Формула квадрат синус квадрат: Квадрат синуса, косинуса, тангенса, котангенса (альфа)

Содержание

Тригонометрические тождества и преобразования

Для решения некоторых задач будет полезной таблица тригонометрических тождеств, которая позволит гораздо проще совершать преобразования функций:

Простейшие тригонометрические тождества

Частное от деления синуса угла альфа на косинус того же угла равно тангенсу этого угла (Формула 1). См. также доказательство правильности преобразования простейших тригонометрических тождеств.
Частное от деления косинуса угла альфа на синус того же угла равно котангенсу этого же угла (Формула 2)
Секанс угла равен единице, деленной на косинус этого же самого угла (Формула 3)
Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице (Формула 4). см. также доказательство суммы квадратов косинуса и синуса.
Сумма единицы и тангенса угла равна отношению единицы к квадрату косинуса этого угла (Формула 5)
Единица плюс котангенс угла равна частному от деления единицы на синус квадрат этого угла (Формула 6)
Произведение тангенса на котангенс одного и того же угла равно единице (Формула 7).

Преобразование отрицательных углов тригонометрических функций (четность и нечетность)

Для того, чтобы избавиться от отрицательного значения градусной меры угла при вычислении синуса, косинуса или тангенса, можно воспользоваться следующими тригонометрическими преобразованиями (тождествами), основанными на принципах четности или нечетности тригонометрических функций.

Как видно, косинус и секанс является четной функцией, синус, тангенс и котангенс — нечетные функции.

Синус отрицательного угла равен отрицательному значению синуса этого же самого положительного угла (минус синус альфа).
Косинус «минус альфа» даст тоже самое значение, что и косинус угла альфа.
Тангенс минус альфа равен минус тангенс альфа.

Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла)

Если необходимо разделить угол пополам, или наоборот, перейти от двойного угла к одинарному, можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

Преобразование двойного угла (синуса двойного угла, косинуса двойного угла и тангенса двойного угла) в одинарный происходит по следующим правилам:

Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса на косинус одинарного угла

Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса одинарного угла и квадрата синуса этого угла

Косинус двойного угла равен удвоенному квадрату косинуса одинарного угла минус единица

Косинус двойного угла равен единице минус двойной синус квадрат одинарного угла

Тангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — удвоенный тангенс одинарного угла, а знаменатель равен единице минус тангенс квадрат одинарного угла.

Котангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — квадрат котангенса одинарного угла минус единица, а знаменатель равен удвоенному котангенсу одинарного угла

Формулы универсальной тригонометрической подстановки

Указанные ниже формулы преобразования могут пригодиться, когда нужно аргумент тригонометрической функции ( sin α, cos α, tg α) разделить на два и привести выражение к значению половины угла. Из значения α получаем α/2 .

Данные формулы называются формулами универсальной тригонометрической подстановки. Их ценность заключается в том, что тригонометрическое выражение с их помощью сводится к выражению тангенса половины угла, вне зависимости от того, какие тригонометрические функции (sin cos tg ctg) были в выражении изначально. После этого уравнение с тангенсом половины угла решить гораздо проще.

Тригонометрические тождества преобразования половины угла

Указанные ниже формулы тригонометрического преобразования половинной величины угла к его целому значению.

Значение аргумента тригонометрической функции α/2 приводится к значению аргумента тригонометрической функции α.

Тригонометрические формулы сложения углов

cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α

sin (α — β) = sin α · cos β — sin β · cos α
cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β

Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:

Тангенс суммы углов равен дроби, числитель которой — сумма тангенса первого и тангенса второго угла, а знаменатель — единица минус произведение тангенса первого угла на тангенс второго угла.

Тангенс разности углов равен дроби, числитель которой равен разности тангенса уменьшаемого угла и тангенса вычитаемого угла, а знаменатель — единице плюс произведение тангенсов этих углов.

Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.

Котангенс разности углов равен дроби, числитель которой — произведение котангенсов этих углов минус единица, а знаменатель равен сумме котангенсов этих углов.

Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.

Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций

Выражения, представляющие собой сумму вида sin α + sin β можно преобразовать с помощью следующих формул:

Формулы тройного угла — преобразование sin3α cos3α tg3α в sinα cosα tgα

Иногда необходимо преобразовать тройную величину угла так, чтобы аргументом тригонометрической функции вместо 3α стал угол α.

В этом случае можно воспользоваться формулами (тождествами) преобразования тройного угла:

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций

Если возникает необходимость преобразовать произведение синусов разных углов косинусов разных углов или даже произведения синуса на косинус, то можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

В этом случае произведение функций синуса, косинуса или тангенса разных углов будет преобразовано в сумму или разность.

Формулы приведения тригонометрических функций

Пользоваться таблицей приведения нужно следующим образом. В строке выбираем функцию, которая нас интересует. В столбце — угол. Например, синус угла (α+90) на пересечении первой строки и первого столбца выясняем, что sin (α+90) = cos α .

См. также Полный список формул приведения тригонометрических функций.

Угол	α + 90 α + π/2	α + 180 α + π	α + 270 α + 3π/2	90 — α π/2- α	180 — α π- α	270 — α 3π/2- α	360 — α 2π- α
sin	cos α	-sin α	-cos α	cos α	sin α	-cos α	-sin α
cos	-sin α	-cos α	sin α	sin α	-cos α	-sin α	cos α
tg	-ctg α	tg α	-ctg α	ctg α	-tg α	ctg α	-tg α
ctg	-tg α	ctg α	-tg α	tg α	-ctg α	tg α	-ctg α

Начать курс обучения

Основные формулы тригонометрии.

— Тригонометрия.

Теорема синусов[править | править вики-текст]

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Для произвольного треугольника

где — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Теорема косинусов[править | править вики-текст]

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Для плоского треугольника со сторонами и углом , противолежащим стороне ,

или:

Теорема тангенсов[править | править вики-текст]

Формула Эйлера[править | править вики-текст]

Формула Эйлера утверждает, что для любого действительного числа выполнено следующее равенство:

где — основание натурального логарифма, — мнимая единица. Формула Эйлера предоставляет связь между математическим анализом и тригонометрией, а также позволяет интерпретировать функции синуса и косинуса как взвешенные суммы экспоненциальной функции:

Вышеуказанные уравнения могут быть получены путем сложения или вычитания формул Эйлера:

с последующим решением относительно синуса или косинуса.

Также эти формулы могут служить определением тригонометрических функций комплексной переменной. Например, выполняя подстановку x = iy, получаем:

Комплексные экспоненты позволяют упростить тригонометрические расчеты, поскольку ими проще манипулировать, нежели синусоидальными компонентами. Один из подходов предусматривает преобразование синусоид в соответствующие экспоненциальные выражения. После упрощения результат выражения остается вещественным. Суть другого подхода в представлении синусоид в качестве вещественных частей комплексного выражения и проведения манипуляций непосредственно с комплексным выражением.

2 в степени синус квадрат х

На чтение 7 мин. Просмотров 53 Опубликовано 15.12.2019

два в степени синус квадрат икс плюс 2 в степени косинус квадрат икс равно трем

Попроси больше объяснений
Следить
Отметить нарушение

Elnur4523 16. 2 x) + 16 = 0

Тригонометрические формулы обладают рядом свойств, одно из которых это применение формул понижения степени. Они способствуют упрощению выражений при помощи уменьшения степени.

Формулы понижения работают по принципу выражения степени синуса и косинуса через синус и косинус первой степени, но кратного угла. При упрощении формула становится удобной для вычислений, причем повышается кратность угла от α до n α .

Формулы понижения степени, их доказательство

Ниже приводится таблица формул понижения степени со 2 по 4 для sin и cos угла. После ознакомления с ними зададим общую формулу для всех степеней.

sin 2 α = 1 — cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 = 3 · sin α — sin 3 α 4 sin 4 = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8

Данные формулы предназначены для понижения степени.

Существует формулы двойного угла у косинуса и синуса, из которых и следуют формулы понижения степени cos 2 α = 1 — 2 · sin 2 α и cos 2 α = 2 · cos 2 α — 1 . Равенства разрешаются относительно квадрата синуса и косинуса, которые предоставляются как sin 2 α = 1 — cos 2 α 2 и cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 .

Формулы понижения степеней тригонометрических функций перекликаются с формулами синуса и косинуса половинного угла.

Имеет место применение формулы тройного угла sin 3 α = 3 · sin α — 4 · sin 3 α и cos 3 α = — 3 · cos α + 4 · cos 3 α .

Если решать равенство относительно синуса и косинуса в кубе, получим формулы понижения степеней для синуса и косинуса:

sin 3 α = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 3 α = 3 · cos α + cos 3 α 4 .

Формулы четвертой степени тригонометрических функций выглядят так: sin 4 α = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 .

Чтобы понизить степени эти выражений, можно действовать в 2 этапа, то есть дважды понижать, тогда это выглядит таким образом:

sin 4 α = ( sin 2 α ) 2 = ( 1 — cos 2 α 2 ) 2 = 1 — 2 · cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = 1 — 2 · cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 ; cos 4 α = ( cos 2 α ) 2 = ( 1 + cos 2 α 2 ) 2 = 1 + 2 · cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = = 1 + 2 · cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8

Методом подстановки мы упростили сложное выражение. Для того, чтобы записать общий вид формул понижения степени разделим их на с наличием четных и нечетных показателей. Четные показатели, где n = 2 , 4 , 6 … , выражение имеет вид sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 · ∑ ( — 1 ) n 2 — k k = 0 n 2 — 1 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) и cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 ∑ ( — 1 ) n 2 — k k = 0 n 2 — 1 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) .

Нечетные показатели, где n = 3 , 5 , 7 …, выражение имеет вид

sin n α = 1 2 n — 1 · ∑ ( — 1 ) n — 1 2 — k k = 0 n — 1 2 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) и cos n α = 1 2 n — 1 ∑ ( — 1 ) n — 1 2 — k k = 0 n — 1 2 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) .

C p q = p ! q ! · ( p — q ) ! — это число сочетаний из p элементов по q .

Формулы понижения степени общего вида используются на любого выражения с высокой степенью для его упрощения. Рассмотрим пример для понижения кубического синуса. Третья степень нечетная, значит воспользуемся формулой sin n α = 1 2 n — 1 · ∑ ( — 1 ) n — 2 2 — k k = 0 n — 1 2 — k · C k n · sin ( ( n — 2 · k ) α ) где значение n присвоим 3 . Подставляя n = 3 в выражение, получим

sin 3 α = 1 2 3 — 1 · ∑ ( — 1 ) 3 — 1 2 — k k = 0 3 — 1 2 — k · C k 3 · sin ( ( 3 — 2 · k ) α ) = = 1 4 · ∑ ( — 1 ) 1 — k k = 0 1 · C k 3 · sin ( ( 3 — 2 · k ) α ) = = 1 4 · ( ( — 1 ) 1 — 0 · C 0 3 · sin ( ( 3 — 2 · 0 ) α ) + ( 1 ) 1 — 1 · C 1 3 · sin ( ( 3 — 2 · 1 ) α ) ) = = 1 4 · ( ( — 1 ) 1 · 3 ! 0 ! · 3 ! · sin 3 α + ( — 1 ) 0 · 3 ! 1 ! · ( 3 — 1 ) ! · sin α ) = = 1 4 · ( — sin 3 α + 3 · sin α ) = 3 · sin α — sin 3 α 4

Примеры применения формул понижения степени

Чтобы закрепить материал, необходимо детально разобрать его на примерах с использованием формулы понижения степени. Таким образом будет понятен принцип решения, подстановка и весь алгоритм.

Справедлива ли формула вида cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 при α = α 6 .

Для того, чтобы данная формула прошла проверку на возможность понижения степени с заданным значением угла α , необходимо посчитать левую и правую стороны. По условию имеем, что α = π 6 , тогда 2 α = π 3 , следовательно 4 α = 2 π 3 .

По таблице тригонометрических функций имеем, что cos α = cos π 6 = 3 2 , тогда cos 2 α = cos π 3 = 1 2 .

Для подробного уяснения необходимо проштудировать статью значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Подставляя в формулу, получим cos 4 α = ( cos π 6 ) 4 = ( 3 2 ) 4 = 9 16 и 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8 = 3 + 4 cos π 3 + cos 2 π 3 8 = 3 + 4 · 1 2 + ( — 1 2 ) 8 = 9 16

Отсюда видим, что левая и правая части равенства верны при α = π 6 , значит, выражение справедливо при значении заданного угла. Если угол отличен от α , формула понижения степени одинаково применима.

При помощи формулы понижения степени преобразовать выражение sin 3 2 β 5 .

Кубический синус для угла α имеет формулу вида sin 3 α = 3 · sin α — sin 3 α 4 . В данном случае необходимо выполнить замену α на 2 β 5 и подставить в формулу, тогда получаем выражение вида sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 — sin ( 3 · 2 β 5 ) 4 .

Это выражение равно равенству sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 — sin 6 β 5 4 .

Ответ: sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 — sin 6 β 5 4 .

Для решения сложных тригонометрических уравнений применяют формулы понижения степени. Они способны упростить выражение и сделать его намного удобным для вычислений или подстановки числовых значений.

[email protected] Выход

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение. Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите тригонометрическое уравнение
Решить уравнение

Найдите тангенс альфа если синус

В данной статье мы с вами разберём некоторые задачи связанные с выражениями. Задания данной группы довольно разнообразны. Если вы запомнили свойства степеней, корней и логарифмов, знаете основные формулы тригонометрии, и постоянно практикуетесь, то большинство задач для вас никакого труда не представят.

Относительную сложность могут вызывать следующие:
— преобразования буквенных иррациональных выражений
— вычисление значений тригонометрических выражений
— преобразования тригонометрических выражений

Если перечислить все группы задач, то они довольно разнообразны.

Они включают в себя: ПОКАЗАТЬ/СКРЫТЬ

Здесь мы с вами разберём задачи на вычисление значений тригонометрических выражений. Конечно, все их в одной статье разобрать невозможно. Но мы обязательно разберём и другие примеры, не пропустите!

Итак, что обязательно вы должны знать и всегда помнить? Это знаки тригонометрических функций в четвертях. ЭТО ВАЖНО!!!

Как осознать эту информацию и понять следствием чего она является – об этом будет отдельная статья (если вы это знаете, то прекрасно). Пока предлагаю пока просто запомнить:

Основное тригонометрическое тождество:

Формулы тангенса и котангенса:

Выполняются элементарные алгебраические преобразования:

1. Числитель и знаменатель дроби можем умножать и делить на одно и тоже число.
2. Левую и правую часть уравнения можем умножать и делить на одно и тоже число.

В представленных ниже заданиях используется основное тригонометрическое тождество и формула тангенса.

Найдите тангенс альфа, если

В этом и подобных примерах необходимо знать основное тригонометрическое тождество (его вообще нужно помнить всегда), а также формулу тангенса:

Косинус угла нам известен. Из формулы основного тригонометрического тождества мы можем найти значение синуса. Затем подставить их в формулу тангенса.

Теперь ВАЖНЫЙ момент: необходимо определить знак синуса для интервала (3Пи/2;2Пи). Это интервал от 270 до 360 градусов (четвёртая четверть). Как переводить радианы в градусы можно посмотреть здесь. Значение синуса в этой четверти отрицательное, поэтому:

Таким образом:

Ответ: – 0,5

Найдите tg α, если

Cинус угла нам известен. Из формулы основного тригонометрического тождества мы можем найти значение косинуса. Затем подставить их в формулу тангенса.

Определяем знак косинуса для интервала (Пи/2;Пи). Это интервал от 90 до 180 градусов (вторая четверть). Значение косинуса в этой четверти отрицательное (смотрите эскиз). Поэтому

Таким образом:

Ответ: – 0,25

Найдите 5·cos α, если синус альфа

Необходимо найти косинус угла. Из формулы основного тригонометрического тождества следует, что cos²x = 1– sin²x и

Определим знак косинуса. Угол принадлежит интервалу (3Пи/2;2Пи).

Это интервал от 270 до 360 градусов (четвёртая четверть). Значение косинуса в этой четверти положительное, поэтому:

Таким образом, 5·cos α = 5∙0,7 = 3,5

Ответ: 3,5

Найдите 0,1·sin α, если

Необходимо найти синус угла. Из формулы основного тригонометрического тождества следует, что sin²x = 1– cos²x и

Определим знак синуса. Угол принадлежит интервалу (0; Пи/2).

Это интервал от 0 до 90 градусов (первая четверть). Значение синуса в этой четверти положительное, поэтому:

Таким образом 0,1·sin α = 0,1∙0,3 = 0,03

Ответ: 0,03

Общая рекомендация для следующих данных примеров! Если требуется найти тангенс аргумента (квадрат тангенса), то осуществляем деление на косинус (квадрат косинуса). Если требуется найти котангенс аргумента (квадрат котангенса), то осуществляем деление на синус (квадрат синуса). Примеры:

65217. Найдите tg²α, если 3sin²α + 8 cos²α = 7

Требуется найти квадрат тангенса. Разделим обе части уравнения на cos²α, получим:

Второй способ:

Далее по формуле основного тригонометрического тождества можно найти квадрат синуса и используя формулу тангенса вычислить уже его квадрат:

Ответ: 0, 25

65269. Найдите

Преобразуем данное выражение так, чтобы в числителе и знаменателе был тангенс. Разделим числитель и знаменатель на cos α, получим:

Ответ: – 0,5

65273. Найдите

Здесь дано значение тангенса. Необходимо сделать так, чтобы в выражении у нас был тангенс. Вынесем cosα за скобки в числителе и знаменателе (или разделим числитель и знаменатель на cosα), получим:

Подставим значение тангенса данное в условии, получим:

*Косинус у нас сократился.

Ответ: 4

65363. Найдите tgα, если

В левой части в числителе и знаменателе вынесем cosα за скобки, получим:

Ответ: 0,4

65423. Найдите tgα, если

Умножим обе части уравнения на 4 (2sinα+cosα+1)

Ответ: –1,9

26775. Найдите tg α, если

Посмотреть решение

26776. Найдите tg α, если

Посмотреть решение

26777. Найдите 3cos α, если

Посмотреть решение

26778. Найдите 5sin α, если

Посмотреть решение

26787. Найдите tg²α, если

Посмотреть решение

26788. Найдите

Посмотреть решение

26789. Найдите

Посмотреть решение

26790. Найдите tg α, если

Посмотреть решение

26791. Найдите tg α, если

Посмотреть решение

Подведём итог, для решения подобных примеров вы:

1. Должны знать на зубок основные формулы тригонометрии.
2. Не забывать определять знак (+ или -) для тригонометрических функций в четвертях. Потерянный знак на экзамене – это ошибка и потерянный бал, будьте внимательны!!!

Надеюсь, что материал был для вас полезен.

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Основное тригонометрическое тождество

12 ноября 2011

Это последний и самый главный урок, необходимый для решения задач B11. Мы уже знаем, как переводить углы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а также умеем определять знак тригонометрической функции, ориентируясь по координатным четвертям (см. урок «Знаки тригонометрических функций»).

Дело осталось за малым: вычислить значение самой функции — то самое число, которое записывается в ответ. Здесь на помощь приходит основное тригонометрическое тождество.

Основное тригонометрическое тождество. Для любого угла α верно утверждение:

sin²α + cos²α = 1.

Эта формула связывает синус и косинус одного угла. Теперь, зная синус, мы легко найдем косинус — и наоборот. Достаточно извлечь квадратный корень:

Обратите внимание на знак «±» перед корнями. Дело в том, что из основного тригонометрического тождества непонятно, каким был исходный синус и косинус: положительным или отрицательным. Ведь возведение в квадрат — четная функция, которая «сжигает» все минусы (если они были).

Именно поэтому во всех задачах B11, которые встречаются в ЕГЭ по математике, обязательно есть дополнительные условия, которые помогают избавиться от неопределенности со знаками. Обычно это указание на координатную четверть, по которой можно определить знак.

Внимательный читатель наверняка спросит: «А как быть с тангенсом и котангенсом?» Напрямую вычислить эти функции из приведенных выше формул нельзя. Однако существуют важные следствия из основного тригонометрического тождества, которые уже содержат тангенсы и котангенсы. А именно:

Важное следствие: для любого угла α можно переписать основное тригонометрическое тождество следующим образом:

Эти уравнения легко выводятся из основного тождества — достаточно разделить обе стороны на cos²α (для получения тангенса) или на sin²α (для котангенса).

Рассмотрим все это на конкретных примерах. Ниже приведены настоящие задачи B11, которые взяты из пробных вариантов ЕГЭ по математике 2012.

Задача. Найдите sin α, если известно следующее:

Нам известен косинус, но неизвестен синус. Основное тригонометрическое тождество (в «чистом» виде) связывает как раз эти функции, поэтому будем работать с ним. Имеем:

sin²α + cos²α = 1 ⇒ sin²α + 99/100 = 1 ⇒sin²α = 1/100 ⇒sin α = ±1/10 = ±0,1.

Для решения задачи осталось найти знак синуса. Поскольку угол α ∈ (π/2; π), то в градусной мере это записывается так: α ∈ (90°; 180°).

Следовательно, угол α лежит во II координатной четверти — все синусы там положительны. Поэтому sin α = 0,1.

Задача. Найдите cos α, если известно следующее:

Итак, нам известен синус, а надо найти косинус. Обе эти функции есть в основном тригонометрическом тождестве. Подставляем:

sin²α + cos²α = 1 ⇒ 3/4 + cos²α = 1 ⇒cos²α = 1/4 ⇒cos α = ±1/2 = ±0,5.

Осталось разобраться со знаком перед дробью. Что выбрать: плюс или минус? По условию, угол α принадлежит промежутку (π 3π/2). Переведем углы из радианной меры в градусную — получим: α ∈ (180°; 270°).

Очевидно, это III координатная четверть, где все косинусы отрицательны. Поэтому cos α = −0,5.

Задача. Найдите tg α, если известно следующее:

Тангенс и косинус связаны уравнением, следующим из основного тригонометрического тождества:

Получаем: tg α = ±3. Знак тангенса определяем по углу α. Известно, что α ∈ (3π/2; 2π). Переведем углы из радианной меры в градусную — получим α ∈ (270°; 360°).

Очевидно, это IV координатная четверть, где все тангенсы отрицательны. Поэтому tg α = −3.

Задача. Найдите cos α, если известно следующее:

Снова известен синус и неизвестен косинус. Запишем основное тригонометрическое тождество:

sin²α + cos²α = 1 ⇒ 0,64 + cos²α = 1 ⇒cos²α = 0,36 ⇒cos α = ±0,6.

Знак определяем по углу. Имеем: α ∈ (3π/2; 2π). Переведем углы из градусной меры в радианную: α ∈ (270°; 360°) — это IV координатная четверть, косинусы там положительны. Следовательно, cos α = 0,6.

Задача. Найдите sin α, если известно следующее:

Запишем формулу, которая следует из основного тригонометрического тождества и напрямую связывает синус и котангенс:

Отсюда получаем, что sin²α = 1/25, т.е. sin α = ±1/5 = ±0,2. Известно, что угол α ∈ (0; π/2). В градусной мере это записывается так: α ∈ (0°; 90°) — I координатная четверть.

Итак, угол находится в I координатной четверти — все тригонометрические функции там положительны, поэтому sin α = 0,2.

Смотрите также:

Как формулы приведения работают в задаче B11
Тест к уроку «Знаки тригонометрических функций» (1 вариант)
Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №7
Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 2 (без логарифмов)
Метод узлов в задаче B5
Задача B5: площадь кольца

Формулы понижения степени в тригонометрии

Определение 1

Формулы понижения степени, их доказательство

sin2α=1-cos 2α2cos2α=1+cos 2α2sin3=3·sin α-sin 3α4sin4=3-4·cos 2α+cos 4α8cos4 α=3+4·cos 2α+cos 4α8

Данные формулы предназначены для понижения степени.

Существует формулы двойного угла у косинуса и синуса, из которых и следуют формулы понижения степени cos2α=1-2·sin2α и cos2α=2·cos2α-1. Равенства разрешаются относительно квадрата синуса и косинуса, которые предоставляются как sin2α=1-cos2α2 и cos2α=1+cos2α2.

Имеет место применение формулы тройного угла sin3α=3·sinα-4·sin3αи cos3α=-3·cosα+4·cos3α.

sin3α=3-4·cos2α+cos4α8 и cos3α=3·cosα+cos3α4.

Формулы четвертой степени тригонометрических функций выглядят так: sin4α=3-4·cos2α+cos4α8 и cos4α=3+4·cos2α+cos4α8.

sin4α =(sin2α)2=(1-cos2α2)2=1-2·cos2α+cos22α4==1-2·cos2α+1+cos4α24=3-4·cos2α+cos4α8;cos4α=(cos2α)2=(1+cos2α2)2=1+2·cos2α+cos22α4===1+2·cos2α+1+cos4α24=3+4·cos2α+cos4α8

Методом подстановки мы упростили сложное выражение. Для того, чтобы записать общий вид формул понижения степени разделим их на с наличием четных и нечетных показателей. Четные показатели, где n=2, 4, 6…, выражение имеет вид sinnα=Cn2n2n+12n-1·∑(-1)n2-kk=0n2-1·Ckn·cos((n-2·k)α) и cosnα=Cn2n2n+12n-1∑(-1)n2-kk=0n2-1·Ckn·cos((n-2·k)α).

Нечетные показатели, где n=3, 5, 7…, выражение имеет вид

sinnα=12n-1·∑(-1)n-12-kk=0n-12·Ckn·cos((n-2·k)α) и cosnα=12n-1∑(-1)n-12-kk=0n-12·Ckn·cos((n-2·k)α).

Cpq=p!q!·(p-q)! — это число сочетаний из p элементов по q.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Формулы понижения степени общего вида используются на любого выражения с высокой степенью для его упрощения. Рассмотрим пример для понижения кубического синуса. Третья степень нечетная, значит воспользуемся формулой sinnα=12n-1·∑(-1)n-22-kk=0n-12-k·Ckn·sin((n-2·k)α) где значение n присвоим 3. Подставляя n=3 в выражение, получим

sin3α=123-1·∑(-1)3-12-kk=03-12-k·Ck3·sin((3-2·k)α)==14·∑(-1)1-kk=01·Ck3·sin((3-2·k)α)==14·((-1)1-0·C03·sin((3-2·0)α) +(1)1-1·C13·sin((3-2·1)α))==14·((-1)1·3!0!·3!·sin3α+(-1)0·3!1!·(3-1)!·sinα)==14·(-sin3α+3·sinα)=3·sinα-sin3α4

Примеры применения формул понижения степени

Пример 1

Справедлива ли формула вида cos4α=3+4·cos2α+cos4α8 при α=α6.

Решение

Для того, чтобы данная формула прошла проверку на возможность понижения степени с заданным значением угла α, необходимо посчитать левую и правую стороны. По условию имеем, что α=π6, тогда 2α=π3, следовательно 4α=2π3.

По таблице тригонометрических функций имеем, что cosα=cosπ6=32, тогда cos2α=cosπ3=12.

Для подробного уяснения необходимо проштудировать статью значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Подставляя в формулу, получим cos4α=(cosπ6)4=(32)4=916 и 3+4cos2α+cos4α8=3+4cosπ3+cos2π38=3+4·12+(-12)8=916

Отсюда видим, что левая и правая части равенства верны при α=π6, значит, выражение справедливо при значении заданного угла. Если угол отличен от α, формула понижения степени одинаково применима.

Пример 2

При помощи формулы понижения степени преобразовать выражение sin32β5.

Решение

Кубический синус для угла α имеет формулу вида sin3α=3·sinα-sin3α4. В данном случае необходимо выполнить замену α на 2β5 и подставить в формулу, тогда получаем выражение вида sin32β5=3·sin2β5-sin(3·2β5)4.

Это выражение равно равенству sin32β5=3·sin2β5-sin6β54.

Ответ: sin32β5=3·sin2β5-sin6β54.

Производная синуса — sin x

Производная по переменной x от синуса x равна косинусу x:
( sin x )′ = cos x.

Доказательство

Для вывода формулы производной синуса, мы воспользуемся определением производной:
.

Чтобы найти этот предел, нам нужно преобразовать выражение таким образом, чтобы свести его к известным законам, свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства.
1) Значение первого замечательного предела:
(1) ;
2) Непрерывность функции косинус:
(2) ;
3) Тригонометрические формулы. Нам понадобится следующая формула:
(3) ;
4) Арифметические свойства предела функции:
Если и , то
(4) .

Применяем эти правила к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим формулу
(3) .
В нашем случае
; . Тогда
;
;
;
.

Теперь сделаем подстановку . При , . Применим первый замечательный предел (1):
.

Сделаем такую же подстановку и используем свойство непрерывности (2):
.

Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):

.

Формула производной синуса доказана.

Примеры

Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих синус. Мы найдем производные от следующих функций:
y = sin 2x; y = sin² x и y = sin³ x.

Пример 1

Найти производную от sin 2x.

Решение

Сначала найдем производную от самой простой части:
( 2x )′ = 2( x )′ = 2 · 1 = 2.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Здесь .

Ответ

( sin 2x )′ = 2 cos 2x.

См. также
Все примеры вычисления производных с решениями > > >

Пример 2

Найти производную от синуса в квадрате:
y = sin² x.

Решение

Перепишем исходную функцию в более понятном виде:
.
Найдем производную от самой простой части:
.
Применяем формулу производной сложной функции.

.
Здесь .

Можно применить одну из формул тригонометрии. Тогда
.

Ответ

Пример 3

Найти производную от синуса в кубе:
y = sin³ x.

Решение > > >

Производные высших порядков

Заметим, что производную от sin x первого порядка можно выразить через синус следующим образом:
.

Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции:

.
Здесь .

Теперь мы можем заметить, что дифференцирование sin x приводит к увеличению его аргумента на . Тогда производная n-го порядка имеет вид:
(5) .

Докажем это, применяя метод математической индукции.

Мы уже проверили, что при , формула (5) справедлива.

Предположим, что формула (5) справедлива при некотором значении . Докажем, что из этого следует, что формула (5) выполняется для .

Выпишем формулу (5) при :
.
Дифференцируем это уравнение, применяя правило дифференцирования сложной функции:

.
Здесь .
Итак, мы нашли:
.
Если подставить , то эта формула примет вид (5).

Формула доказана.

Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: 04-03-2017

тригонометрических отождествлений. Темы по тригонометрии.

Темы | Дом

Взаимные идентичности

Тангенс и котангенс

Пифагорейские тождества

Формулы суммы и разности

Формулы двойного угла

Формулы полууглов

Произведений суммой

Суммы как произведения

ИДЕНТИЧНОСТЬ — ЭТО РАВЕНСТВО, которое истинно для любого значения переменной. (Уравнение — это равенство, которое верно только для определенных значений переменной.)

В алгебре, например, у нас есть это тождество:

( x + 5) ( x — 5) = x ² — 25.

Значение идентичности состоит в том, что при вычислении мы можем заменить любой член другим. Мы используем идентичность, чтобы придать выражению более удобную форму. В исчислении и во всех его приложениях центральное значение имеют тригонометрические тождества.

На этой странице мы представим основные личности. У студента не будет лучшего способа практиковать алгебру, чем доказывать их. Ссылки на доказательства приведены ниже.

Взаимные идентичности

sin θ	=	1 csc θ	csc θ	=	1 sin θ

cos θ	=	1 сек θ	сек θ	=	1 cos θ

tan θ	=	1 детская кроватка θ	детская кроватка θ	=	1 tan θ

Проба

Опять же, при вычислении мы можем заменить любой член идентичности другим. Итак, если мы видим «sin θ», то мы можем, если захотим, заменить

это с «

1
csc θ

«; и симметрично, если мы увидим»

1
csc θ

«,

, тогда мы можем заменить его на «sin θ».

Проблема 1. Что означает утверждение, что csc θ является обратной величиной
sin θ?

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).

Это означает, что их продукт 1.

sin θ csc θ = 1.

Урок 5 алгебры.

Проблема 2. Оценить

tan 30 ° csc 30 ° cot 30 °.

tan 30 ° csc 30 ° cot 30 °	=	tan 30 ° cot 30 ° csc 30 °

	=	1 · csc 30 °

	=	2.

Тема 4.

Тангенс и котангенс

тангенс угла θ =

sin θ
cos θ

детская кроватка θ =

cos θ
sin θ

Проба

Пример 1. Покажите: tan θ cos θ = sin θ.

Решение: Проблема означает, что мы должны написать левую часть, а затем показать с помощью подстановок и алгебры, что мы можем преобразовать ее, чтобы она выглядела как правая часть.

Начинаем:

Мы подошли к правой стороне.

Пифагорейские тождества

а)	sin ² θ + cos ² θ	=	1.

б)	1 + загар ² θ	=	сек ² θ

в)	1 + детская кроватка ² θ	=	csc ² θ

a ‘)	sin ² θ	=	1 — cos ² θ.

	cos ² θ	=	1 — sin ² θ.

Они называются тождествами Пифагора, потому что, как мы увидим в их доказательстве, они являются тригонометрической версией теоремы Пифагора.

Два идентификатора, помеченные как ‘) — «а-простое число» — просто разные версии а).Первый показывает, как мы можем выразить sin θ через cos θ; второй показывает, как мы можем выразить cos θ через sin θ.

Примечание: sin ² θ — «синус-квадрат тета» — означает (sin θ) ².

Задача 3. Треугольник 3-4-5 прямоугольный.

а) Почему?

Он удовлетворяет теореме Пифагора.

б) Оцените следующее:

sin ² θ

16
25

cos ² θ

9
25

sin ² θ + cos ² θ

Пример 2. Показать:

Это то, что мы хотели показать.

Формулы суммы и разности

sin (α + β)	=	sin α cos β + cos α sin β
sin (α — β)	=	sin α cos β — cos α sin β
cos (α + β)	=	cos α cos β — sin α sin β
cos (α — β)	=	cos α cos β + sin α sin β

Примечание: В формулах синуса + или — слева также + или — справа.Но в формулах косинуса + слева становится — справа; и наоборот.

Поскольку эти тождества доказываются непосредственно из геометрии, от студента обычно не требуется усваивать доказательство. Однако все последующие тождества основаны на этих формулах суммы и разности. Студент обязательно должен их знать.

Вот доказательство формул суммы.

Пример 3. Оценить sin 15 °.

Решение.	sin 15 °

		Формулы

		Темы 4 и 5

Пример 4.Доказательство:

Это то, что мы хотели доказать.

Формулы двойного угла

Проба

Существует три версии cos 2α. Первый — с точки зрения обоих cos α и sin α. Второй — только по cos α. Третий — только с точки зрения sin α

Пример 5. Показать: sin 2α

Это то, что мы хотели доказать.

Пример 6. Показать:

Решение.

грех x

— согласно предыдущему тождеству с α =.

Формулы полууглов

Следующие ниже формулы половинного угла являются инверсией формул двойного угла, поскольку α составляет половину от 2α.

Знак плюс или минус зависит от квадранта. Под корнем косинус имеет знак +; синус, знак -.

Проба

Пример 7. Вычислить cos

π
8

Пример 8. Вывести идентификатор для tan

α
2

при делении числителя и знаменателя на cos α.

Произведений суммой

а)	sin α cos β	=	½ [sin (α + β) + sin (α — β)]

б)	cos α sin β	=	½ [sin (α + β) — sin (α — β)]

в)	cos α cos β	=	½ [cos (α + β) + cos (α — β)]

г)	sin α sin β	=	−½ [cos (α + β) — cos (α — β)]

Проба

Суммы как произведения

д)	sin A + sin B	=	2 sin ½ ( A + B ) cos ½ ( A — B )

е)	sin A — sin B	=	2 sin ½ ( A — B ) cos ½ ( A + B )

г)	cos A + cos B	=	2 cos ½ ( A + B ) cos ½ ( A — B )

ч)	cos A — cos B	=	−2 sin ½ ( A + B ) sin ½ ( A — B )

В доказательствах ученик увидит, что тождества с e) по h) являются инверсиями соответственно от a) до d), которые доказываются в первую очередь. Тождество f) используется для доказательства одной из основных теорем исчисления, а именно о производной sin x .

Учащийся не должен пытаться запомнить эти личности. Достаточно попрактиковаться в их доказательствах — и увидеть, что они исходят из формул суммы и разности.

Темы | Дом

Вопросы или комментарии?

Электронная почта: themathpage @ яндекс.com

Подтверждения тригонометрических тождеств

Подтверждение личности

Доказательство касательного и котангенсного тождеств

Доказательство пифагорейской идентичности

Доказательство каждого из них следует из определений тригонометрических функций, Тема 15.

Доказательство взаимных отношений

По определению:

sin θ

y
r

csc θ

r
y

Следовательно, sin θ является обратной величиной csc θ:

sin θ

1
csc θ

, где 1-над любым количеством является символом его обратного значения; Урок 5 алгебры. Аналогично для остальных функций.

Доказательство касательного и котангенсного тождеств

Доказать:

тангенс угла θ =

sin θ
cos θ

детская кроватка θ =

cos θ
sin θ

Доказательство . По определению

Следовательно, при делении числителя и знаменателя на r ,

tan θ	=	y / r x / r	=	sin θ cos θ	.

детская кроватка θ	=	1 tan θ	=	cos θ sin θ	.

Это две личности.

Доказательство пифагорейской идентичности

Доказать:


а)	sin ² θ + cos ² θ	=	1

б)	1 + загар ² θ	=	сек ² θ

в)	1 + детская кроватка ² θ	=	csc ² θ

Доказательство 1 .Согласно теореме Пифагора,

x ² + y ² = r ². . . . . . (1)

Следовательно, при разделении обеих сторон на r ²,

x ²
r ²

y ²
r ²

r ²
r ²

= 1.

То есть по определениям

cos ² θ + sin ² θ = 1.. . . . (2)

Помимо порядка следования терминов, это первое пифагорейское тождество, а).

Чтобы получить b), разделите линию (1) на x ²; чтобы получить c), разделите на y ².

Или мы можем вывести б) и в) из а), разделив сначала на cos ² θ, а затем на sin ² θ.На разделительной прямой 2) на cos ² θ имеем

То есть

1 + tan ² θ = сек ² θ.

А если разделить а) на sin ² θ, получим

То есть

1 + детская кроватка ² θ = csc ² θ.

Таким образом, три пифагорейских тождества эквивалентны друг другу.

Доказательство 2.

sin ² θ + cos ² θ	=	y ² r ²	+	x ² r ²

	=	y ² + x ² r ²

	=	r ² r ²
согласно теореме Пифагора,
	=	1.

Тригонометрические идентификаторы

Темы | Дом

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Доказательство формул двойного и половинного угла. Тригонометрия с самого начала.

Доказательство формул двойного и полууглового

Формулы двойного угла

Доказательство

Формулы двойного угла доказываются из формул сумм, если положить β =.У нас

Это первая из трех версий cos 2. Чтобы получить вторую версию, в строке (1) используйте это пифагорейское тождество:

sin ² = 1 — cos ².

Строка (1) становится

Чтобы получить третью версию, в строке (1) используйте это пифагорейское тождество:

cos ² = 1 — sin ².

У нас

Это три формы cos 2.

Формулы полуугловых

. . . . . . . (2 ‘)

. . . . . . . (3 ‘)

Назовем мы переменную θ или не имеет значения. Важна форма.

Доказательство

Теперь это половина от 2. Поэтому в строке (2) мы положим 2 = θ , так что

становится

θ
2

cos θ

2 cos ²

θ
2

— 1.

О решении этой алгебраической задачи для cos

θ
2

, у нас будет полуугол

Формула

для косинуса.

Итак, переставляя 1 и меняя стороны, мы имеем

2 cos ²	θ 2	=	1 + cos θ

cos ²	θ 2	=	½ (1 + cos θ )

cos	θ 2	=	.

Это формула половинного угла для косинуса. Знак ± будет зависеть от квадранта полуугла. Опять же, назовем ли мы аргумент θ или не имеет значения.

Обратите внимание, что эта формула помечена (2 ‘) — «2-простое число»; это напоминает нам, что мы вывели его из формулы (2).

Формула для греха

θ
2

получается из 2 = θ в строке (3).На

транспонирование, строка (3) становится

	2 грех ²	θ 2	=	1 — cos θ ,
так что

	грех	θ 2	=	.

Это формула половинного угла для синуса.

Тригонометрические идентификаторы

Содержание | Дом

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Функция синус-квадрат — исчисление

Эта статья посвящена конкретной функции от подмножества действительных чисел до действительных чисел.Информация о функции, включая ее домен, диапазон и ключевые данные, относящиеся к построению графиков, дифференциации и интеграции, представлена в статье.
Посмотреть полный список конкретных функций в этой вики

Определение

Эта функция, обозначенная, определяется как комбинация функции квадрата и функции синуса. Явно это карта:

Для краткости запишем как.

Ключевые данные

Арт.	Значение
Домен по умолчанию	все действительные числа, т.е.е., все
диапазон	, то есть абсолютное максимальное значение: 1, абсолютное минимальное значение: 0
период	, т.е.
локальное максимальное значение и точки достижения	Все локальные максимальные значения равны 1 и достигаются с нечетным целым числом, кратным.
локальное минимальное значение и точки достижения	Все локальные минимальные значения равны 0 и достигаются при целых кратных.
точек перегиба (обе координаты)	нечетных кратных, со значением 1/2 в каждой точке.
производная	, т. Е. Двухугловая синусоидальная функция.
вторая производная
производная	раз выражение, которое является или, в зависимости от остатка от мода
первообразное
среднее значение за период	1/2
выражение как синусоидальная функция плюс постоянная функция
важные симметрии	четная функция (следует из композиции четной функции с нечетной функцией, четной функцией квадрата и нечетной функцией синуса) в более общем смысле, зеркальной симметрией относительно любой вертикальной линии формы, целым числом. Кроме того, симметрия на пол-оборота относительно всех точек формы.
Описание интервала на основе увеличения / уменьшения и вогнутости вверх / вниз	Для каждого целого числа интервал от до подразделяется на четыре части: : увеличивающаяся и вогнутая вверх : увеличивающаяся и вогнутая вниз : уменьшающаяся и вогнутая вниз, : уменьшающаяся и вогнутая вверх
степенной серии и серии Тейлора	Ряд степеней около 0 (который, следовательно, также ряд Тейлора) равен Это глобально сходящийся ряд степеней.

Личности

У нас есть следующие важные личности:

График

Вот график на интервале в масштабе:

Вот увеличенный вид графика между и. Пунктирная горизонтальная линия показывает среднее значение:

Красные точки указывают точки перегиба, а черные точки указывают локальные экстремальные значения.

Вот изображение, показывающее функцию (синий) и функцию косинуса в квадрате (фиолетовый) с пунктирной линией.На картинке показано, что:

Дифференциация

Первая производная

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : правило цепочки для дифференцирования, правило дифференцирования для степенных функций, функция синуса # Первая производная, формула двойного углового косинуса

У нас есть:

Это можно сделать двумя способами.

Используя цепное правило дифференцирования, мы имеем:

По формуле синуса двойного угла это то же самое, что.

В качестве альтернативы, используя формулу двойного углового косинуса, мы перепишем:

Различая, получаем:

Вторая производная

Снова дифференцируя производную, получаем:

График функции с производной

Заполните позже

Точки и интервалы интереса

Критические точки

Считай. Как было вычислено ранее, мы имеем:

Это равно нулю точно в точках, где, так.Другими словами, критические точки возникают в целых числах, кратных.

Интервалы увеличения и уменьшения

Функция положительна для, с и отрицательна для, с. Разделив на 2, получим:

Локальные экстремальные значения

Из информации об интервалах увеличения и уменьшения делаем вывод, что:

Интервалы подъема и опускания

Вторая производная — это функция. Это положительно для и отрицательно для, где.Таким образом получаем:

Точки перегиба

Из определения интервалов, где находится вогнутый вверх и вогнутый вниз, мы обнаруживаем, что точки перегиба являются точками с координатой -координатой, нечетной кратной. Значение функции во всех этих точках равно.

В точках с функция переходит от вогнутого вверх (слева) к вогнутому вниз (справа).
В точках с функция переходит от вогнутости вниз (слева) к вогнутости вверх (справа).

Интеграция

Первая первообразная

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : формула двойного углового косинуса, рекурсивная версия интегрирования по частям, интегрирование линейного преобразования функции

Использование формулы двойного углового косинуса

Теперь мы можем выполнить интеграцию:

Для интегрирования мы используем метод интегрирования линейного преобразования функции, чтобы получить. Подключив это, мы получаем:

Использование интеграции по частям

Переписываем и используем интеграцию по частям в ее рекурсивной версии:

Перепишем и получим:

Установка как выбор первообразной, так что вышеупомянутое выполняется без каких-либо свободно плавающих констант, мы получаем:

Переставляя, получаем:

Это дает:

Итак, общая первообразная:

Используя формулу синуса двойного угла, мы можем убедиться, что это соответствует предыдущему ответу.

Для данной непрерывной функции на связанном множестве первообразные, полученные разными методами, должны отличаться на константу . В некоторых случаях первообразные могут быть в точности равными, но это , как правило, не обязательно .
См. Нулевую производную означает локальную константу

График функции с первообразной

На рисунке ниже мы изображаем (синий) и функцию (фиолетовый). Это уникальная первообразная, которая принимает значение 0 на 0.Остальные первообразные можно получить, сдвинув пурпурный график по вертикали:

Черные точки соответствуют локальным экстремальным значениям, а красные точки соответствуют точкам перегиба первообразной. Как и следовало ожидать, каждая черная точка находится на той же вертикальной линии, что и красная точка, поскольку точки перегиба первообразной соответствуют локальным экстремальным значениям исходной функции. Способствовать:

Определенные интегралы

Часть первообразной означает, что линейная часть первообразной имеет наклон, и это связано с тем, что имеет среднее значение на любом интервале длины, равной периоду.Фактически ясно, что функция является синусоидальной функцией около.

Таким образом, имеем:

где — целое число.

Среднее значение на интервале длины, кратном периоду. Таким образом, для очень больших интервалов среднее значение очень близко к 1/2, даже если оно не обязательно должно быть точно 1/2. Конкретно:

Трансформированные версии

На основе интегрирования, мы также можем интегрировать квадрат любой синусоидальной функции, используя интегрирование линейного преобразования функции:

Таким образом, мы видим, что среднее значение этой функции также на любом интервале длины, кратной периоду.Также на достаточно большом интервале среднее значение близко к 1/2:

Высшие первообразные

Антидифференцировать можно более одного раза. Первообразная — это сумма полинома степени и тригонометрической функции с периодом.

Силовая серия и серия Тейлора

Вычисление степенного ряда

Мы можем использовать удостоверение личности:

вместе со степенным рядом для функции косинуса, чтобы найти степенной ряд для.

Степенный ряд для функции косинуса везде сходится к функции и равен:

Силовой ряд для:

Разделив на 2, мы получим степенной ряд для:

Вот еще одна формулировка, в которой первые несколько терминов написаны более четко:

Многочлены Тейлора как приближения

Обратите внимание, что, поскольку является четной функцией, все ее многочлены Тейлора также являются четными многочленами.На рисунке ниже мы рассматриваем графики и его второго, четвертого и шестого тейлоровских приближений.

Предельные вычисления

Порядок нуля

Мы получаем следующий предел из степенного ряда:

Таким образом, порядок нуля в нуле равен 2, а остаток равен 1.

Этот предел можно вычислить разными способами:

Пределы высшего порядка

У нас есть лимит:

Этот предел можно вычислить разными способами:

Функция синус-квадрат — исчисление

Эта статья посвящена конкретной функции от подмножества действительных чисел до действительных чисел.Информация о функции, включая ее домен, диапазон и ключевые данные, относящиеся к построению графиков, дифференциации и интеграции, представлена в статье.
Посмотреть полный список конкретных функций в этой вики

Определение

Эта функция, обозначенная, определяется как комбинация функции квадрата и функции синуса. Явно это карта:

Для краткости запишем как.

Ключевые данные

Арт.	Значение
Домен по умолчанию	все действительные числа, т.е.е., все
диапазон	, то есть абсолютное максимальное значение: 1, абсолютное минимальное значение: 0
период	, т.е.
локальное максимальное значение и точки достижения	Все локальные максимальные значения равны 1 и достигаются с нечетным целым числом, кратным.
локальное минимальное значение и точки достижения	Все локальные минимальные значения равны 0 и достигаются при целых кратных.
точек перегиба (обе координаты)	нечетных кратных, со значением 1/2 в каждой точке.
производная	, т. Е. Двухугловая синусоидальная функция.
вторая производная
производная	раз выражение, которое является или, в зависимости от остатка от мода
первообразное
среднее значение за период	1/2
выражение как синусоидальная функция плюс постоянная функция
важные симметрии	четная функция (следует из композиции четной функции с нечетной функцией, четной функцией квадрата и нечетной функцией синуса) в более общем смысле, зеркальной симметрией относительно любой вертикальной линии формы, целым числом. Кроме того, симметрия на пол-оборота относительно всех точек формы.
Описание интервала на основе увеличения / уменьшения и вогнутости вверх / вниз	Для каждого целого числа интервал от до подразделяется на четыре части: : увеличивающаяся и вогнутая вверх : увеличивающаяся и вогнутая вниз : уменьшающаяся и вогнутая вниз, : уменьшающаяся и вогнутая вверх
степенной серии и серии Тейлора	Ряд степеней около 0 (который, следовательно, также ряд Тейлора) равен Это глобально сходящийся ряд степеней.

Личности

У нас есть следующие важные личности:

График

Вот график на интервале в масштабе:

Вот увеличенный вид графика между и. Пунктирная горизонтальная линия показывает среднее значение:

Красные точки указывают точки перегиба, а черные точки указывают локальные экстремальные значения.

Дифференциация

Первая производная

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : правило цепочки для дифференцирования, правило дифференцирования для степенных функций, функция синуса # Первая производная, формула двойного углового косинуса

У нас есть:

Это можно сделать двумя способами.

Используя цепное правило дифференцирования, мы имеем:

По формуле синуса двойного угла это то же самое, что.

В качестве альтернативы, используя формулу двойного углового косинуса, мы перепишем:

Различая, получаем:

Вторая производная

Снова дифференцируя производную, получаем:

График функции с производной

Заполните позже

Точки и интервалы интереса

Критические точки

Считай. Как было вычислено ранее, мы имеем:

Это равно нулю точно в точках, где, так.Другими словами, критические точки возникают в целых числах, кратных.

Интервалы увеличения и уменьшения

Функция положительна для, с и отрицательна для, с. Разделив на 2, получим:

Локальные экстремальные значения

Из информации об интервалах увеличения и уменьшения делаем вывод, что:

Интервалы подъема и опускания

Вторая производная — это функция. Это положительно для и отрицательно для, где.Таким образом получаем:

Точки перегиба

В точках с функция переходит от вогнутого вверх (слева) к вогнутому вниз (справа).
В точках с функция переходит от вогнутости вниз (слева) к вогнутости вверх (справа).

Интеграция

Первая первообразная

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : формула двойного углового косинуса, рекурсивная версия интегрирования по частям, интегрирование линейного преобразования функции

Использование формулы двойного углового косинуса

Теперь мы можем выполнить интеграцию:

Использование интеграции по частям

Переписываем и используем интеграцию по частям в ее рекурсивной версии:

Перепишем и получим:

Переставляя, получаем:

Это дает:

Итак, общая первообразная:

Используя формулу синуса двойного угла, мы можем убедиться, что это соответствует предыдущему ответу.

Для данной непрерывной функции на связанном множестве первообразные, полученные разными методами, должны отличаться на константу . В некоторых случаях первообразные могут быть в точности равными, но это , как правило, не обязательно .
См. Нулевую производную означает локальную константу

График функции с первообразной

Определенные интегралы

Таким образом, имеем:

где — целое число.

Трансформированные версии

Высшие первообразные

Силовая серия и серия Тейлора

Вычисление степенного ряда

Мы можем использовать удостоверение личности:

вместе со степенным рядом для функции косинуса, чтобы найти степенной ряд для.

Степенный ряд для функции косинуса везде сходится к функции и равен:

Силовой ряд для:

Разделив на 2, мы получим степенной ряд для:

Вот еще одна формулировка, в которой первые несколько терминов написаны более четко:

Многочлены Тейлора как приближения

Предельные вычисления

Порядок нуля

Мы получаем следующий предел из степенного ряда:

Таким образом, порядок нуля в нуле равен 2, а остаток равен 1.

Этот предел можно вычислить разными способами:

Пределы высшего порядка

У нас есть лимит:

Этот предел можно вычислить разными способами:

Функция синус-квадрат — исчисление

Эта статья посвящена конкретной функции от подмножества действительных чисел до действительных чисел.Информация о функции, включая ее домен, диапазон и ключевые данные, относящиеся к построению графиков, дифференциации и интеграции, представлена в статье.
Посмотреть полный список конкретных функций в этой вики

Определение

Эта функция, обозначенная, определяется как комбинация функции квадрата и функции синуса. Явно это карта:

Для краткости запишем как.

Ключевые данные

Арт.	Значение
Домен по умолчанию	все действительные числа, т.е.е., все
диапазон	, то есть абсолютное максимальное значение: 1, абсолютное минимальное значение: 0
период	, т.е.
локальное максимальное значение и точки достижения	Все локальные максимальные значения равны 1 и достигаются с нечетным целым числом, кратным.
локальное минимальное значение и точки достижения	Все локальные минимальные значения равны 0 и достигаются при целых кратных.
точек перегиба (обе координаты)	нечетных кратных, со значением 1/2 в каждой точке.
производная	, т. Е. Двухугловая синусоидальная функция.
вторая производная
производная	раз выражение, которое является или, в зависимости от остатка от мода
первообразное
среднее значение за период	1/2
выражение как синусоидальная функция плюс постоянная функция
важные симметрии	четная функция (следует из композиции четной функции с нечетной функцией, четной функцией квадрата и нечетной функцией синуса) в более общем смысле, зеркальной симметрией относительно любой вертикальной линии формы, целым числом. Кроме того, симметрия на пол-оборота относительно всех точек формы.
Описание интервала на основе увеличения / уменьшения и вогнутости вверх / вниз	Для каждого целого числа интервал от до подразделяется на четыре части: : увеличивающаяся и вогнутая вверх : увеличивающаяся и вогнутая вниз : уменьшающаяся и вогнутая вниз, : уменьшающаяся и вогнутая вверх
степенной серии и серии Тейлора	Ряд степеней около 0 (который, следовательно, также ряд Тейлора) равен Это глобально сходящийся ряд степеней.

Личности

У нас есть следующие важные личности:

График

Вот график на интервале в масштабе:

Вот увеличенный вид графика между и. Пунктирная горизонтальная линия показывает среднее значение:

Красные точки указывают точки перегиба, а черные точки указывают локальные экстремальные значения.

Дифференциация

Первая производная

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : правило цепочки для дифференцирования, правило дифференцирования для степенных функций, функция синуса # Первая производная, формула двойного углового косинуса

У нас есть:

Это можно сделать двумя способами.

Используя цепное правило дифференцирования, мы имеем:

По формуле синуса двойного угла это то же самое, что.

В качестве альтернативы, используя формулу двойного углового косинуса, мы перепишем:

Различая, получаем:

Вторая производная

Снова дифференцируя производную, получаем:

График функции с производной

Заполните позже

Точки и интервалы интереса

Критические точки

Считай. Как было вычислено ранее, мы имеем:

Это равно нулю точно в точках, где, так.Другими словами, критические точки возникают в целых числах, кратных.

Интервалы увеличения и уменьшения

Функция положительна для, с и отрицательна для, с. Разделив на 2, получим:

Локальные экстремальные значения

Из информации об интервалах увеличения и уменьшения делаем вывод, что:

Интервалы подъема и опускания

Вторая производная — это функция. Это положительно для и отрицательно для, где.Таким образом получаем:

Точки перегиба

В точках с функция переходит от вогнутого вверх (слева) к вогнутому вниз (справа).
В точках с функция переходит от вогнутости вниз (слева) к вогнутости вверх (справа).

Интеграция

Первая первообразная

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : формула двойного углового косинуса, рекурсивная версия интегрирования по частям, интегрирование линейного преобразования функции

Использование формулы двойного углового косинуса

Теперь мы можем выполнить интеграцию:

Использование интеграции по частям

Переписываем и используем интеграцию по частям в ее рекурсивной версии:

Перепишем и получим:

Переставляя, получаем:

Это дает:

Итак, общая первообразная:

Используя формулу синуса двойного угла, мы можем убедиться, что это соответствует предыдущему ответу.

Для данной непрерывной функции на связанном множестве первообразные, полученные разными методами, должны отличаться на константу . В некоторых случаях первообразные могут быть в точности равными, но это , как правило, не обязательно .
См. Нулевую производную означает локальную константу

График функции с первообразной

Определенные интегралы

Таким образом, имеем:

где — целое число.

Трансформированные версии

Высшие первообразные

Силовая серия и серия Тейлора

Вычисление степенного ряда

Мы можем использовать удостоверение личности:

вместе со степенным рядом для функции косинуса, чтобы найти степенной ряд для.

Степенный ряд для функции косинуса везде сходится к функции и равен:

Силовой ряд для:

Разделив на 2, мы получим степенной ряд для:

Вот еще одна формулировка, в которой первые несколько терминов написаны более четко:

Многочлены Тейлора как приближения

Предельные вычисления

Порядок нуля

Мы получаем следующий предел из степенного ряда:

Таким образом, порядок нуля в нуле равен 2, а остаток равен 1.

Этот предел можно вычислить разными способами:

Пределы высшего порядка

У нас есть лимит:

Этот предел можно вычислить разными способами:

Функция синус-квадрат — исчисление

Эта статья посвящена конкретной функции от подмножества действительных чисел до действительных чисел.Информация о функции, включая ее домен, диапазон и ключевые данные, относящиеся к построению графиков, дифференциации и интеграции, представлена в статье.
Посмотреть полный список конкретных функций в этой вики

Определение

Эта функция, обозначенная, определяется как комбинация функции квадрата и функции синуса. Явно это карта:

Для краткости запишем как.

Ключевые данные

Арт.	Значение
Домен по умолчанию	все действительные числа, т.е.е., все
диапазон	, то есть абсолютное максимальное значение: 1, абсолютное минимальное значение: 0
период	, т.е.
локальное максимальное значение и точки достижения	Все локальные максимальные значения равны 1 и достигаются с нечетным целым числом, кратным.
локальное минимальное значение и точки достижения	Все локальные минимальные значения равны 0 и достигаются при целых кратных.
точек перегиба (обе координаты)	нечетных кратных, со значением 1/2 в каждой точке.
производная	, т. Е. Двухугловая синусоидальная функция.
вторая производная
производная	раз выражение, которое является или, в зависимости от остатка от мода
первообразное
среднее значение за период	1/2
выражение как синусоидальная функция плюс постоянная функция
важные симметрии	четная функция (следует из композиции четной функции с нечетной функцией, четной функцией квадрата и нечетной функцией синуса) в более общем смысле, зеркальной симметрией относительно любой вертикальной линии формы, целым числом. Кроме того, симметрия на пол-оборота относительно всех точек формы.
Описание интервала на основе увеличения / уменьшения и вогнутости вверх / вниз	Для каждого целого числа интервал от до подразделяется на четыре части: : увеличивающаяся и вогнутая вверх : увеличивающаяся и вогнутая вниз : уменьшающаяся и вогнутая вниз, : уменьшающаяся и вогнутая вверх
степенной серии и серии Тейлора	Ряд степеней около 0 (который, следовательно, также ряд Тейлора) равен Это глобально сходящийся ряд степеней.

Личности

У нас есть следующие важные личности:

График

Вот график на интервале в масштабе:

Вот увеличенный вид графика между и. Пунктирная горизонтальная линия показывает среднее значение:

Красные точки указывают точки перегиба, а черные точки указывают локальные экстремальные значения.

Дифференциация

Первая производная

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : правило цепочки для дифференцирования, правило дифференцирования для степенных функций, функция синуса # Первая производная, формула двойного углового косинуса

У нас есть:

Это можно сделать двумя способами.

Используя цепное правило дифференцирования, мы имеем:

По формуле синуса двойного угла это то же самое, что.

В качестве альтернативы, используя формулу двойного углового косинуса, мы перепишем:

Различая, получаем:

Вторая производная

Снова дифференцируя производную, получаем:

График функции с производной

Заполните позже

Точки и интервалы интереса

Критические точки

Считай. Как было вычислено ранее, мы имеем:

Это равно нулю точно в точках, где, так.Другими словами, критические точки возникают в целых числах, кратных.

Интервалы увеличения и уменьшения

Функция положительна для, с и отрицательна для, с. Разделив на 2, получим:

Локальные экстремальные значения

Из информации об интервалах увеличения и уменьшения делаем вывод, что:

Интервалы подъема и опускания

Вторая производная — это функция. Это положительно для и отрицательно для, где.Таким образом получаем:

Точки перегиба

В точках с функция переходит от вогнутого вверх (слева) к вогнутому вниз (справа).
В точках с функция переходит от вогнутости вниз (слева) к вогнутости вверх (справа).

Интеграция

Первая первообразная

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : формула двойного углового косинуса, рекурсивная версия интегрирования по частям, интегрирование линейного преобразования функции

Использование формулы двойного углового косинуса

Теперь мы можем выполнить интеграцию:

Использование интеграции по частям

Переписываем и используем интеграцию по частям в ее рекурсивной версии:

Перепишем и получим:

Переставляя, получаем:

Это дает:

Итак, общая первообразная:

Используя формулу синуса двойного угла, мы можем убедиться, что это соответствует предыдущему ответу.

Для данной непрерывной функции на связанном множестве первообразные, полученные разными методами, должны отличаться на константу . В некоторых случаях первообразные могут быть в точности равными, но это , как правило, не обязательно .
См. Нулевую производную означает локальную константу

График функции с первообразной

Определенные интегралы

Таким образом, имеем:

где — целое число.

Трансформированные версии

Высшие первообразные

Силовая серия и серия Тейлора

Вычисление степенного ряда

Мы можем использовать удостоверение личности:

вместе со степенным рядом для функции косинуса, чтобы найти степенной ряд для.

Степенный ряд для функции косинуса везде сходится к функции и равен:

Силовой ряд для:

Разделив на 2, мы получим степенной ряд для:

Вот еще одна формулировка, в которой первые несколько терминов написаны более четко:

Многочлены Тейлора как приближения

Предельные вычисления

Порядок нуля

Мы получаем следующий предел из степенного ряда:

Таким образом, порядок нуля в нуле равен 2, а остаток равен 1.

Этот предел можно вычислить разными способами:

Пределы высшего порядка

У нас есть лимит:

Этот предел можно вычислить разными способами: