Метод интегрирования по частям
Формула интегрирования по частям
Формула интегрирования по частям имеет вид:
.
Метод интегрирования по частям состоит в применении этой формулы. При практическом применении стоит отметить, что u и v являются функциями от переменной интегрирования. Пусть переменная интегрирования обозначена как x (символ после знака дифференциала d в конце записи интеграла) . Тогда u и v являются функциями от x: u(x) и v(x).
Тогда
, .
И формула интегрирования по частям принимает вид:
.
То есть подынтегральная функция должна состоять из произведения двух функций:
,
одну из которых обозначаем как u: g(x) = u, а у другой должен вычисляться интеграл (точнее находиться первообразная):
, тогда dv = f(x) dx.
В некоторых случаях f(x) = 1. То есть в интеграле
,
можно положить g(x) = u, x = v.
Резюме
Итак, в данном методе, формулу интегрирования по частям стоит запомнить и применять в двух видах:
;
.
Интегралы, вычисляющиеся интегрированием по частям
Интегралы, содержащие логарифм и обратные тригонометрические (гиперболические) функции
По частям часто интегрируются интегралы, содержащие логарифм и обратные тригонометрические или гиперболические функции. При этом ту часть, которая содержит логарифм или обратные тригонометрические (гиперболические) функции обозначают через u, оставшуюся часть – через dv.
Вот примеры таких интегралов, которые вычисляются методом интегрирования по частям:
, , , , , , .
Подробное решение этих интегралов >>>
Интегралы, содержащие произведение многочлена и sin x, cos x или e
x По формуле интегрирования частям находятся интегралы вида:
, , ,
где P(x) – многочлен от x. При интегрировании, многочлен P(x) обозначают через u, а eax dx, cos ax dx или sin ax dx – через dv.
Вот примеры таких интегралов:
, , .
Подробное решение этих интегралов >>>
Примеры вычисления интегралов методом интегрирования по частям
Примеры интегралов, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции
Пример
Вычислить интеграл:
Подробное решение
Здесь подынтегральное выражение содержит логарифм.
Делаем подстановки
u = ln x,
dv = x2 dx.
Тогда
,
.
.
Вычисляем оставшийся интеграл:
.
Тогда
.
В конце вычислений нужно обязательно добавить постоянную C, поскольку неопределенный интеграл – это множество всех первообразных. Также ее можно было добавлять и в промежуточных вычислениях, но это лишь загромождало бы выкладки.
Более короткое решение
Можно представить решение и в более коротком варианте. Для этого не нужно делать подстановки с u и v, а можно сгруппировать сомножители и применить формулу интегрирования по частям во втором виде.
.
Ответ
Другие примеры
Примеры решений подобных интегралов >>>
Примеры интегралов, содержащих произведение многочлена и sin x, cos x или ex
Пример
Вычислить интеграл:
.
Решение
Введем экспоненту под знак дифференциала:
e – x dx = – e – x d(–x) = – d(e – x).
Интегрируем по частям.
.
Также применяем метод интегрирования по частям.
.
.
.
Окончательно имеем:
.
Ответ
.
Другие примеры
Примеры решений подобных интегралов >>>
10.6. Интегрирование по частям.
Интегрирование по частям — приём, который применяется почти так же часто, как и замена переменной. Пусть u(x) и v(x) — функции, имеющие непрерывные частные производные. Тогда по формуле дифференцирования произведения d(uv) = u∙dv + v∙du . Находим неопределённые интегралы для обеих частей этого равенства (при этом ):
.
Эта формула и называется формулой интегрирования по частям. Часто ее записывают в производных ():
.
Примеры:
.
.
Формула интегрирования
по частям может применяться неоднократно.
При наличии небольшого опыта в простых
интегралах нет необходимости выписывать
промежуточные выкладки (u = …,
.
Приведённые примеры показывают, для каких функций надо применять (или попытаться применить) формулу интегрирования по частям:
10.6.1. Интегралы вида , , , где Pn(x) — многочлен n-ой степени. Так, для имеем , , и . В результате мы получили интеграл того же типа с многочленом степени на единицу меньше. После n-кратного применения формулы степень многочлена уменьшится до нуля, т.е. многочлен превратится в постоянную, и интеграл сведётся к табличному.
10.6.2. Интегралы
,
где
— трансцендентная функция, имеющая
дробно-рациональную или дробно-иррациональную
производную (ln x,
arctg x,
arcctg x,
arcsin x,
arcos x).
.
10.6.3. Для некоторых функций применяется приём «сведения интеграла к самому себе». С помощью интегрирования по частям (возможно, неоднократного) интеграл выражается через такой же интеграл; в результате получается уравнение относительно этого интеграла, решая которое, находим значение интеграла. Примеры:
Найти (это интеграл №19 из табл. 10.3.неопределённых интегралов; в предыдущем параграфе мы вычислили этот интеграл с помощью тригонометрической подстановки ).
.
В результате для искомого интеграла мы получили уравнение ,
решая которое, получаем (константа С
Аналогично выводится интеграл №20 из табл.
10.3.неопределённых интегралов.Сведение интеграла к самому себе – самый простой способ нахождения часто встречающихся интегралов вида и (). Например,
. Итак, после двукратного интегрирования по частям получено уравнение относительно : , решение которого .
При нахождении эти интегралов не принципиально, положим ли мы u = cos bx, dv = eax dx или u = eax, dv = cos bx dx; важно только при втором применении формулы интегрирования по частям загонять под знак дифференциала функцию того же типа, что и при первом (показательную или тригонометрическую).
10.6.4. Ещё один вид формул, которые обычно
получаются с помощью интегрирования
по частям, и используются для нахождения
интегралов — рекуррентные
соотношения.
Если подынтегральная функция зависит
от некоторого параметра n,
и получено соотношение, которое выражает
интеграл через аналогичный интеграл с
меньшим значением n,
то это соотношение и называется
рекуррентным соотношением. Примеры:
. Представим подынтегральную функцию в виде ; интеграл от первого слагаемого аналогичен исходному с значением параметра n на две единицы меньше; к интегралу от второго слагаемого применим формулу интегрирования по частям:
.
Теперь, зная , , мы можем выписать ; ;
и т.д.
В качестве второго примера выведем ещё рекуррентную формулу для интеграла, который нам понадобится в дальнейшем: :
.
Теперь, начиная с , можем найти
и т.д.
Интегрирование по частям – Учебники по вычислениям
Страница Интегрирование по частям — HMC Calculus TutorialМы будем использовать правило продукта для производных, чтобы вывести мощную формулу интегрирования:
- Начните с $(f(x)g(x))’=f(x)g'( х)+f'(x)g(x)$.
- Интегрируем обе стороны, чтобы получить $\displaystyle f(x)g(x)=\int\! f(x)g'(x)\, dx +\int\! f'(x)g(x)\, dx$. Нам не нужно включать константу интегрирования слева, так как интегралы справа также будут иметь константы интегрирования.
- Найти $\displaystyle\int\! f(x)g'(x)\, dx$, получая \[\int f(x)g'(x)\, dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g( х)\, дх.\]
Эта формула часто позволяет нам вычислить сложный интеграл с помощью вычисление гораздо более простого интеграла. Мы часто выражаем интеграцию по формуле частей следующим образом:
Позволять \[ \begin{массив}{ll} u = f (x) \ qquad \ qquad & dv = g'(x)\, dx\\ du = f'(x)\, dx & v = г (х) \конец{массив} \] Тогда формула становится \[\int u\, dv=uv-\int v\, du.\] Чтобы интегрировать по частям, стратегически выберите $u$, $dv$, а затем примените формула. 9х\cos х +С.\]
Ключевая концепция
\[\int u\, dv=uv-\int v\, du.\]
- Выберите $u$, $dv$ таким образом, чтобы:
- $u$ легко отличить от . {\ простое} \ влево (х \ вправо) \ вправо) dx [ /латекс]. 9{\prime}\left(x\right)dx[/latex], у нас есть более компактная форма
[latex]\displaystyle\int udv=uv-\displaystyle\int vdu[/latex].
Интегрирование по частям
Пусть [latex]u=f\left(x\right)[/latex] и [latex]v=g\left(x\right)[/latex] — функции с непрерывным производные. Тогда формула интегрирования по частям для интеграла, включающего эти две функции, будет следующей:
[латекс]\displaystyle\int udv=uv-\displaystyle\int vdu[/latex].
Преимущество использования формулы интегрирования по частям состоит в том, что мы можем использовать ее для замены одного интеграла на другой, возможно, более простой интеграл. Следующий пример иллюстрирует его использование. 9{2x}dx[/латекс].
Показать решение
Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть работающее решение вышеизложенного Попробуйте
youtube.com/embed/lpmf-HAmaEU?controls=0&start=305&end=430&autoplay=0″ frameborder=»0″ allowfullscreen=»allowfullscreen»/> Для субтитров откройте видео на его исходной странице, щелкнув логотип Youtube в правом нижнем углу видеодисплея. На YouTube видео начнется с той же начальной точки, что и этот клип, но будет воспроизводиться до самого конца.
Вы можете просмотреть стенограмму этого сегментированного клипа «3.1 Интеграция по частям» здесь (откроется в новом окне).
В этот момент возникает естественный вопрос: откуда мы знаем, как выбрать [латекс]u[/латекс] и [латекс]dv?[/латекс] Иногда это вопрос проб и ошибок; тем не менее, аббревиатура LIATE часто помогает избавить нас от догадок при выборе. Эта аббревиатура расшифровывается как L огарифмические функции, I обратные тригонометрические функции, A алгебраические функции, T ригонометрические функции и E экспоненциальные функции.
Тип функции в интеграле, который появляется первым в списке, должен быть нашим первым выбором [latex]u[/latex]. Например, если интеграл содержит логарифмическую функцию и алгебраическую функцию, мы должны выбрать [latex]u[/latex] в качестве логарифмической функции, потому что L стоит перед A в LIATE. Интеграл в предыдущем примере имеет тригонометрическую функцию [latex]\text{(}\sin{x}\text{)}[/latex] и алгебраическую функцию [latex]\left(x\right)[/latex] . Поскольку A стоит перед T в LIATE, мы выбрали [latex]u[/latex] в качестве алгебраической функции. Когда мы выбрали [latex]u[/latex], [latex]dv[/latex] выбирается как оставшаяся часть интегрируемой функции вместе с [latex]dx[/latex].
Почему эта мнемоника работает? Помните, что все, что мы выбираем для [latex]dv[/latex], должно быть чем-то, что мы можем интегрировать. Поскольку у нас нет формул интегрирования, позволяющих интегрировать простые логарифмические функции и обратные тригонометрические функции, имеет смысл не выбирать их в качестве значений для [latex]dv[/latex].
Следовательно, они должны быть во главе списка вариантов для [latex]u[/latex]. Таким образом, мы ставим LI в начале мнемоники. (С тем же успехом можно было бы начать с IL, поскольку эти два типа функций не встречаются вместе в задаче интегрирования по частям.) Экспоненциальные и тригонометрические функции находятся в конце нашего списка, потому что их довольно легко вычислить. интегрируйте и сделайте правильный выбор для [latex]dv[/latex]. Таким образом, у нас есть TE в конце нашей мнемоники. (Мы могли бы так же легко использовать ET в конце, поскольку, когда эти типы функций появляются вместе, обычно не имеет большого значения, какая из них является [latex]u[/latex], а какая — [latex]dv[/latex]. ].) Алгебраические функции, как правило, легко интегрировать и дифференцировать, и они находятся в середине мнемоники. 9{\ text {}} x \ text {ln} xdx [/ латекс].Показать решение
Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть работающее решение вышеизложенного Попробуйте
youtube.com/embed/lpmf-HAmaEU?controls=0&start=558&end=647&autoplay=0″ frameborder=»0″ allowfullscreen=»allowfullscreen»/> Для субтитров откройте видео на исходной странице, щелкнув логотип Youtube в правом нижнем углу видеодисплея. На YouTube видео начнется с той же начальной точки, что и этот клип, но будет воспроизводиться до самого конца.
Вы можете просмотреть стенограмму этого сегментированного клипа «3.1 Интеграция по частям» здесь (откроется в новом окне). 9{2}\sin{x}dx[/латекс].
Показать решение
Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть работающее решение вышеизложенного Попробуйте
Для субтитров откройте видео на его исходной странице, щелкнув логотип Youtube в правом нижнем углу видеодисплея.
На YouTube видео начнется с той же начальной точки, что и этот клип, но будет воспроизводиться до самого конца.Вы можете просмотреть стенограмму этого сегментированного клипа «3.1 Интеграция по частям» здесь (откроется в новом окне).
Попробуйте
Теперь, когда мы успешно использовали интегрирование по частям для вычисления неопределенных интегралов, мы обратим наше внимание на определенные интегралы. Техника интегрирования действительно такая же, только мы добавляем шаг для вычисления интеграла на верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Интегрирование по частям для определенных интегралов
Пусть [latex]u=f\left(x\right)[/latex] и [latex]v=g\left(x\right)[/latex] — функции с непрерывным производные от [латекса]\left[a,b\right][/latex]. Затем 9{\pi \text{/}2}x\cos{x}dx[/latex].
Показать решение
Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть работающее решение вышеизложенного Попробуйте
- $u$ легко отличить от .
{\ простое} \ влево (х \ вправо) \ вправо) dx [ /латекс]. 9{\prime}\left(x\right)dx[/latex], у нас есть более компактная форма
На YouTube видео начнется с той же начальной точки, что и этот клип, но будет воспроизводиться до самого конца.