Факультет математики и компьютерных наук » Математический анализ и теория вероятностей
— Математический анализ —
Математический анализ изучает функции вещественной или комплексной переменных, функциональные пространства, операторы на них.
Комплексный анализ
Комплексный анализ занимается изучением свойств аналитических функций одной или нескольких комплексных переменных, конформных и квазиконформных отображений. В основном изучаются пространства аналитических функций с воспроизводящим ядром (пространства Пэли-Винера, де Бранжа, Фока и др.) и свойства систем из воспроизводящих ядер в этих пространствах (задачи полноты, базисности, и т.д.). Особое внимание уделяется связи теории пространств де Бранжа с теорией канонических систем.
В данном направлении работают А.Д. Баранов, Ю.С. Белов, Р.В. Бессонов, Р.В. Романов и Е.С. Дубцов.
Теория операторов
Теория операторов изучает свойства линейных (не обязательно непрерывных) отображений между нормированными пространствами.
Особое внимание уделяется функциональным моделям абстрактных операторов в духе Секефальви-Надя и Фояша. Например, моделям возмущений конечного ранга самосопряженных и унитарных операторов.
В данном направлении работают А.Д. Баранов, Р.В. Бессонов, Р.В. Романов и В.В. Капустин.
Гармонический анализ
Гармонический анализ занимается изучением разнообразных интегро-дифференциальных операторов на функциональных пространствах, в том числе сингулярных интегральных и псевдодифференциальных операторов. Один из основных инструментов исследования — преобразование Фурье и его обобщения.
В данном направлении работают С.В. Кисляков, В.И. Васюнин, Д.М. Столяров и П.Б. Затицкий.
— Теория вероятностей —
Теория вероятностей — раздел математики, изучающий случайные явления, формы и процессы. Отличается богатством связей с другими разделами математики (особенно с математическим и функциональным анализом, математической физикой и др.), а также моногообразием практических приложений.
Случайные процессы
Теория случайных процессов изучает случайные величины, зависящие от некоторого параметра — момента времени, точки в пространстве и т.п. Существует широкая гамма случайных процессов: процессы с независимыми приращениями, стационарные, марковские, диффузионные, гауссовские и т.д. Для каждого класса процессов существует широкая область применения и разрабатываются свои специфические методы исследования.
В данном направлении работают Ю.А. Давыдов, М.А. Лифшиц, М.В. Платонова и Ю.П. Петрова.
Предельные теоремы
Предельные теоремы теории вероятностей обычно описывают ситуацию, когда при определённом взаимодействии большого числа независимых или слабозависимых случайностей (например, при суммировании независимых случайных величин) возникает универсальный вероятностный объект. К предельным теоремам относятся также результаты об ассимптотическом поведении вероятностей редких событий (теория больших и малых уклонений). Предельные теоремы являются важнейшим способом выражения фундаментальных вероятностных закономерностей и имеют множество полезных применений в прикладных областях.
В данном направлении работают Ю.А. Давыдов, М.А. Лифшиц, Ю.В. Якубович, М.В. Платонова и Ю.П. Петрова.
Стохастическая геометрия
Стохастическая геометрия изучает случайные обьекты геометрической природы, например, случайные выпуклые множества, случайные многогранники, точечные случайные процессы и т.п. В последнее время это направление активно развивается благодаря многочисленным приложениям в телекоммуникационных сетях, в статистической физике, молекулярной биологии, стереологии, пространственной статистике, астрофизике и т.д.
В данном направлении работают Ю.А. Давыдов и Д.Н. Запорожец.
Асимптотическая вероятностная комбинаторика
Комбинаторные объекты, такие как перестановки, разбиения, графы и т.п., имеют естественное понятие размера, и можно ставить вопрос о поведении таких объектов при росте их размера. Оказывается, что для многих из них действительно имеет место аналог закона больших чисел: почти все объекты больших размеров имеют в каком-то смысле близкую структуру.
Изучение таких результатов, а также вопросов об отклонениях от предельной структуры, составляет ветвь математики на стыке теории вероятностей, комбинаторики и анализа.
В данном направлении работает Ю.В. Якубович.
ЭБ СПбПУ — Математика. Теория вероятностей. Практикум: учебное пособие для студентов высших учебных заведений, …
|
Разрешенные действия: – Действие ‘Прочитать’ будет доступно, если вы выполните вход в систему или будете работать с сайтом на компьютере в другой сети Действие ‘Загрузить’ будет доступно, если вы выполните вход в систему или будете работать с сайтом на компьютере в другой сети Группа: Анонимные пользователи Сеть: Интернет |
00.00
Аннотация
Соответствует содержанию разделов федеральной дисциплины ЕН.
Ф.01 «Математика» направления подготовки бакалавров «Системный анализ и управление». Пособие охватывает темы, изучаемые на практических занятиях по теории вероятностей. Каждая глава посвящена отдельной теме и содержит основные формулы и определения, образцы задач с подробными решениями и задачи для самостоятельного решения. Ко всем задачам в конце книги даны ответы. Предназначено для студентов высших учебных заведений технических и экономических направлений бакалаврской подготовки, изучающих дисциплину «Математика».
Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт-Петербургского государственного политехнического университета.
Права на использование объекта хранения
| Место доступа | Группа пользователей | Действие | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Локальная сеть ИБК СПбПУ | Все | |||||
| Внешние организации №2 | Все | |||||
| Внешние организации №1 | Все | |||||
| Интернет | Авторизованные пользователи СПбПУ | |||||
| Интернет | Авторизованные пользователи (не СПбПУ) | |||||
| Интернет | Анонимные пользователи |
Оглавление
- ОГЛАВЛЕНИЕ
- Предисловие
- Глава 1.
Классическое определение вероятности. Несовместные события. Теорема сложения - Глава 2. Геометрическая вероятность
- Глава 3. Условная вероятность. Независимость событий. Теорема умножения
- Глава 4. Формула полной вероятности
- Глава 5. Формулы Байеса
- Глава 6. Испытания Бернулли
- Глава 7. Дискретные случайные величины
- Глава 8. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики
- Глава 9. Нормальный закон распределения
- Глава 10. Система двух дискретных случайных величин. Ковариация. Коэффициент корреляции
- Библиографический список
- Ответы
- Приложение 1
- Приложение 2
Классическое определение вероятности. Несовместные события. Теорема сложенияСтатистика использования
Вероятность и статистика
Вероятность и статистика — это две области математики, касающиеся сбора, анализа, интерпретации и отображения данных в контексте случайных событий. Их часто изучают вместе из-за их взаимосвязи.
Основные термины вероятности
Чтобы обсуждать вероятность, важно быть знакомым с используемой терминологией. Ниже приведены некоторые из терминов, обычно используемых в теории вероятностей.
- Эксперимент – процедура, результатом которой являются четко определенные результаты. Случайный эксперимент — это эксперимент, в котором невозможно определить, какой точный результат произойдет.
- Результат — любой возможный результат, содержащийся в образце пространства, S.
- Пространство выборки — все возможные результаты эксперимента формируют пространство выборки. Пример пространства для подбрасывания честной монеты S = {орел, решка}.
- Событие — событием является любое подмножество выборочного пространства. Для данного события A, когда происходит результат, принадлежащий подмножеству A, событие произошло. Например, учитывая, что событие А — это событие, когда на правильном шестигранном кубике выпадает четное число, все исходы 2, 4 и 6 удовлетворяют событию А.
- Испытание. Каждый бросок монеты, бросок игральной кости или повторение эксперимента называется испытанием. В эксперименте по подбрасыванию монеты для определения количества орлов каждый подбрасывание монеты является испытанием в эксперименте.
Вероятность
Исход случайного события, такого как бросок монеты, не может быть определен с уверенностью до того, как событие произойдет. Однако, если известны возможные исходы (в данном случае орел или решка), теория вероятности позволяет нам предсказать вероятность возникновения данного исхода. В своем наиболее распространенном использовании вероятность того, что что-то произойдет, представляет собой пропорцию или долю времени, когда конкретный результат может произойти.
Вероятность представлена числовым значением от 0 до 1, которое описывает, насколько вероятно событие. Вероятность 0 означает, что событие невозможно, а вероятность 1 означает, что оно обязательно произойдет.
Вероятность также часто выражается в процентах. Например, вероятность выпадения орла или решки, равная 0,5, означает, что существует 50-процентная вероятность того, что произойдет любой исход.
Существует несколько способов определения вероятности события. Один из способов — предположить вероятность события. Например, предполагая, что монета честная, мы можем предположить, что существует вероятность 0,5 (½ или 50%) того, что орел или решка выпадет при данном подбрасывании монеты. Однако если бы мы много раз подбрасывали монету, наблюдали и собирали большое количество данных и обнаруживали, что монета падает орлом в 75% случаев, мы могли бы сделать вывод, что монета нечестная; монета кажется перекошенной в сторону решки, если предположить, что наш сбор данных и наблюдаемая вероятность хорошо обоснованы.
Ниже приведен пример расчета вероятности простого события.
Пример
Какова вероятность того, что выпадет 5 при правильном шестигранном кубике?
Для идеально сбалансированного 6-гранного кубика вероятность того, что каждая грань выпадет, одинакова.
Таким образом, вероятность выпадения 5 может быть рассчитана как количество способов, которыми может произойти желаемый результат (1) из общего числа возможных результатов (6), или: 5.
Типы событий
Приведенный выше пример является простейшей формой расчета вероятности. Есть много других типов событий в вероятности, и важно понимать каждый тип, поскольку расчет их соответствующих вероятностей различается.
Простое событие
Простое событие — это событие, имеющее только один исход. Например, при подбрасывании монеты результат выпадения монеты орлом является примером простого события; выпадение монеты решкой является примером еще одного простого события. Вероятность простого события рассчитывается как:
Составное событие
Составное событие — это событие, включающее два или более простых события. Дважды подброшенная монета и дважды выпавшая орлом является примером составного события. Вероятность того, что монета выпадет орлом при первом подбрасывании, равна 50%, вероятность того, что монета выпадет орлом при втором подбрасывании, также равна 50%.
Вероятность того, что монета выпадет орлом два раза подряд, представляет собой сложную вероятность, которая вычисляется как произведение вероятностей независимых событий, или:
0,5 × 0,5 = 0,25
Обратитесь к странице составных событий для получения дополнительной информации о том, как вычислить составные вероятности для различных типов событий.
Независимые события
Независимые события — это события, в которых результат одного события не зависит от результата другого события. Подбрасывание монеты является примером независимого события, поскольку при каждом подбрасывании правильной монеты вероятность выпадения орла или решки одинакова. Независимо от результата предыдущего броска монеты, последующий бросок по-прежнему имеет 50% шанс выпадения решки и 50% шанс выпадения орла.
Зависимые события
Зависимые события — это события, в которых на исход одного события влияет исход другого события. Например, учитывая, что в мешке находятся 3 синих шарика и 2 красных шарика, если один из шариков вынуть из мешка, существует вероятность 60%, что шарик синий, и 40% шанс, что шарик красный.
Если синий шарик вынуть из мешка и не вернуть обратно, вероятность выбора синего шарика при последующем испытании больше не составляет 60%. Поскольку теперь в мешке 2 синих и 2 красных шарика, вероятность выбора любого из них составляет 50%. Поскольку на вероятность последующего испытания влияет исход первого, это пример зависимого события.
Взаимоисключающие события
Взаимоисключающие события — это события, которые не могут произойти одновременно. Выпадение орла или решки при подбрасывании монеты являются примерами взаимоисключающих событий. При одном подбрасывании монета может упасть только орлом или решкой. Если выпадет решка, это означает, что монета не выпала решкой (и наоборот), так как оба не могут выпасть одновременно.
Дополнительные события
Дополнение события А, обозначаемое А C , состоит из всех исходов, не содержащихся в событии A. Например, правильный шестигранный кубик имеет возможные исходы 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Учитывая, что вероятность события A равна прокатки четного числа или A = {2, 4, 6}, его дополнение равно A C = {1, 3, 5}.
Таким образом, вероятности A и A C в сумме должны быть равны 1. Другими словами:
P(A) + P(A C ) = 1
P(A C ) = 1 — P(A )
Основные вероятностные правила
Вероятности рассчитываются по-разному в зависимости от ряда факторов, включая типы событий. Ниже приведены три часто используемых правила.
Правило сложения
Если A и B не являются взаимоисключающими событиями, вероятность возникновения A или B равна:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) — P(A ∩ B)
где P(A ∩ B) — вероятность появления A и B.
Если A и B являются взаимоисключающими событиями, то
P(A ∪ B) = P(A) + P(B),
, поскольку P(A ∩ B) = 0.
Обратитесь к странице теории множеств для получения дополнительной информации об используемых обозначениях.
Правило умножения
Правило умножения используется для нахождения вероятности двух событий, происходящих одновременно. Если A и B являются зависимыми событиями, вероятность того, что A и B произойдут одновременно, равна:
P(A ∩ B) = P(A)P(B|A)
условная вероятность наступления события В при условии, что событие А уже произошло.
Пример
Из стандартной колоды в 52 карты берутся две карты. Пусть A будет событием выбора короля. B — это событие, когда выбран другой король, при условии, что первая выбранная карта не возвращается в колоду. Вычислите вероятность того, что оба события А и В произойдут одновременно.
Поскольку в стандартной колоде из 52 карт 4 короля,
P(A) = 4/52
королей и общее количество карт в колоде уменьшается на 1. Таким образом:
P(B|A) = 3/51
Вероятность выбора двух королей подряд равна произведению следующих вероятностей:
P(A ∩ B) = P(A)P(B|A) = 4/52 × 3/51 ≈ 0,005
Таким образом, вероятность выбора 2-х королей подряд составляет примерно 0,5%.
Правило Байеса
Правило Байеса (или теорема Байеса) — это разновидность условной вероятности, которая может быть получена из правила умножения. Вероятность наступления события А при условии, что событие В уже произошло, может быть определена как:
Правило Байеса полезно, потому что оно не требует, чтобы была известна совместная вероятность A и B.
Статистика
Статистика — это дисциплина, которая включает сбор, организацию, отображение, анализ, интерпретацию и представление данных. Он широко используется в научных исследованиях, при рассмотрении социальных проблем, в промышленных целях и во многих других приложениях.
На базовом уровне это включает в себя надлежащий сбор данных посредством выборки, когда данные о населении неизвестны или не могут быть определены, планирование и проведение экспериментальных и обсервационных исследований, а также формулирование выводов или изменение плана исследований на основе данных. Две отдельные ветви статистики — это описательная статистика и статистика вывода.
Описательная статистика
Описательная статистика — это раздел статистики, связанный с обобщением данных в графической, табличной или какой-либо другой форме. Описательная статистика — это сводная статистика, используемая для описания данных. Примеры описательной статистики включают среднее значение, медиану и моду; они классифицируются как меры центральной тенденции и являются одним из ключевых типов описательной статистики, которые предоставляют информацию о центральном или типичном значении в распределении вероятностей.
На приведенном ниже рисунке показаны два типа рисунков, используемых для отображения описательной статистики.
| Гистограмма | Участок с коробкой и усами |
В частности, гистограмма и подогнанная к ней кривая указывают на нормальное распределение, которое обычно встречается в статистике. Многие природные явления демонстрируют нормальное распределение, уступая место логической статистике, которая позволяет нам делать выводы о данных на основе их вероятностного распределения, а также других факторов.
Логическая статистика
В реальном мире часто невозможно или крайне нецелесообразно собирать большие объемы данных из интересующей совокупности.
В идеале мы могли бы получать все необходимые данные о населении и принимать обоснованные решения на основе описательной статистики, которую они предоставляют. На самом деле, поскольку это редко осуществимо, вместо этого мы делаем выводы о популяциях в целом на основе выборок упомянутых популяций и использования статистических методов; это цель выводной статистики.
Например, нам может понадобиться узнать средний балл на экзамене AP по физике для всех старшеклассников в США. Из-за большого масштаба было бы сложно и дорого получить результаты каждого студента в США. В таком случае можно использовать логическую статистику для оценки среднего балла путем сбора выборок из популяции старшеклассников, а затем использования выборочных данных для выводов или прогнозов относительно средней оценки популяции в целом.
При изучении случайных явлений мы можем захотеть оценить, могут ли наблюдаемые различия быть приписаны некоторым данным входным данным, или же наблюдаемые различия могут быть полностью приписаны случайности.
Это еще одна область, в которой можно использовать логическую статистику в процессе проверки статистических гипотез. Существует множество различных типов проверки статистических гипотез, которые можно использовать в зависимости от условий эксперимента. В общем, процесс включает утверждение об отсутствии различий, называемое нулевой гипотезой, и сравнение того, что наблюдается, с тем, что мы ожидаем на основе этой нулевой гипотезы. Затем, используя статистические методы, мы можем сделать выводы о значимости наблюдаемых данных.
Введение в теорию вероятностей и статистику | школа математики | Технологический институт Джорджии
Отдел:
Номер курса:
часа — лекция:
часа — лаборатория:
часы — Отчет:
часы — Всего кредит:
Типичное планирование:
Каждый семестр
Этот курс — это проблема. введение в основные понятия вероятности и статистики, обеспечивающее основу для приложений и дальнейшего изучения.
Пререквизиты:
Math 2401 или Math 24×1 или Math 2411 или Math 2551 или Math 2561 или Math 2550 или Math 2×51 или Math 2605.
Текст курса:
на уровне вероятности и статистического вывода , Hogg и Hogg и Hogg и Hogg и Hogg и Hogg и Hogg и Hogg и Hogg и Hogg и Hogg и Hogg и Hogg. Tanis, 9-е издание, Pearson
Описание темы:
Основные принципы:
- Принцип умножения, комбинации, перестановки
- Включение-исключение
- Ожидаемое значение, дисперсия, стандартное отклонение
- Условная вероятность, правило Байеса, разбиение
- Случайная величина, p.d.f., c.d.f., m.g.f.
- Независимость
- Совместные распределения, маржинальные выплаты, условные ожидания
- Ковариация, корреляция
- Преобразования случайной величины
- Центральная предельная теорема, приближения
- Основные распределения: равномерное, биномиальное, полиномиальное, нормальное, экспоненциальное, Пуассона, геометрическое, гамма, хи-квадрат, t Стьюдента, использование таблиц
Темы:
Вероятность
- Эксперименты, события, множества, вероятности и случайные величины
- Равновероятные исходы, методы подсчета
- Условная вероятность, независимость, теорема Байеса
- Ожидаемые значения, среднее, дисперсия, биномиальное и геометрическое распределения
- Пуассон, производящие функции моментов
- Непрерывные случайные величины, экспоненциальные, гамма и нормальные; интуитивная трактовка процесса Пуассона и развитие связи с гамма-распределениями
- Униформа и имитация
- Многомерные распределения, расчет вероятности, ковариация, корреляция, маргиналы, условия
- Распределения сумм случайных величин
- Центральная предельная теорема
Статистика
- Максимальное правдоподобие, оптимальные и несмещенные оценки, примеры
- Одномерные преобразования с использованием хи-квадрата в качестве важного примера
- Разработайте идею доверительных интервалов, доверительных интервалов для средних с известной дисперсией в обычном случае, доверительных интервалов для больших выборок для средних.
