Экспонента функция: Экспоненциальная функция | это… Что такое Экспоненциальная функция?

Экспоненциальная функция | это… Что такое Экспоненциальная функция?

ТолкованиеПеревод

Экспоненциальная функция

Экспонента — функция exp(x) = e^x, где e — основание натуральных логарифмов.

Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 Экспонента от комплексного аргумента 4 Вариации и обобщения 4.1 Матричная экспонента 5 Обратная функция 6 См. также

Определение

Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например через ряд Тейлора:

или через предел:

Здесь x — любое вещественное или комплексное число.

Свойства

• (e^x)’ = e^x, в частности
• Экспонента является единственным решением дифференциального уравнения y‘ = y с начальными данными y(0) = 1. Кроме того через экспоненту выражаются общие решения однородных дифференциальных уравнений.
• Экспонента определена на всей вещественной оси. Она всюду возрастает и строго больше нуля.
• Экспонента является выпуклой функцией.
• Обратная функция к ней — натуральный логарифм .
• Производная в нуле равна 1, поэтому касательная к экспоненте в этой точке проходит под углом 45°.
• Основное функциональное свойство экспоненты:

  exp(a + b) = exp(a)exp(b).

  • Непрерывная функция с таким свойством либо тождественно равна 0, либо имеет вид exp(ct), где c — некоторая константа.

Экспонента от комплексного аргумента

От комплексного аргумента z = x + iy экспонента определяется следующим образом:

e^z = e

^{x + iy} = e^xe^iy = e^x(cosy + isiny) (формула Эйлера)

В частности,

e^iπ + 1 = 0

Вариации и обобщения

Аналогично экспонента может быть определена для элемента произвольной ассоциативной алгебры. В конкретном случае требуется также доказательство того, что указанные пределы существуют.

Матричная экспонента

Экспоненту от квадратной матрицы (или линейного оператора) можно формально определить, подставив матрицу в соответствующий ряд:

Определённый таким образом ряд сходится для любого оператора A с ограниченной нормой, поскольку мажорируется рядом для экспоненты нормы A: Следовательно, экспонента от матрицы всегда определена и сама является матрицей.

С помощью матричной экспоненты легко задать вид решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: уравнение с начальным условием x(0) = x₀ имеет своим решением x(t) = exp(At)x₀.

Обратная функция

Обратной функцией к экспоненциальной функции является натуральный логарифм.
Обозначается ln(x):

ln(x) = log_e(x)

См.

также

• Экспонента комплексного переменного (обобщение)
• Показательная функция

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

• Экспонента группы
• Экспансия Третьего рейха

Полезное

Экспоненциальная функция | это… Что такое Экспоненциальная функция?

ТолкованиеПеревод

Экспоненциальная функция

Экспонента — функция exp(x) = e^x, где e — основание натуральных логарифмов.

Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 Экспонента от комплексного аргумента 4 Вариации и обобщения 4.1 Матричная экспонента 5 Обратная функция 6 См. также

Определение

Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например через ряд Тейлора:

или через предел:

Здесь x — любое вещественное или комплексное число.

Свойства

• (e^x)’ = e^x, в частности
• Экспонента является единственным решением дифференциального уравнения y‘ = y с начальными данными y(0) = 1. Кроме того через экспоненту выражаются общие решения однородных дифференциальных уравнений.
• Экспонента определена на всей вещественной оси. Она всюду возрастает и строго больше нуля.
• Экспонента является выпуклой функцией.
• Обратная функция к ней — натуральный логарифм .
• Производная в нуле равна 1, поэтому касательная к экспоненте в этой точке проходит под углом 45°.
• Основное функциональное свойство экспоненты:

  exp(a + b) = exp(a)exp(b).

  • Непрерывная функция с таким свойством либо тождественно равна 0, либо имеет вид exp(ct), где c — некоторая константа.

Экспонента от комплексного аргумента

От комплексного аргумента z = x + iy экспонента определяется следующим образом:

e^z = e^{x + iy} = e^xe^iy = e^x(cosy + isiny) (формула Эйлера)

В частности,

e^iπ + 1 = 0

Вариации и обобщения

Аналогично экспонента может быть определена для элемента произвольной ассоциативной алгебры. В конкретном случае требуется также доказательство того, что указанные пределы существуют.

Матричная экспонента

Экспоненту от квадратной матрицы (или линейного оператора) можно формально определить, подставив матрицу в соответствующий ряд:

Определённый таким образом ряд сходится для любого оператора A с ограниченной нормой, поскольку мажорируется рядом для экспоненты нормы A: Следовательно, экспонента от матрицы всегда определена и сама является матрицей.

С помощью матричной экспоненты легко задать вид решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: уравнение с начальным условием x(0) = x₀ имеет своим решением x(t) = exp(At)x₀.

Обратная функция

Обратной функцией к экспоненциальной функции является натуральный логарифм.
Обозначается ln(x):

ln(x) = log_e(x)

См. также

• Экспонента комплексного переменного (обобщение)
• Показательная функция

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

• Экспонента группы
• Экспансия Третьего рейха

Полезное

Экспоненциальная функция | математика | Британика

• Развлечения и поп-культура
• География и путешествия
• Здоровье и медицина
• Образ жизни и социальные вопросы
• Литература
• Философия и религия
• Политика, право и правительство
• Наука
• Спорт и отдых
• Технология
• Изобразительное искусство
• Всемирная история

• Этот день в истории
• Викторины
• Подкасты
• Словарь
• Биографии
• Резюме
• Популярные вопросы
• Обзор недели
• Инфографика
• Демистификация
• Списки
• #WTFact
• Товарищи
• Галереи изображений
• Прожектор
• Форум
• Один хороший факт

• Развлечения и поп-культура
• География и путешествия
• Здоровье и медицина
• Образ жизни и социальные вопросы
• Литература
• Философия и религия
• Политика, право и правительство
• Наука
• Спорт и отдых
• Технология
• Изобразительное искусство
• Всемирная история

• Britannica объясняет
  В этих видеороликах Britannica объясняет различные темы и отвечает на часто задаваемые вопросы.
• Britannica Classics
  Посмотрите эти ретро-видео из архивов Encyclopedia Britannica.
• Demystified Videos
  В Demystified у Britannica есть все ответы на ваши животрепещущие вопросы.
• #WTFact Видео
  В #WTFact Britannica делится некоторыми из самых странных фактов, которые мы можем найти.
• На этот раз в истории
  В этих видеороликах узнайте, что произошло в этом месяце (или любом другом месяце!) в истории.

• Студенческий портал
  Britannica — это главный ресурс для учащихся по ключевым школьным предметам, таким как история, государственное управление, литература и т. д.
• Портал COVID-19
  Хотя этот глобальный кризис в области здравоохранения продолжает развиваться, может быть полезно обратиться к прошлым пандемиям, чтобы лучше понять, как реагировать сегодня.
• 100 женщин
  Britannica празднует столетие Девятнадцатой поправки, выделяя суфражисток и политиков, творящих историю.
• Спасение Земли
  Британника представляет список дел Земли на 21 век. Узнайте об основных экологических проблемах, стоящих перед нашей планетой, и о том, что с ними можно сделать!
• SpaceNext50
  Britannica представляет SpaceNext50. От полёта на Луну до управления космосом — мы исследуем широкий спектр тем, которые подпитывают наше любопытство к космосу!

Содержание

• Введение

Краткие факты

• Связанный контент

Викторины

• Числа и математика

Горизонтальный и вертикальный перевод экспоненциальных функций

Результаты обучения

• Нарисуйте график экспоненциальных функций, сдвинутых по горизонтали или вертикали, и напишите соответствующее уравнение.

  No related posts.