Упрощение факториальных выражений и примеры решения
Введение в факториал
Одной из наиболее стандартных теорий перестановок и комбинаций является применение факториальной записи. Используя теорию факториалов, можно упростить многие сложные уравнения и действия. В математике факториал — это произведение всех положительных целых чисел, меньших или равных (≤) заданному положительному целому числу. Факториал обозначается этим целым числом и восклицательным знаком. Таким образом, факториал 5 выражается как 5! , что означает, что 1 × 2 × 3 × 4 × 5. Факториал ноль описывается как равный (=) 1. Даже в этом случае факториал может показаться не очень сложным, но использование факториала для дробей и неотрицательных целых чисел немного сложно.
(изображение скоро будет загружено)
При этом давайте упростим факториал.
Упрощение факториальных выражений
Решение задач, пожалуй, лучший способ увидеть математику в действии.
Итак, здесь мы познакомим вас с задачами, которые значительно помогут вам научиться упрощать факториальные выражения.
Чтобы упростить факториальные выражения с использованием переменных, которые находятся в числителе и знаменателе, нам потребуется создать общие множители в обоих местах, чтобы их можно было сократить. Потому что это, конечно, наша цель.
Суть в том, чтобы установить сравнение между факториалами, а также определить, какой из них имеет большее значение. Допустим, мы пытаемся сравнить факториалы ({n + 4}!(n+4)! И {n + 2}!(n+2)!
Совершенно очевидно, что {n + 4}! > { n + 2}! Верно для всех значений ‘n’, поскольку факториал интерпретируется, то есть элементы внутри скобок представляют собой целое число ≥ нуля (0).
Таким образом, это предполагает что мы можем растянуть {n + 4}!, пока выражение {n+2}! не примет форму последовательности.
Вот так:-
(N+4)! = (N+3). (Н+3) (Н+2)!
Упрощение отрицательного целого числа
Возьмем, к примеру, {n — 5}! И {n — 2}! В такой ситуации мы вычитаем переменную на некоторое число.
Имейте в виду, что здесь большее выражение имеет меньшее вычитаемое или значение, которое вычитается из уменьшаемого. Следовательно, это предполагает, что {n — 2}! > {n — 5}!
Далее следует, что выражение {n — 2}! Будет {n — 5}! В развернутом виде
(Н-2)! = (N-2). (Н-3) . (Н-4) . (Н-5)!
Пример решения
Задача 1
Сколькими способами 7 учащихся в эстафете могут занять 1-е, 2-е и 3-е места?
Решение 1
Видя, что это длинный список, таким образом, если 7 студентов названы T, U, V, W, X, Y, Z
Тогда список включает:
TUV, TUW, TUX , ТУИ, ТУЗ, ТВУ, ТВВ, ТВХ, ТВЫ… и т.д.
По формуле – 7! (7−3)! = 7! 4!
Далее выпишем умножения полностью:
7* 6 * 5 * 4 * 3 * 14 * 3 * 2 * 1 = 7 * 6 * 5
Это было здорово. Умножение {4×3×2×} «недействительно», давая только 7×6×5.
И:
7*6*5 = 210
Таким образом, в качестве ответа мы получаем 210 различных способов, которыми 7 студентов заняли 1-е, 2-е и 3-е места.
Готово!
Задача 2
Сколькими способами можно расположить 4 алфавита с самого начала (без повторения)?
Решение 2
Чтобы определить равенство, вам нужно просто перемножить все положительные целые числа, которые меньше или равны (≤) 4. Теперь аналогично
Для 1-го алфавита «а» есть только 1 способ: 1×1 = (а)
Для 2-го алфавита «аб» есть 2 пути: 1х2= (аб, ба)
Для 3-го алфавита «абв» » есть 6 способов: 1×2×3 = (abc, acb, bac, bca, cab, cba)
Для 4-х алфавитов «abcd» есть 24 способа: 1×2×3×4= (abcd, acbd , adbc, adcb, abdc, acdb, bacd, bcad, bcda, bdac, bdca, badc, cabd, cbad, cbda, cdab,cdba, cadb, dabc, dacb, dbac, dbca, dcab, dcba)
Вы хотите чтобы попробовать 5 алфавитов «abcde».
Продолжайте!
Интересные факты/ключевые выводы
- Использование восклицательного знака (!) впервые было начато известным французским математиком Кристианом Крампом в 1808 году.
- факториал фактически возник из комбинаторики, и это единственная причина, по которой факториалы встречаются повсюду в комбинаторике.
- Факториал был разработан как упрощенный способ выражения количества или структурированного порядка группы элементов, который, конечно же, мы находим, используя правило счета умножения.
- Факториал — это своего рода неформальная операция правила умножения.
- числа с двойной точностью являются фактическими только до пятнадцати цифр, тогда как числа с одинарной точностью являются точными только до восьми цифр.
- Большие значения «n» дают результат, который имеет соответствующую величину выравнивания и является точным только для первых пятнадцати цифр.
- Большие значения «n» дают результат, который имеет соответствующее выравнивание по величине и является точным для первых 8 цифр.
Примеры факториала числа
Эта статья будет о Основная концепция и определение факториала и когда мы можем его использовать, а также список первых 20 факториалов и некоторые решенные примеры.
Быстрый доступ
!Нажмите на кнопки ниже, чтобы перейти прямо к разделу статьи, которую вы ищете!
¿Что такое факториал?
Факториал числа — это операция, заключающаяся в умножении числа «n» на каждое целое положительное число меньше «n», например, , факториал 3 — это результат умножения 3 на 2 на 1. факториал числа можно найти только в положительных числах, мы не можем вычислить факториал отрицательного числа. Эта операция представлена числом «n», за которым следует восклицательный знак, например: 1!, 2!, 3!, 4!… n!
Факториал числа может использоваться в различных разделах математики и статистики, факториалы можно найти в формулах комбинаций и перестановок (ссылки на эти статьи в конце этой страницы) , и он широко используется в count, и на самом деле факториал числа является одним из многих статистических методов, с помощью факториала мы можем узнать, сколькими способами можно упорядочить элементы множества (без повторения),
например, чтобы узнать, как можно упорядочить группу из 10 человек разными способами, единственное, что нам нужно сделать, это найти факториал 10, и результатом будет ответ, в этом случае факториал 10 равен 3 628 800.
Результат предыдущей задачи был 3 628 800 , потому что это результат 10!, то есть умножение 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3628800, и все задачи, подобные этой, будут решаться таким же образом, просто изменив значение «n» (присвоив «n» количество элементов, находящихся в наборе).
По мере увеличения числа «n» в результате будет все больше и больше цифр, в следующей таблице мы представим числовые цифры некоторых факториалов.
| нет | Фигурки |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 5 | 3 |
| 10 | 7 |
| 15 | 13 |
| 20 | 19 |
| 25 | 26 |
| 30 | 33 |
В этом списке мы получили до 30, это можно было бы считать небольшим числом, но 30! имеет 33 цифры, и это огромное число: 265 252 859 812 191 058 636 308 480 000 000 поэтому некоторые калькуляторы позволяют найти только до факториала 69 (это число имеет 99 цифр).
Свойство этого метода заключается в том, что факториал 0 равен 1, что-то, что может звучать немного бессмысленно, потому что нет целых положительных чисел меньше 0, но есть некоторые причины думать, что 1 является лучшим ответ на 0!
Примеры первых 20 факториалов
В следующей таблице представлены первые 20 факториалов, здесь мы видим огромный рост каждого факториала.
| нет | н! |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5 040 |
| 8 | 40 320 |
| 9 | 362 880 |
| 10 | 3 628 800 |
| 11 | 39 916 800 |
| 12 | 479 001 600 |
| 13 | 6 227 020 800 |
| 14 | 87 178 291 200 |
| 15 | 1 307 674 368 000 |
| 16 | 20 922 789 888 000 |
| 17 | 355 687 428 096 000 |
| 18 | 6 402 373 705 728 000 |
| 19 | 121 645 100 408 832 000 |
| 20 | 2 432 902 008 176 640 000 |
Как мы видим, количество цифр, имеющих факториалы больше 10, велико, поэтому, когда мы используем формулу или уравнение, включающее факториалы, мы должны найти способ упростить факториалы, потому что это не так.