Двойной интеграл в полярных координатах: Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2

Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2

Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2: Учебное пособие для втузов.—13-е изд.— М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 560 с. Хорошо известное учебное пособие по математике для втузов с достаточно широкой математической подготовкой. Второй том включает разделы: дифференциальные уравнения, кратные и криволинейные интегралы, интегралы по поверхности, ряды, уравнения математической физики, операционное исчисление, элементы теории вероятностей и математической статистики, матрицы. Для студентов высших технических учебных заведений. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮ ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ ГЛАВА XIII. (n) = f(x) § 18. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых к уравнениям первого порядка. Задача о второй космической скорости § 19. Графический метод интегрирования дифференциального уравнения второго порядка § 20. Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства § 21. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами § 22. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами § 23. Неоднородные линейные уравнения второго порядка § 24. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами § 25. Неоднородные линейные уравнения высших порядков § 26. Дифференциальное уравнение механических колебаний § 27. Свободные колебания. Векторное и комплексное изображение гармонических колебаний § 28. Вынужденные колебания § 29. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений § 30. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами § 31. Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифференциального уравнения в окрестности особой точки § 32. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера § 33. Разностный метод приближенного решения дифференциальных уравнений, основанный на применении формулы Тейлора.. Метод Адамса § 34. Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка Упражнения к главе XIII ГЛАВА XIV. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 2. Вычисление двойного интеграла § 3. Вычисление двойного интеграла (продолжение) § 4. Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов § 5. Двойной интеграл в полярных координатах § 6. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай) § 7. Вычисление площади поверхности § 9. Момент инерции площади плоской фигуры § 10. Координаты центра масс площади плоской фигуры § 11. Тройной интеграл § 12. Вычисление тройного интеграла § 13. Замена переменных в тройном интеграле § 14. Момент инерции и координаты центра масс тела § 15. Вычисление интегралов, зависящих от параметра Упражнения к главе XIV ГЛАВА XV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ § 2. Вычисление криволинейного интеграла § 3. Формула Грина § 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования § 5. Поверхностный интеграл § 6. Вычисление поверхностного интеграла § 7. Формула Стокса § 9. Оператор Гамильтона. Некоторые его применения Упражнения к главе XV ГЛАВА XVI. РЯДЫ § 1. Ряд. Сумма ряда § 2. Необходимый признак сходимости ряда § 3. Сравнение рядов с положительными членами § 4. Признак Даламбера § 5. Признак Коши § 6. Интегральный признак сходимости ряда § 7. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница § 8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость § 9. Функциональные ряды § 10. Мажорируемые ряды § 11. Непрерывность суммы ряда § 12. Интегрирование и дифференцирование рядов § 13. Степенные ряды. Интервал сходимости § 14. Дифференцирование степенных рядов § 15. Ряды по степеням x-a § 16. Ряды Тейлора и Маклорена § 17. Примеры разложения функций в ряды § 18. Формула Эйлера § 19. Биномиальный ряд § 20. Разложение функции ln(1+x) в степенной ряд. Вычисление логарифмов § 21. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов § 22. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов § 23. Уравнение Бесселя § 24. Ряды с комплексными членами § 25. Степенные ряды с комплексной переменной § 26. Решение дифференциального уравнения первого порядка методом последовательных приближений (метод итераций) § 27. Доказательство существования решения дифференциального уравнения. Оценка погрешности при приближенном решении § 28. Теорема единственности решения дифференциального уравнения Упражнения к главе XVI ГЛАВА XVII. РЯДЫ ФУРЬЕ § 2. Примеры разложения функций в ряды Фурье § 3. Одно, замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье § 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций § 5. Ряд Фурье для функции с периодом 2l § 6. О разложении непериодической функции в ряд Фурье § 7. Приближение в среднем заданной функции с помощью тригонометрического многочлена § 8. Интеграл Дирихле § 9. Сходимость ряда Фурье в данной точке § 10. Некоторые достаточные условия сходимости ряда Фурье § 11. Практический гармонический анализ § 12. Ряд Фурье в комплексной форме § 13. Интеграл Фурье § 14. Интеграл Фурье в комплексной форме § 15. Ряд Фурье по ортогональной системе функций § 16. Понятие о линейном функциональном пространстве. Аналогия между разложением функций в ряд Фурье и разложением векторов Упражнения к главе XVII ГЛАВА XVIII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ § 1. Основные типы уравнений математической физики § 2. Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах § 3. Решение уравнения колебаний струны методом разделения переменных (методом Фурье) § 4. Уравнение распространения тепла в стержне. Формулировка краевой задачи § 5. Распространение тепла в пространстве § 6. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей § 7. Распространение тепла в неограниченном стержне § 8. Задачи, приводящие к исследованию решений уравнения Лапласа. Формулировка краевых задач § 9. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение задачи Дирихле для кольца с постоянными значениями искомой функции на внутренней и внешней окружностях § 10. Решение задачи Дирихле для круга § 11. Решение задачи Дирихле методом конечных разностей Упражнения к главе XVIII ГЛАВА XIX. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ § 1. Начальная функция и ее изображение § 2. Изображение функций … § 3. Изображение функции с измененным масштабом независимой переменной. Изображение функций sin at, cos at § 4. Свойство линейности изображения § 5. Теорема смещения § 6. Изображение функций … § 7. Дифференцирование изображения § 8. Изображение производных § 9. Таблица некоторых изображений § 10. Вспомогательное уравнение для данного дифференциального уравнения § 11. Теорема разложения § 12. Примеры решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом § 13. Теорема свертывания § 14. Дифференциальные уравнения механических колебаний. Дифференциальные уравнения теории электрических цепей § 15. Решение дифференциального уравнения колебаний § 16. Исследование свободных колебаний § 17. Исследование механических и электрических колебаний в случае периодической внешней силы § 18. Решение уравнения колебаний в случае резонанса § 19. Теорема запаздывания § 20. Дельта-функция и ее изображение Упражнения к главе XIX ГЛАВА XX. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ § 1. Случайное событие. Относительная частота случайного события. Вероятность события. Предмет теории вероятностей § 2. Классическое определение вероятности и непосредственный подсчет вероятностей § 3. Сложение вероятностей. Противоположные случайные события § 4. Умножение вероятностей независимых событий § 5. Зависимые события. Условная вероятность. Полная вероятность § 6. Вероятность гипотез. Формула Байеса § 7. Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины § 8. Относительная частота и вероятность относительной частоты при повторных испытаниях § 9. Математическое ожидание дискретной случайной величины § 10. Дисперсия. Среднеквадратичное отклонение. Понятие о моментах § 11. Функции от случайных величин § 12. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал § 13. Функция распределения, или интегральный закон распределения. Закон равномерного распределения вероятностей § 14. Числовые характеристики непрерывной случайной величины § 15. Нормальный закон распределения. Математическое ожидание нормального распределения § 16. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение случайной величины, подчиненной нормальному закону распределения § 17. Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа. Интегральная функция распределения для нормального закона § 18. Вероятное (срединное) отклонение или срединная ошибка § 19. Выражение нормального закона распределения через срединное отклонение. Приведенная функция Лапласа § 20. Правило трех сигм. Шкала вероятностей распределения ошибок § 21. Среднеарифметическая ошибка § 22. Мера точности. Соотношение между характеристиками распределения ошибок § 23. Двумерная случайная величина § 24. Нормальный закон распределения на плоскости § 25. Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания, при нормальном законе распределения § 26. Вероятность попадания двумерной случайной величины в эллипс рассеивания § 27. Задачи математической статистики. Статистический материал § 28. Статистический ряд. Гистограмма § 29. Определение подходящего значения измеряемой величины § 30. Определение параметров закона распределения. Теорема Ляпунова. Теорема Лапласа Упражнения к главе XX ГЛАВА XXI. МАТРИЦЫ. МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ СИСТЕМ И РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 1. Линейные преобразования. Матрица § 2. Общие определения, связанные с понятием матрицы § 3. Обратное преобразование § 4. Действия над матрицами. Сложение матриц § 5. Преобразование вектора в другой вектор с помощью матрицы § 6. Обратная матрица § 7. Нахождение матрицы, обратной данной § 8. Матричная запись системы линейных уравнений § 9. Решение системы линейных уравнений матричным методом § 10. Ортогональные отображения. Ортогональные матрицы § 11. Собственный вектор линейного преобразования § 12. Матрица линейного преобразования, при котором базисные векторы являются собственными векторами § 13. Преобразование матрицы линейного преобразования при переходе от одного базиса к другому § 14. Квадратичные формы и их преобразования § 15. Ранг матрицы. Существование решений системы линейных уравнений § 16. Дифференцирование и интегрирование матриц § 17. Матричная запись системы дифференциальных уравнений и решений системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами § 18. Матричная запись линейного уравнения n-го порядка § 19. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами методом последовательных приближений с использованием матричной записи Упражнения к главе XXI ПРИЛОЖЕНИЯ

Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат

Пусть существует ф-ция f(x,y) интегр на области Д, можно прямолинейные координаты x, y с помощью формул преобразования перейти к криволинейным: x = x(u,v), y=y(u,v), где эти ф-ции непрерывные вместе с частными производными первого порядка, устанавливают взаимно однозначное и в обе стороны непрерывное соответствие между точками плоской области Д и области Д’ и определитель преобразования, наз. Якобианом не обращается в 0: если это выполняется можно пользоваться ф-лой:

Двойной интеграл в полярных координатах

Переход к полярным координатам частный случай замены переменных.

Луч, проходящий из произв точки О имеет на плоскости полярные координаты A(r, ) где r = |ОA| расстояние от О до А полярный радиус.  = угол между векторами ОА и ОР – полярный угол отсчитываемой от полярной оси против часовой стрелки. всегда 0<=r<=+, 0<= <=2 .

Зависимость между прямоугольными и полярными координатами: x = rcos , y = rsin .

Якобиан преобразования будет равен:

И формула при переходе примет вид:

7. Вычисление объема с помощью двойного интеграла

Если f (x,y) > 0 в области интегрирования R, то объем цилиндрического тела с основанием R, ограниченного сверху поверхностью z = f (x,y), выражается формулой

В случае, когда R является областью типа I, ограниченной линиями  , объем тела равен

Для области R типа II, ограниченной графиками функций  , объем соответственно равен

Если в области R выполняется неравенство  , то объем цилиндрического тела между поверхностями z₁ = f (x,y) и z₂ = g (x,y) с основанием R равен

8. Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла

Предположим, что поверхность задана функцией z = f (x,y), имеющей область определения R. Тогда площадь такой поверхности над областью z определяется формулой

при условии, что частные производные   и   непрерывны всюду в области R. 

9. Тройной интеграл и его свойства

Пусть на некоторой ограниченной замкнутой области V трехмерного пространства задана ограниченная ф-ция f (x,y,z). Разобьем область V на n произвольных частичных областей, не имеющих общих внутренних точек, с объемами V1… Vn В каждой частичной области возбмем произв. точку М с кооорд Mi(i,i,i) составим сумму: f(i,i,i)Vi, кот наз интегральной суммой для ф-ции f(x,y,z). Обозначим за  максимальный диаметр частичной области. Если интегральная сумма при   0 имеет конечный предел, то сей предел и называется тройным интегралом от ф-ции f(x,y,z) по области V И обозначается:

Св-ва такие же как у двойного интеграла.

10. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах. Пусть  является цилиндрическим телом, проекция которого на плоскость  есть область и которое ограничено снизу поверхностью , а сверху v поверхностью , где   — непрерывные функции в . Тогда , то есть интегрированием по z тройной интеграл сводится к двойному интегралу по области . Для областей более сложной формы вычисление двойных и тройных интегралов производится разбиением областей на конечное число простых областей с уже рассмотренными свойствами.

n f(x_i,y_i)\Дельта х\Дельта у\] где каждый \((x_i,y_j)\) является точкой отсчета в \(ij\)-ом подпрямоугольнике. Принимая предел, когда количество подпрямоугольников стремится к бесконечности фактически является нашим определением \(\iint\limits_R f(x,y)\,dA\).

Что, если вместо этого мы хотим проинтегрировать \(f(x,y)\) по полярному прямоугольнику \(R\)? Мы можем записать \(f(x,y)\) в полярных координатах как \(f(r\cos\theta, r\sin\theta)\) с помощью соотношений \(x=r\cos\theta\), \(y=r\sin\theta\). \beta f(r\cos\theta, r\sin\theta)\, r\, d\theta\, dr.\] 9\Пи \\ &= \left(\frac{\pi}{4}+0\right)-\left(\frac{\pi}{8}-1\right) \\ &= \frac{\pi}{8}+1. \конец{выровнено}\]

Визуализация примера

Следующая анимация показывает полярные суммы Римана, аппроксимирующие этот двойной интеграл по мере увеличения числа подразделений.

Обратите внимание, что полярные прямоугольники ближе к началу координат намного уже. чем те, что дальше, поэтому, если бы у нас было две коробки в полярная сумма Римана с той же высотой, та, что ближе к началу координат внесет меньший вклад в результат, чем тот, что дальше. Это неверно для обычных, неполярных сумм Римана, которые мы рассматривали; в этих суммах все подпрямоугольники имеют одинаковую площадь \(\Delta A = \Delta x \Delta y\), поэтому два прямоугольника одинаковой высоты имеют одинаковый объем и, следовательно, всегда вносят одинаковый вклад в сумму Римана. Однако в полярных суммах Римана площадь полярного подпрямоугольника равно \(\Delta A = r\Delta r\Delta\theta\), который также зависит от \(r\), расстояния от начала координат. Таким образом, полярные подпрямоугольники ближе к началу координат (с малым \(r\)) вносят меньший вклад в результат, чем полярные подпрямоугольники дальше от начала координат (с большим \(r\)). Мы видим это графически в узких прямоугольниках возле начала координат, и символически в дополнительном множителе \(r\), который появляется при записи двойного интеграла в виде повторного интеграла в полярных координатах.

Дополнительные вопросы

1. Повторите этот пример, используя другой порядок интегралов, сначала интегрируя по \(\theta\), затем по \(r\).
2. Как изменится наш ответ, если наш регион интеграции вместо этого был сектор единичного диска в первом квадранте? А третий квадрант? Четвертый квадрант? Попробуйте ответить на эти вопросы, не переделывая весь расчет; вместо этого подумайте, какие части расчета изменятся и как. 92\) по всему единичному диску?
3. В поле «Двойные интегралы в полярных координатах» мы определили угловой диапазон как \(\alpha\le\theta\le\beta\), с \(0\le \beta-\alpha\le 2\pi\). Что может пойти не так с нашими полярными прямоугольниками, если мы допустим \(\beta-\alpha > 2\pi\)?
4. В поле «Двойные интегралы в полярных координатах» мы определили радиальный диапазон как \(0\le a\le r\le b\). Что может пойти не так с нашими полярными прямоугольниками, если мы допустим \(a

Использование демоверсии Mathematica

Все изображения на этой странице были сгенерированы по блокноту Mathematica 15_4Двойные интегралы в полярных координатах.nb.

Этот блокнот создает изображения и анимацию, подобные тем, что на этой странице. полярных сумм Римана для любого подынтегрального выражения \(f(r,\theta)\) и любого полярного прямоугольника.

В качестве упражнения используйте тетрадь, чтобы дать четкие графические ответы. к вопросам 2 и 3 выше.

Тогда можете ли вы придумать подынтегральную функцию \(f(r,\theta)\) и границы так, чтобы блокнот выводит суммы Римана, аппроксимирующие площадь единичного круга, или объем единичной сферы? Как насчет конуса радиуса 1 и высоты 1?

Двойные интегралы в полярных координатах – интерактивные трехмерные графики для многомерного исчисления

Перейти к содержимому

Единицы

Концепция

Теперь рассмотрим понятие двойных интегралов в полярных координатах . Вместо использования декартовой (или прямоугольной) системы координат , которую мы использовали до сих пор для вычисления одинарных и двойных интегралов, мы будем использовать полярную систему координат. Полярная система координат — это двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется с помощью расстояния от опорной точки и угла от опорного направления. Прямоугольная система координат лучше всего подходит для графиков и областей, которые естественным образом рассматриваются на прямоугольной сетке. Полярная система координат является альтернативой, которая предлагает хорошие возможности для функций и областей, имеющих более круговые характеристики.

В то время как точка [латекс]P[/латекс] в прямоугольных координатах описывается упорядоченной парой [латекс](х,у)[/латекс], она также может быть описана в полярных координатах с помощью [латекс](r, \ theta)[/latex], где r — расстояние от [latex]P[/latex] до начала координат, а [latex]\theta[/latex] — угол, образованный отрезком прямой и положительным [latex]x[ /латекс]x-ось. Мы можем преобразовать точку из прямоугольных координат в полярные, используя следующие уравнения:2}[/латекс] и [латекс]\тан(\тета) = \фрак{у}{х}[/латекс],

или преобразовать точку из полярных координат в прямоугольные, используя следующие уравнения:

[латекс]x = r \cos\theta[/latex]  и [латекс]y = r \sin\theta[/latex].

Двойной интеграл [latex]\iint_D f(x,y)\,dA[/latex] в прямоугольных координатах может быть преобразован в двойной интеграл в полярных координатах как [latex]\iint_D f(r \cos\theta, r \sin\theta)\,r\,dr d\theta[/latex].

Сюжет

Теперь вы должны изучить график ниже, чтобы понять полярные координаты ^[1] . Выполните следующие шаги, чтобы применить изменения к графику и наблюдать за эффектами:

1. Измените границы двойного интеграла в полярных координатах для границ [latex]r[/latex] и [latex]\theta[/latex]. Ограниченная область будет показана на графике, а [латекс]t[/латекс] на графике представляет [латекс]\тета[/латекс].

   No related posts.