Только самая полезная информация об интегральной теореме Лапласа — всё необходимое в наглядном, понятном виде.
Теорема Лапласа — это развитие идей, которые сформулировал Бернулли, создав универсальную схему для проведения испытаний. Он сформировал такой набор критериев, выполняя которые, практически любую вероятностную ситуацию можно свести к схеме Бернулли. А затем воспользоваться формулой Бернулли для вычисления вероятности события.
Однако, сама формула, хоть и является универсальной, в некоторых случаях оказывается слишком сложной для применения. Поэтому, позже, французский математик Лаплас нашёл возможность упрощённого вычисления вероятности события, в эксперименте по схеме Бернулли, со степенью точности повышающейся по мере увеличения количества элементарных экспериментов. Так была создана локальная, а затем интегральная теорема Лапласа.
Если в локальной теореме речь идёт о дискретных значения случайных величин и она предназначена для поиска вероятностей при которых параметр случайного события принимает конкретное значение, то в интегральной теореме Лапласа речь идёт о попадании значения в какой-либо заранее заданный интервал.
2}{2}}dt$ — функция Лапласа
$x_1=\frac{k_1-n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot q}}$
$x_2=\frac{k_2-n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot q}}$
Когда рассматривается вероятность появления какого-то конкретного события, то сложностей не возникает и для использования хорошо подходит локальная теорема Лапласа. Если же необходимо определить вероятность возникновения большого количества событий, то часто удобно говорить о попадании значения в заданный интервал. Например, если вероятность того, что изделие будет бракованное составляет 15% и требуется вычислить вероятность, что для партии в 10000 единиц продукции бракованными окажутся 900 единиц. Такую задачу не сложно решить с помощью локальной теоремы Лапласа. Если же есть необходимость вычислить вероятность, что бракованных изделий будет, допустим, от 950 до 1150, то по этой теореме придётся высчитывать вероятности для двух сотен значений, что очень трудоёмко. Вот в такой ситуации и помогает интегральная теорема Лапласа. Она позволяет значительно упростить расчёты, сводя вычисления к использованию одной формулы.
{-4}$.
Получили, что искомая вероятность будет очень мала, что хорошо согласуется с предварительной оценкой условия.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример 2
На соревнованиях по исторической реконструкции, стрелки из лука соревнуются в меткости. Они много тренировались, поэтому вероятность промаха по мишени составляет всего 0,1. Определить вероятность того, что из 1000 выстрелов будет 890 попаданий в мишень.
Решение:
Исходя из условия вычисляем:
Максимальное число выстрелов n=1000.
Вероятность, что какой-либо конкретный работник носит портфель, составляет q=0,1.
Вероятность того, что работник не носит портфель: p=1-q=1-0,1=0,9.
Границы интервала:
$k_1=1000$
$k_2=890$
Вычисления проводим по формуле:
$P_n(890<m<1000)\approx Ф(x_2)-Ф(x_1)$,
$x_1=\frac{k_1-n \cdot p} {\sqrt{n \cdot p \cdot q}}= \frac{1000-1000\cdot 0,9 } {\sqrt{1000 \cdot 0,1 \cdot0,9} }=10,53$
$x_2= \frac{k_2-n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot q}} = \frac{890-1000\cdot 0,9 }{\sqrt{1000 \cdot 0,1 \cdot0,9}}=-1,05$
Получаем:
$P_n(890<m<1000)\approx Ф(x_2)-Ф(x_1)= Ф(10,53)-Ф(-1,53)=0,5+0,353=0,853$
Значения функции Лапласа находим по соответствующей таблице.
Окончательный ответ: вероятность 890 удачных выстрелов из 1000 составляет 0,853.
Математика и теория вероятностей
Математика и теория вероятностей
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Известен ряд
утверждений.Теорема Лапласа — Математическая энциклопедия
Теорема Лапласа об определителях. См. Кофактор.
2010 Математика Классификация предметов: Начальная школа: 60F05 [MSN][ZBL]
Теорема Лапласа об аппроксимации биномиального распределения нормальным распределением. Это первая версия центральной предельной теоремы теории вероятностей: если $S_{n}$ обозначает число «успехов» в $n$ испытаниях Бернулли с вероятностью успеха $p$ ($0
9{2} / 2}
$$
— плотность стандартного нормального распределения, а $ \epsilon_{n} \to 0 $ при $ n \to \infty $ равномерно для всех $ m $, для которых $ x = \dfrac{m — n p}{\sqrt{ n p (1 — p)}} $ лежит в некотором конечном интервале.
В общем виде теорема доказана П. С. Лапласом [L]. Частный случай $ p = 0,5 $ теоремы Лапласа изучал А. де Муавр [M]. Поэтому теорему Лапласа иногда называют «теоремой де Муавра–Лапласа».
Для практических приложений теорема Лапласа важна для того, чтобы получить представление об ошибках, возникающих при использовании аппроксимационных формул. В более точной (по сравнению с [L]) асимптотической формуле
$$
\forall y \in \mathbb{R}: \qquad
\mathsf{P}(S_{n} < y) = \Phi \! \left( \frac{y - n p + 0,5}{\sqrt{n p (1 - p)}} \right) + {R_{n}}(y),
$$
остаточный член $ {R_{n}}(y) $ имеет порядок $ \mathcal{O} \! \left( \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right) $ равномерно для всех действительных чисел $ y $. Для равномерной аппроксимации биномиального распределения с помощью нормального распределения используется следующая формула Я.
{3 \ sigma / 2}}.
$$
Для повышения относительной точности аппроксимации С. Н. Бернштейн [S. Н. Бернштейн] (1943) и В. Феллер (1945) предложили другие формулы.
Каталожные номера
| [L] | П. С. Лаплас, «Аналитическая теория вероятностей», Париж (1812 г.). MR2274728, MR1400403, MR1400402, Збл 1047.01534, Збл 1047.01533 |
| [М] | А. де Муавр, «Miscellanea analytica de seriebus et quadraturis», Лондон (1730 г.). |
| [PR] | Ю.В. В. Прохоров, Ю.А. А. Розанов, “Теория вероятностей, основные понятия. Предельные теоремы, случайные процессы”, Спрингер (1969). (перевод с русского) MR0251754 |
| [Ж] | В. Феллер, “О нормальном приближении к биномиальному распределению”, Ann. Мат. Статист. , 16 (1945), стр. 319–329. MR0015706, Збл 0060.28703 |
| [F2] | В. Феллер, “Введение в теорию вероятностей и ее приложения”, 1 , Wiley (1968). |
Комментарии
Для более подробного и более общего обсуждения аппроксимации нормальным распределением см. [P].
Каталожные номера
| [P] | В. В. Петров, «Суммы независимых случайных величин», Springer (1975). (перевод с русского) MR0388499, Збл 0322.60043, Збл 0322.60042 |
Как процитировать эту запись:
Теорема Лапласа. Математическая энциклопедия. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Laplace_theorem&oldid=39017
Эта статья адаптирована из оригинальной статьи А.В. Прохорова (создатель), которая появилась в Математической энциклопедии — ISBN 1402006098. См. оригинальную статью
Теория вероятностей — не что иное, как здравый смысл, сведенный к вычислениям
Теория вероятностей есть не что иное, как здравый смысл, сведенный к вычислениям
Теория вероятностей, в сущности, есть не что иное, как здравый смысл, сведенный к исчислению; оно позволяет нам точно оценить то, что точные умы чувствуют своего рода инстинктом, который они часто не в состоянии объяснить.Покалывание паучьего чутья и дощечка Мёбиуса
— Пьер-Симон Лаплас (1749-1827)
Покалывание паучьего чутья
Теория вероятностей — не что иное, как здравый смысл, сведенный к расчетам
Теория вероятностей — ничто иное, как основание здравый смысл сводится к расчету; оно позволяет нам точно оценить то, что точные умы чувствуют своего рода инстинктом, который они часто не в состоянии объяснить.
— Пьер-Симон Лаплас (1749 г.-1827)
Заголовок ответа…
Пьер-Симон Лаплас — планксип
Пьер-Симон Лаплас был французским ученым, чьи работы сыграли важную роль в развитии математики, статистики, физики и астрономии..
planksipФридрих Великий
Что общего у Пьера-Симона Лапласа и Фридриха Великого? Узнайте на планксипе.Убывающая отдача Предоставлено Вебером
Каждая мысль рождается из подавленного ощущения.
— Эмиль Чоран (1911-1995)
Ответ с заголовком…
Эмиль Чоран — planksip
Эмиль Чоран был румынским философом и эссеистом, публиковавшим работы на румынском и французском языках. Он часто занимается проблемами страдания, разложения и нигилизма.
planksipGeorge Eliot
Что общего у Эмиля Сиорана и Джорджа? Узнайте на планксипе.Измерить и рассчитать — это подход некоего Эрнста Генриха Вебера. Как один из отцов-основателей экспериментальной психологии, исследования Вебера в области ощущений и осязания, наряду с его упором на хорошие экспериментальные методы, уступили место новым направлениям и областям исследований для будущих психологов, физиологов и анатомов.
Покалывающее паучье чутье и доска Мёбиуса Кооператив писателей-планксип спонсирует переписывание этой статьи (1000 слов) с призовым фондом в размере 1000 канадских долларов за лучшую статью по мнению ваших коллег из кооператива писателей-планксип .
Судя по вашим коллегам, ваш шанс присоединиться к сообществу креативных мыслителей и выиграть более 750 000 канадских долларов призовых — это отправная точка для того, чтобы стать журналистом.
Мы хотим изменить то, как люди взаимодействуют. Органическая платформа planksip предназначена для поддержки вашего голоса как писателя и лидера мнений. Присоединяйтесь сегодня, членство имеет значение!
Вступление в Кооператив писателей-планксип
Кооператив писателей-планксип дает своим членам письменные задания, за выполнение которых они соревнуются за денежные призы. В этой статье освещаются преимущества членства, а также излагаются правила и рекомендации для подачи заявок. Стать писателем-планксипом проще, чем вы думаете.
planksipДэниел Сандерсон
Следующий
Подталкивание как принуждение с улыбающимся лицом: систематическое препятствие просветлению.Предыдущий
Философ вы…Подпишитесь на нашу рассылку и будьте в курсе!
Подпишитесь на нашу рассылку, чтобы получать последние новости и рабочие обновления прямо в свой почтовый ящик.