для оценки.

Калькулятор интегралов — Symbolab

www.symbolab.com › Step-by-Step › Исчисление

Бесплатный калькулятор интегралов — решайте неопределенные, определенные и кратные интегралы со всеми шагами. Введите любой интеграл, чтобы получить решение, шаги и график.

Калькулятор неопределенных интегралов — Symbolab

www.symbolab.com › … › Исчисление › Интегралы

Бесплатный калькулятор неопределенных интегралов — решайте неопределенные интегралы со всеми шагами. Введите любой интеграл, чтобы получить решение, шаги и график.

Ähnliche Suchanfragen

Integral calculator with steps

Derivative calculator

Line integral calculator

Wolfram Alpha Integral

Double integral calculator

Riemann integral calculator

Integralrechner Mathway

Differential equation calculator

Double Integral Calculator | Вычисление двойного интеграла онлайн

Знакомство с калькулятором двойного интеграла

Калькулятор двойного интеграла с шагами представляет собой онлайн-инструмент для вычисления нескольких интегралов. Этот инструмент очень полезен при вычислении двумерных значений интегралов. Результаты достоверны и понятны.

Калькулятор множественных интегралов дает точные результаты после выполнения пошаговых расчетов. Лучшее свойство этого инструмента в том, что он бесплатный, понятный и дает вам достоверные результаты с простыми для понимания шагами.

Что такое Калькулятор двойного интегрирования

Слово «двойной» означает множественный в интегрировании. Это основной инструмент калькулятора интегрирования для вычисления двойного интеграла. Этот калькулятор двойного интеграла используется для интегрирования площади в двух измерениях.

Решатель двойных интегралов также называется множественными интегралами. Это дает интегрированные результаты нескольких интегралов. В калькуляторе повторных интегралов используются две переменные (x, y). Этот калькулятор показывает вам результаты в виде кривых, графиков и графиков.

Калькулятор двойного интегрирования очень точно и точно вычисляет кратные интегралы. Выполнив несколько шагов, можно легко вычислить двойной интеграл с пошаговым решением.

Как использовать калькулятор двойных интегралов с шагами?

Ниже приведены полные шаги и рекомендации о том, как работает этот калькулятор. Просто следуя этим простым шагам, можно легко получить двойные интегралы.

1. Вы должны выбрать интегралы, которые вы хотите интегрировать, а также выбрать интегральную функцию из списка.
2. Теперь вам нужно выбрать либо определенные, либо неопределенные интегралы.
3. Решатель определенных интегралов — если вы знаете о пределах, т. е. верхнюю или нижнюю границу, то вам следует использовать определенные интегралы.
4. Неопределенный интегральный решатель — но если вы не знаете об ограничениях или у вас их нет, выберите неопределенный вариант.
5. После подстановки данных в нужные поля можно просто нажать кнопку «РАССЧИТАТЬ».
6. Через несколько секунд на экране вашего устройства замигает результат.

Формула, используемая программой расчета двойных интегралов

Двойной интеграл обычно вычисляется по следующей формуле:

где f(x,y) — функция, интегрируемая по x и y, а пределы интегрирования указаны знаками интеграла. Интеграл вычисляется путем сначала выполнения внутреннего интеграла по одной переменной, а затем выполнения внешнего интеграла по другой переменной. Результатом двойного интеграла является скалярная величина.

Вы можете использовать калькулятор множественных интегралов для вычисления двойного интеграла для определенных пределов и функций. Но для вычисления несобственных интегралов вам нужно попробовать наш калькулятор сходящихся или расходящихся онлайн. 93)]}{4} + c $$

Таким образом наш интегральный калькулятор решает интегралы с пошаговым решением.

Преимущества использования калькулятора двойного интегрирования

Использование решателя двойных интегралов имеет несколько преимуществ:

Экономия времени: Двойные интегралы могут быть сложными и трудоемкими для решения вручную, особенно если функция или пределы интеграция не простая. Калькулятор двойных интегралов с шагами позволяет быстро и точно рассчитать результат, экономя время и силы.

Точность: Калькулятор повторяющихся интегралов использует точные алгоритмы для выполнения вычислений, что снижает вероятность человеческой ошибки. Это гарантирует точность полученных результатов.

Удобство: Он прост в использовании и доступен с любого устройства с доступом в Интернет. Это делает его удобным для использования в любом месте, будь то дома, в школе или на работе.

Визуализация: Также обеспечивает визуализацию области интеграции и функции, что помогает понять проблему и решение.

Простота использования: Многие онлайн-инструменты имеют удобный интерфейс с возможностью ввода функций, пределов интеграции и других параметров. Это позволяет любому, в том числе студентам и исследователям, легко использовать этот вычислитель повторных интегралов.

Таким образом, становится ясно, что существует ряд преимуществ использования онлайн-калькулятора, таких как калькулятор интегральной площади и многие другие упомянутые инструменты. Но почему вы выбираете один из наших инструментов, а не сотни других? Ухх давайте разбираться.

Причина выбора этого калькулятора множественных интегралов

Основная причина, по которой вы выбираете этот онлайн-калькулятор, заключается в том, что этот калькулятор двойных интегралов помогает решать сложные численные задачи интегрирования.