Формула косинуса: Формулы синуса и косинуса суммы и разности аргументов — урок. Алгебра, 10 класс.

И даже, если тебе даны две стороны и угол НЕ между ними, то третью сторону тоже можно найти, решая квадратное уравнение. Правда, в этом случае получается иногда два ответа и нужно соображать, какой же из них выбрать, или оставить оба.

Попробуй применять и не бояться – теорема косинусов почти также легка в обращении, как и теорема Пифагора.

И приходи к нам на бесплатные вебинары и занятия ( о них ниже).

Бонус: Вебинар на решение задач по теореме косинусов и синусов

Теорема косинусов (и синусов) – универсальный инструмент при решении треугольников – это теоремы косинусов и синусов.

А как мы уже знаем, почти любая задача в планиметрии сводится именно к треугольникам.

Этот вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике (о нем ниже). Вы выучите сами теоремы и научитесь применять их при решении задач первой части. 

Берите ручку и бумагу и решайте вместе с Алексеем Шевчуком.

Правило косинуса – объяснение и примеры

В предыдущей статье мы видели, как правило синусов помогает нам вычислить недостающий угол или недостающую сторону, когда известны две стороны и один угол или когда известны два угла и одна сторона.

Но что вы будете делать, если вам даны только три стороны треугольника, а вам нужно найти все углы?

В 15 ^-м -м веке этот вопрос был решен, когда персидский математик Джамшид аль-Каши представил Закон косинусов в форме, подходящей для триангуляции. Во Франции он до сих пор известен как Теорема д’Аль-Каши .

В этой статье вы узнаете о:

• законе косинусов,
• как применять закон косинусов для решения задач и,
• формуле закона косинусов.

Что такое закон косинусов?

Закон косинусов , также известный как правило косинусов , — это формула, связывающая длины трех сторон треугольника с косинусом.

Правило косинуса полезно двумя способами:

• Мы можем использовать правило косинуса, чтобы найти три неизвестных угла треугольника, если известны длины трех сторон данного треугольника.
• Мы также можем использовать правило косинуса, чтобы найти длину третьей стороны треугольника, если известны длины двух сторон и угол между ними.

Формула закона косинусов

Рассмотрим косой треугольник ABC, показанный ниже. Косой треугольник — непрямоугольный треугольник. Помните, что длины сторон обозначены строчными буквами, а углы — заглавными.

Также обратите внимание, что для каждого угла длина противоположной стороны обозначается одной и той же буквой.

Закон косинусов гласит, что:

⇒ (a) ² = [B ² + C ² — 2BC] COS ( A )

⇒ (B) ² = [A ² + C ² — 2AC] COS ( B )

⇒ (C) ² = [A ² + B ² — 2BC] COS ( C )

Вы заметили, что уравнение c ²  = a ²  + b ²  – 2bc cos ( C ) напоминает теорему Пифагора, за исключением последних членов, – 2bc cos ( C 90). ” По этой причине мы можем сказать, что теорема Пифагора является частным случаем правила синусов.

Доказательство закона косинусов

Правило косинусов можно доказать, рассмотрев случай прямоугольного треугольника. В этом случае опустим перпендикуляр из точки A в точку O на стороне BC.

Пусть сторона AM будет час.

В правом треугольнике ABM , косинус угла B дается:

COS ( B ) = прилегающий/гипотеновый0011 BM/c

BM = c cos ( B )

Учитывая, что BC = a, следовательно, MC рассчитывается как; (i)

В треугольнике , синус угла B определяется выражением;

Синус B = Противоположный/Гипотенуза = h/c

h = c синус B …………………………………………………… (ii)

AC ² = AM ² + MC ² ………………………………………………… (iii)

Заменяющее уравнение (i) и (ii) в уравнении (iii).

B ² = (C SINE B) ² + ( A — C COS B ) ²

B ² = C ² SINE ² B + A ^{= C 2 2} – 2ac Cos B + c ² Cos ² C

Преобразование приведенного выше уравнения:

B ² = C ² SINE ² B + C ² COS ² C + A ² — 2AC COS B

.

B ² = C ² (SINE ² B + COS ² C ) + A ² — 2AC COS B

Но, из тригонометрической идентичности, мы знаем, что, что, что ,

sin ² θ + cos ² θ = 1

Следовательно, b ² = c ² + a ² – 2ac Cos B

Следовательно, закон косинусов доказан.

Как использовать теорему косинусов?

Если вам нужно найти длины сторон треугольника, мы используем правило косинусов в виде;

⇒ (A) ² = [B ² + C ² — 2BC] COS ( A )

⇒ (B) ² = [A ² + C ² — ² = [A ² + C ² — ^{2ac] потому что ( B )}

⇒ (c) ²  = [a ²  + b ²  – 2bc] cos ( C )

правило косинусов формы;

⇒ COS A = (B ² + C ² — A ² )/2BC

⇒ COS B = (A ² + C ² — B ² ) /2ac

⇒ cos C = (a ²  + b ² – c ² )/2ab

Теперь давайте проверим наше понимание правила косинусов, решив несколько примеров задач.

Пример 1

Вычислите длину стороны AC треугольника, показанного ниже.

Решение

Поскольку мы хотим вычислить длину, мы будем использовать правило косинусов

в форме;

⇒ (b) ²  = [a ²  + c ²  – 2ac] cos ( B )

по замене, мы имеем

B ² = 4 ² + 3 ² — 2 x 3 x 4 Cos ( 50 )

B ² = 16 + 9 — 24cos50

= 25 – 24cos 50

b ² = 9,575

Найдите квадратный корень из обеих сторон, чтобы получить

b = √9,575 = 3,094.

Следовательно, длина АС = 3,094 см.

Пример 2

Вычислите все три угла треугольника, показанного ниже.

Решение

Так как длины всех трех сторон треугольника известны, то нам нужно найти меры трех углов A, B и C. Здесь мы воспользуемся правилом косинусов в виде ;

⇒ COS (A ) = [B ² + C ² — A ² ]/2BC

⇒ COS (B) = [A ² + C ² — B) ² ]/2ac

⇒ Cos ( C) = [a ²  + b ² — C ² ]/2AB

Решение для угла A:

COS A = (7 ² + 5 ² — 10 ² )/2 x 5

COS A = (49 + 25 – 100)/70

Cos A = -26/70

Cos A = – 0,3714.

Теперь определите косинус, обратный – 0,3714.

А = Cos ^-1 — 0,3714.

A = 111,8°

Решите для угла B:

Путем замены

cos B = (10 ²  + 5 ² – 7 ² )/2 x 10 x 7

Упрощение.

Cos B = (100 + 25 – 49)/140

Cos B = 76/140

Определить косинус, обратный 76/140

B = 57,12°

cos C = (10 ² + 7 ² – 5 ² )/2 x 10 x 7 140

Определите косинус, обратный 124/140.

C = 27,7°

Следовательно, три угла треугольника равны; А = 111,8°, В = 57,12° и С = 27,7°.

Как и когда использовать формулу, примеры задач и викторину с отработанными решениями

К сожалению, в прошлом году рекламный блок начал отключать загрузку почти всех изображений на нашем сайте, что привело к тому, что mathwarehouse стало непригодным для использования пользователями adlbock.

Формула и примеры закона косинусов

Рабочий лист закона косинусов

Закон косинусов против синусов

Игра «Единичный круг»

Тригонометрия Гифки

Закон косинусов

Закон косинусов — это формула, связывающая три стороны треугольника с косинусом заданного угла

Когда использовать закон косинусов?

Есть 2 случая использования закона косинусов.

Почему только «включенный» угол?

Как вы можете видеть на предыдущей картинке, случай I утверждает, что мы должны знать, что включено угол. Давайте проверим, действительно ли это необходимо или нет.

Интерактивный

Интерактивная демонстрация ниже иллюстрирует формулу закона косинусов в действии. Перетащите точки в треугольник, чтобы наблюдать, кто формула работает. Попробуйте установить флажок «Прямоугольный треугольник», чтобы узнать, как эта формула связана с теоремой Пифагора. (Applet сам по себе )

Цветовые углы Цветные линии

Прямоугольный треугольник Показать сетку Привязки к сетке

Выберите угол АБВ

∠ С = С ² = 12 ² + б ² = 12 2ab. cos(∠C) = 12 а ² + б ² — 2ab.cos(∠C) = 12

Перетащите точки треугольника, чтобы начать демонстрацию 9\циркуляр $$

Приведенные ниже задачи требуют от вас применения формулы для решения прямых вопросов. Если они начинают казаться слишком простыми, попробуйте наши более сложные задачи.

Задача 1

Используйте формулу закона косинусов для вычисления длины стороны C.

Задача 5

Посмотрите на три треугольника внизу.