4.7. Вычисление кратных интегралов
Для вычисления кратных интегралов вида также используются численные методы. В рамках данного учебно-методического пособия ограничимся рассмотрением двойных интегралов . Будем рассматривать неотрицательную непрерывную функцию , заданную на квадрируемом (имеющем площадь, ограниченном) множестве (области интегрирования) плоскости . Определим разбиение множества как его представление в виде объединения конечного числа квадрируемых частей, . Можно считать, что разбиение области на части , , определяется выбором геометрических фигур, которыми представлены , .
В случае интегрирования функции рассматривались длины частей разбиения отрезка : , , , . В случае интегрирования функции обобщением понятия длины будет площадь части области .
В каждой части
,
,
произвольным образом выберем точку ,
имеющую координаты .
Обозначим ,
,
через
.
Составим двумерную интегральную сумму .
В разд. 4.1 было показано, что простая (одномерная) интегральная сумма в случае интегрирования функции на отрезке представляет собой площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников c основаниями, соответствующими длинам частей разбиения отрезка , и с высотами, равными значениям функции в точках , выбранных на основаниях.
Аналогично, двухмерная интегральная сумма численно равна объему ступенчатого тела, составленного из вертикальных столбиков, имеющих части , , области своими основаниями, а значения функции в некоторой принадлежащей им точке равными высотам.
Очевидно, что для
заданной области
и непрерывной функции
можно составить не одну, а бесконечное
множество интегральных сумм, потому
что область
можно разбить на части
,
,
различными способами, а также по-разному
выбрать в них точки ,
.
В результате численная величина
интегральной суммы
зависит от способа разбиения области
и от выбора внутренних точек
в ее частях
,
.
Введем понятие диаметра частей – , значение которого определяется как точная верхняя грань расстояния между точками множества . В общем случае диаметром плоской фигуры называется наибольшая из хорд данной фигуры. Будем считать, что область ограничена контуром . Предположим, что части , , изменяются и начинают бесконечно уменьшаться (не только в смысле величины их площади, но и в смысле значений их диаметров), так что даже самый большой из их диаметров бесконечно уменьшается. Это означает, что части , , становятся все более малыми и так как они должны заполнять постоянную площадь внутри контура , то их число должно бесконечно увеличиваться. С дугой стороны, непрерывная функция является ограниченной и для всех точек справедливо неравенство:
,
где – постоянная величина. Отсюда следует,
что общий член двухмерной интегральной суммы
имеет абсолютную величину, меньшую чем и, значит, бесконечно уменьшается.
Таким образом, когда наибольший из диаметров частей , , бесконечно уменьшается, двухмерная интегральная сумма становится суммой бесконечно увеличивающегося числа слагаемых с бесконечно уменьшающимися значениями. В этих условиях двухмерная интегральная сумма стремится к определенному пределу, всегда одному и тому же, какую бы форму не имели бесконечно уменьшающиеся части , области , и каким бы образом ни выбирались в них точки , .
В рамках настоящего учебно-методического пособия доказательство данного важного предположения не приводится, однако его можно найти в более подробных курсах, посвященных интегральному исчислению.
Предел двухмерной интегральной суммы называется двойным (определенным) интегралом и обозначается следующим образом:
. (*)
Если областью
интегрирования
является прямоугольник (
, )
со сторонами, параллельными осям
координат, то для вычисления двойного
интеграла можно использовать любой из
рассмотренных в данной главе методов.
Например, применение формулы средних
прямоугольников при постоянном шаге
интегрирования дает следующий результат
,
где и – шаги для отрезков интегрирования на и соответственно по и , а и – средние точки отрезков интегрирования, рис. 4.12.
Рис. 4.12. Вычисление интеграла по прямоугольной области интегрирования.
Заметим, что с
повышением кратности интегралов резко
возрастает объем вычислений и рассмотренный
подход становится неэффективным.
Например, если мы разбиваем интервал
изменения каждой переменной всего на
десять частей, то для вычисления тройного
интеграла нам потребуется вычислить
сумму тысячи слагаемых, а при вычислении
десятикратного интеграла, потребуется
сумма, количество слагаемых в которой
определяется числом .
Вычисление такой суммы затруднительно
даже на самых быстродействующих
современных компьютерах. В этом случае
применяют другие методы численного
интегрирования, среди которых особое
место занимает метод статистических
испытаний (Монте-Карло), разд.
4.8.
Остановимся на общей идее получения формул вычисления двойных интегралов, которая заключается в их приведении к повторным интегралам и последовательном применении формул методов Ньютона-Котеса, например, формулы Симпсона. Пусть требуется вычислить двойной интеграл (*) по прямоугольнику со сторонами, параллельными координатным осям. Разобьем прямоугольник на четыре равных прямоугольника средними линиями и обозначим стороны данных меньших прямоугольников соответственно через и . Значения функции , вычисленные в узловых точках, обозначим соответственно через , , , , и т.д. Результат разбиения прямоугольной области интегрирования представлен на рис. 4.13.
Рис. 4.13. Разбиение прямоугольной области интегрирования.
Тогда двойной интеграл (*) можно представить в виде
или
, где . (4.13)
К каждому из
полученных интегралов, в свою очередь,
можно применить формулу Симпсона (4.
. (4.14)
С другой стороны
(4.15)
Подставив (4.15) в (4.14), получаем, что исходный интеграл (*) может быть вычислен по формуле
. (4.16)
Таким образом, остается вычислить значения функции в узлах, номера которых отмечены в кружках на рис. 4.13.
Рассмотрим пример. Требуется вычислить интеграл
.
Решение. Принимая и , вычислим значения функции . Результаты приведенны в табл. 4.1.
Таблица 4.1.
Калькулятор двойных интегралов| Бесплатный онлайн-калькулятор — Learn Cram
by Veerendra
Наш бесплатный удобный калькулятор двойных интегралов предназначен для вычисления двойного интеграла функции за доли секунды.
Единственное, что вам нужно сделать, это просто указать свою функцию и диапазон для двух переменных в качестве входных данных и получить значение в качестве вывода сразу после нажатия кнопки расчета.
Калькулятор двойных интегралов: Нахождение определенного интеграла для функции аналогично двойному интегралу. Но в случае двойного интеграла вам нужно выполнить одну и ту же операцию дважды. Кому-то немного сложно получить двойной интеграл выражения. Итак, мы советуем вам использовать этот онлайн-калькулятор двойных интегралов, чтобы мгновенно сгенерировать ответ. Ознакомьтесь с дальнейшими разделами этой статьи, чтобы узнать подробный процесс с примером.
Люди могут пройти следующие разделы, чтобы получить полную процедуру нахождения двойного интеграла. Выполните следующие действия, чтобы получить ответ для вашей функции.
- Возьмем любую функцию со значениями x и y
- Чтобы вычислить двойной интеграл этой функции f(x), сначала выполните интегрирование по y
- После этого подставьте значения диапазона x (a,b) в функцию, чтобы получить f(b) и f(a)
- Вычислить f(b)-f(a)
- Снова выполнить интегрирование по другой переменной
- Повторите шаги 3 и 4, чтобы получить результат
Пример
92dx).
dy=f(1)-f(0)
=⅔-0
=2/3
Найдите множество других бесплатных математических калькуляторов, которые сэкономят ваше время при выполнении сложных вычислений и получат пошаговые инструкции. -пошаговые решения всех ваших проблем за считанные секунды.
1. Каково применение двойного интеграла?
Двойные интегралы в основном используются для вычисления площади области на графике, объема поверхности и среднего значения функции двух переменных по прямоугольной области.
2. Имеет ли значение порядок в двойном интеграле?
В некоторых случаях порядок интеграла не имеет значения. Вы можете изменить порядок интегрирования. Но вам нужно переписать повторный интеграл.
3. Как решить двойной интеграл от функции?
Чтобы вычислить двойной интеграл любой функции, вам нужно вычислить интеграл по y, это удаляет переменную x. Затем вычислить интеграл по y.
4.
Можно ли разделить двойной интеграл?
Согласно теореме Фубини, мы можем разбить двойные интегралы на повторные интегралы.
5. Для чего используется интеграл?
Обычно интегралы используются для вычисления площади двумерной области и объема трехмерного объекта с криволинейной границей.
Калькулятор двойных интегралов
| Evaluate-Equations
Введение
Приятно видеть вас в сегодняшней статье с новым онлайн-инструментом. Сегодня мы поговорим о калькуляторе двойного интеграла, его шагах, преимуществах двойного интеграла и формуле.
Мы сконцентрировались на концепциях калькулятора интегральных итераций, чтобы новые студенты и знакомые по математическому анализу могли легко их понять. Если вы прочитаете эту статью от начала до конца, вы легко сможете вычислить двойной интеграл самостоятельно и с онлайн-помощью.
Самое лучшее в этом решателе двойных интегралов то, что его можно рассчитать в Интернете с возможными шагами и подробными решениями.
Вы должны поместить функции в калькулятор. Он будет работать над этим и даст вам идеальный ответ. Здесь мы можем узнать, как решать двойные интегралы с помощью лучшего калькулятора двойных интегралов с шагами и многое другое!
Связано: Если вы хотите найти простой интегральный калькулятор с шагами, вы можете использовать наш интегральный калькулятор.
Калькулятор двойного интеграла
Калькулятор двойного интеграла используется для оценки или вычисления площади области, ограниченной кривой функции и объемом нижней кривой. Каждый двойной интеграл можно вычислить пошагово, используя одинарные методы интегрирования. Если вы знаете шаги одиночной интеграции, ее легко использовать.
Мы представляем, что область R покрыта сетью линий, параллельных двумерным осям x и y. Когда мы находим интегралы области, которые оценивают несколько интегралов под площадью кривой ограниченной области, тогда это называется калькулятором двойного интеграла.
Связано: Узнайте, как найти площадь под кривой.
Для проверки непрерывности и разрывности функции f(x) в ограниченной области воспользуемся калькулятором многократного интегрирования. Этот калькулятор является полезным и эффективным систематическим онлайн-инструментом, который легко попробовать! Калькулятор двойного интеграла используется для определения площади области, ограниченной кривой функции. Он используется для нахождения объема подкривой. Двойные интегралы используются для оценки среднего значения функции в двумерном пространстве.
С помощью этого калькулятора вы можете найти только двойной интеграл, но если вы хотите найти тройной интеграл, вы можете использовать наш калькулятор тройного интеграла.
Формула калькулятора двойных интегралов
Другой способ заключается в использовании калькулятора двойных интегралов, программы, которая может вычислять определенные и неопределенные двойные интегралы. После знания калькулятора двойных интегралов, функции f (x, y) по ограниченной прямоугольной области R в плоскости xy, формула калькулятора кратных интегралов будет следующей: 9{x2}_{x1} \;f(x,y) \, dx \, \biggr) \, dy $$
Fx — заданная функция.
Пределы интегрирования в порядке x и y необходимы для определения пределов интегрирования для эквивалентного интеграла порядка dx dy. Чтобы получить площадь поперечного сечения A (y), мы фиксируем y и интегрируем относительно x.
Связанный: Если вы не знаете об определенном и неопределенном интеграле, то вам следует посетить наш калькулятор определенного интеграла и калькулятор неопределенного интеграла соответственно.
Лучший калькулятор двойного интеграла с шагами
Изучите шаги для расчета двойного интеграла и сэкономьте свое время.
• Поставить функцию и выбрать тип интеграла, определенный или неопределенный интеграл.
• Калькулятор сразу вычислит свой интеграл по двум переменным (x и y).
• Затем запишите верхний и нижний пределы. Кроме того, нажмите «Оценить».
• Вы получаете целый вопрос с шагами.
С одной стороны, от расчетов руководства, которые кажутся достаточно сложными, вы должны перепроверить и ускорить свои вычисления с помощью этого итерированного интегрального калькулятора с шагами.
92 \, dydx \, = 3360 $$
Преимущества калькулятора множественных интегралов
Ниже перечислены преимущества калькуляторов множественных интегралов: С помощью этого лучшего калькулятора двойных интегралов вы можете выполнять расчеты без каких-либо сбоев или ошибок. Предположим, у вас есть задание или много вопросов, которые нужно решить немедленно. В этом случае вы можете использовать этот калькулятор двойных интегралов, чтобы сэкономить драгоценное время и энергию, которые вы были готовы дать тесту, викторине или заданию.
Этот калькулятор удобен для сложных, а этот удобный калькулятор готов помочь с трудными вопросами. Вы можете легко рассчитать объемы, площади и средние значения за несколько минут.
Связано: Узнайте, как вычислить калькулятор правил Симпсона и калькулятор правил трапеций
Калькулятор множественного интегрирования использует точную процедуру для выполнения вычислений, уменьшая вероятность человеческой ошибки. Это дает точные результаты двойных интегралов в течение короткого времени.