F g x g f x: functions — What is the property where f(g(x)) = g(f(x))?

функций — Когда на самом деле выполняется $f(g(x))=g(f(x))$?

спросил 6 лет, 10 месяцев назад

Изменено 6 лет, 10 месяцев назад

Просмотрено 2к раз

$\begingroup$

Мы видим, что если $f(x)=g(x)=x$, то $f(g(x))=g(f(x))$.
Я хотел бы увидеть другие примеры функций $f(x)$ и $g(x)$, для которых $f(g(x))=g(f(x))$.

P.S. По определению мы также должны иметь $D_{f\circ g}= D_{g\circ f}$

• функций
• специальных функций

$\endgroup$

11

$\begingroup$

Функции не обязательно должны быть обратными друг другу, чтобы коммутировать. Простой пример. Пусть $f(x)=x+1$ и $g(x)=x+2$. Здесь, конечно $$f(g(x))=g(f(x))=x+3.$$

$\endgroup$ 9{m+n}(x)=g(f(x))$.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Возьмем $f(x)=x+1$ и $g(x)=x-1$

$$f(g(x))=g(x)+1\\ =(х-1)+1\\ =х\\ \текст{ и }\\ г(е(х))=е(х)-1\\ (х+1)-1\\ =x$$

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Я думаю, что если вы возьмете две обратные функции, определенные, например, $\Bbb R$ (или над тем же подмножеством $\Bbb R$), 9{-1}(ч (х))$.

Пока мы можем найти обратимые функции, мы можем найти и эти. Есть ли что-то еще, что нужно сказать?

$\endgroup$

1

реальный анализ — $f(g(x))=g(f(x))$ подразумевает $f(c)=g(c)$ для некоторого $c$

спросил 8 лет, 10 месяцев назад

Изменено 5 лет, 4 месяца назад

Просмотрено 745 раз

$\begingroup$

Пусть $f$ и $g$ являются непрерывными функциями и отображаются из $[0,1]$ в $[0,1]$. Также пусть $f(g(x)) = g(f(x))$ . Докажите, что существует $c$ из $[0,1]$ такое, что $f(c)=g(c)$.

Попробую от противного. Пусть $h(x) = f(x) — g(x) > 0$ для всех $x$ из $[0,1]$. Поскольку $f(x)$ отображается из $[0,1]$ в $[0,1]$ и больше, чем $g$ для всех $x$ из $[0,1]$, отсюда следует, что $g (x)$ не является элементом $[0,1]$ для всех $x$ из $[0,1]$. Противоречие, поэтому существует $c$ из $[0,1]$ такое, что $f(c)=g(c)$. Проблема в том, что я никогда не использовал тот факт, что $f(g(x)) = g(f(x))$, что меня беспокоит. Доказательство правильное или где-то есть дыра?

• реальный анализ
• доказательство-проверка

$\endgroup$

$\begingroup$

Ошибка в вашем доказательстве (если только я не понял, что вы делаете) заключается в том, что вы принимаете утверждение «$f$ — это отображение из $[0,1]$ в $[0,1]$» как «$f$ отображает $[0,1]$ в $[0,1]$» (т. е. $f([0,1])=[0,1]$). Это не так — $f$ не обязательно должно быть сюръективным.

Доказательство искомого результата:

• $f\colon[0,1]\to[0,1]$ непрерывен, поэтому существует неподвижная точка $a\in[0,1]$: $f(а)=а$. 9{(n)}(a)$ (так что $u_0=a$). Используя $f\circ g=g\circ f$, легко получить $f(u_n)=u_n$ для всех $n\geq 0$.
• , но тогда, поскольку $h>0$, $u_n-u_{n+1} = h(u_n) > 0$. Последовательность $(u_n)$ убывает (и ограничена снизу $0$), поэтому сходится: существует $\ell \in [0,1]$ такое, что $$ u_n\xrightarrow[n\to\infty]{} \ell$$
• по непрерывности $f$, учитывая, что $u_n=f(u_n)$, получаем $f(\ell)=\ell$.
• по непрерывности $g$, учитывая, что $u_{n+1}=g(u_n)$, получаем $g(\ell)=\ell$. 9{n+1}(x)+(n+1)\epsilon$.

  Это очевидное противоречие для $n\epsilon > 1$.

  $\endgroup$

  $\begingroup$

  Сначала предположим, что $f$ возрастает на $[0, 1]$.

  No related posts.