Факториалы свойства: Как решить Факториал числа. Таблица, Свойства, Примеры

Содержание

Как решить Факториал числа. Таблица, Свойства, Примеры

Факториал: определение

Факториал числа n — это произведение натуральных чисел от 1 до n. Обозначается n, произносится «эн-факториал».

Факториал определен для целых неотрицательных чисел. Это значит, что вот так нельзя:

Число должно быть целое и положительное:

Формула факториала
n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n−2)⋅(n−1)⋅n

Вычисляется факториал по формуле: путем умножения всех чисел от одного до значения самого числа под факториалом. Факторизация — это разложение функции на множители.

Например:

  • 3! = 1*2*3 = 6
  • 4! = 1*2*3*4 = 24
  • 5! = 1*2*3*4*5 = 120
  • 6! = 1*2*3*4*5*6 = 720

Мы видим, что 4! — это 3!*4
5! — это 4!*5
6! — это 5!*6

Формулы и свойства факториала

Чтобы узнать, как вычислять факториалы быстро — воспользуемся табличкой. Сохраняйте себе и решайте раньше остальных.

Запоминаем

0! = 1

1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5040
8! = 40320
9! = 362880
10! = 3628800
11! = 39916800
12! = 479001600
13! = 6227020800
14! = 87178291200
15! = 1307674368000
16! = 20922789888000
17! = 355687428096000
18! = 6402373705728000
19! = 121645100408832000
20! = 2432902008176640000
21! = 51090942171709440000
22! = 1124000727777607680000
23! = 25852016738884976640000
24! = 620448401733239439360000
25! = 15511210043330985984000000

Факториалов в математике 9 класса — полно. Чтобы всегда быть готовым решить пример, запомните основные формулы:

  • (n - 1)! = 1*2*3*4*5*...*(n - 2)(n - 1)
  • n! = 1*2*3*4*5*...*(n - 2)(n - 1)n
  • (n + 1)! = 1*2*3*4*5*...*(n - 2)(n - 1)n(n + 1)

С помощью формулы Стирлинга можно вычислить факториал многоразрядных чисел.

Такая формула дает результат с небольшой погрешностью.

Пример:

Рекуррентная формула

Примеры:

  • 5! = 5*(5 - 1)! = 5*4! = 5*24 = 120
  • 6! = 6*(6-1)! = 6*5! = 6*120 = 720

Для решения примеров обращайтесь к таблице.

Примеры умножения факториалов:

 
  1. Пользуйтесь готовой таблицей 5! * 7! = 120 * 5040 = 604800

  2. Или раскладывайте факториалы отдельно, если хотите потренироваться:
    5! = 1*2*3*4*5 = 4! * 5 =120
    7! = 1*2*3*4*5*6*7 = 6! * 7 = 5040
    120 * 5040 = 604800

Примеры решений

Давайте поупражняемся и решим пару примеров.

1. Сократите дробь:


Как решаем:


При сокращении факториалов, пользуйтесь свойством:
n! = (n - 1)! * n
100! = 99! * 100

Далее сокращаем по принципу сокращения обыкновенных дробей.

2. Вычислите значение выражения с факториалом: 8! + 5!

Как решаем:

Можно для решения факториалов воспользоваться таблицей и вычислить быстрее.

А можно потренироваться и разложить их:

8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 7!*8 = 5040 * 8 = 40320
5! = 1*2*3*4*5 = 4!*5 = 120
40320 + 120 = 40440
8! + 5! = 40440

3. Вычислите значение выражения:


Как решаем:


7! = 1*2*3*4*5*6*7 = 5! * 6 *7

Далее сокращаем все, что можем сократить (3*2=6, сокращаем числа 6) и получаем ответ.

4. Вычислите значение выражение:


Как решаем:


Вы уже знаете, как найти факториал — раскладываем 70 и 49:
70! = 1*2*3*.....*69 = 69! * 70
49! = 1*2*3*....49! * 48

Далее сокращаем все одинаковые множители.

5. Сократите дробь:


Как решаем:


Проводим разложение на множители при помощи формул сокращенного умножения (x+1)x(x-1) и сокращаем все одинаковые множители (x-1)!.

Если вы все еще считаете, что факториал бесполезен и не может помочь вам в жизни, то это не так. Он помогает легко вычислять вероятности (а это бывает нужно чаще, чем кажется). К тому же, комбинаторика необходима тем, кто собирается работать в IT. Поэтому решайте побольше задачек на факториалы, в мире будущего без них — никуда.

Факториал натурального числа n: как вычислить, формула

Факториал натурального числа n пишется как n! и считается как произведение всех натуральных чисел от 1 до n (включительно).

Для n > 0:

n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 … ⋅ n

Для n = 0:

0! = 1

Формула для определения факториала

Примеры:

  • 1! = 1
  • 2! = 1 ⋅ 2 = 2
  • 3! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6
  • 4! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅4 = 24
  • 5! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120

Рекуррентная формула факториала

Примеры:

  • 5! = 5 ⋅ (5 – 1)! = 5 ⋅ 4! = 5 ⋅ 24 = 120
  • 7! = 7⋅ (7 – 1)! = 7 ⋅ 6! = 5 ⋅ 720 = 5040

Формула Стирлинга

Используется для приблизительного нахождения факториала.

Пример:

Таблица факториалов

Число n
Факториал n!
0 1
1 1
2
2
3 6
4 24
5 120
6
720
7 5040
8 40320
9
362880
10 3628800
11 3,991680x107
12
4,790016x108
13 6,227021x109
14 8,717829x1010
15
1,307674x1012
16 2,092279x1013
17 3,556874x1014
18 6,402374x1015
19 1,216451x1017
20 2,432902x1018

microexcel.ru

Таблица факториалов натуральных чисел n от 1 до 100

Факториал натурального числа n (обозначение – “n!“) равен произведению всех натуральных чисел от 1 до n включительно.

n! = 1 * 2 * 3 * 4 … * n

Ниже представлены таблицы с факториалами чисел от 1 до 20 (точные значения) и от 21 до 100 (приближенные значения).

1. Факториалы чисел от 1 до 20

Факториал числа n
(n!)
Значение
1! 1
2! 2
3! 6
4! 24
5! 120
6! 720
7! 5040
8! 40320
9! 362880
10! 3628800
11! 39916800
12! 479001600
13! 6227020800
14! 87178291200
15! 1307674368000
16! 20922789888000
17! 355687428096000
18! 6402373705728000
19! 121645100408832000
20! 2432902008176640000

microexcel.ru

2. Факториалы чисел от 21 до 100

Факториал – это быстрорастущая функция, и начиная с определенного n значения достаточно велики. Поэтому в математических вычислениях удобнее пользоваться приближенными значениями для больших чисел.

Факториал числа n
(n!)
Приближенное значение
21! 5,10909 ⋅ 1019
22! 1,124 ⋅ 1021
23! 2,5852 ⋅ 1022
24! 6,20448 ⋅ 1023
25! 1,55112 ⋅ 1025
26! 4,03291 ⋅ 1026
27! 1,08889 ⋅ 1028
28! 3,04888 ⋅ 1029
29! 8,84176 ⋅ 1030
30! 2,65253 ⋅ 1032
31! 8,22284 ⋅ 1033
32! 2,63131 ⋅ 1035
33! 8,68332 ⋅ 1036
34! 2,95233 ⋅ 1038
35! 1,03331 ⋅ 1040
36! 3,71993 ⋅ 1041
37! 1,37638 ⋅ 1043
38! 5,23023 ⋅ 1044
39! 2,03979 ⋅ 1046
40! 8,15915 ⋅ 1047
41! 3,34525 ⋅ 1049
42! 1,40501 ⋅ 1051
43! 6,04153 ⋅ 1052
44! 2,65827 ⋅ 1054
45! 1,19622 ⋅ 1056
46! 5,50262 ⋅ 1057
47! 2,58623 ⋅ 1059
48! 1,24139 ⋅ 1061
49! 6,08282 ⋅ 1062
50! 3,04141 ⋅ 1064
51! 1,55112 ⋅ 1066
52! 8,06582 ⋅ 1067
53! 4,27488 ⋅ 1069
54! 2,30844 ⋅ 1071
55! 1,26964 ⋅ 1073
56! 7,10999 ⋅ 1074
57! 4,05269 ⋅ 1076
58! 2,35056 ⋅ 1078
59! 1,38683 ⋅ 1080
60! 8,32099 ⋅ 1081
61! 5,0758 ⋅ 1083
62! 3,147 ⋅ 1085
63! 1,98261 ⋅ 1087
64! 1,26887 ⋅ 1089
65! 8,24765 ⋅ 1090
66! 5,44345 ⋅ 1092
67! 3,64711 ⋅ 1094
68! 2,48004 ⋅ 1096
69! 1,71122 ⋅ 1098
70! 1,1979 ⋅ 10100
71! 8,5048 ⋅ 10101
72! 6,1234 ⋅ 10103
73! 4,4701 ⋅ 10105
74! 3,3079 ⋅ 10107
75! 2,4809 ⋅ 10109
76! 1,8855 ⋅ 10111
77! 1,4518 ⋅ 10113
78! 1,1324 ⋅ 10115
79! 8,9462 ⋅ 10116
80! 7,1569 ⋅ 10118
81! 5,7971 ⋅ 10120
82! 4,7536 ⋅ 10122
83! 3,9455 ⋅ 10124
84! 3,3142 ⋅ 10126
85! 2,8171 ⋅ 10128
86! 2,4227 ⋅ 10130
87! 2,1078 ⋅ 10132
88! 1,8548 ⋅ 10134
89! 1,6508 ⋅ 10136
90! 1,4857 ⋅ 10138
91! 1,352 ⋅ 10140
92! 1,2438 ⋅ 10142
93! 1,1568 ⋅ 10144
94! 1,0874 ⋅ 10146
95! 1,033 ⋅ 10148
96! 9,9168 ⋅ 10149
97! 9,6193 ⋅ 10151
98! 9,4269 ⋅ 10153
99! 9,3326 ⋅ 10155
100! 9,3326 ⋅ 10157

microexcel.ru

Факториал Суперфакториалы гиперфакториал примориал кратко Д...

Привет, сегодня поговорим про факториал, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое факториал, суперфакториал, гиперфакториал,примориал , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика.

факториал числа n (лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральныхчисел от 1 до n включительно:

Например:

.

По договоренности: . Также это равенство выполняется естественным образом:

Факториал определен только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800, 39 916 800, 479 001 600, 6 227 020 800, 87 178 291 200, 1 307 674 368 000, 20 922 789 888 000, 355 687 428 096 000, 6 402 373 705 728 000, 121 645 100 408 832 000, 2 432 902 008 176 640 000, …[1]

Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растет быстрее, чем многочлен любой степени , и быстрее, чем экспоненциальная функция (но медленнее, чем двойная экспоненциальная функция ).

Содержание

  • История факториала
  • 1 Свойства факториала
    • 1.1 Рекуррентная формула
    • 1.2 Комбинаторная интерпретация
    • 1.3 Связь с гамма-функцией
    • 1.4 Формула Стирлинга
    • 1.5 Разложение на простые числа
    • 1.6 Связь с производной от степенной функции
    • 1.7 Другие свойства
  • 2 Обобщения
    • 2.1 Двойной факториал
    • 2.2 Кратный факториал
    • 2.3 Неполный факториал
      • 2.3.1 Убывающий факториал
      • 2.3.2 Возрастающий факториал
    • 2.4 Праймориал или примориал
    • 2.5 суперфакториал ы
    • 2.6 Субфакториал

История факториала

Факториалы использовались для подсчета перестановок, по крайней мере, еще в 12 веке индийскими учеными. [2] В 1677 году Фабиан Стедман описал факториалы применительно к смене звонков (сигналов вызова) , музыкальному искусству, включающему звон многих настроенных колоколов. После описания рекурсивного подхода Стедман дает утверждение факториала (используя язык оригинала):

Теперь природа этих методов такова, что изменения на одном числе охватывают [включают] изменения на всех меньших числах ... настолько, что полный Пил(звон) изменений на одном числе, по-видимому, формируется путем объединения завершенных Пилсов(серии звонков) на всех меньшие числа в одно целое тело.

Обозначения п ! был введен французским математиком Кристианом Крампом в 1808 году. [

Свойства факториала

Рекуррентная формула

Комбинаторная интерпретация

В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки :


ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Комбинаторная интерпретация факториала служит обоснованием тождества 0! = 1, так как пустое множество упорядочено единственным способом.

Связь с гамма-функцией

Амплитуда и фаза факториала комплексного аргумента.

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.

Путем аналитического продолжения ее также расширяют и на всю комплексную плоскость , исключаяособые точки при .

Пи-функция, определенная для всех вещественных чисел, кроме отрицательных целых, и совпадающая при натуральных значениях аргумента с факториалом.

Более непосредственным обобщением факториала на множество вещественных (и комплексных) чисел является пи-функция, определяемая как

.

Поскольку то пи-функция натурального числа совпадает с его факториалом: Как факториал, пи-функция удовлетворяет рекурсивному соотношению

Формула Стирлинга

Формула Стирлинга

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

см . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . O-большое[2].

Во многих случаях для приближенного значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

При этом можно утверждать, что

Формула Стирлинга позволяет получить приближенные значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Так, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что

  • 100! ≈ 9,33×10157;
  • 1000! ≈ 4,02×102567;
  • 10 000! ≈ 2,85×1035 659.

Разложение на простые числа

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени

Таким образом,

где произведение берется по всем простым числам. Нетрудно видеть, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, а потому произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.

Связь с производной от степенной функции

Для целого неотрицательного числа n:

Например:

Другие свойства

  • Для натурального числа n:

Обобщения

Двойной факториал

Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же четность, что и n.

  • Для нечетного n:

Связь между двойными факториалами двух соседних целых неотрицательных чисел и обычным факториалом одного из них.

  • Для нечетного n:

Выведение формул

Осуществив замену для четного n и для нечетного n соответственно, где — целое неотрицательное число, получим:

  • для четного числа:

  • для нечетного числа:

По договоренности: . Также это равенство выполняется естественным образом:

Двойной факториал, также как и обычный факториал, определен только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность значений n!! начинается так:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10 395, 46 080, 135 135, 645 120, 2 027 025, 10 321 920, 34 459 425, 185 794 560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 754 393 600, …[3].

Кратный факториал[править ]

m-кратный факториал числа n обозначается и определяется следующим образом. Пусть число n представимо в виде где Тогда[4]

Обычный и двойной факториалы являются частными случаями m-кратного факториала для m = 1 и m = 2 соответственно.

Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением[5]:

Неполный факториал[править ]

Убывающий факториал[править ]

Убывающим факториалом называется выражение

.

Например:

n = 7; k = 4,

(nk) + 1 = 4,

3k = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.

Убывающий факториал дает число размещений из n по k.

Возрастающий факториал[править ]

Возрастающим факториалом называется выражение

Праймориал или примориал[править ]

Сюда перенаправляется запрос «Праймориал». На эту тему нужна отдельная статья.

Праймориал или примориал (англ. primorial) числа n обозначается pn# и определяется как произведение n первых простых чисел. Например,

.

Иногда праймориалом называют число , определяемое как произведение всех простых чисел, не превышающих заданное n.

Последовательность праймориалов (включая ) начинается так:

1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 410, 32 589 158 477 190 044 730, 1 922 760 350 154 212 639 070, …[6].

Суперфакториалы[править ]

Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырех равен

(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

В общем

Последовательность суперфакториалов чисел начинается так: 1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, …[7].

Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториал ам (англ. Superduperfactorial), которые являются произведением первых nсуперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел начинается так:

1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 745 453 331 864 786 829 312 000 000, 3 769 447 945 987 085 350 501 386 572 267 520 000 000 000, 6 916 686 207 999 802 072 984 424 331 678 589 933 649 915 805 696 000 000 000 000 000 …[8].

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или m-уровневый факториал числа n, как произведение первых n (m−1)-уровневых факториалов, то есть

где для и

Субфакториал

Субфакториал !n определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок n-элементного множества без неподвижных точек.

Субфакториал числа n (обозначение: !n) определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок порядка n без неподвижных точек. Название субфакториал происходит из аналогии с факториалом, определяющим общее количество перестановок.

В частности, !n есть число способов положить n писем в n конвертов (по одному в каждый), чтобы ни одно не попало в соответствующий конверт (так называемая Задача о письмах).

«Примеры реализации функции факториал»

  • Факторион — натуральное число, которое равно сумме факториалов своих цифр.

Список факторионов

Примечания

  1. последовательность A000142 в OEIS
  2. Коэффициенты этого разложения дают последовательность A001163 в OEIS (числители) и последовательность A001164 в OEIS(знаменатели)
  3. последовательность A006882 в OEIS
  4. «Энциклопедия для детей» Аванта+. Математика .
  5. последовательность A002110 в OEIS
  6. последовательность A000178 в OEIS
  7. последовательность A055462 в OEIS

Понравилась статья про факториал? Откомментируйте её Надеюсь, что теперь ты понял что такое факториал, суперфакториал, гиперфакториал,примориал и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика.

Делимые факториалы / Хабр

Недавно я был совершенно сбит с толку этим твитом «Библиотеки Ферма»:


«Вот что получится, если в факториале не умножать, а делить.»

Когда я увидел его, мне пришлось бросить свои дела, схватить блокнот и проверить формулу. Результат в черновом виде казался логичным. Так как мультипликативная версия при увеличении стремится к бесконечности, то «делительная» версия должна стремиться к нулю. И ведёт себя именно так; полиномиальная функция растёт медленнее, чем степенная функция для достаточно больших :

Но почему результат деления принимает именно вид

? Откуда берётся

?


Чтобы ответить на этот вопрос, мне пришлось разбередить старую травму, связанную с изучением деления дробей, но я справился с болью. Двигаясь по формуле из твита слева направо, мы сначала получаем

. Затем, поделив эту величину на

, получаем

Продолжая таким образом, мы в результате приходим к:

Чтобы прийти к показанному в твите результату

, мы просто умножим числитель и знаменатель на

. (Хотя на мой вкус, выражение

более понятно.)


Я официально признанный фанат факториалов. Оставьте при себе свои последовательности Фибоначчи;

вот

моя любимая функция. Каждый раз, когда я изучаю новый язык программирования, моим первым упражнением становится написание нескольких процедур для вычисления факториалов. За многие годы я придумал несколько вариаций этой темы, например, замену в определении

на

(что даёт нам треугольные числа). Но кажется, что раньше я никогда не задумывался о замене

на

. Получается странно. Так как умножение коммутативно и ассоциативно, мы можем определить

просто как произведение всех целых чисел от

до

, не беспокоясь о порядке операций. Но при делении порядок игнорировать не получится. В общем случае,

и

.

В твите «Библиотеки Ферма» делители поставлены в порядке по убыванию: . Очевиднее всего будет заменить это на порядок по возрастанию: . Что произойдёт, если мы зададим факториал деления как ? Ещё один возврат к школьному алгоритму деления дробей даёт нам простой ответ:

Другими словами, когда мы многократно выполняем деление, выполняя подсчёт от

до

, окончательный результат будет равен величине, обратной

. (Мне хотелось бы поставить в конце этого предложения восклицательный знак, но увы!) Если вы ищете канонический ответ на вопрос «Что мы получим при делении вместо умножения в

?», то я бы заявил, что

— лучший кандидат, чем

. Почему бы нам не принять симметрию между

и обратной ему величиной?

Разумеется, есть множество других способов размещения n целочисленных значений во множестве . Но сколько именно? Как оказалось, ровно ! Поэтому, может показаться, что есть уникальных способов задания делительной функции . Однако, изучение ответов двух показанных выше перестановок даёт нам понять, что здесь работает более простой паттерн. Какой бы элемент последовательности не появился первым, он оказывается в числителе большой дроби, а знаменателем оказывается произведение всех других элементов. Поэтому в итоге остаётся всего различных результатов (если предположить, что мы всегда выполняем операции деления строго слева направо). Для любого целочисленного в интервале от до , поставив в начало очереди, мы создаём делительное , равное , поделённому на все другие коэффициенты. Можно записать это следующим образом:

И таким образом мы решили небольшую загадку о том, как в этом твите

превратилось в

.

Стоит заметить, что все эти функции сходятся к нулю при стремлении

к бесконечности. С асимптотической точки зрения,

идентичны.


Та-да! Миссия выполнена. Задача решена. Дело сделано. Теперь мы знаем всё, что нам нужно, о делительных факториалах, верно?

Ну, возможно, есть ещё один вопрос. Что скажет компьютер? Если взять наш любимый алгоритм факториала, и сделать то, что предлагается в твите, заменив все вхождения оператора (или *) на /, то что случится? Какие из вариантов делительного выдаст нам программа?

Вот мой любимый алгоритм для вычисления факториалов в виде программы на Julia:

function mul!(n)
    if n == 1
        return 1
    else
        return n * mul!(n - 1)
    end
end

Этот алгоритм познакомил целые поколения нердов с концепцией рекурсии. В текстовом виде он гласит: если

равно

, то

равно

. В противном случае нужно вычислить функцию

, а затем умножить результат на

.

Вы можете спросить, что произойдёт, если будет равным нулю или отрицательным. Спросить вы можете, но лучше не надо. Для наших текущих целей .

Начав с любого положительного , последовательность рекурсивных вызовов рано или поздно опустится к .

Функцию можно записать более лаконично с помощью однострочного стиля определений Julia:

mul!(n)  =  n == 1 ? 1 : n * mul!(n - 1)

Правая часть оператора присваивания — это условное выражение, или тернарный оператор, имеющий вид

a ? b : c

. Здесь

a

— булево условие теста, которое должно вернуть значение или

true

, или

false

. Если

a

равно

true

, то вычисляется выражение

b

, а результат становится значением всего выражения. В противном случае вычисляется

c

.

Просто чтобы убедиться, что я сделал всё верно, вот первые 10 факториалов, вычисленных этой программой:

[mul!(n) for n in 1:10]
10-element Array{Int64,1}:
       1
       2
       6
      24
     120
     720
    5040
   40320
  362880
 3628800

Теперь давайте изменим это определение и преобразуем единственное вхождение

*

в

/

, оставив всё остальное неизменным (за исключением названия функции).

div!(n)  =  n == 1 ? 1 : n / div!(n - 1)

И вот что вернёт программа, если мы запустим её для значений

от

до

:

[div!(n) for n in 1:20]
20-element Array{Real,1}:
 1                 
 2.0               
 1.5               
 2.6666666666666665
 1.875             
 3.2               
 2.1875            
 3.657142857142857 
 2.4609375         
 4.063492063492063 
 2.70703125        
 4.432900432900433 
 2.9326171875      
 4.773892773892774 
 3.14208984375     
 5.092152292152292 
 3.338470458984375 
 5.391690662278897 
 3.523941040039063 
 5.675463855030418

Что? Это точно не походит на схождение к нулю, как и на

или

. На самом деле значения так не выглядят, потому что и не собираются сходиться. Судя по показанному ниже графику, последовательность состоит из двух перемежающихся компонентов, каждый из которых, похоже, медленно растёт в сторону бесконечности, а также отклоняется от другого.

Разбираясь с тем, что же мы здесь наблюдаем, полезно будет изменить тип выходных данных функции

div!

. Вместо использования оператора деления

/

, который возвращает значение как число с плавающей запятой, мы можем заменить его оператором

//

, возвращающим точное рациональное значение, округлённое до младшего члена.

div!(n)  =  n == 1 ? 1 : n // div!(n - 1)

Вот последовательность значений для

n в интервале 1:20

:

20-element Array{Real,1}:
       1      
      2//1    
      3//2    
      8//3    
     15//8    
     16//5    
     35//16   
    128//35   
    315//128  
    256//63   
    693//256  
   1024//231  
   3003//1024 
   2048//429  
   6435//2048 
  32768//6435 
 109395//32768
  65536//12155
 230945//65536
 262144//46189

В списке полно любопытных паттернов. Это двойная спираль, в которой чётные и нечётные числа зигзагами перемещаются в комплементарных нитях. Чётные числа не просто чётные, все они являются степенями

. Кроме того, они появляются в парах — сначала в числителе, затем в знаменателе — и их последовательность неубывающая. Но существуют пробелы; присутствуют не все степени

. Нечётная нить выглядит ещё более сложной, в числах появляются и исчезают разные небольшие простые коэффициенты. (Простые числа

должны

быть малыми, как минимум, меньше

.)

Этот результат удивил меня. Я ожидал увидеть гораздо более смирную последовательность, наподобие тех, которые я вычислял на бумаге. Все эти изломанные скачки вверх и вниз не имели никакого смысла. Как не имел смысла и общий тренд к неограниченному росту соотношения. Как мы можем постоянно делить, получая при этом всё бОльшие и бОльшие числа?

На этом этапе можете приостановить чтение и попытаться придумать собственную теорию о том, откуда взялись эти зигзагообразные числа. Если вам нужна подсказка, то у вас она есть, и очень сильная, почти спойлер: поищите последовательность числителей или последовательность знаменателей в «Онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей».


Вот ещё одна подсказка. Небольшое изменение в программе

div!

полностью преобразует выходные данные. Просто изменим последнее выражение, заменив

n // div!(n - 1)

на

div!(n - 1) // n

.

div!(n)  =  n == 1 ? 1 : div!(n - 1) // n

Теперь результаты выглядят вот так:

10-element Array{Real,1}:
  1                    
 1//2                  
 1//6                  
 1//24                 
 1//120                
 1//720                
 1//5040               
 1//40320              
 1//362880             
 1//3628800

Это обратная функция факториала, которую мы уже видели, ряд значений, сгенерированные при обходе слева направо по возрастающей последовательности делителей

.

Неудивительно, что изменение последнего выражения в процедуре менят результат. В конце концов, мы знаем, что деление не коммутативно и не ассоциативно. Но сложно понять, почему последовательность сгенерированных исходной программой значений даёт такую странную зигзагообразную форму. Какой механизм порождает такие парные степени двойки и попеременные нечётные и чётные значения?

Я обнаружил, что объяснить происходящее в зигзагообразной последовательности проще на итеративной версии процедуры, а не на рекурсивной. (Это заявление может показаться досадным тем, кто считает рекурсивные определения более простыми, но так уж получилось.) Вот как выглядит программа:

function div!_iter(n)
    q = 1
    for i in 1:n
        q = i // q
    end
    return q
end

Я заявляю, что эта процедура с циклом по функционалу идентична рекурсивной функции, в том смысле, что если

div!(n)

и

div!_iter(n)

возвращают результат для какого-то положительного целого

n

, то он всегда будет одинаковым. Вот моё доказательство:

[div!(n) for n in 1:20]    [div!_iter(n) for n in 1:20]
            1                         1//1    
           2//1                       2//1    
           3//2                       3//2    
           8//3                       8//3    
          15//8                      15//8    
          16//5                      16//5    
          35//16                     35//16   
         128//35                    128//35   
         315//128                   315//128  
         256//63                    256//63   
         693//256                   693//256  
        1024//231                  1024//231  
        3003//1024                 3003//1024 
        2048//429                  2048//429  
        6435//2048                 6435//2048 
       32768//6435                32768//6435 
      109395//32768              109395//32768
       65536//12155               65536//12155
      230945//65536              230945//65536
      262144//46189              262144//46189

Чтобы понять процесс, порождающий эти числа, рассмотрим последовательные значения переменных

и

при каждом выполнении цикла. Изначально

и

равны

; поэтому после первого прохода цикла выражение

q = i // q

даёт

значение

. Затем

, а

, то есть новое значение

равно

. При третьей итерации

, а

, что даёт нам

. Если это всё ещё сбивает вас с толку, то представьте

как

. Важным наблюдением здесь является то, что при каждом обходе цикла

получает обратное значение, становясь

.

Если развернуть эти операции и посмотреть на умножения и деления, входящие в каждый элемент ряда, то возникает паттерн:

В общем виде:



Функции

для нечётного

и

для чётного

имеют собственное название! Они называются двойными факториалами, и записываются как

.

Ужасная терминология, правда? Лучше бы их назвали «полуфакториалами». И если бы я этого не знал, то прочитал бы как «факториал факториала».

Двойной факториал n определяется как произведение n и всех меньших положительных целых чисел той же чётности. Таким образом, наша любопытная последовательность зигзагообразных значений — это просто .

В статье 2012 года Генри У. Гулда и Джослин Куэнтенс (увы, находящаяся за paywall) исследуются применения двойных факториалов. Они встречаются гораздо чаще, чем можно подумать. В середине 17-го века Джон Валлис вывел следующее тождество:

Ещё более странный ряд с участием куба значений двойных факториалов суммируется в

. Его обнаружил не кто иной, как Сриниваса Рамануджан.

Гулд и Киэнтенс также рассматривали эквивалент двойного факториала для биномиальных коэффициентов. Стандартный биномиальный коэффициент определяется как:

Двойная версия выглядит так:

Заметьте, что наши зигзагообразные числа соответствуют этому описанию, а потому могут считаться биномиальными коэффициентами двойных факториалов. Говоря конкретнее, они являются такими числами:

Обычный бином

не очень интересен; он просто равен

. Но двойная версия

, как мы видели, танцует более оживлённый танец. И в отличие от обычного бинома она не всегда бывает целочисленной. (Единственные целые значения — это

и

.)

Взгляд на зигзагообразные числа как на частное двойных факториалов объясняет довольно многие их свойства, начиная с попеременных чётных и нечётных значений. Также мы можем увидеть, почему все чётные числа в последовательности являются степенями 2. Рассмотрим пример с . Числитель этой дроби — это , получающий от множитель . Но знаменатель равен . Тройки сверху и снизу сокращаются, оставляя нам . Такие сокращения происходят в каждом из случаев. Каждый раз, когда в последовательности чётных чисел появляется нечётный множитель , он обязательно имеет вид , но к этому времени само уже должно появиться в последовательности нечётных чисел.


Является ли последовательность зигзагообразных чисел разумным ответом на вопрос: «Что произойдёт, если мы будем делить, а не умножать в

?» Или генерирующая их компьютерная программа просто оказалась ошибочным алгоритмом? По моему личному мнению,

— более интуитивный ответ, зато

— более интересный.

Более того, само существование зигзагообразной последовательности расширяет наши горизонты. Как сказано выше, если вы настаиваете, что алгоритм деления всегда должен по порядку проходить по списку числителей , на каждом шаге деля число слева на число справа, то имеется всего возможных результатов, и все они выглядят очень похожими. Но зигзагообразное решение обеспечивает намного более широкие возможности. Мы можем сформулировать задачу следующим образом: возьмём множество числителей , выберем его подмножество и обратим все элементы этого подмножества; теперь перемножим все числители, как обратные, так и прямые. Если обращённое подмножество пусто, то результатом будет обычный факториал . Если все числители превратились в обратные им значения, то мы получаем обратный . А если обращён каждый второй числитель, начиная с , то результатом будет элемент зигзагообразной последовательности.

Это только некоторые из множества возможных вариантов; в сумме здесь есть подмножеств из элементов. Например, можно брать обратные значения каждого числа, являющегося простым или степенью простого числа . При малых результаты скачут, но постоянно остаются меньше, чем :

Однако если бы я продолжил этот график для бОльших

, он бы взлетел в стратосферу. Степени простых чисел становятся очень разреженными на числовой прямой.


Теперь я задам вопрос. Мы видели вариации факториалов, приближающиеся к нулю при стремлении

к бесконечности, например

. Мы видели другие вариации, растущие при увеличении

безгранично, в том числе сам

и зигзагообразные числа. Существуют ли какие-то разновидности процесса факториалов, сходящиеся к какой-то конечной границе, не являющейся нулём?

В первую очередь мне пришёл в голову такой алгоритм:

function greedy_balance(n)
    q = 1
    while n > 0
        q = q > 1 ? q /= n : q *= n
        n -= 1
    end
    return q
end

Мы циклически перебираем целые значения от

вниз до

, вычисляя в процессе текущее произведение/частное

. На каждом шаге, если текущее значение

больше

, мы делим его на следующий числитель, в противном случае, выполняем умножение. Эта схема реализует своего рода управление обратной связью или поведение поиска цели. Если

становится слишком большим, мы уменьшаем его; если слишком маленьким, мы увеличиваем его. Я предположил, что при стремлении

к бесконечности,

будет сходиться к постоянно сужающемуся интервалу значений рядом с

.

Но эксперимент подкинул мне ещё один сюрприз:

Такая пилообразная волна — не совсем то, чего я ожидал. Любопытно, что кривая не симметрична около

; отклонения сверху имеют бОльшую амплитуду, чем снизу. Но это искажение больше визуальное, чем математическое. Так как

является частным, расстояние от

до

такое же, как расстояние от

до

, но в линейном масштабе таким не выглядит. Исправить это можно, составив логарифмический график частного:

Теперь график симметричен, или хотя бы приблизительно таков, и центрирован относительно значения

, которое является логарифмом

. Но остаётся более серьёзная тайна. Пилообразная волна очень регулярна и имеет период

, при этом не показывает признаков сжатия по направлению к ожидаемому ограничивающему значению

. Численные значения предполагают, что при стремлении

к бесконечности пики кривой сходятся к значению чуть выше

, а минимумы приближаются к значению чуть ниже

. (Соответствующие логарифмы по основанию

примерно равны

). Мне не удалось разобраться, почему так происходит. Возможно, кто-то сможем объяснить.

Неудача с этим жадным алгоритмом не означает, что мы не сможем делительный факториал, сходящийся к .

Если мы будем работать с логарифмами числителей, то эта процедура становится случаем хорошо известной вычислительной задачи под названием «задача разбиения множества чисел». Нам даётся множество вещественных чисел, и мы должны разделить их на два множества, сумма которых равна, или как можно ближе к равенству. Это подтверждённо сложная задача, но её также называют (PDF) «простейшей сложной задачей».

Для любого мы можем обнаружить, что при использовании обратных значений какого-то другого подмножества числителей даёт нам лучшее приближение к . Для малых мы можем решить эту задачу способом перебора: просто рассмотреть все подмножеств и выбрать самое лучшее.

Я вычислил оптимальные разбиения вплоть до , когда выбирать нужно из миллиарда вариантов.

Очевидно, что график становится всё более плоским. Можно использовать тот же метод для принудительного схождения к любому другому значению в интервале от

до

.

И таким образом мы получаем ещё один ответ на вопрос, заданный твитом и начавший наше путешествие. Что произойдёт, если мы будем делить, а не умножать в ? Всё, что нам угодно.

Факториал. Теория соединений. Бином Ньютона.

Бином Ньютона – это название формулы, которая позволяет выписывать разложение алгебраической суммы двух слагаемых произвольной степени. Впервые данная формула была предложена Исааком Ньютоном в 1664-1665 годах.

Давайте подробнее рассмотрим содержание формулы.

Коэффициенты данной формулы в математике называются биномиальными коэффициентами. Если n является целым положительным числом, то все коэффициенты превращаются в ноль, при любом r>n. Именно поэтому разложение содержит исключительно конечное число членов. Во всех остальных случаях (если n – неположительное или нецелое число), разложение содержит бесконечное число членов и представляет собой своеобразный биноминальный (бесконечный) ряд. Что касается условий сходимости биноминального ряда, то впервые они были установлены еще в начале 19 века математиком Н. Абелем. Если n – целое положительное число, то биноминальный коэффициент в формуле бинома будет числом комбинаций из n по r. Если значения n невелики, то коэффициенты можно найти с помощью треугольника Паскаля. В данном треугольнике каждое из чисел равняется сумме соседних чисел, что стоят выше, однако стоит отметить, что это не касается единиц. Для заданного n соответствующая строка треугольник паскаля (n-ая строка), будет давать по порядку коэффициенты биноминального разложения n-й степени. В этом совсем нетрудно убедиться, если, например, n=3 или n=2.

Как видите, бином Ньютона совсем не такой страшный, как кажется в начале, если взглянуть на формулу.

Например: 10!

Факториал. Теория соединений. Бином Ньютона

Определение факториала
1 * 2 * 3 * ... * n = n!
Основное свойство факториала
n! = n * (n - 1)!
Формула Стирлинга (факториалы больших чисел)
n! ≈ (n
e
)n
 
2πn (1 +   1  
12n
+      1     
         2
288n
+ ... )
ln(n!) ≈ (n + 1
2
)ln(n) - n + ln

Теории соединений
Размещения из n по m элементов - соединения, отличающиеся самими элементами или их порядком
Am
n
=      n!     
(n - m)!
= n(n - 1)(n - 2) ... (n - m + 1)
Перестановки - соединения, отличающиеся только порядком элементов
P 
n
= n! = 1 * 2 * 3 * ... * n
P 
n
= An
n
;      0! = 1
Сочетания из n по m элементов - соединения, отличающиеся только самими элементами
Сm
n
=        n!       
m!(n - m)!
= Am
n
= n(n - 1)(n - 2) ... (n - m + 1)
1 * 2 * 3 * ... * m
P 
m
Свойства сочетаний
Cm + 1
n + 1
= Cm
n
+ Cm + 1
n
C0
n
+ C1
n
+ C2
n
+ ... + Cn - 1
n
+ Cn
n
= 2n
 

Бином Ньютона
(a + b)n
 
= an
 
+ C1
n
an - 1
 
b + C2
n
an - 2
 
b2
 
+ ... + Ck
n
an - k
 
bk
 
+ ... + bn
 
C1
n
= n;    C2
n
= n(n - 1)
2
;    Ck
n
=      n!     
(n - k)!k!

Математика. Комбинаторика. Факториал. Свойства факториала. Примеры + решения.

Факториал числа – математическое понятие, применимое только для целых неотрицательных чисел. Эта величина представляет собой произведение всех натуральных числе от 1 до основания факториала. Понятие находит применение в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.  

Факториал натурального числа n – это произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.

Обозначается вот так: n! То есть, 

 

      Например,

   

Свойства факториала

        Рассмотрим не очень понятное с точки зрения определения факториала выражение 0! Так уж в математике договорились, что

        Да-да! Такое вот интересное равенство. Что от единицы, что от нуля факториал один и тот же – единичка.)) Пока примем это равенство за догму, а вот почему это именно так, будет ясно чуть позже, на примерах.))

        Следующие два очень похожих свойства:

        Доказываются они элементарно. Прямо по смыслу факториала.)

        Эти две формулки позволяют, во-первых, легко считать факториал текущего натурального числа через факториал предыдущего числа. Или следующего через текущий.) Такие формулы в математике называются рекуррентными.

        Во-вторых, с помощью этих формул можно упрощать и считать некоторые хитрые выражения с факториалами. Типа таких.

        Вычислить:

        Как действовать будем? Последовательно перемножать все натуральные числа от 1 до 1999 и от 1 до 2000? Это одуреешь! А вот по свойствам пример решается буквально в одну строчку:

        Или так:

        Или такое задание. Упростить:

        Снова работаем прямо по свойствам:

        Зачем нужны факториалы и откуда они появились? Ну, зачем нужны – вопрос философский. В математике просто так, чисто для красоты, ничего не бывает.)) На самом деле приложений у факториала великое множество. Это и бином Ньютона, и теория вероятностей, и ряды, и формула Тейлора, и даже знаменитое число e, которое представляет собой вот такую интересную бесконечную сумму:

        Чем больше задаётся n, тем большее число слагаемых в сумме и тем ближе будет эта сумма к числу e. А в пределе при  она станет равна в точности числу e.

Блестящая вики по математике и науке

Для любого неотрицательного целого n, n, n находим, что

n! N !! = (n − 1) !! или n! = (n − 1) !! × n !!. \ begin {array} {c} & \ dfrac {n!} {n !!} = (n-1) !! & \ text {или} & n! = (n-1) !! × n !!. \ end {array} n !! n! = (n − 1) !! или n! = (n − 1) !! × n !!.

Возможны следующие 2 случая:

  • Случай 1: nnn - это нечетное . Тогда у нас есть n! n !! = n × (n − 1) × (n − 2) × ⋯ × 3 × 2 × 1n × (n − 2) × (n − 4) × ⋯ × 5 × 3 × 1. \ dfrac {n!} {n !!} = \ dfrac {n \ times (n-1) \ times (n-2) \ times \ cdots \ times3 \ times2 \ times1} {n \ times (n-2) \ times (n-4) \ times \ cdots \ times 5 \ times3 \ times1}.n !! n! = n × (n - 2) × (n - 4) × ⋯ × 5 × 3 × 1n × (n - 1) × (n - 2) × ⋯ × 3 × 2 × 1. Поскольку все нечетные числа n, n − 2, n − 4,…, 5,3,1n, n-2, n-4, \ ldots, 5, 3, 1n, n − 2, n − 4,…, 5,3,1 отменяются, это уравнение эквивалентно n! n !! = (n − 1) !!. \ dfrac {n!} {n !!} = (n-1) !!. n !! n! = (n − 1) !!.

  • Случай 2: nnn - это даже . Тогда у нас есть n! n !! = n × (n − 1) × (n − 2) × ⋯ × 3 × 2 × 1n × (n − 2) × (n − 4) × ⋯ × 4 × 2. \ dfrac {n !} {n !!} = \ dfrac {n \ times (n-1) \ times (n-2) \ times \ cdots \ times3 \ times2 \ times1} {n \ times (n-2) \ times (n -4) \ times \ cdots \ times 4 \ times2}.n !! n! = n × (n - 2) × (n - 4) × ⋯ × 4 × 2n × (n - 1) × (n - 2) × ⋯ × 3 × 2 × 1. Поскольку все четные числа n, n − 2, n − 4,…, 4,2n, n-2, n-4, \ ldots, 4, 2n, n − 2, n − 4,…, 4,2 получают отменено, это уравнение эквивалентно n! n !! = (n − 1) !!. \ dfrac {n!} {n !!} = (n-1) !!. n !! n! = (n − 1) !!.

Теперь, если мы объединим оба случая, мы обнаружим, что для любое неотрицательное целое число n, n, n,

п! П !! = (п - 1) !!. □ \ dfrac {n!} {N !!} = (n-1) !!. \ _ \ Squaren !! n! = (N - 1) !!. □

Оцените 9! 9 !!. \ Frac {9!} {9 !!}.9 !! 9!.


Мы знаем, что n! N !! = (n − 1) !! \ frac {n!} {N !!} = (n-1) !! n !! n! = (N − 1)! !. Подставляя значения, получаем

9! 9 !! = (9−1) !! = 8 !! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384. □ \ begin {align} \ dfrac {9!} {9 !!} & = (9-1) !! \\ & = 8 !! \\ & = 8 × 6 × 4 × 2 \\ & = 384. \ _ \ Квадрат \ end {align} 9 !! 9! = (9−1) !! = 8 !! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384. □

Если 100 × 99 × 98 × 97 × ⋯ × 3 × 2 × 1100 × 99 \ frac {100 \ times 99 \ times 98 \ times 97 \ times \ cdots \ times 3 \ times 2 \ times 1} {100 \ times 99 } 100 × 99100 × 99 × 98 × 97 × ⋯ × 3 × 2 × 1 можно записать как x!, X!, X !, какое значение x? X? X?


У нас

100 × 99 × 98 × 97 × ⋯ × 3 × 2 × 1100 × 99 = 98 × 97 × 96 × 95 × ⋯ × 3 × 2 × 1 = 98 !.\ begin {выровнено} \ dfrac {100 \ times 99 \ times 98 \ times 97 \ times \ cdots \ times 3 \ times 2 \ times 1} {100 \ times 99} & = 98 \ times 97 \ times 96 \ times 95 \ times \ cdots \ times 3 \ times 2 \ times 1 \\ & = 98 !. \ end {align} 100 × 99100 × 99 × 98 × 97 × ⋯ × 3 × 2 × 1 = 98 × 97 × 96 × 95 × ⋯ × 3 × 2 × 1 = 98!

Итак, значение xxx равно 98.98.98. □ _ \ квадрат □

Отправьте свой ответ

Предположим, что n !! n !! n !! определяется следующим образом:

n !! = {n × (n − 2) × ⋯ × 5 × 3 × 1, если n нечетное; n × (n − 2) × ⋯ × 6 × 4 × 2, если n четное; 1, если n = 0, - 1.п !! = \ begin {case} n \ times (n-2) \ times \ cdots \ times 5 \ times 3 \ times 1 & \ text {if} n \ text {нечетное}; \\ n \ times (n-2) \ times \ cdots \ times 6 \ times 4 \ times 2 & \ text {if} n \ text {четно}; \\ 1 & \ text {if} n = 0, - 1. \\ \ end {cases} n !! = ⎩⎪⎨⎪⎧ n × (n − 2) × ⋯ × 5 × 3 × 1n × (n− 2) × ⋯ × 6 × 4 × 21, если n нечетно; если n четно; если n = 0, −1.

Тогда что такое

9! 6 !! ÷ 9 !! 6!? \ Color {# D61F06} {\ dfrac {9!} {6 !!}} \ div \ color {# 20A900} {\ dfrac {9 !!} {6 !}}? 6 !! 9! ÷ 6! 9 !!?

Для любого неотрицательного целого n, n, n находим, что

(2n + 1)! (2n) !! = (2n + 1) !!.\ dfrac {(2n + 1)!} {(2n) !!} = (2n + 1) !!. (2n) !! (2n + 1)! = (2n + 1) !!.

Здесь нет необходимости рассматривать два отдельных случая, потому что, является ли nnn четным или нечетным, не имеет значения.

Мы можем расширить выражение до

(2n + 1) × (2n) × (2n − 1) × ⋯ × 3 × 2 × 1 (2n) × (2n − 2) × (2n − 4) × ⋯ × 4 × 2. \ Dfrac {( 2n + 1) × (2n) × (2n-1) \ times \ cdots × 3 × 2 × 1} {(2n) × (2n-2) × (2n-4) \ times \ cdots \ times 4 × 2 }. (2n) × (2n − 2) × (2n − 4) × × 4 × 2 (2n + 1) × (2n) × (2n − 1) × ⋯ × 3 × 2 × 1.

Мы находим, что 2n, 2n − 2,2n − 4,…, 4,22n, 2n-2, 2n-4, \ ldots, 4, 22n, 2n − 2,2n − 4,…, 4,2 отменяются. (я.е. все четные числа отменяются), что приводит нас к следующему результату:

(2n + 1)! (2n) !! = (2n + 1) !!. □ \ dfrac {(2n + 1)!} {(2n) !!} = (2n + 1) !!. \ _ \ Square (2n) !! (2n + 1)! = (2n + 1)! !. □

Отправьте свой ответ

9! 8 !! ÷ 7! 6 !! =? \ Large {\ color {# 20A900} {\ dfrac {9!} {8 !!}}} \ div {\ color {# EC7300} {\ dfrac { 7!} {6 !!}}} = \,? 8 !! 9! ÷ 6 !! 7! =?

Замечание:

n !! = {n × (n − 2) × ⋯ × 5 × 3 × 1, если n нечетное; n × (n − 2) × ⋯ × 6 × 4 × 2, если n четное; 1, если n = 0, - 1.п !! = \ begin {case} n \ times (n-2) \ times \ cdots \ times 5 \ times 3 \ times 1 && \ text {if} n \ text {нечетно;} \\ n \ times (n-2) \ times \ cdots \ times 6 \ times 4 \ times 2 && \ text {if} n \ text {четное;} \\ 1 && \ text {if} n = 0, - 1. \\ \ end {cases} n !! = ⎩⎪⎨⎪⎧ n × (n − 2) × ⋯ × 5 × 3 × 1n × (n− 2) × ⋯ × 6 × 4 × 21, если n нечетно; если n четно; если n = 0, −1.


Попробуйте первую часть здесь!

Для любого неотрицательного целого n, n, n находим, что

(2n − 1)! (2n − 2) !! = (2n − 1) !!.\ dfrac {(2n-1)!} {(2n-2) !!} = (2n-1) !!. (2n − 2) !! (2n − 1)! = (2n − 1) !! .

Опять же, здесь нет необходимости рассматривать два отдельных случая.

Мы можем расширить выражение в LHS как

(2n − 1) × (2n − 2) × ··· × (2n − 3) × ⋯ × 3 × 2 × 1 (2n − 2) × (2n − 4) × ⋯ × 4 × 2. \ Dfrac {(2n -1) \ times (2n-2) \ times × (2n-3) \ times \ cdots \ times3 \ times2 \ times1} {(2n-2) \ times (2n-4) \ times \ cdots \ times 4 \ times2}. (2n − 2) × (2n − 4) × × 4 × 2 (2n − 1) × (2n − 2) × ··· × (2n − 3) × × 3 × 2 × 1.

Поскольку все четные числа 2n − 2,2n − 4,…, 4,22n-2, 2n-4, \ ldots, 4, 22n − 2,2n − 4,…, 4,2 сокращаются, это уравнение имеет вид эквивалент

(2n − 1)! (2n − 2) !! = (2n − 1) !!.□ \ dfrac {(2n-1)!} {(2n-2) !!} = (2n-1) !!. \ _ \ Square (2n − 2) !! (2n − 1)! = (2n −1) !!. □

Примечание: Не интерпретируйте n !! n !! n !! быть (п!)! (п!)! (п!) !. Они совершенно разные.

Оцените 9! 8 !! \ dfrac {9!} {8 !!} 8 !! 9!.


У нас

9! 8 !! = (2 × 5−1)! (2 × 5−2) !! = (2 × 5−1) !! = 9 !! = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945 . □ \ begin {align} \ dfrac {9! } {8 !!} = & \ dfrac {(2 \ умножить на 5 - 1)! } {(2 \ раз 5 - 2) !! } \\ = & (2 \ умножить на 5 - 1) !! \\ = & 9 !! \\ = & 9 \ раз 7 \ раз 5 \ раз 3 \ раз 1 \\ = & 945.\ _\квадрат \ end {align} 8 !! 9! ===== (2 × 5−2) !! (2 × 5−1)! (2 × 5−1) !! 9 !! 9 × 7 × 5 × 3 × 1945. □

Вычислите (3!)! 3 !! \ dfrac {(3!)!} {3 !!} 3 !! (3!)!.


У нас

(3!)! 3 !! = (3 × 2 × 1)! 3 × 1 = 6! 3 = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 13 = 7203 = 240. □ \ begin {align} \ dfrac {(3!)!} {3 !!} & = \ dfrac {(3 × 2 × 1)!} {3 × 1} \\ & = \ dfrac {6!} {3} \\ & = \ dfrac {6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1} {3} \\ & = \ dfrac {720} {3} \\ & = 240. \ _ \ Квадрат \ end {align} 3 !! (3!)! = 3 × 1 (3 × 2 × 1)! = 36! = 36 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3720 = 240 . □

Факториалы

Факториалы


Факториалы очень простые вещи.Это просто продукты, обозначенные восклицательным знаком. Например, «четырехфакториал» записывается как «4!» и означает 1234 = 24. В общем n ! ("энн факториал") означает произведение всех целых чисел. от 1 до n ; то есть n ! = 123 ... n .

(Для различных причин, 0! определяется равным 1, не 0.Запомните это сейчас: 0! = 1.)

Многие (большинство?) Калькуляторов может оценить факториалы для вас. Например, команда факториала доступно в меню "вероятность" на одном из моих калькуляторов:

Ищите "!" кнопку или обратитесь к руководству пользователя.

  • Упростить 12! Авторские права Элизабет Стапель 2004-2011 Все права защищены
  • 12! = 1234... О, черт возьми с этим. Где мой калькулятор ...?

      12! = 47

      00

Когда начинаешь делать комбинации, перестановок и вероятностей, вы будете упрощать выражения, которые имеют факториалы в числителях и знаменателях. Например:

  • Упростите следующее:

    Я могу сделать это в своем калькуляторе:


    Я также могу работать с определение факториала:

      В любом случае 6! 4! = 30

Обратите внимание, как мне удалось отмените кучу цифр в предыдущей задаче.Это потому что того, как определяются факториалы, и это свойство может упростить вашу работу много.

  • Упростите следующее:

    Сразу могу отменить от факторов 1 через 14 это будет общим для обоих 17! и 14 !. Тогда я могу упростить то, что осталось, чтобы получить:

Обратите внимание, как я сократил то, что я должен был написать, оставив пробел ("многоточие" или тройной период) в середине.Этот процесс отмены и пропуска станет удобен позже. (как в исчислении, где вы будете часто использовать эту технику), особенно когда вы имеете дело с выражениями, которые ваш калькулятор не может обработать. Например:

  • Упростите следующее:

    Мой калькулятор не умеет оценивать это для меня, поскольку я имею дело с переменными, а не числами. Больной придется упростить это вручную.Для этого я выпишу факториалы, используя достаточное количество факторов, чтобы получить то, что можно компенсировать. Мышление назад к "числам" задачи со словами, последовательные целые числа разделены на одну единицу, поэтому множители в произведении ( n + 2)! имеют вид:

    Вернувшись перечень факторов на " n 1 ", я создал список факторов, которые можно свести на нет:

Обратите внимание на то, как я обращался что отмена.Я достаточно расширил факториальные выражения, чтобы мог бы увидеть, где я мог бы отменить повторяющиеся факторы. Хотя у меня было понятия не имею, что н может быть, я все еще могу отменить. Сохраните эту технику в своем мозгу, потому что даже если он вам сейчас не нужен, вам почти наверняка понадобится это позже.


Для информации о поиске количество нулей в конце факториала (например, "Сколько нулей находятся в конце 23! после того, как вы умножите его? »), посмотрите на эту заметку.

Верх | Вернуться к индексу

Цитируйте эту статью как:

Стапель, Елизавета. "Факториалы". Purplemath . Доступно по номеру
https://www.purplemath.com/modules/factorial.htm . Дата обращения [Дата] [Месяц] 2016 г.

Упрощение факториалов с переменными - ChiliMath

В этом уроке мы узнаем, как упростить факторные выражения с переменными, находящимися в числителе и знаменателе.Мы хотим создать общие факторы в обоих местах, чтобы их можно было отменить. В конечном итоге это наша цель.

Ключ в том, чтобы сравнить факториалы и определить, какой из них больше по значению. Предположим, мы хотим сравнить факториалы \ left ({n + 3} \ right)! и \ left ({n + 1} \ right)! .

Легко видеть, что \ left ({n + 3} \ right)! > \ влево ({п + 1} \ вправо)! истинно для всех значений n, пока факториал определен, то есть содержимое внутри круглых скобок является целым числом, большим или равным нулю.

  • Это означает, что мы можем развернуть \ влево ({n + 3} \ вправо)! до этого момента выражение \ left ({n + 1} \ right)! появляется в последовательности.

Как насчет \ left ({n - 5} \ right)! и \ left ({n - 2} \ right)! ? На этот раз мы вычитаем переменную на какое-то число. Большее выражение - это выражение с меньшим вычитаемым значением или значение, вычитаемое из уменьшаемого. Следовательно, \ left ({n - 2} \ right)! > \ left ({n - 5} \ right)! .

  • Отсюда следует выражение \ left ({n - 2} \ right)! будет \ left ({n - 5} \ right)! в развернутом виде.

Что делать, если у них разные знаки?

Очевидно, что большее факториальное выражение - это выражение с операцией сложения.

Например, \ left ({n + 1} \ right)! > \ left ({n - 4} \ right)! .

  • Обратите внимание, мы можем развернуть \ влево ({n + 1} \ вправо)! включить \ left ({n - 4} \ right)! в последовательности.

Ключевые шаги по упрощению факториалов с использованием переменных

  1. Сравните факториалы в числителе и знаменателе.
  2. Разверните больший факториал так, чтобы он включал в последовательность меньшие факториалы.
  3. Сократите общие множители между числителем и знаменателем.
  4. Дальнейшее упрощение путем умножения или деления оставшихся выражений.

Давайте рассмотрим шесть (6) примеров с разным уровнем сложности.


Примеры упрощающих факториалов с переменными

Пример 1: Упростить

Поскольку факториальное выражение в числителе больше знаменателя, я могу частично расширить n! до выражения \ left ({n - 2} \ right)! показывает значение в знаменателе.Тогда я отменю общие факторы. Примените свойство распределения, чтобы получить окончательный ответ.


Пример 2: Упростить

Очевидно, знаменатель больше числителя, потому что 3 добавляется к «n» по сравнению с добавлением 1. Я оставлю числитель неизменным, расширяя знаменатель \ left ({n + 3} \ right)! до выражения \ left ({n + 1} \ right)! появляется в знаменателе. Что мы делаем, так это сопоставление общих факторов, чтобы мы могли их отменить.Умножьте два бинома в знаменателе, чтобы закончить.


Пример 3: Упростить

Числитель \ left ({k + 2} \ right)! можно разложить на множители, которые будут включать знаменатель \ left ({k - 1} \ right)! . Таким образом мы можем исключить повторяющиеся множители между числителем и знаменателем. Умножьте оставшиеся множители: два бинома и одночлен.


Пример 4: Упростить

Знаменатель - это большее факториальное выражение, поэтому я расширю его так, чтобы получить числитель.2} = \ left ({n!} \ Right) \ left ({n!} \ Right). В рамках нашей стратегии мы также можем разделить исходную задачу на две отдельные части. Это позволяет нам лучше видеть, что происходит. Выполните необходимые расширения и исключите общие факторы. Упростите, записав окончательный ответ в виде одной дроби.


Возможно, вас заинтересует:

Факториальная запись, формулы и основные примеры
Факториалы деления
Нулевые факториалы

Умножение и деление факториалов - математика для старших классов

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или больше ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса - изображению, ссылке, тексту и т. д. - относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Объяснитель уроков: Факториалы | Nagwa

В этом объяснителе мы узнаем, как найти факториал любого числа 𝑛, которое является произведение всех целых чисел, меньших или равных и больших или равных единице, и мы будем узнать, как находить факториалы для решения проблем.

При рассмотрении количества различных 4-значных чисел, которые мы можем образовать из цифр 3, 5, 7 и 9, мы находим, что всего имеется 4 × 3 × 2 × 1 различные возможные числа. В более общем плане, если мы хотим знать, сколькими способами мы можем переставить набора из 𝑛 элементов, мы находим, что их общее количество равно × (𝑛 − 1) × (𝑛 − 2) × ⋯ × 2 × 1. Этот расчет нахождения произведение всех положительных целых чисел, меньших или равных 𝑛, появляется достаточно регулярно в различных областях математики, чтобы математики имя: факториал 𝑛.

Определение: Факториал

Факториал положительного целого числа 𝑛 - это произведение всех положительных целые числа, меньшие или равные 𝑛. Мы используем обозначения 𝑛, который читается как 𝑛 факториал, в обозначим факториал. Следовательно, 𝑛 = 𝑛 × (𝑛 − 1) × (𝑛 − 2) × ⋯ × 2 × 1.

Мы определяем факториал нуля равным единице; то есть 0 = 1.

Из определения нетрудно видеть, что для любого целого 𝑛≥1, 𝑛 = 𝑛𝑛 − 1.

Во многих отношениях это ключевое свойство факториала, и, как мы увидим, оно будет применяется снова и снова для решения проблем, связанных с факториалами.

Попрактикуемся в вычислении факториала в нашем первом примере.

Пример 1: Поиск факториалов

Вычислить 4

Ответ

Напомним, что определение 𝑛 - это произведение всех положительные целые числа, меньшие или равные 𝑛, или эквивалентно 𝑛 = 𝑛 × (𝑛 − 1) × (𝑛 − 2) × ⋯ × 2 × 1.

Следовательно, 4 = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.

Есть два факториала, которые равны 1, это 0 и 1. Мы будем использовать это свойство факториалов для решения следующего примера.

Пример 2: Решение задач с использованием факториалов нуля

Найдите набор решений 𝑛 − 26 = 0.

Ответ

У нас может возникнуть соблазн рассуждать следующим образом: Поскольку 𝑛 − 26 = 0, 𝑛 − 26 = 0. Следовательно, 𝑛 = 26. К сожалению, это не та полный ответ. Вместо этого нам нужно помнить, что 0 = 1 и ноль - не единственное число, факториал которого равен единице. В частности, факториал единицы также равен единице: 1 = 1.Следовательно, чтобы решить 𝑛 − 26 = 0, мы должны рассмотреть в обоих случаях: где 𝑛 − 26 = 0 и где 𝑛 − 26 = 1. Следовательно, мы найти, что = 26 и 𝑛 = 27 оба возможны решения. Следовательно, набор решений равен {26, 27}.

В большинстве научных калькуляторов есть кнопка для вычисления факториала числа. В примеры, подобные приведенному выше, было бы вполне законно просто использовать калькулятор для оцените выражения. Однако, это не всегда возможно.Фактически факториалы становятся большой настолько быстро, что большинство калькуляторов не могут вычислить факториалы больших чисел чем 69. Однако это не значит, что мы не можем с ними работать. Вместо этого, используя свойства факториалов позволят нам решать проблемы, связанные с числами, которые слишком большой для наших калькуляторов.

В нашем следующем примере мы будем использовать свойства факториалов для оценки данного выражения, включающего факториалы.

Пример 3: Свойства факториалов

Без использования калькулятора вычислите выражение 210209-210.

Ответ

Используя следующее свойство факториала: 𝑛 = 𝑛𝑛 − 1, мы видим, что 210 (209) = 210

Следовательно, 210 (209) −210 = 210−210 = 0.

Мы также можем применить это свойство при работе с выражениями, включающими факториал неизвестный номер.

Давайте рассмотрим пример в этом направлении.

Пример 4: Упрощение выражений, включающих факториалы

Упростить 𝑛 + 2𝑛.

Ответ

Используя следующее свойство факториалов: 𝑟 = 𝑟𝑟 − 1,

, мы можем переписать 𝑛 + 2 = (𝑛 + 2) 𝑛 + 1.

Применяя то же свойство снова, мы можем написать 𝑛 + 2 = (𝑛 + 2) (𝑛 + 1) 𝑛.

Подставляя это в данное выражение, мы имеем 𝑛 + 2𝑛 = (𝑛 + 2) (𝑛 + 1) 𝑛𝑛.

Отбрасывая общие члены в числителе и знаменателе, получаем 𝑛 + 2𝑛 = (𝑛 + 2) (𝑛 + 1).

Давайте рассмотрим пример, в котором мы используем свойства факториалов для решения уравнения, включающего факториалы.

Пример 5: Использование свойств факториалов для решения задач

Найдите значение 𝑛, которое удовлетворяет уравнению 𝑛 + 48𝑛 + 47 = 65.

Ответ

Используя следующее свойство факториалов: 𝑟 = 𝑟𝑟 − 1, мы можем переписать 𝑛 + 48 = (𝑛 + 48) 𝑛 + 47.

Подставляя это в данное уравнение, мы имеем 6 = 𝑛 + 48𝑛 + 47 = (𝑛 + 48) 𝑛 + 47𝑛 + 47.

Отбрасывая общие множители в числителе и знаменателе, мы можем переписать это как 65 = 𝑛 + 48.

Перестановка дает 𝑛 = 17.

Давайте рассмотрим другой пример, в котором мы используем свойства факториалов для решения уравнения, включающего факториалы.

Пример 6: Решение факторных уравнений

Найдите набор решений 1𝑛 + 7 + 1𝑛 + 8 = 256𝑛 + 9.

Ответ

Начнем с умножения обеих частей уравнения на 𝑛 + 9, что дает 𝑛 + 9𝑛 + 7 + 𝑛 + 9𝑛 + 8 = 256.

Используя следующее свойство факториалов: 𝑟 = 𝑟𝑟 − 1, мы можем переписать 𝑛 + 9 = (𝑛 + 9) 𝑛 + 8 и 𝑛 + 9 = (𝑛 + 9) (𝑛 + 8) 𝑛 + 7. Подставляя их в уравнение в числителях, мы имеем (𝑛 + 9) (𝑛 + 8) 𝑛 + 7𝑛 + 7 + (𝑛 + 9) 𝑛 + 8𝑛 + 8 = 256.

Отбрасывая общие множители в числителях и знаменателях, мы можем переписать это как (𝑛 + 9) (𝑛 + 8) + (𝑛 + 9) = 256.

Раскрывая скобки, получаем 𝑛 + 17𝑛 + 72 + 𝑛 + 9 = 256.

Переставляя, мы приходим к квадратичному 𝑛 + 18𝑛 − 175 = 0.

Факторизуя или применяя квадратичную формулу, мы можем выразить это как (𝑛 + 25) (𝑛 − 7) = 0.

Следовательно, = −25 или 𝑛 = 7. Поскольку факториалы только определенное для неотрицательных целых чисел, мы можем отбросить решение 𝑛 = −25.Следовательно, множество решений уравнения - {7}.

До сих пор мы могли использовать свойства факториалов для упрощения уравнений и изолируйте любые неизвестные как решения линейных или квадратных уравнений. Однако эти методы не поможет нам, когда нам нужно найти неизвестное число с учетом его факториала. Для этого мы используем тот факт, что факториал - это произведение положительных целых чисел, меньших или равных конкретное число. Следовательно, для данного числа мы можем последовательно разделить на последовательные положительные целые числа, пока не останется целое число.Следующий пример продемонстрирует это процесс.

Пример 7: Нахождение неизвестного числа по его факториалу

Найдите значение 𝑛 такое, что 𝑛 = 720.

Ответ

Поскольку факториал является произведением последовательных положительных целых чисел, мы можем разделить 720 на последовательные положительные целые числа следующим образом. Начиная с 1: с 7201 = 720, можно переписать 720 = 720 × 1.

Затем мы делим 720 на 2, что дает 7202 = 360.

Следовательно, 720 = 360 × 2 × 1.

Деление 360 на 3 дает 120. Следовательно, мы можем написать 720 = 120 × 3 × 2 × 1.

Аналогично, разделив 120 на 4, мы получим 30. Следовательно, 720 = 30 × 4 × 3 × 2 × 1.

Наконец, разделив 30 на 5, мы получим 6, что дает 720 = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1.

Используя этот процесс, мы выразили 720 как произведение первых 6 последовательных целые числа. Следовательно, у нас 720 = 6. Мы можем написать это более кратко: 720 = 720 × 1 = 360 × 2 × 1 = 120 × 3 × 2 × 1 = 30 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6.

Следовательно, наш окончательный ответ = 6.

В заключение рассмотрим другой пример, в котором мы можем применить все изученные нами техники. для решения последней факторной задачи.

Пример 8: Решение проблемы с помощью факториалов

Найдите значение 𝑛 такое, что 𝑛8𝑛 − 1 = 5040.

Ответ

Сначала рассмотрим значение 5 040. Поскольку у нас есть произведение факториала и целое число в левой части уравнения, мы хотели бы выразить 5040 как факториал или как произведение факториала и другого целого числа.Для этого мы можем разделить последовательно натуральными числами следующим образом: 5040 = 5040 × 1 = 2520 × 2 × 1 = 840 × 3 × 2 × 1 = 210 × 4 × 3 × 2 × 1 = 42 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 7.

Теперь мы можем рассмотреть другую сторону уравнения. Помните, что для положительного целого числа 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 − 1.

В настоящее время у нас нет двух последовательных номеров 𝑛 и 𝑛 − 1, чтобы применить эту формулу. Однако, умножив и разделив на 8, мы можем произвести два последовательных числа 8𝑛 и 8𝑛 − 1 и примените следующую формулу: 𝑛8𝑛 − 1 = 188𝑛8𝑛 − 1 = 188𝑛.

Следовательно, 188𝑛 = 78𝑛 = 8 × 7 = 8.

Следовательно, 𝑛 = 1.

Давайте закончим, повторив несколько важных концепций.

Ключевые точки

  • Факториал положительного целого числа 𝑛 определяется как произведение все положительные целые числа, меньшие или равные 𝑛. Мы пишем это как 𝑛.
  • Ключевым свойством факториала является то, что 𝑛 = 𝑛𝑛 − 1. Используя это, мы можем часто упрощают выражения, включающие факториалы, и решают факторные уравнения.
  • При попытке найти неизвестное целое число с учетом его факториала, мы делим на последовательные положительные целые числа.

Репетитор по математике - Функции - Теория

Репетитор по математике - Функции - Теория - Элементарные функции

Факториал на самом деле не является реальной функцией (см. Ниже), но он очень важен. что мы включили его сюда среди полезных функций.

Определение.
Пусть k будет положительным целым числом.Мы определяем факториал из k как

к ! = 1⋅2⋅3⋅ ... ⋅ ( к - 1) ⋅ к .

Мы также определяем 0! = 1.

Примеры: 2! = 1⋅2 = 2,5! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5 = 120,7! = 5040,

Факториал растет очень быстро, например 10! = 3628800 и 20! это число из 19 цифр. 100! настолько велик, что большинство калькуляторов отказываются подсчитать (обычно лучшее, что они могут сделать, это 69 !, что примерно 1.7⋅10 98 ).

Важным свойством факториалов является то, что они легко сокращаются в дробях. Например:

сходным образом

Обратной стороной является отсутствие хороших алгебраических свойств, например нет хороших формул для таких вещей, как (2 k ) !, k ! ⋅ k ! и т.п.

Такие выражения вызывают ошибки при факторинге, вот один правильный пример:

Больше с этим ничего не поделаешь.

Есть вещь, называемая двойной факториал , где вместо умножения все числа нужно брать каждую секунду.

Определение.
Пусть k будет положительным целым числом. Мы определяем к !! в виде
к !! = 1⋅3⋅5⋅ ... ⋅ ( к - 2) ⋅ к для к нечетное,
к !! = 2⋅4⋅6⋅ ... ⋅ ( к - 2) ⋅ к для К даже.

Примеры: 7 !! = 1⋅3⋅5⋅7 = 105,10 !! = 2⋅4⋅6⋅8⋅10 = 3840. Как обычно, 0 !! = 1.

Факториал - это функция, область определения которой - натуральные числа и ноль. Это возможно расширить это определение до большего набора (как и все неотрицательные реальные числа), как-то соединив точки на графике? Это было бы очень полезно, например, это позволит нам использовать правило госпиталя, когда вычисление пределов с факториалами. Хорошая новость в том, что да, есть функция, определенная для всех действительных чисел, кроме отрицательных целых чисел что согласуется с факториалом в натуральных числах, см. Гамма-функция.Плохая новость заключается в том, что с этой функцией не совсем легко работать и в частности, уловки для ограничения, которые мы рассмотрели, намного лучше справляются с с факториалами, чем возиться с гамма-функциями.

Биномиальные коэффициенты

Определение.
Пусть n k быть неотрицательными целыми числами. Мы определяем

Это называется биномиальным коэффициентом , также биномиальным числом , или комбинаторное число .Читаем это выражение « n выбираем к ".

Пример:

Некоторые личности:

Последняя идентичность очень интересна, так как справа нет факториалы вверху, то есть переменная n может изменяться. Таким образом мы можем ввести полезное обобщение.

Определение.
Пусть x будет действительным числом, k натуральным номер.Определим бином как

Примеры:


«Пилообразные» функции
Назад к теории - Элементарные функции

Факториалов биномиальной теоремы

Факториалы

Фред знает, что код его шкафчика состоит из цифр 5, 6, 7 и 8, но он не может вспомнить порядок. Сколько существует различных возможных кодов, чтобы открыть его шкафчик?

Есть 4 способа указать первое число,

5 *** 6 *** 7 *** 8 ***

и 3 способа перечисления второго числа.

56 **

65 **

75 **

85 **

57 **

67 **

76 **

86 **

58 **

68 **

78 **

87 **

Остается 2 способа выбора третьего числа

567 *

657 *

756 *

856 *

568 *

658 *

758 *

857 *

576 *

675 *

765 *

865 *

578 *

678 *

768 *

867 *

586 *

685 *

785 *

875 *

587 *

687 *

786 *

876 *

Наконец, остается только один способ выбора последнего числа.

5678 6578 7568 8567
5687 6587 7586 8576
5768 6758 7658 8657
5786 6785 7685 8675
5867 6857 7856 8756
5876 6875 7865 8765

Есть 24 возможных кода.

4x3x2x1 = 24
Это называется 4-факториалом и записывается как 4!

0! = 1 По определению
1! = 1
2! = 2X1 = 2
3! = 3X2X1 = 6
4! = 4X3X2X1 = 24
5! = 5X4X3X2X1 = 120

В целом
п! = nx (n-1) x (n-2) x (n-3) ……… x3 x 2 x1

Примечание,
5 х 4! = 5x 24 = 120 = 5!

п х (п-1)! = п! так что (n-r + 1) x (n-r)! = (п-г + 1)!

Перестановки и комбинации

Перестановка - это упорядоченное расположение объектов, в котором порядок имеет значение.

Группа из n различных объектов содержит n! возможные перестановки.

Комбинация - это расположение объектов, порядок которых не имеет значения.

Пример

Есть 56 способов выбрать 5 различных банок корма для кошек от 8 брендов, но 6720 способов их заказать!

Свойства комбинаций


Треугольник Паскаля

Треугольник строится путем сложения строки выше.

Это может быть записано n C r , где n - строка, r - столбец

Обратите внимание, как 3 C 3 = 3 C 0 = 1 и 3 C 2 = 3 C 1 = 3


Коэффициенты известны как биномиальные коэффициенты.

Также обратите внимание на

и

n C r можно записать в виде

т.

Уравнения

Пример

Решите уравнение

Пример

Решите уравнение

Биномиальное разложение

Пример

Обратите внимание, что степени x и y в сумме дают 5, и что когда степени x уменьшаются с 5 до 0, степени y увеличиваются от 0 до 5.

В целом

Это известно как биномиальная теорема и дает разложение (a + b) n , где a и b - действительные числа, а n - натуральное число.

Биномиальные коэффициенты находятся в строке n треугольника Паскаля.


Примеры

Разверните следующее:

Биномиальная теорема позволяет найти конкретный член из общей формы.


Пример
Найдите седьмой член разложения (2x + 3y) 9

Найдите член, содержащий x 3 , в разложении (3 + 2x) 5

Вероятность и биномиальная теорема

Пример

Биномиальное расширение и е

Примеры

© Александр Форрест .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *