Эквивалентно бесконечно малые: определения, формулы и примеры решения

{3}}{\operatorname{tg} 3 x}=\frac{5}{3}$

Читать дальше: признаки существования пределов.

Эквивалентные бесконечно малые функции при вычислении пределов

Быстрым способом нахождения пределов функций имеющих особенности выда ноль на ноль является применение эквивалентных бесконечно малых функций. Они крайне необходимы если нужно находить границы без применения правила Лопиталя. Эквивалентности заключаются в замене функции ее разложением в ряд Маклорена. Как правило при вычислении предела используют не более двух членов разложения. Для удобства приведем небольшую таблицу эквивалентностей основных функций при движении переменной к нулю

есть еще несколько формул однако они встречаются редко.

Рассмотрим некоторые примеры из сборника задач Дубовика В.П., Юрика И.И. «Высшая математика» для закрепления практических знаний.

————————————

Пример 1. Найти пределы.

1) (5. 492. 1)

2) (5. 492. 7)

3) (5. 492. 8)

4) (5. 492. 9)

5) (5. 492. 11)

6) (5. 492. 13)

7) (5. 492. 15)

8) (5. 492. 17)

9) (5. 492. 19)

Решение.

1) Согласно правилам разложения в окрестности нуля поведение заданных функций будет следующим

На основе этого предел примет значение

2) Использую правила эквивалентностей преобразим функцию

граница примет значение

3) Преобразуем числитель и знаменатель по правилам

и найдем предел

4) Если Вам встречаются подобные примеры то нужно выполнить следующее: на основе формул разложения упростить числитель

Подстановкой в предел получим

неопределенность вида ноль на ноль . Для ее раскрытия нужно знаменатель разложить на простые множители.

Чтобы не решать квадратное или другие уравнения, которые могут быть, можете смело делить знаменатель на числитель

Подставляем в предел и вычисляем

Такого рода примеры задуманы таким образом что знаменатель или числитель имеют особенности, избавившись от которых без проблем вычисляем пределы.

5) Согласно правилам эквивалентности поведение числителя и знаменателя подменяем функциями

В результате находим предел

6) Производим замену функций эквивалентными

На основе этого получим

7) Для применения правил эквивалентности добавим и вычтем в числителе единицу.

Далее делаем замену

После подстановки в предел получим

8) Преобразуем числитель

Подставим и сведем к первому замечательному пределу

9) Согласно разложению в окрестности нуля получим

Граница примет вид

Применение эквивалентных функций позволяет быстро находить границы функций. Используйте их в тех случаях, когда это необходимо, изучайте и обогащайте знания самостоятельным решением подобных примеров. Это позволит Вам быть спокойными и уверенными при написании контрольных работ и домашних заданий.

————————————

Посмотреть материалы:

• Числовая последовательность и ее предел
• Правила вычисления пределов последовательности
• Вычисление пределов по правилу Лопиталя
• Предел функции
• Замечательные пределы на примерах

Почему мы можем заменить бесконечно малую в пределе эквивалентной бесконечно малой величиной?

Спросил 4 года, 10 месяцев назад

Изменено 1 год, 3 месяца назад

Просмотрено 2к раз

$\begingroup$

Я прочитал следующее на веб-сайте.

Я хочу знать, почему мы можем заменить одну бесконечно малую эквивалентную. Идея кажется интуитивной, но есть ли формальное доказательство? 93}$ не равен нулю, что вы получите, если замените в нем $\sin(x)$ на $x$. В большинстве случаев при замене бесконечно малых эквивалентных величин вы умножаете конечный результат на $1$, записываете $1$ как предел отношения бесконечно малых эквивалентных величин, а затем перетаскиваете этот предел внутрь исходного. Так, например, в первой задаче на изображении шаги выглядят так:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+4x)}{\sin(3x)}=\lim_{ x \to 0} \frac{\ln(1+4x)}{\sin(3x)} \lim_{x \to 0} \frac{4x}{\ln(1+4x)} \lim_{x \ до 0} \frac{\sin(3x)}{3x}=\lim_{x \to 0} \frac{4x}{3x}=4/3.$$

$\endgroup$

7

$\begingroup$

Так что в основном это потому, что для эквивалентных бесконечно малых выражений функции можно доказать, что предел ее отношения с исходной функцией, когда x приближается к 0, равен 1. (например, sin x/x. Извините, я печатаю на телефоне, поэтому формат сырой.)

Источник: Википедия — Неопределенная форма.

$\endgroup$

6

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Инфинитезимальная структура пространств модулей G -расслоений | Уведомления о международных математических исследованиях

Фильтр поиска панели навигации Уведомления о международных исследованиях в области математикиЭтот выпускPure MathematicsКнигиЖурналыOxford Academic Термин поиска мобильного микросайта

Закрыть

Фильтр поиска панели навигации Уведомления о международных исследованиях в области математикиЭтот выпускPure MathematicsКнигиЖурналыOxford Academic Термин поиска на микросайте

Расширенный поиск

Журнальная статья

Получить доступ

Александр Бейлинсон,

Александр Бейлинсон

Ищите другие работы этого автора на:

Оксфордский академический

Google ученый

Виктор Гинзбург

Виктор Гинзбург

Ищите другие работы этого автора на:

Оксфордский академический

Google ученый

Уведомления о международных математических исследованиях , том 1992 г. , выпуск 4, 1992 г., страницы 63–74, https://doi.org/10.1155/S1073792892000072

Опубликовано:

01 февраля 1992 г.

История статьи

Опубликовано:

1 февраля 1992 г.

Получено:

10 февраля 1992 г.

• Содержание статьи
• Рисунки и таблицы
• видео
• Аудио
• Дополнительные данные

Цитировать

Cite

Александр Бейлинсон, Виктор Гинзбург, Бесконечно малая структура пространств модулей G -расслоений, International Mathematics Research Notices , Volume 1992, выпуск 4, 1992 г. , страницы 63–74, https://doi.org/10.1155/S1073792892000072

Выберите формат Выберите format.ris (Mendeley, Papers, Zotero).enw (EndNote).bibtex (BibTex).txt (Medlars, RefWorks)

Закрыть

Разрешения

• Электронная почта
• Твиттер
• Фейсбук
• Подробнее

Фильтр поиска панели навигации Уведомления о международных исследованиях в области математикиЭтот выпускPure MathematicsКнигиЖурналыOxford Academic Термин поиска мобильного микросайта

Закрыть

Фильтр поиска панели навигации Уведомления о международных исследованиях в области математикиЭтот выпускPure MathematicsКнигиЖурналыOxford Academic Термин поиска на микросайте

Расширенный поиск

Предварительный просмотр первой страницы статьи PDF

Закрыть

Этот контент доступен только в формате PDF.

Copyright © 1992 Hindawi Publishing Corporation. Все права защищены.

Copyright © 1992 Hindawi Publishing Corporation. Все права защищены.

Раздел выпуска:

Артикул

В настоящее время у вас нет доступа к этой статье.

Скачать все слайды

Войти

Получить помощь с доступом

Получить помощь с доступом

Доступ для учреждений

Доступ к контенту в Oxford Academic часто предоставляется посредством институциональных подписок и покупок. Если вы являетесь членом учреждения с активной учетной записью, вы можете получить доступ к контенту одним из следующих способов:

Доступ на основе IP

Как правило, доступ предоставляется через институциональную сеть к диапазону IP-адресов. Эта аутентификация происходит автоматически, и невозможно выйти из учетной записи с IP-аутентификацией.

Войдите через свое учреждение

Выберите этот вариант, чтобы получить удаленный доступ за пределами вашего учреждения. Технология Shibboleth/Open Athens используется для обеспечения единого входа между веб-сайтом вашего учебного заведения и Oxford Academic.

1. Щелкните Войти через свое учреждение.
2. Выберите свое учреждение из предоставленного списка, после чего вы перейдете на веб-сайт вашего учреждения для входа.
3. Находясь на сайте учреждения, используйте учетные данные, предоставленные вашим учреждением. Не используйте личную учетную запись Oxford Academic.
4. После успешного входа вы вернетесь в Oxford Academic.

Если вашего учреждения нет в списке или вы не можете войти на веб-сайт своего учреждения, обратитесь к своему библиотекарю или администратору.

Войти с помощью читательского билета

Введите номер своего читательского билета, чтобы войти в систему. Если вы не можете войти в систему, обратитесь к своему библиотекарю.

Члены общества

Доступ члена общества к журналу достигается одним из следующих способов:

Войти через сайт сообщества

Многие общества предлагают единый вход между веб-сайтом общества и Oxford Academic. Если вы видите «Войти через сайт сообщества» на панели входа в журнале:

1. Щелкните Войти через сайт сообщества.
2. При посещении сайта общества используйте учетные данные, предоставленные этим обществом. Не используйте личную учетную запись Oxford Academic.
3. После успешного входа вы вернетесь в Oxford Academic.

Если у вас нет учетной записи сообщества или вы забыли свое имя пользователя или пароль, обратитесь в свое общество.

Вход через личный кабинет

Некоторые общества используют личные аккаунты Oxford Academic для предоставления доступа своим членам. Смотри ниже.

Личный кабинет

Личную учетную запись можно использовать для получения оповещений по электронной почте, сохранения результатов поиска, покупки контента и активации подписок.

Некоторые общества используют личные аккаунты Oxford Academic для предоставления доступа своим членам.

Просмотр учетных записей, вошедших в систему

Щелкните значок учетной записи в правом верхнем углу, чтобы:

• Просмотр вашей личной учетной записи, в которой выполнен вход, и доступ к функциям управления учетной записью.
• Просмотр институциональных учетных записей, предоставляющих доступ.

Выполнен вход, но нет доступа к содержимому

Oxford Academic предлагает широкий ассортимент продукции. Подписка учреждения может не распространяться на контент, к которому вы пытаетесь получить доступ. Если вы считаете, что у вас должен быть доступ к этому контенту, обратитесь к своему библиотекарю.

Ведение счетов организаций

Для библиотекарей и администраторов ваша личная учетная запись также предоставляет доступ к управлению институциональной учетной записью. Здесь вы найдете параметры для просмотра и активации подписок, управления институциональными настройками и параметрами доступа, доступа к статистике использования и т. д.

Покупка

Стоимость подписки и заказ этого журнала

Варианты покупки книг и журналов в Oxford Academic

Краткосрочный доступ

Чтобы приобрести краткосрочный доступ, войдите в свою учетную запись Oxford Academic выше.

У вас еще нет учетной записи Oxford Academic? регистр

Бесконечно малая структура пространств модулей G -связки — доступ 24 часа

ЕВРО €14,00

12 фунтов стерлингов

16 долларов США.