Эйлера таблица – Расчет значения функции Эйлера

Расчет значения функции Эйлера

Функция Эйлера - такая функция от целого положительного числа, значение которой равно количеству натуральных чисел, меньших заданного числа  и взаимно простых с ним.

При этом полагают, что число 1 взаимно просто со всеми натуральными числами.

Если заданное число N является простым то логично предложить что функция Эйлера будет равна N-1, так как все числа меньше N, являются взаимно простыми  к заданному.

Например, значение функции Эйлера числа 33 равно 20. Как такое получилось?

Разложим 33 на множители получим  3*11.  Запомним их и будем сравнивать с рядом чисел от 1 до 32.

Напомним, что  взаимно простыми числами являются таки числа, которые не имеют общих делителей.

Считаем  взаимно простые числа: 1,2 ,3(не учитывем),4,5,6(делится на 3),7,8,9,10,11(делится на 11),12,13,14,15,16,17,18,19,20,21(делится на три),22(делится на 11),23,24,25,26,

27,28,29,30,31,32

Посчитаем сколько получилось  зачеркнутых чисел? 

Их 12, ряд чисел содержит  32 элемента ( от 1 до 33) тогда количество незачеркнтуых (взаимно простых) чисел будет 32-12 =20

Есть еще простой способ рассчитывать значения функции

Разложим  произвольное число  например 4832 на простые множители.

Получим  

Функция Эйлера равна 

То есть, если у  вас число N  представлено в виде простых сомножителей вида  

то функция Эйлера будет равна

 

Вот еще пример 

Рассчитаем значение фунции числа 100

тогда значение функции Эйлера равно 

Применимость числа Эйлера в теории чисел и криптографии достаточно велико, но мы будем её использовать для расчета линейных диофантовых уравнений с двумя неизвестными.

Удачных расчетов!

abakbot.ru

Функция Эйлера

Функция Эйлера φ(а) определяется для всех натуральных чисел а и представляет собой количество натуральных чисел взаимно простых с а, и не превосходящих а. При этом считается, что φ(1)=1. Вычисляется эта функция по формуле

где – простые делители в каноническом разложении числаа .

Число чисел, составляющих приведенную систему вычетов равно φ(m).

Общее свойство полной и приведенной системы вычетов

Если числа представляют собой полную (k=m) или приведенную (k= φ(m)) систему вычетов по модулю m, то и числа , где, так же представляют собой полную или приведенную систему вычетов по модулюm.

Пример.

Показать, что числа 25,-20,16,46,-21,18,37,-17 составляют полную систему вычетов по модулю 8.

Решение.

Образуем полную систему наименьших неотрицательных чисел

, ,,,,,,.

Итак, данные числа 0,1,2,3,4,5,6,7 образуют полную систему вычетов по модулю 8.

Теоремы Эйлера и Ферма

1. Теорема Эйлера.

При m>1 и (a,m)=1 имеем

. (1)

Доказательство.

Пусть x пробегает приведенную систему вычетов , гдесоставленную из наименьших неотрицательных вычетов. Наименьшие неотрицательные вычетычиселax будут побегать ту же систему, но расположенную (в общем случае) в ином порядке. Перемножив почленно сравнения . Откуда получим . Откуда, деля обе части на произведение , получим или .

2. Теорема Ферма.

При простом p и a, не делящемся на p, имеем

. (2)

Эта теорема является частным случаем теоремы Эйлера, при m=p. Из (2) можно легко получить очень важное сравнение

,

справедливое при всех целых а, так как оно верно и при a кратном p.

Пример.

Проверить теорему Эйлера при a=5 и .

Решение.

,

.

Действительно, .

Пример.

Найти остаток от деления на 45.

Решение.

Так как , то. Так каки (23,45)=1, то по теореме Эйлера

Значит

, но

, но

.

Итак, .

Ответ: искомый остаток равен 32.

Сравнения первой степени (решение задач)

Пример 1.

Решить способом Эйлера сравнение . Правильность ответа проверить подстановкой.

Решение.

(3,5)=1, значит, данное сравнение имеет единственное решение (в смысле класса чисел x по modm). По формуле Эйлера имеем ,, тогда получимилиили.

Проверка ,верно.

Ответ: .

Пример 2.

Решить способом Эйлера сравнение .

Решение.

(5,10)=5, но 7 не делится на 5, значит, данное сравнение не имеет решений.

Пример 3.

Решить способом Эйлера сравнение .

Решение.

Так как (25,17)=1, то данное сравнение имеет решение. Данное сравнение равносильно сравнению . По формуле Эйлера имеем., тогда

Рассмотрим

.

Итак, , тогда.

Проверка ,верно.

Ответ: .

Пример 4.

Решить одним из способов сравнение

, (1)

Решение.

(12,15)=3. Значит, данное сравнение имеет 3 решения (в смысле классов). Рассмотрим сравнение

, (2)

которое получено из данного после сокращения на 3.

По формуле Эйлера имеем,.

Итак, .

Проверка .

Мы нашли решение сравнения (2). Решение сравнения (1) находится по формуле ,k=0,1,2.

; ; .

Проверка:

1) , .

2) ,

3) ,

Ответ: , , .

Пример 5.

Приписать справа к числу 523 такие три цифры, чтобы полученное шестизначное число делилось на 7,8,9.

Решение.

Пусть приписываемое число x, тогда, откудаили. Значениеx будет трехзначным числом при t=0 и t=1. Получаем , .

Проверки.

523152 делится на 7,8,9;

523656 делится на 7,8,9.

studfiles.net

Функция Эйлера — Национальная библиотека им. Н. Э. Баумана

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 13:25, 9 мая 2016.

Определение

Определение « Функция Эйлера»

Функцией Эйлера φ(m){\displaystyle \varphi(m)} называется функция, равная количеству натуральных чисел не превосходящих m{\displaystyle m} и взаимно простых с ним.

Таблица значений

n{\displaystyle n} 1 2 3 4 5 6 7 8
φ(n){\displaystyle \varphi(n)} 0 1 2 2 4 2 6 4

Свойства

  • Пусть p{\displaystyle p}-простое. Тогда φ(pk)=pk−pk−1{\displaystyle \varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}} для любого натурального k{\displaystyle k}.
  • Для любых взаимно простых натуральных a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} справедливо равенство φ(ab)=φ(a)φ(b){\displaystyle \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)}
  • Если m=p1k1p2k2…pnkn{\displaystyle m=p_1^{k_1}p_2^{k_2} \dots p_n^{k_n}}, то
    φ(m)=m(1−1p1)(1−1p2)…(1−1pn){\displaystyle \varphi(m)=m(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\dots(1-\frac{1}{p_n})}

Пример

Найдем φ(120){\displaystyle \varphi(120)}.
Так как 120=23⋅3⋅5{\displaystyle 120=2^3 \cdot 3 \cdot 5}, то φ(120)=4⋅2⋅4=32{\displaystyle \varphi(120)=4 \cdot 2 \cdot 4 = 32}.

Теорема Эйлера

Теорема Эйлера

Литература

ru.bmstu.wiki

Функция Эйлера — WiKi

Первая тысяча значений φ(n){\displaystyle \varphi (n)}

Фу́нкция Э́йлера φ(n){\displaystyle \varphi (n)} — мультипликативная арифметическая функция, равная количеству натуральных чисел, меньших n{\displaystyle n} и взаимно простых с ним. При этом полагают по определению, что число 1 взаимно просто со всеми натуральными числами, и φ(1)=1{\displaystyle \varphi (1)=1}[1].

Например, для числа 24 существует 8 меньших его и взаимно простых с ним чисел (1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23), поэтому φ(24)=8{\displaystyle \varphi (24)=8}.

Названа в честь Эйлера, который впервые использовал её в 1760 году в своих работах по теории чисел для доказательства малой теоремы Ферма, а затем и для доказательства более общего утверждения — теоремы Эйлера. Позднее функцию использовал Гаусс в своем труде «Арифметические исследования», вышедшем в свет в 1801 году. Гаусс ввёл ставшее стандартным обозначение φ(n){\displaystyle \varphi (n)}[2].

Функция Эйлера находит применение в вопросах, касающихся теории делимости и вычетов (см. сравнение по модулю), теории чисел, криптографии. Функция Эйлера играет ключевую роль в алгоритме RSA[3].

Первые 99 значений функции Эйлера
(последовательность A000010 в OEIS)
φ(n){\displaystyle \varphi (n)}  +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9
0+ 1 1 2 2 4 2 6 4 6
10+ 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18
20+ 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28
30+ 8 30 16 20 16 24 12 36 18 24
40+ 16 40 12 42 20 24 22 46 16 42
50+ 20 32 24 52 18 40 24 36 28 58
60+ 16 60 30 36 32 48 20 66 32 44
70+ 24 70 24 72 36 40 36 60 24 78
80+ 32 54 40 82 24 64 42 56 40 88
90+ 24 72 44 60 46 72 32 96 42 60

Общие сведения

Функция Эйлера φ(n){\displaystyle \varphi (n)}  показывает, сколько натуральных чисел из отрезка [1,n−1]{\displaystyle [1,\;n-1]}  имеют c n{\displaystyle n}  только один общий делитель — единицу. Функция Эйлера определена на множестве натуральных чисел, и значения её лежат в множестве натуральных чисел.

Как следует из определения, чтобы вычислить φ(n){\displaystyle \varphi (n)} , нужно перебрать все числа от 1{\displaystyle 1}  до n−1{\displaystyle n-1} , и для каждого проверить, имеет ли оно общие делители с n{\displaystyle n} , а затем подсчитать, сколько чисел оказались взаимно простыми с n{\displaystyle n} . Эта процедура для больших чисел n{\displaystyle n}  весьма трудоёмка, поэтому для вычисления φ(n){\displaystyle \varphi (n)}  используют другие методы, которые основываются на специфических свойствах функции Эйлера.

В таблице справа представлены первые 99 значений функции Эйлера. Анализируя эти данные, можно заметить, что значение φ(n){\displaystyle \varphi (n)}  не превосходит n−1{\displaystyle n-1} , и в точности ему равно, если n{\displaystyle n}  — простое. Таким образом, если в координатах (n,y){\displaystyle (n,\;y)}  провести прямую y=n−1{\displaystyle y=n-1} , то значения y=φ(n){\displaystyle y=\varphi (n)}  будут лежать либо на этой прямой, либо ниже её. Также, глядя на график, приведенный в начале статьи, и на значения в таблице, можно предположить, что существует прямая, проходящая через ноль, которая ограничивает значения φ(n){\displaystyle \varphi (n)}  снизу. Однако, оказывается, такой прямой не существует. То есть, какую бы пологую прямую мы ни провели, всегда найдется натуральное число n{\displaystyle n} , такое, что φ(n){\displaystyle \varphi (n)}  лежит ниже этой прямой. Ещё одной интересной особенностью графика является наличие некоторых прямых, вдоль которых концентрируются значения функции Эйлера. Так, например, помимо прямой y=n−1{\displaystyle y=n-1} , на которой лежат значения φ(n)=n−1{\displaystyle \varphi (n)=n-1} , где n{\displaystyle n}  — простое, выделяется прямая, примерно соответствующая y=n/2{\displaystyle y=n/2} , на которую попадают значения φ(2n)=φ(n)=n−1{\displaystyle \varphi (2n)=\varphi (n)=n-1} , где n{\displaystyle n}  — простое.

Более подробно поведение функции Эйлера рассматривается в разделе #Асимптотические соотношения.

Мультипликативность функции Эйлера

Одним из основных свойств функции Эйлера является её мультипликативность. Это свойство было установлено ещё Эйлером и формулируется оно следующим образом: для любых взаимно простых чисел m{\displaystyle m}  и n{\displaystyle n}  [4]

φ(mn)=φ(m)φ(n).{\displaystyle \varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n).} 

Доказательство мультипликативности

Для доказательства мультипликативности функции Эйлера потребуется следующая вспомогательная теорема[5].

Теорема 1. Пусть (m,m′)=1{\displaystyle (m,\;m')=1}  и a{\displaystyle a}  пробегает приведённую систему вычетов по модулю m{\displaystyle m} , в то время как a′{\displaystyle a'}  пробегает приведённую систему вычетов по модулю m′{\displaystyle m'} . Тогда a′m+am′{\displaystyle a'm+am'}  пробегает приведённую систему вычетов по модулю mm′{\displaystyle mm'} .
Доказательство. Если
a1′m+a1m′≡a2′m+a2m′(modmm′),{\displaystyle a_{1}'m+a_{1}m'\equiv a_{2}'m+a_{2}m'{\pmod {mm'}},} 
тогда
a1m′≡a2m′(modm),{\displaystyle a_{1}m'\equiv a_{2}m'{\pmod {m}},} 
поэтому
a1≡a2(modm);{\displaystyle a_{1}\equiv a_{2}{\pmod {m}};} 
аналогично
a1′≡a2′(modm′).{\displaystyle a_{1}'\equiv a_{2}'{\pmod {m'}}.} 
Поэтому существует mm′{\displaystyle mm'}  несравнимых по модулю чисел, которые образуют приведённую систему вычетов по модулю mm′{\displaystyle mm'} .

Теперь можно доказать основное утверждение[6].

Теорема 2. Функция Эйлера мультипликативна.
Доказательство. Если (m,m′)=1{\displaystyle (m,\;m')=1} , то по Теореме 1 a′m+am′{\displaystyle a'm+am'}  пробегает приведённую систему вычетов по модулю mm′{\displaystyle mm'} , когда a{\displaystyle a}  и a′{\displaystyle a'}  пробегают приведённые системы вычетов по модулям m{\displaystyle m}  и m′{\displaystyle m'}  соответственно. Также:
(a′m+am′,mm′)=1{\displaystyle (a'm+am',\;mm')=1} 
⇔(a′m+am′,m)=1,(a′m+am′,m′)=1{\displaystyle \Leftrightarrow (a'm+am',\;m)=1,\;(a'm+am',\;m')=1} 
⇔(am′,m)=1,(a′m,m′)=1{\displaystyle \Leftrightarrow (am',\;m)=1,\;(a'm,\;m')=1} 
⇔(a,m)=1,(a′,m′)=1.{\displaystyle \Leftrightarrow (a,\;m)=1,\;(a',\;m')=1.} 
Поэтому φ(mm′){\displaystyle \varphi (mm')}  чисел, которые меньше числа mm′{\displaystyle mm'}  и взаимно просты с ним, являются наименьшими положительными вычетами среди φ(m)φ(m′){\displaystyle \varphi (m)\varphi (m')}  значений a′m+am′{\displaystyle a'm+am'} , для которых a{\displaystyle a}  взаимно просто с m{\displaystyle m}  и a′{\displaystyle a'}  взаимно просто с m′{\displaystyle m'} . Отсюда следует, что
φ(mm′)=φ(m)φ(m′).{\displaystyle \varphi (mm')=\varphi (m)\varphi (m').} 

Функция Эйлера от простого числа

Для простого p{\displaystyle p}  значение функции Эйлера задаётся явной формулой[7]:

φ(p)=p−1,{\displaystyle \varphi (p)=p-1,} 

которая следует из определения. Действительно, если p{\displaystyle p}  — простое, то все числа, меньшие p{\displaystyle p} , взаимно просты с ним, а их ровно p−1{\displaystyle p-1}  штук.

Для вычисления функции Эйлера от степени простого числа используют следующую формулу[7]:

φ(pn)=pn−pn−1.{\displaystyle \varphi (p^{n})=p^{n}-p^{n-1}.} 

Это равенство обосновывается следующим образом. Подсчитаем количество чисел от 1{\displaystyle 1}  до pn{\displaystyle p^{n}} , которые не взаимно просты с pn{\displaystyle p^{n}} . Все они, очевидно, кратны p{\displaystyle p} , то есть, имеют вид: p,2p,3p,…,pn−1p.{\displaystyle p,\;2p,\;3p,\;\ldots ,\;p^{n-1}p.}  Всего таких чисел pn−1{\displaystyle p^{n-1}} . Поэтому количество чисел, взаимно простых с pn{\displaystyle p^{n}} , равно pn−pn−1{\displaystyle p^{n}-p^{n-1}} .

Функция Эйлера от натурального числа

Вычисление φ(n){\displaystyle \varphi (n)}  для произвольного натурального n{\displaystyle n}  основывается на мультипликативности функции Эйлера, выражении для φ(pn){\displaystyle \varphi (p^{n})} , а также на основной теореме арифметики. Для произвольного натурального числа значение φ(n){\displaystyle \varphi (n)}  представляется в виде[7]:

φ(n)=n∏p∣n(1−1p),n>1,{\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),\;\;n>1,} 

где p{\displaystyle p}  — простое число и пробегает все значения, участвующие в разложении n{\displaystyle n}  на простые сомножители.

Доказательство

Обобщённая мультипликативность

Функция Эйлера является мультипликативной арифметической функцией, то есть

φ(mn)=φ(m)φ(n)∀m,n∈N:(m,n)=1.{\displaystyle \varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)\;\;\;\forall m,\,n\in \mathbb {N} \colon (m,\,n)=1.} 

Здесь существенно, что наибольший общий делитель m{\displaystyle m}  и n{\displaystyle n}  равен единице. Оказывается, существует обобщение этой формулы на случай, когда m{\displaystyle m}  и n{\displaystyle n}  имеют общие делители, отличные от единицы. А именно, для любых натуральных m{\displaystyle m}  и n{\displaystyle n}  [8]:

φ(m⋅n)=φ(m)⋅φ(n)⋅dφ(d),{\displaystyle \varphi (m\cdot n)=\varphi (m)\cdot \varphi (n)\cdot {\frac {d}{\varphi (d)}},} 

где d{\displaystyle d}  — наибольший общий делитель m{\displaystyle m}  и n.{\displaystyle n.}  Это свойство является естественным обобщением мультипликативности.

Доказательство обобщённой мультипликативности

Пусть (m,n)=d,{\displaystyle (m,\,n)=d,}  тогда m=m′d,n=n′d,{\displaystyle m=m'd,\;n=n'd,}  причем в общем случае (m′,d)≠1{\displaystyle (m',\,d)\neq 1}  и (n′,d)≠1.{\displaystyle (n',\,d)\neq 1.}  Поэтому можно записать:

d=d1δ1⋅…⋅dkδk⋅dk+1δk+1⋅…⋅dKδK,{\displaystyle d=d_{1}^{\delta _{1}}\cdot \ldots \cdot d_{k}^{\delta _{k}}\cdot d_{k+1}^{\delta _{k+1}}\cdot \ldots \cdot d_{K}^{\delta _{K}},} 
m′=d1α1⋅…⋅dkαk⋅p1β1⋅…⋅prβr,{\displaystyle m'=d_{1}^{\alpha _{1}}\cdot \ldots \cdot d_{k}^{\alpha _{k}}\cdot p_{1}^{\beta _{1}}\cdot \ldots \cdot p_{r}^{\beta _{r}},} 
n′=dk+1γk+1⋅…⋅dKγK⋅q1ε1⋅…⋅qsεs.{\displaystyle n'=d_{k+1}^{\gamma _{k+1}}\cdot \ldots \cdot d_{K}^{\gamma _{K}}\cdot q_{1}^{\varepsilon _{1}}\cdot \ldots \cdot q_{s}^{\varepsilon _{s}}.} 

Здесь первые k{\displaystyle k}  делителей d{\displaystyle d}  являются также делителями m′,{\displaystyle m',}  а последние K−k{\displaystyle K-k}  делителей d{\displaystyle d}  являются делителями n′.{\displaystyle n'.}  Распишем:

φ(mn)=φ(d2⋅m′n′)=φ((d1δ1⋅…⋅dkδk⋅dk+1δk+1⋅…⋅dKδK)2⋅d1α1⋅…⋅dkαk⋅p1β1⋅…⋅prβr⋅dk+1γk+1⋅…⋅dKγK⋅q1ε1⋅…⋅qsεs).{\displaystyle \varphi (mn)=\varphi (d^{2}\cdot m'n')=\varphi ((d_{1}^{\delta _{1}}\cdot \ldots \cdot d_{k}^{\delta _{k}}\cdot d_{k+1}^{\delta _{k+1}}\cdot \ldots \cdot d_{K}^{\delta _{K}})^{2}\cdot d_{1}^{\alpha _{1}}\cdot \ldots \cdot d_{k}^{\alpha _{k}}\cdot p_{1}^{\beta _{1}}\cdot \ldots \cdot p_{r}^{\beta _{r}}\cdot d_{k+1}^{\gamma _{k+1}}\cdot \ldots \cdot d_{K}^{\gamma _{K}}\cdot q_{1}^{\varepsilon _{1}}\cdot \ldots \cdot q_{s}^{\varepsilon _{s}}).} 

В силу мультипликативности функции Эйлера, а также с учётом формулы

φ(pn)=pn(1−1p),{\displaystyle \varphi (p^{n})=p^{n}(1-{\frac {1}{p}}),} 

где p{\displaystyle p}  — простое, получаем:

φ(mn)=d1α1+δ1(1−1d1)⋅…⋅dkαk+δk(1−1dk)⋅p1β1(1−1p1)⋅…⋅prβr(1−1pr)⋅dk+1δk+1(1−1dk+1)⋅…⋅dKδK(1−1dK)××dk+1γk+1+δk+1(1−1dk+1)⋅…⋅dKγK+δK(1−1dK)⋅q1ε1(1−1q1)⋅…⋅qsεs(1−1qs)⋅d1δ1(1−1d1)⋅…⋅dk+1δk+1(1−1dk+1)××1(1−1d1)⋅…⋅(1−1dK).{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (mn)&=d_{1}^{\alpha _{1}+\delta _{1}}\left(1-{\frac {1}{d_{1}}}\right)\cdot \ldots \cdot d_{k}^{\alpha _{k}+\delta _{k}}\left(1-{\frac {1}{d_{k}}}\right)\cdot p_{1}^{\beta _{1}}\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\cdot \ldots \cdot p_{r}^{\beta _{r}}\left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right)\cdot d_{k+1}^{\delta _{k+1}}\left(1-{\frac {1}{d_{k+1}}}\right)\cdot \ldots \cdot d_{K}^{\delta _{K}}\left(1-{\frac {1}{d_{K}}}\right)\times \\&\;\times \;d_{k+1}^{\gamma _{k+1}+\delta _{k+1}}\left(1-{\frac {1}{d_{k+1}}}\right)\cdot \ldots \cdot d_{K}^{\gamma _{K}+\delta _{K}}\left(1-{\frac {1}{d_{K}}}\right)\cdot q_{1}^{\varepsilon _{1}}\left(1-{\frac {1}{q_{1}}}\right)\cdot \ldots \cdot q_{s}^{\varepsilon _{s}}\left(1-{\frac {1}{q_{s}}}\right)\cdot d_{1}^{\delta _{1}}\left(1-{\frac {1}{d_{1}}}\right)\cdot \ldots \cdot d_{k+1}^{\delta _{k+1}}\left(1-{\frac {1}{d_{k+1}}}\right)\times \\&\;\times \;{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{d_{1}}}\right)\cdot \ldots \cdot \left(1-{\frac {1}{d_{K}}}\right)}}.\end{aligned}}} 

В первой строке записано φ(m),{\displaystyle \varphi (m),}  во второй — φ(n),{\displaystyle \varphi (n),}  а третью можно представить, как d/φ(d).{\displaystyle d/\varphi (d).}  Поэтому:

φ(m⋅n)=φ(m)⋅φ(n)⋅dφ(d).{\displaystyle \varphi (m\cdot n)=\varphi (m)\cdot \varphi (n)\cdot {\frac {d}{\varphi (d)}}.} 

Некоторые частные случаи:

  • φ(nm)=nm−1φ(n).{\displaystyle \;\varphi \left(n^{m}\right)=n^{m-1}\varphi (n).} 
  • φ(2m)={2φ(m),m=2k,k∈N,φ(m),m=2k−1,k∈N.{\displaystyle \varphi (2m)={\begin{cases}2\varphi (m),&m=2k,\;k\in \mathbb {N} ,\\\varphi (m),&m=2k-1,\;k\in \mathbb {N} .\end{cases}}} 
  • φ(M)⋅φ(d)=φ(m)⋅φ(n),{\displaystyle \varphi (M)\cdot \varphi (d)=\varphi (m)\cdot \varphi (n),}  где M{\displaystyle M}  — наименьшее общее кратное m{\displaystyle m}  и n{\displaystyle n} , а d{\displaystyle d}  — их наибольший общий делитель.

Теорема Эйлера

Наиболее часто на практике используется свойство, установленное Эйлером:

aφ(m)≡1(modm),{\displaystyle a^{\varphi (m)}\equiv 1{\pmod {m}},} 

если a{\displaystyle a}  и m{\displaystyle m}  взаимно просты.
Это свойство, которое называют теоремой Эйлера, вытекает из Теоремы Лагранжа и того факта, что φ(m){\displaystyle \varphi (m)}  равна порядку группы обратимых элементов кольца вычетов по модулю m{\displaystyle m} .
В качестве следствия теоремы Эйлера можно получить малую теорему Ферма. Для этого нужно взять не произвольное m,{\displaystyle m,}  а простое. Тогда:

am−1≡1(modm).{\displaystyle a^{m-1}\equiv 1{\pmod {m}}.} 

Последняя формула находит применение в различных тестах простоты.

Другие свойства

Исходя из представимости φ(n){\displaystyle \varphi (n)}  произведением Эйлера, несложно получить следующее полезное утверждение:

a∣b⇒φ(a)∣φ(b).{\displaystyle a\mid b\Rightarrow \varphi (a)\mid \varphi (b).} 

Следующее равенство[9][10] является следствием теоремы Зигмонди (англ.):

φ(an+bn)≡0(modn),a>b⩾1.{\displaystyle \varphi (a^{n}+b^{n})\equiv 0{\pmod {n}},\;a>b\geqslant 1.} 

Всякое натуральное число представимо в виде суммы значений функции Эйлера от его натуральных делителей[11]:

∑d∣nφ(d)=n.{\displaystyle \sum _{d\mid n}\varphi (d)=n.} 

Сумма всех чисел, меньших данного, и взаимно простых с ним, выражается через функцию Эйлера:

∑1⩽k⩽n(k,n)=1k=12nφ(n),n>1.{\displaystyle \sum _{1\leqslant k\leqslant n \atop (k,\;n)=1}k={\frac {1}{2}}n\varphi (n),\;n>1.} 

ru-wiki.org

Функция Эйлера Википедия

Первая тысяча значений φ(n){\displaystyle \varphi (n)}

Фу́нкция Э́йлера φ(n){\displaystyle \varphi (n)} — мультипликативная арифметическая функция, равная количеству натуральных чисел, меньших n{\displaystyle n} и взаимно простых с ним. При этом полагают по определению, что число 1 взаимно просто со всеми натуральными числами, и φ(1)=1{\displaystyle \varphi (1)=1}[1].

Например, для числа 24 существует 8 меньших его и взаимно простых с ним чисел (1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23), поэтому φ(24)=8{\displaystyle \varphi (24)=8}.

Названа в честь Эйлера, который впервые использовал её в 1760 году в своих работах по теории чисел для доказательства малой теоремы Ферма, а затем и для доказательства более общего утверждения — теоремы Эйлера. Позднее функцию использовал Гаусс в своем труде «Арифметические исследования», вышедшем в свет в 1801 году. Гаусс ввёл ставшее стандартным обозначение φ(n){\displaystyle \varphi (n)}[2].

Функция Эйлера находит применение в вопросах, касающихся теории делимости и вычетов (см. сравнение по модулю), теории чисел, криптографии. Функция Эйлера играет ключевую роль в алгоритме RSA[3].

ru-wiki.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *