Элементы обратной матрицы это: определение, свойства и примеры решения задач

Обратная матрица

Матрицу А^-1называютобратнойпо отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на матрицу А как справа, так и слева получается единичная матрица: А^-1* А = А * А^-1= Е.

Из определения следует, что обратная матрица является квадратной матрицей того же порядка, что и матрица А.

Можно отметить, что понятие обратной матрицы аналогично понятию обратного числа (это число, которое при умножении на данное число дает единицу: а*а^-1= а*(1/а) = 1).

Все числа, кроме нуля, имеют обратные числа.

Чтобы решить вопрос о том, имеет ли квадратная матрица обратную, необходимо найти ее определитель. Если определитель матрицы равен нулю, то такая матрица называется вырожденной, илиособенной.

Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы: обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Докажем необходимость.

Пусть матрица А имеет обратную матрицу А^-1, т.е. А^-1* А = Е. Тогда |А^-1* А| = |А^-1| * |А| = |Е| = 1. Следовательно, |А|0.

Докажем достаточность. Чтобы его доказать, необходимо просто описать способ вычисления обратной матрицы, который мы всегда сможем применить для невырожденной матрицы.

Итак, пусть |А| 0. Транспонируем матрицу А. Для каждого элемента А^Т найдем алгебраическое дополнение и составим из них матрицу, которую называютприсоединенной (взаимной, союзной):.

Найдем произведение присоединенной матрицы и исходной . Получим. Таким образом матрица В – диагональная. На ее главной диагонали стоят определители исходной матрицы, а все остальные элементы – нули:

Аналогично можно показать, что .

Если разделить все элементы матрицы на |А|, то будет получена единичная матрица Е.

Таким образом , т.е..

Докажем единственность обратной матрицы. Предположим, что существует другая обратная матрица для А, отличная от А

-1. Обозначим ее X. Тогда А * Х = Е. Умножим слева обе части равенства на А^-1.

А^-1* А * Х = А^-1* Е

Е * Х = А^-1

Х = А^-1

Единственность доказана.

Итак, алгоритм вычисления обратной матрицы состоит из следующих шагов:

1. Найти определитель матрицы |А| . Если |А| = 0, то матрица А — вырожденная, и обратную матрицу найти нельзя. Если |А| 0, то переходят к следующему шагу.

2. Построить транспонированную матрицу А^Т.

3. Найти алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и построить присоединенную матрицу .

4. Вычислить обратную матрицу, разделив присоединенную матрицу на |А|.

5. Можно проверить правильность вычисления обратной матрицы в соответствии с определением: А

-1* А = А * А^-1= Е.

1. Найдем определитель этой матрицы по правилу треугольников:

 0.

Проверку опустим.

Можно доказать следующие свойства обращения матриц:

1) |А^-1| = 1/|А|

2) (А^-1)^-1= А

3) (А^m)^-1= (А^-1)^m

4) (АB)^-1=B^-1* А^-1

5) (А^-1)^T= (А^T)^-1

Минором k-го порядкаматрицы А размера m х n называют определитель квадратной матрицыk-го порядка, которая получена из матрицы А вычеркиванием каких-либо строк и столбцов.

Из определения следует, что порядок минора не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. kmin{m;n}. Например, из матрицы А_5х3можно получить квадратные подматрицы первого, второго и третьего порядков (соответственно, рассчитать миноры этих порядков).

Рангомматрицы называют наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы (обозначают rang А, илиr(А)).

Из определения следует, что

1) ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т. е. r(А)min{m;n};

2) r(А) = 0 тогда и только тогда, когда матрица нулевая (все элементы матрицы равны нулю), т.е.r(А) = 0А = 0;

3) для квадратной матрицы n-го порядка r(А) = n тогда и только тогда, когда эта матрица А невырожденная, т.е.r(А) = n|А|0.

На самом деле, для этого достаточно вычислить только один такой минор (тот, который получен вычеркиванием третьего столбца (потому что в остальных будет присутствовать нулевой третий столбец, и поэтому они равны нулю).

По правилу треугольника = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

Поскольку все миноры третьего порядка нулевые, r(А)2. Так как существует ненулевой минор второго порядка, например,

Очевидно, что использованные нами приемы (рассмотрение всевозможных миноров) не подходят для определения ранга в более сложных случаях ввиду большой трудоемкости. Обычно для нахождения ранга матрицы используют некоторые преобразования, которые называют элементарными:

1). Отбрасывание нулевых строк (столбцов).

2). Умножение всех элементов строки или столбца матрицы на число, отличное от нуля.

3). Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4). Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

5). Транспонирование.

Если матрица А получена из матрицы Bэлементарными преобразованиями, то эти матрицы называютэквивалентнымии обозначают АВ.

Теорема. Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранг.

Доказательство теоремы следует из свойств определителя матрицы. В самом деле, при этих преобразованиях определители квадратных матриц либо сохраняются, либо умножаются на число, не равное нулю. В результате наивысший порядок отличных от нуля миноров исходной матрицы остается прежним, т.е. ее ранг не меняются.

С помощью элементарных преобразований матрицу приводят к так называемому ступенчатому виду (преобразуют в ступенчатую матрицу), т. е. добиваются, чтобы в эквивалентной матрице под главной диагональю стояли только нулевые элементы, а на главной диагонали – ненулевые:

Ранг ступенчатой матрицы равен r, так как вычеркиванием из нее столбцов, начиная с (r + 1)-го и дальше можно получить треугольную матрицу r-го порядка, определитель которой будет отличен от нуля, так как будет представлять собой произведение ненулевых элементов (следовательно, имеется минор r-го порядка, не равный нулю):

Пример. Найти ранг матрицы

1). Если а₁₁= 0 (как в нашем случае), то перестановкой строк или столбцов добьемся того, чтобы а₁₁0. Здесь поменяем местами 1-ю и 2-ю строки матрицы:

2). Теперь а₁₁0. Элементарными преобразованиями добьемся того, чтобы все остальные элементы в первом столбце равнялись нулю. Во второй строкеa₂₁= 0. В третьей строкеa₃₁= -4. Чтобы вместо (-4) стоял 0, прибавим к третьей строке первую строку, умноженную на 2 (т. е. на (-а₃₁

/а₁₁) = -(-4)/2 = = 2). Аналогично к четвертой строке прибавим первую строку (умноженную на единицу, т.е. на (-а₄₁/а₁₁) = -(-2)/2 = 1).

3). В полученной матрице а₂₂0 (если бы было а₂₂= 0, то можно было бы снова переставить строки). Добьемся, чтобы ниже диагонали во втором столбце тоже стояли нули. Для этого к 3-й и 4-й строкам прибавим вторую строку, умноженную на -3 ((-а₃₂/а₂₂) = (-а₄₂/а₂₂) = -(-3)/(-1) = -3):

4). В полученной матрице две последние строки – нулевые, и их можно отбросить:

Получена ступенчатая матрица, состоящая из двух строк. Следовательно, r(A) = 2.

Обратная матрица

        Определение 14.8   Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если .         

Из определения следует, что обратная матрица будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица (иначе одно из произведений или было бы не определено).

Обратная матрица для матрицы обозначается . Таким образом, если существует, то .

Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы , то есть . Про матрицы и можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.

        Предложение 14.20   Если матрица имеет обратную, то и .

        Доказательство.     Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей ( предложение 14.7), то . По  следствию 14.1 , поэтому , что невозможно при . Из предыдущего равенства следует также .     

Последнее предложение можно сформулировать в следующем виде.

Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.

Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения.

        Определение 14.9   Квадратную матрицу назовем вырожденной или особенной матрицей, если , и невырожденной или неособенной матрицей, если .         

        Предложение 14.21   Если обратная матрица существует, то она единственна.

        Доказательство.     Пусть две матрицы и являются обратными для матрицы . Тогда

   и

Следовательно, .     

        Предложение 14.22   Если квадратная матрица является невырожденной, то обратная для нее существует и

(14.14)

где  — алгебраические дополнения к элементам .

        Доказательство.     Так как для невырожденной матрицы правая часть равенства (14.14) всегда существует, то достаточно показать, что эта правая часть является обратной матрицей для матрицы . Обозначим правую часть равенства (14.14) буквой . Тогда нужно проверить, что и что . Докажем первое из этих равенств, второе доказывается аналогично.

Пусть . Найдем элементы матрицы , учитывая, что :

Если , то по  предложению 14.17 сумма справа равна нулю, то есть при .

Если , то

Сумма справа представляет собой разложение определителя матрицы по -ой строке (предложение 14.16). Таким образом,

Итак, в матрице диагональные элементы равны 1, а остальные равны нулю, то есть .     

Результаты предложений 14.20, 14.21, 14.22 соберем в одну теорему.

        Теорема 14.1   Обратная матрица для квадратной матрицы существует тогда и только тогда, когда матрица  — невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула (14.14).     

        Замечание 14.12   Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номер столбца, а второй — номер строки, в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение.         

        Пример 14.7   Найдите обратную матрицу для матрицы .

Решение. Находим определитель

Так как , то матрица  — невырожденная, и обратная для нее существует.

Находим алгебраические дополнения:

Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй — строке:

(14.15)

Полученная матрица и служит ответом к задаче.         

        Замечание 14.13   В предыдущем примере было бы точнее ответ записать так:

(14. 16)

Однако запись (14.15) более компактна и с ней удобнее проводить дальнейшие вычисления, если таковые потребуются. Поэтому запись ответа в виде (14.15) предпочтительнее, если элементы матриц — целые числа. И наоборот, если элементы матрицы  — десятичные дроби, то обратную матрицу лучше записать без множителя впереди.         

        Замечание 14.14   При нахождении обратной матрицы приходится выполнять довольно много вычислений и необычно правило расстановки алгебраических дополнений в итоговой матрице. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы избежать ошибок следует делать проверку: вычислить произведение исходной матрицы на итоговую в том или ином порядке. Если в результате получится единичная матрица, то обратная матрица найдена правильно. В противном случае нужно искать ошибку.         

        Пример 14.8   Найдите обратную матрицу для матрицы .

Решение.

— существует.

Ответ: .         

Нахождение обратной матрицы по формуле (14.14) требует слишком много вычислений. Для матриц четвертого порядка и выше это неприемлемо. Реальный алгоритм нахождения обратной матрицы будет приведен позже.

Ремонт: дизайн магазина — дизайн интерьера Пиротехника, продажа пиротехники Батареи салютов
Ядерное оружие | Инженерная графика | Высшая математика | Физика | Информатика | ТКМ| Электротехника | Атомная энергетика | Лекции
Начертательная геометрия и инженерная графика, перспектива Высшая математика примеры решения задач Физика для студентов технических университетов Электротехника, теоретические основы электротехники

линейная алгебра — Явная формула для элементов обратной матрицы

Задавать вопрос

спросил 8 лет, 1 месяц назад

Изменено 8 лет, 1 месяц назад

Просмотрено 6к раз

$\begingroup$ 9{-1}= \left(\begin{массив}{ccc} b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nn} \конец{массив}\справа) \end{выравнивание} Существует ли явная формула для $b_{ij}$ в терминах элементов $A$ и определителя $A$?

Изменить: Вот ссылка на различные возможные методы инвертирования матрицы http://en. {n,n}$ 9{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot \text{Adj}(A)$

$\text{Adj}(A)$ — вспомогательная матрица матрицы A.

$\endgroup$

3

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

linear алгебра — Сумма элементов обратной матрицы (без вывода обратной матрицы) с помощью элементарных методов.

Задавать вопрос

спросил 6 лет, 6 месяцев назад

Изменено 5 лет, 10 месяцев назад

Просмотрено 3к раз

$\begingroup$

у меня есть матрица $$\begin{pматрица} 3&2&2&\\ 2&3&2\\ 2&2&3 \end{pmatrix}.$$ Найдите сумму элементов обратной матрицы без вычисления обратной .

Я видел этот пост, но мне нужен гораздо более элементарный метод. Я проверил, что обратное существует, и $\Delta=7$. Ответ: $\frac37$.

Что я сделал, так это ( не так )простое вычисление, я понял, что каждая матрица вида $\begin{pmatrix} а&б&б&\\ б&а&б\\ б&б&а \end{pmatrix}$ всегда достигает обратной формы $$\frac{a-b}{a+2b} \begin{pmatrix} а+б&-б&-б&\\ -б&а+б&-б\\ -б&-б&а+б \end{pmatrix}.