Двойные интегралы в полярных координатах: теория и примеры
- Что значит вычислить двойной интеграл полярных координатах?
- Пределы интегрирования в повторных интегралах
- Решения двойных интегралов в полярных координатах: примеры
Если область интегрирования представляет собой окружность или часть окружности, двойной интеграл проще вычислить не в декартовых прямоугольных координатах, а в полярных координатах. В этом случае подынтегральная функция выражается как функция полярных переменных r и φ с использованием соотношений между полярными и декартовыми координатами x = rcosφ и y = rsinφ:
.
Что представляет собой элемент площади dxdy,
выраженный в полярных координатах? Для ответ на этот вопрос разделим область интегрирования D на участки линиями окружности r = const и лучами φ = const.
Рассмотрим один частичный участок
(заштрихованный на рисунке), который ограничивают лучи, образующие с полярной осью углы
dxdy = rdrdφ,
а двойной интеграл в полярных координатах записывается так:
.
Чтобы вычислить двойной интеграл в полярных координатах, его нужно выразить через повторные интегралы, так же, как и «обычный» двойной интеграл в декартовых прямоугольных координатах. В полярных координатах внешний интеграл всегда интегрируется по углу φ, а внутренний — по радиусу r.
Вычислить двойной интеграл в полярных координатах — значит,
как и в декартовых прямоугольных координатах, найти число, равное площади упомянутой фигуры D.
При переходе от двойного интеграла в полярных координатах к повторным интегралам расстановку пределов интегрирования могут облегчить следующие закономерности.
Случай первый
Полюс O является внутренней точкой области интегрирования D, область ограничена линией r = r(φ).
Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны 0 и 2π, а внутреннего интеграла — 0 и r(φ). Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:
.
Случай второй
Полюс O находится на границе области интегрирования
Через полюс O проведём касательную. Пусть касательная образует с полярной
осью угол α. Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны α и π + α,
а внутреннего интеграла — 0 и r(φ).
Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:
.
Случай третий
Полюс O находится на границе области интегрирования D, ограниченного линией r = r(φ), и является угловой точкой.
Из полюса O проведём лучи, которые будут ограничивать область D. Пусть эти лучи образуют с полярной осью углы α и β. Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны α и β, а внутреннего интеграла — 0 и r(φ). Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:
.
Случай четвёртый
Полюс O находится вне области интегрирования D.
Из полюса O проведём лучи, которые будут ограничивать область D. Пусть эти лучи образуют с полярной
осью углы α и β,
а область D ограничивают линии r = r1(φ)
и r = r2(φ).
Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны α и β,
а внутреннего интеграла — r1(φ)
и r2(φ).
Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:
.
Пример 1. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл
,
где область D ограничена линиями , , .
Решение. Строим на чертеже область интегрирования. Видим, что этот пример относится к третьему случаю из вышеописанных четырёх случаев расположения области интегрирования.
Выразим подынтегральную функцию как функцию полярных переменных:
.
Данные в условии линии, ограничивающие D, приводим к полярным координатам:
Переходим от двойного интеграла к повторному, учитывая пределы интегрирования, верные в третьем случае:
.
Пример 2. В повторном интеграле
перейти к полярной системе координат.
Решение. В повторном интеграле переменная x изменяется от -1 до 1, а переменная y — от параболы x² до 1. Таким образом, область интегрирования снизу ограничена параболой y = x², а сверху — прямой y = 1. Область интегирования изображена на следующем чертеже.
При переходе к полярным координатам область интегрирования нужно разделить на три части.
Значит, данный повторный интеграл должен быть вычислен как сумма трёх интегралов. В первой области
полярный радиус меняется от 0 до параболы, во второй области — от 0 до прямой y = 1,
в третьей области — от 0 до параболы.
Запишем линии, ограничивающие область интегрирования в полярной системе координат. Найдём уравнение прямой y = 1: или . Найдём уравнение параболы y = x² в полярной системе координат:
Теперь у нас есть всё, чтобы от данного повторного интеграла перейти к полярным координатам:
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К началу страницы
Пройти тест по теме Кратные и криволинейные интегралы
Пример 3. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл
,
где область D ограничена линией окружности
.
Решение. Строим на чертеже область интегрирования.
Область интегрирования ограничивает линия окружности с центром в точке (a; 0) и радиусом a. В этом легко убедиться, преобразовав её уравнение следующим образом:
.
Линия окружности касается оси Oy, поэтому полярный угол в области интегрирования меняется от до . Подставим и в уравнение окружности и получим
Напишем подынтегральную функцию в полярных координатах:
.
Теперь можем перейти в данном двойном интеграле к полярным координатам:
Наконец, находим двойной интеграл в полярных координатах:
В полученном выражении второе слагаемое равно нулю, так как и sinπ, и sin(−π) равны нулю. Продолжая, получаем:
Пример 4.
Вычислить плоской фигуры, которую ограничивают линии
,
,
,
.
Решение. Построим заданную фигуру на следующем рисунке.
Так как фигура является частью круга, её площадь проще вычислить в полярных координатах. Данные уравнения линий перепишем в полярных координатах:
Таким образом, у нас есть всё, чтобы записать площадь фигуры в виде двойного интеграл в полярных координатах, перейти к повторному интегралу и вычислить его:
Пример 5.
Вычислить в полярных координатах двойной интеграл,
где область D ограничена линиями и .
Решение. Преобразуем данные уравнения линий, чтобы было проще построить чертёж:
.
Строим на чертеже область интегрирования.
В данных уравнениях линий перейдём к полярным координатам:
.
В данном двойном интеграле перейдём к полярным координатам, затем к повторным интегралам и вычислим интеграл:
| Назад | Листать | Вперёд>>> |
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К началу страницы
Пройти тест по теме Кратные и криволинейные интегралы
Кратные и криволинейные интегралы
- Вычисление двойных интегралов
- Двойные интегралы в полярных координатах
- Вычисление тройных интегралов
- Вычисление криволинейных интегралов
- Интегралы по замкнутому контуру, формула Грина
- Вычисление поверхностных интегралов
Поделиться с друзьями
вычисление двойного интеграла в полярных координатах
Вы искали вычисление двойного интеграла в полярных координатах? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь.
Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вычислить в полярных координатах двойной интеграл, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «вычисление двойного интеграла в полярных координатах».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как вычисление двойного интеграла в полярных координатах,вычислить в полярных координатах двойной интеграл,вычислить двойной интеграл в полярных координатах,вычислить двойной интеграл используя полярные координаты,вычислить двойной интеграл используя полярные координаты онлайн,вычислить используя полярные координаты двойной интеграл,вычислить переходя к полярным координатам двойной интеграл,двойной интеграл в полярных координатах,двойной интеграл в полярных координатах калькулятор онлайн,двойной интеграл в полярных координатах онлайн,двойной интеграл онлайн в полярных координатах,двойной интеграл переход к полярным координатам,двойные интегралы в полярных координатах,интеграл в полярных координатах,используя полярные координаты вычислить двойной интеграл,как в двойном интеграле перейти к полярным координатам,как перейти в двойном интеграле к полярным координатам,как перейти к полярным координатам,как перейти к полярным координатам в двойном интеграле,переход в двойном интеграле к полярным координатам,переход к полярным координатам,переход к полярным координатам в двойном интеграле,переход к полярным координатам в двойном интеграле примеры,переход к полярным координатам двойной интеграл,примеры двойной интеграл в полярных координатах,решение двойного интеграла в полярных координатах онлайн,решение двойного интеграла онлайн в полярных координатах.
На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, вычислить двойной интеграл в полярных координатах).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же вычисление двойного интеграла в полярных координатах Онлайн?
Решить задачу вычисление двойного интеграла в полярных координатах вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
Как преобразовать повторные интегралы в полярные координаты — Криста Кинг Математика
Повторные интегралы и двойные интегралы
Чтобы преобразовать повторный интеграл в полярные координаты, нам нужно преобразовать саму функцию, пределы интегрирования и дифференциал.
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.
92???Помните также, что при конвертации ???dA??? или ???dy\dx??? в полярные координаты он преобразуется как
???dA=dy\ dx=r\ dr\ d\theta???
Если мы начнем с двойного интеграла, нам нужно сначала оценить его, выбрать тип области, а затем установить пределы интегрирования. После этого наш двойной интеграл является повторным интегралом, поэтому мы просто используем те же методы для решения полярных координат.
Как преобразовать повторные интегралы из прямоугольных координат в полярные координаты
Пройти курс
Хотите узнать больше об исчислении 3? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂
Вычисление двойных интегралов после преобразования прямоугольных координат в полярные
Пример
Преобразование двойного интеграла из прямоугольных координат в полярные, если ???D??? ограничен ???y=\pm\sqrt{25-x^2}???.
92\справа)}\др\д\тета???
Это тот же двойной интеграл, с которого мы начали, за исключением того, что мы преобразовали его из прямоугольных координат в полярные координаты.
Получить доступ к полному курсу Calculus 3
Learn mathКриста Кинг математика, выучить онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление iii, исчисление 3, исчисление iii, исчисление 3, многомерное исчисление, многомерное исчисление, многомерное исчисление, многомерное исчисление, множественные интегралы, двойные интегралы , повторные интегралы, полярные координаты, преобразование повторных интегралов, преобразование двойных интегралов
0 лайковДвойные интегралы в полярных координатах
Одним из частных случаев замены переменных является переход от декартовой к полярной системе координат (рис. 1):
\[x = r\cos \theta ,\;\;y = r\sin \theta .
\]
Определитель Якоби для этого преобразования равен
\[
\ frac {{\ парциальное \ влево ( {x, y} \ right)}} {{\ парциальное \ влево ( {r, \ theta} \ right)}}
= \ влево | {\начать{массив}{*{20}{с}}
{\ гидроразрыва {{\ парциальное х}} {{\ парциальное г}}} & {\ гидроразрыва {{\ парциальное х}} {{\ парциальное \ тета}}} \\
{\ гидроразрыва {{\ парциальное у}} {{\ парциальное г}}} & {\ гидроразрыва {{\ парциальное у}} {{\ парциальное \ тета}}}
\end{массив}} \right|
= \ влево | {\начать{массив}{*{20}{с}}
{\ гидроразрыва {{\ парциальное \ влево ( {г \ соз \ тета} \ вправо)}} {{\ парциальное г}}} & {\ гидроразрыва {{\ парциальное \ влево ( {г \ соз \ тета} \ вправо )}}{{\partial \theta}}}\\
{\ гидроразрыва {{\ парциальное \ влево ({г \ грех \ тета} \ вправо)}}} {{\ парциальное г}}} & {\ гидроразрыва {{\ парциальное \ влево ( {г \ грех \ тета} \ вправо )}}{{\partial \theta}}}
\end{массив}} \right|
= \ влево | {\начать{массив}{*{20}{с}}
{\ соз \ тета} & { — г \ грех \ тета} \\
{\ грех \ тета} & {г \ соз \ тета}
\end{массив}} \right|
= \cos \theta \cdot r\cos \theta — \left( { — r\sin \theta } \right) \cdot \sin \theta
знак равно г \, {\ соз ^ 2} \ тета + г \, {\ грех ^ 2} \ тета
= r \ left ( {{{\ cos } ^ 2} \ theta + {{\ sin } ^ 2} \ theta } \ right) = r.