Если определитель равен нулю: Линейная алгебра

Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

Это очевидный факт, и доказательство его приводить не будем.

3. Если поменять местами две строки определителя, то получим новый определитель, равный исходному, умноженному на .

Доказательство. Пусть определитель

(11)

получен из определителя (6) путём транспозиции i—й и j—й строк. Если (8) есть одно из слагаемых, составляющих определитель (6), то (8) также является одним из слагаемых, составляющих определитель (11), так как в этом произведении все сомножители стоят в разных строках и разных столбцах. Рассмотрим произвольный член исходного определителя (6). Пусть индексы входящих в него сомножителей составляют подстановку

, (12)

Произведение тех же сомножителей войдёт слагаемым в сумму, образующую определитель (11), так как все сомножители стоят в разных строках и разных столбцах.

Только теперь индексы этих сомножителей будут образовывать подстановку

(13)

Последняя подстановка получается из предыдущей подстановки одной транспозицией в верхней строке, и, следовательно, имеет противоположную чётность. Из сказанного следует, что все произведения, составляющие определитель (6), входят и в определитель (11), но с противоположными знаками, и свойство 3 можно считать доказанным.

4. Определитель, имеющий две равных строки, равен нулю.

Это следует из того, что, поменяв местами две равных строки в определителе, по предыдущему свойству мы должны получить новый определитель, равный исходному с противоположным знаком. Однако, такое преобразование, очевидно, не должно изменить исходный определитель, то есть, если исходный определитель равен d

, то мы приходим к уравнению d = – d с единственным корнем d = 0.

5. Если одну из строк определителя умножить на какое-либо число, то получится определитель, равный исходному определителю, умноженному на это число.

Справедливость этого положения непосредственно следует из определения определителя.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

Это сразу следует из двух предыдущих свойств.

7. Если в определителе все элементы i—й строки являются суммами двух слагаемых:

,

то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме

i—й, такие же, как в заданном определителе, а i—я строка в одном из них состоит из элементов , в другом – из элементов .

Для доказательства этого свойства достаточно выписать в общем виде произведение, составляющее исходный определитель:

Прежде чем перейти к следующему свойству, введём определение. Пусть имеются объекты (ими могут быть, например, матрицы, вектора, функции и др.) , ₁, ₂,, _п. Будем говорить, что  является линейной комбинацией ₁, ₂,, _п, если существует такой набор чисел , что .

8. Если в определителе одна из строк является линейной комбинацией других строк, то определитель равен нулю.

Это свойство следует из свойств 6 и 7.

9. Если в определителе вместо любой строки записать сумму этой строки и линейной комбинации других строк, то полученный новый определитель будет равен исходному определителю.

   

Это следует из свойств 6 и 8.

Квадратная матрица п-го порядка, у которой все элементы под главной диагональю равны нулю, называется верхнетреугольной матрицей.

Определитель верхнетреугольной матрицы равен произведению чисел, стоящих на главной диагонали. Это очевидно, так как в каждом произведении обязательно должен быть элемент первого столбца, следовательно, в ненулевом произведении должен быть множитель а₁₁. Тогда среди ненулевых множителей второго столбца может быть выбран только множитель а₂₂, так как элемент первой строки а₁₁ уже присутствует среди сомножителей. Двигаясь по столбцам дальше, приходим к заключению, что в ненулевом произведении должны присутствовать сомножители

а₃₃, а₄₄ и т. д.

Последнее заключение даёт возможность (пользуясь свойствами определителя) вычислять определители любого порядка, приводя матрицу элементарными преобразованиями к верхнетреугольному виду.

1 Если говорить строго, то из (1) и (2) следует, что если решение существует, то оно единственным образом выражается через коэффициенты системы и свободные члены. Чтобы доказать существование, надо подставить две формулы (3) в систему и убедиться в том, что оба уравнения обращаются в верные равенства.

2 Докажите сами, что таких произведений, отличающихся одно от другого набором элементов существует ровно n!

Линейная алгебра

Линейная алгебра

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учеб. Для вузов — 4-е изд. — М. Наука. Физматлит, 1999 — 296 с. Один из выпусков «Курса высшей математики и математической физики» под редакцией А.Н.Тихонова, В А Ильина, А Г.Свешникова Учебник создан на базе лекций, читавшихся авторами в течение многих лет на физическом факультете Московского государственного университета Содержание книги составляют теория матриц и определителей, конечномерных линейных и евклидовых пространств и линейных операторов в этих пространствах, билинейных и квадратичных форм, тензоров, вопросы классификации поверхностей второго порядка и теории представления групп Воспроизводится с 3-го изд (1984 г). Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям «Физика» и «Прикладная математика» Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1. Понятие матрицы. 2. Основные операции над матрицами и их свойства. 3. Блочные матрицы. § 2. Определители 2. Выражение определителя непосредственно через его элементы. 3. Теорема Лапласа. 4. Свойства определителей. 5. Примеры вычисления определителей. 6. Определитель суммы и произведения матриц. 7. Понятие обратной матрицы. § 3. Теорема о базисном миноре матрицы 1. Понятие линейной зависимости строк. 2. Теорема о базисном мнноре. 3. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя. ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА § 1. Понятие линейного пространства 2. Некоторые свойства произвольных линейных пространств. § 2. Базис и размерность линейного пространства 1. Понятие линейной зависимости элементов линейного пространства. 2. Базис и координаты. 3. Размерность линейного пространства. 4. Понятие изоморфизма линейных пространств. § 3. Подпространства линейных пространств 1. Понятие подпространства и линейной оболочки. 2. Новое определение ранга матрицы. 3. Сумма и пересечение подпространств. 4. Разложение линейного пространства в прямую сумму подпространств. § 4. Преобразование координат при преобразовании базиса n-мерного линейного пространства 2. Связь между преобразованием базисов и преобразованием соответствующих координат. ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ § 1. Условие совместности линейной системы 2. Нетривиальная совместность однородной системы. 3. Условие совместности общей линейной системы. § 2. Отыскание решений линейной системы 2. Отыскание всех решений общей линейной системы. 3. Свойства совокупности решений однородной системы. 4. Заключительные замечания о решении линейных систем. ГЛАВА 4. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА § 1. Вещественное евклидово пространство и его простейшие свойства 2. Простейшие свойства произвольного евклидова пространства. § 2. Ортонормированный базис конечномерного евклидова пространства 2. Свойства ортонормированного базиса. 3. Разложение n-мерного евклидова пространства на прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. 4. Изоморфизм n-мерных евклидовых пространств. § 3. Комплексное евклидово пространство 2. Неравенство Коши — Буняковского. Понятие нормы. 3. Ортонормированный базис и его свойства. § 4. Метод регуляризации для отыскания нормального решения линейной системы ГЛАВА 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ § 1. Понятие линейного оператора. Основные свойства 2. Действия над линейными операторами. Пространство линейных операторов. 3. Свойства множества L(V, V) линейных операторов. § 2. Матричная запись линейных операторов 2. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. 3. Характеристический многочлен линейного оператора. § 3. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов § 4. Линейные и полуторалинейные формы в евклидовом пространстве 2. Полуторалинейные формы в евклидовом пространстве. Специальное представление таких форм. § 5. Линейные самосопряженные операторы в евклидовом пространстве 2. Самосопряженные операторы. Основные свойства. 3. Норма линейного оператора. 4. Дальнейшие свойства самосопряженных операторов. 5. Спектральное разложение самосопряженных операторов. Теорема Гамильтона—Кэли. 6. Положительные операторы. Корни m-й степени из оператора. § 6. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов § 7. Унитарные и нормальные операторы § 8. Канонический вид линейных операторов § 9. Линейные операторы в вещественном евклидовом пространстве 2. Ортогональные операторы. ГЛАВА 6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ И ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ § 1. Итерационные методы решения линейных систем 2. Общий неявный метод простой итерации. 3. Модифицированный метод простой итерации. 4. Метод Зейделя. 5. Метод верхней релаксации. 6. Случай несимметричной матрицы А. 7. Итерационный метод П. Л. Чебышева. § 2. Решение полной проблемы собственных значений методом вращений ГЛАВА 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ § 1. Билинейные формы 2. Представление билинейной формы в конечномерном линейном пространстве. 3. Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Ранг билинейной формы. § 2. Квадратичные формы § 3. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов 2. Метод Якоби. § 4. Закон инерции квадратичных форм. Классификация квадратичных форм 2. Классификация квадратичных форм. 3. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы. § 5. Полилинейные формы § 6. Билинейные и квадратичные формы в евклидовом пространстве 2. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов в ортогональном базисе. 3. Одновременное приведение двух квадратичных форм к сумме квадратов в линейном пространстве. 4. Экстремальные свойства квадратичной формы. § 7. Гиперповерхности второго порядка 2. Параллельные переносы в евклидовом пространстве. Преобразования ортонормированных базисов в ортонормированные. 3. Преобразование общего уравнения гиперповерхности второго порядка при параллельном переносе. 4. Преобразование общего уравнения гиперповерхности второго порядка при переходе от ортонормированного базиса к ортонормированиому. 5. Инварианты общего уравнения гиперповерхности второго порядка. 6. Центр гиперповерхности второго порядка. 7. Стандартное упрощение любого уравнения гиперповерхности второго порядка путем преобразования ортонормированного базиса. 8. Упрощение уравнения центральной гиперповерхности второго порядка. Классификация центральных гиперповерхностей. 9. Упрощение уравнения нецентральной гиперповерхности второго порядка. Классификация нецентральных гиперповерхностей. n. 4. Дискриминантный тензор. 5. Ориентированный объем. 6. Векторное произведение. 7. Двойное векторное произведение. § 4. Метрический тензор псевдоевклидова пространства 2. Галилеевы координаты. Преобразования Лоренца. 3. Преобразования Лоренца пространства § 5. Тензор момента инерции ГЛАВА 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП § 1. Понятие группы. Основные свойства групп 2. Понятие группы. Некоторые свойства групп. 3. Изоморфизм групп. Подгруппы. 4. Смежные классы. Нормальные делители. 5. Гомоморфизмы. Фактор-группы. § 2. Группы преобразований 2. Группа линейных преобразований. 3. Сходимость элементов в группе GL(n). Подгруппы группы GL(n). 4. Группа ортогональных преобразований. 5. Некоторые дискретные и конечные подгруппы ортогональной группы. 6. Группа Лоренца. 7. Унитарные группы. § 3. Представления групп 2. Матрицы линейных представлений. Эквивалентные представления. 3. Приводимые и неприводимые представления. 4. Характеры. 5. Примеры представлений групп.

Каков ранг матрицы, если определитель равен нулю?

Поскольку определитель матрицы равен нулю, ее ранг не может быть равен количеству строк/столбцов, 2 . Единственная оставшаяся возможность состоит в том, что ранг матрицы равен 1, что нам не нужно проверять, беря какие-либо дополнительные определители. Следовательно, ранг матрицы равен 1.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на nagwa.com

Может ли матрица полного ранга иметь 0 определителей?

Квадратная матрица имеет полный ранг тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. Для неквадратной матрицы со строками и столбцами всегда будет так, что либо строки, либо столбцы (в зависимости от того, какое число больше) будут линейно зависимы.

Запрос на удаление

| Полный ответ см. на cds.caltech.edu

Каков ранг матрицы с нулевыми диагоналями?

Ранг нулевой матрицы всегда равен нулю. Потому что все элементы (диагональные и недиагональные элементы) нулевой матрицы равны нулю. Таким образом, нулевая матрица всегда имеет ступенчатую форму, из-за чего ее ранг всегда равен нулю.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на quora.com

Каков ранг матрицы, определитель которой не равен нулю?

Несингулярная матрица — это квадратная единица, определитель которой не равен нулю. Ранг матрицы [A] равен порядку наибольшей неособой подматрицы [A]. Отсюда следует, что неособая квадратная матрица размера n × n имеет ранг n. Таким образом, невырожденная матрица также известна как матрица полного ранга.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на sciencedirect.com

Почему нет обратной матрицы, если определитель равен 0?

Поскольку определитель равен нулю, матрица вырожденная и обратной не существует.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на mathcentre.ac.uk

Ранг матрицы

Найдено 33 похожих вопроса

Что делать, если определитель равен нулю?

Матрица определителя невырожденная и необратимая. Матрица определителя может быть нулевой матрицей. Система уравнений, связанных с матрицей, является линейно зависимой.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на byjus.com

Имеет ли нулевая матрица ранг?

Нулевая матрица — единственная матрица, ранг которой равен 0.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на en. wikipedia.org

Можно ли получить ранг 0?

Только нулевая матрица имеет нулевой ранг. f является инъективным (или «однозначным») тогда и только тогда, когда A имеет ранг n (в этом случае мы говорим, что A имеет полный ранг столбца). f сюръективен (или «на») тогда и только тогда, когда A имеет ранг m (в этом случае мы говорим, что A имеет полный ранг строки).

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на en.wikipedia.org

Каков ранг пустой матрицы?

Ранг матрицы — это наибольшее количество линейно независимых строк или столбцов в матрице. Таким образом, если матрица не имеет элементов (то есть нулевая матрица), она не имеет линейно независимых строк или столбцов и, следовательно, имеет нулевой ранг.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на math.stackexchange.com

Что из следующего не может быть рангом Матрицы?

Кососимметричная матрица не может иметь ранг.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на toppr.com

Верно ли, что ранг матрицы равен количеству ненулевых собственных значений?

Ранг любой квадратной матрицы равен количеству ненулевых собственных значений (с повторениями), поэтому количество ненулевых сингулярных значений A равно рангу AT A.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на math.berkeley.edu

Является ли матрица вырожденной, если определитель равен 0?

Для сингулярной матрицы значение определителя должно быть равно 0, т. е. |A| = 0. Поскольку определитель равен 0, значит, это сингулярная матрица. Мы уже знаем, что для сингулярной матрицы обратной матрицы не существует.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на byjus.com

Что такое ранг матрицы?

Ранг матрицы определяется как максимальное количество линейно независимых векторов-столбцов в матрице или максимальное количество линейно независимых векторов-строк в матрице.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на testbook.com

Что такое матрица с рангом 1?

Матрицы первого ранга

Ранг матрицы — это размер пространства ее столбцов (или строк). Матрица. 1 4 5 A = 2 8 10 2 Страница 3 имеет ранг 1, поскольку каждый из ее столбцов кратен первому столбцу.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на ocw.mit.edu

Что значит, если матрица не имеет полного ранга?

Количество линейно независимых столбцов в матрице — это ранг матрицы. Ранг строки и столбца матрицы всегда равен. Матрица имеет полный ранг, если ее ранг максимально возможный для матрицы того же размера, и неполный ранг, если она не имеет полного ранга.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на mathworks.com

Что означает ранг 0?

Ранг 0 — это результат с самым высоким рейтингом на страницах результатов поисковой системы Google (SERP). Он находится в верхней части страницы или над всеми результатами обычного поиска, но находится чуть ниже любой платной рекламы по этому запросу. Это расширенный текст или видео результат, который обычно отвечает на запрос или вопрос.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на mcm.click

Какая связь между определителем и рангом матрицы?

Если матрица n×n имеет ранг n, то она имеет n основных столбцов (и, следовательно, n основных строк). Это означает, что вы сможете уменьшить его до верхней треугольной формы с поворотами по диагонали. Определитель есть произведение этих элементов по диагонали.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на math.stackexchange.com

Что такое ранг и недействительность нулевой матрицы?

Ранг — это количество начальных столбцов или ненулевых векторов-строк ступенчатой ​​формы с уменьшенной строкой данной матрицы, а количество нулевых столбцов — это нуль. Недействительность матрицы — это размерность нулевого пространства матрицы А, также называемого ядром матрицы А. Если А — обратимая матрица, то нулевое пространство (А) = {0}.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на byjus.com

Что определяет ранг матрицы?

Ранг матрицы — это максимальное число ее линейно независимых векторов-столбцов (или векторов-строк). Из этого определения очевидно, что ранг матрицы не может превышать числа ее строк (или столбцов).

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на sciencedirect.com

Каков порядок нулевой матрицы?

Каков порядок нулевой матрицы? Порядок нулевой матрицы равен m x n, где m — количество строк, а n — количество столбцов.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на byjus.com

Является ли матрица линейно независимой, если определитель A равен нулю?

Если определитель не равен нулю, он линейно независим. В противном случае он линейно зависим. Поскольку определитель равен нулю, матрица линейно зависима.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на varsitytutors.com

Какой определитель матрицы с нулевым столбцом?

Если у нас есть квадратная матрица, в которой одна из строк или столбцов содержит только нули, то мы можем вычислить определитель этой матрицы, разложив по нулевой строке или столбцу. Тогда каждый член определителя будет иметь нулевой множитель. Значит определитель этой матрицы равен нулю.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на nagwa.com

Что является примером матрицы с определителем 0?

Матрица, в которой не все строки (или столбцы) линейно независимы, будет иметь значение определителя, равное 0. Скажем, например, строка 3 = дважды строке 2, тогда определитель = 0. Таким образом, если вы сложите первый и второй ряд, получится третий ряд.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на quora.com

Каков ранг каждой ненулевой матрицы?

Свойства ранга матрицы: Ранг (R) нулевой или нулевой матрицы всегда равен нулю. Ранг (R) ненулевой матрицы всегда имеет ненулевое значение. Ранг (R) невырожденной матрицы равен ее порядку.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на testbook.com

Можно ли получить ранг любой неквадратной матрицы?

Если матрица не квадратная, то и то, и другое невозможно. Можно сказать, что матрица «полного ранга», если ранг равен min{m,n}.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на math.stackexchange.com

Похожие вопросы

• Почему мне кажется, что я не люблю своего ребенка?
• На Кипре цунами?
• Может ли питьевая вода остановить инфекцию?
• Левантийцы какой национальности?
• Как выполняются циклы for?
• Почему ты быстрее бегаешь босиком?
• Вам нужен доход для выпуска акций?
• Как выбираются игроки для LIV Golf?
• Сколько времени требуется PayPal для отправки денег?
• Как я могу отследить учетную запись Facebook по номеру телефона?

Реклама

Популярные вопросы

• Является ли газлайтинг нарциссическим?
• Почему пары во сне соприкасаются ногами?
• Каковы признаки увеличения матки?
• Как ведет себя автомобиль при плохой трансмиссии?
• Как отличить бактерии от грибков в чашке с агаром?
• Каковы основные основополагающие убеждения?
• Уменьшает ли отказ от сахара воспаление?
• Можете ли вы быть дислектиком, но хорошо писать?
• В Канаде растет сверчок?
• Где Великобритания получает большую часть электроэнергии?

Если любые две строки (или столбца) определителя идентичны, то значение определителя равно 0.

и дехо сари видео бина киси объявление ки rukaavat ке!

Ответить

Пошаговое решение, разработанное экспертами, чтобы помочь вам в решении вопросов и получении отличных оценок на экзаменах.

---

Похожие видео

Если любые две строки (столбца) квадратной матрицы A=[aij] порядка (n≥2) одинаковы, то ее определитель равен 0.

1340072

Если любые две соседние строки или столбца определителя равны Внутреннее положение в положении, значение определителя:

59995369

Если два строка (или два столбца) определительны, то значение детерминанты —

127288350

या समानुपाती हों, तो सारणिक का मान शून्य होता है |

226113241

यदि किसी स|

234314031

Докажите, что если к каждому элементу любой строки или столбца определителя прибавить равнократные соответствующие элементы другой строки (или столбца), то значение определителя останется прежним.

254808683

Текст Решение

Если поменять местами любые две строки (или столбца) определителя, то знак определителя изменится.

254808795

কোনো নির্ণায়কের যে-কোনো সারি বা স্তম্ভ অভিন্ন হলে তার তার মান হবে

333021026

Два ряда (или колонны) идентичны или пропорциональны значения Detrinmin или столбцы) определителя одинаковы, значение определителя равно нулю.

412646429

Если любые две строки (или столбца) определителя совпадают, то значение определителя равно нулю.

412646875

Рассмотрим следующие утверждения:
(i) Если любые две строки или столбца определителя идентичны, то значение определителя равно нулю.
(ii) Если поменять местами соответствующие строки и столбцы определителя, то значение определителя не изменится.
(iii) Если поменять местами любые две строки (или столбца) определителя, то значение определителя меняет знак.
Какие из них верны?

474046526

Если любые две строки определителя идентичны, то его значение равно:-

483509018

Текстовое решение

Если две строки (или столбца) идентичны или пропорциональны, значение определителя равно

515788284 9000 следующие утверждения:
(а) Если любые две строки или столбцы определителя идентичны, то значение определителя равно нулю
(б) Если поменять местами соответствующие строки и столбцы определителя, то значение определителя не равно не изменить.