Лекции по алгебре
Лекции по алгебре
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕГЛАВА I. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА § 1. Теория делимости целых чисел 2. Деление с остатком. 3. Наибольший общий делитель. 4. Алгоритм Евклида. 5. Взаимно простые числа. 6. Простые числа. § 2. Теория сравнений 2. Действия над классами. 3. Приведенная система вычетов и примитивные классы. § 3. Некоторые общие понятия алгебры 2. Кольца и поля. 3. Изоморфизм. ГЛАВА II. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА § 1. Обоснование комплексных чисел 3. Свойства действий. 4. Возвращение к обычной форме записи. 5. Вычитание и деление комплексных чисел. § 2. Тригонометрическая форма комплексного числа 2. Модуль и аргумент комплексного числа. 3. Тригонометрическая запись комплексного числа. 4. Неравенства для модуля суммы и модуля разности двух комплексных чисел.  5. Умножение комплексных чисел в тригонометрической записи. 6. Возведение комплексного числа в степень с целым показателем и формула Муавра. 7. Применения формулы Муавра к преобразованиям тригонометрических выражений. § 3. Извлечение корня из комплексного числа 2. Исследование формулы извлечения корня. 3. Извлечение квадратного корня. § 4. Корни из единицы § 5. Показательная и логарифмическая функции комплексной переменной ГЛАВА III. ПРОСТЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГЕБРЕ ПОЛИНОМОВ § 1. Полиномы от одной буквы 2. Высший член и степень полинома. 3. Степени элемента в ассоциативном кольце. 4. Значение полинома. 5. Схема Хорнера и теорема Безу. 6. Число корней полинома в коммутативной области целостности. 7. Теорема о тождестве. § 2. Алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степени 2. Исследование формулы Кардано. 3. Решение уравнений четвертой степени. § 3. Полиномы от нескольких букв 3. Теорема о тождестве.  4. Теорема о несущественности алгебраических неравенств. ГЛАВА IV. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ § 1. Матрицы и действия над ними 2. Сложение матриц и умножение матрицы на число. 3. Умножение матриц. 4. Транспонирование матриц. 5. Обзор действий над матрицами. § 2. Теория определителей 2. Элементарные сведения теории перестановок. 3. Определитель порядка n. Определение. 4. Свойства определителя. 5. Алгебраические дополнения и миноры. 6. Вычисление определителей. 7. Определитель Вандермонда. 9. Некоторые следствия из теоремы Крамера. § 3. Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) 2. Линейные зависимости столбцов матрицы с линейно зависимыми строками. 3. Теорема о линейной зависимости линейных комбинаций. 4. Базис и ранг совокупности строк. 5. Линейно эквивалентные совокупности строк. 7. Условие линейной зависимости множества строк квадратной матрицы. 8. Ранг матрицы в терминах определителей.  9. Определение ранга матрицы при помощи элементарных преобразований. § 4. Системы линейных уравнений общего вида § 5. Дальнейшие свойства определителей 2. Умножение матриц, разбитых на клетки. 3. Умножение матрицы на вспомогательную матрицу как линейное преобразование строк (столбцов). 4. Определитель произведения двух квадратных матриц. 5. Примеры применения теоремы об определителе произведения квадратных матриц к вычислению определителей. 6. Теорема Бине — Коши. § 6. Обращение квадратных матриц § 7. Характеристический полином матрицы 2. Теорема Кэли—Гамильтона. ГЛАВА V. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ § 1. Преобразование квадратичной формы к каноническому виду линейной подстановкой букв § 2. Закон инерции квадратичных форм 2. Критерий Сильвестра положительности квадратичной формы. 3. Закон инерции квадратичных форм. § 3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду 2. Собственные значения вещественной симметричной матрицы.  3. Построение ортогональных матриц. 4. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду. 5. Коэффициенты канонического вида квадратичной формы и столбцы преобразующей ортогональной матрицы. 6. Одновременные преобразования двух квадратичных форм к каноническому виду. § 4. Эрмитовы формы 2. Свойства эрмитовых форм. ГЛАВА VI. ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ § 1. Теория делимости для полиномов от Одной буквы § 2. Производная 2. Разложение полинома по степеням линейного двучлена. 3. Разделение множителей различной кратности. § 3. Рациональные дроби 3. Правильные рациональные дроби. 4. Разложение рациональной дроби на простейшие. 5. Разложение рациональной дроби на простейшие над полем С комплексных чисел. 6. Разложение рациональной дроби на простейшие над полем R вещественных чисел. 7. Разложение на простейшие правильной рациональной дроби, знаменатель которой разложен на попарно простые линейные множители.  § 4. Интерполяция 2. Интерполяционная формула Лагранжа. 3. Способ интерполяции Ньютона. 4. Приближенная интерполяция. ГЛАВА VII. СРАВНЕНИЯ В КОЛЬЦЕ ПОЛИНОМОВ И РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ § 1. Сравнения в кольце полиномов над полем § 2. Расширение полей 2. Конструирование простых расширений. ГЛАВА VIII. ПОЛИНОМЫ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. ПОЛИНОМЫ НАД ФАКТОРИАЛЬНЫМИ КОЛЬЦАМИ § 1. Полиномы с целыми коэффициентами § 2. Полиномы от одной буквы над факториальным кольцом ГЛАВА IX. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА § 1. Существование корней в С § 2. Распределение корней на плоскости комплексной переменной 2. Принцип аргумента. 3. Теорема Руше. 4. Непрерывность корней полинома. § 3. Распределение вещественных корней полинома с вещественными коэффициентами 2. Теорема Штурма. 3. Построение ряда Штурма. § 4. Обобщенная теорема Штурма § 5. Приближенное вычисление корней полинома 2. Метод непрерывных дробей. ГЛАВА X. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП § 2.  Нормальные подгруппы и факторгруппы§ 3. Гомоморфизм § 4. Прямое произведение групп § 5. Группы преобразований 2. Классы сопряженных элементов. 3. Строение однородных пространств. 4. К теории подстановок. 5. Примеры из геометрии. 6. Централизатор элемента и нормализатор подгруппы. 7. Центр p-группы. 8. Преобразования. § 6. Свободная группа § 7. Свободные произведения групп § 8. Конечные абелевы группы § 9. Конечно порожденные абелевы группы ГЛАВА XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ § 1. Выражение симметрических пэлииов через основные § 2. Значения симметрических полиномов от корней полинома 2. Степенные суммы. 3. Дискриминант полинома. 4. Алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степени в свете теории симметрических полиномов. § 3. Результант 2. Другой способ построения результанта. 3. Линейное представление результанта. 4. Применение результанта к исключению неизвестного из системы двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными.  5. Связь дискриминанта полинома с результантом полинома и его производной. ГЛАВА XII. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 2. Линейные комбинации, линейная зависимость и линейная независимость. 3. Координаты вектора. 4. Замена базиса и преобразование координат. § 2. Подпространства 3. Прямая сумма подпространств. 4. Относительная линейная независимость и относительный базис. 5. Факторпространство. § 3. Линейные функции § 4. Линейные отображения векторных пространств § 5. Линейные операторы в векторном пространстве 2. Действия над операторами. 3. Инвариантные подпространства. 4. Циклическое подпространство и минимальный аннулятор вектора. 5. Матрица оператора на циклическом подпространстве и ее характеристический полином. 6. Минимальный полином оператора. 7. Разложение пространства с оператором в прямую сумму примарных подпространств. 8. Разложение примарного пространства в прямую сумму циклических примарных подпространств. 9.  Модули над кольцом главных идеалов.11. Каноническая форма матрицы оператора. 12. Оператор проектирования. 13. Полуобратные линейные отображения. § 6. Операторы в векторных пространствах над полем С комплексных чисел 2. Корневые векторы. 3. Нильпотентный оператор. 4. Каноническая форма Жордана матрицы оператора. 5. Пример. § 7. Операторы в векторных пространствах над полем R вещественных чисел ГЛАВА XIII. ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА 1. Скалярное произведение. § 2. Подпространства унитарного (или евклидова) пространства § 3. Пространства, сопряженные с евклидовым и унитарным пространствами § 4. Операторы в унитарном пространстве § 5. Операторы в евклидовом пространстве § 6. Преобразование уравнения гиперповерхности второго порядка к каноническому виду § 7. Линейные отображения унитарного пространства в унитарное § 8. Объем параллелепипеда в евклидовом пространстве ГЛАВА XIV. ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ТЕНЗОРОВ § 2.  Действия над тензорами§ 3. Симметричные и антисимметричные тензоры § 4. Тензорные произведения векторных пространств ГЛАВА XV. АЛГЕБРЫ 1. Определение и простейшие свойства алгебр. 2. Структурные константы алгебры. 3. Некоторые классы алгебр. 4. Идеалы алгебры. 5. Присоединение единицы. 6. Вложение ассоциативной алгебры в алгебру матриц. § 2. Алгебра кватернионов § 3. Внешняя алгебра СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ |
Возведение комплексных чисел в степень
Содержание страницы:
Начнем с квадрата.
Пример 9 Возвести в квадрат комплексное число
Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов.
Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения :
Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения: .
Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно.
И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень справедлива формула:
Данная формула следует из правила умножения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме: чтобы найти произведение чисел , нужно перемножить их модули и сложить аргументы:
Аналогично для показательной формы: если , то:
Пример 10 Дано комплексное число , найти z20.
Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме. В примере 8 мы это уже сделали:
Тогда, по формуле Муавра:
Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить.
Как упростить Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет радиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе . Для удобства делаем дробь правильной: , после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот: Таким образом, окончательный ответ запишется так:
Пример 11 Дано комплексное число , найти z30. Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.
Представим число в тригонометрической форме: (это число z4 Примера 8). Используем формулу Муавра :
Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.
Пример 12 Возвести в степень комплексные числа i10, i33, (-i)21. Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство. Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:
Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:
Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:
Пример 13 Возвести в степень комплексные числа
Квадратное уравнение с комплексными корнями
Рассмотрим пример:
Нельзя извлечь корень Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя.
В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее, два корня:
Действительно ли найденные корни являются решением уравнения
Выполним проверку:
Что и требовалось проверить.
Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: .
Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.
Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: и т.д. Во всех случаях получается двасопряженных комплексных корня.
Пример 14 Решить квадратное уравнение
Вычислим дискриминант:
Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!
По известным формулам получаем два корня:
– сопряженные комплексные корни
Таким образом, уравнение имеет два сопряженных комплексных корня:
Нетрудно понять, что в поле комплексных чисел «школьное» квадратное уравнение всегда при двух корнях! И вообще, любое уравнение вида имеет ровно n корней, часть из которых могут быть комплексные
Пример 15 Найти корни уравнения 4z2+1=0 и разложить квадратный двучлен на множители.
Разложим квадратный двучлен на множители:
Как извлечь корень из произвольного комплексного числа
Уравнение вида имеет ровно n корней , которые можно найти по формуле:
где – это модуль комплексного числа , – его аргумент, а параметр принимает значения:
Пример 16 Найти корни уравнения
Перепишем уравнение в виде
В данном примере , n=2 , поэтому уравнение будет иметь два корня: z0 и z1 .
Общую формулу можно сразу детализировать:
Теперь нужно найти модуль и аргумент комплексного числа :
Число располагается в первой четверти, поэтому:
Еще более детализируем формулу:
Подставляя в формулу значение k=0, получаем первый корень:
Подставляя в формулу значение k=1, получаем второй корень:
Ответ:
Пример 17 Найти корни уравнения , где
Сначала представим уравнение в виде :
Если , тогда
Обозначим привычной формульной буквой:
Таким образом, требуется найти корни уравнения
В данном примере n=3, а значит, уравнение имеет ровно три корня: z0, z1, z2
Детализирую общую формулу:
Найдем модуль и аргумент комплексного числа :
Число располагается во второй четверти, поэтому:
Еще раз детализирую формулу:
Корень удобно сразу же упростить:
Подставляем в формулу значение k=0 и получаем первый корень:
Подставляем в формулу значение k=2 и получаем третий корень:
Очень часто полученные корни требуется изобразить геометрически:
Как выполнить чертеж
Сначала на калькуляторе находим, чему равен модуль корней и чертим циркулем окружность данного радиуса.
Все корни будут располагаться на данной окружности.
Теперь берем аргумент первого корня и выясняем, чему равняется угол в градусах: . Отмеряем транспортиром и ставим на чертеже точку z0.
Берем аргумент второго корня и переводим его в градусы: .
Отмеряем транспортиром и ставим на чертеже точку z1.
По такому же алгоритму строится точка z2.
Счет, математика и статистика — Набор академических навыков
Полярная форма и теорема Муавра
ContentsToggle Главное меню 1 Определение1.1 Полярная форма1.2 Теорема де Муавра 2 Рабочие примеры 3 Рабочие тетради 4 См. также 5 Внешние ресурсы
Определение
Полярная форма
В дополнение к декартовой форме, $z=a+bi$, комплексные числа также могут быть записаны в тригонометрической полярной форме \[z = r(\cos \theta + i\sin \theta)\] где $r$ — модуль, а $\theta$ — аргумент числа в радианах. 92 \times \bigl( \cos (4 \times 1.82)+i\sin (4 \times 1.
82)\bigr) & \text{ (по теореме Муавра)}\\ &=289\bigl(\cos 7.28 + i \sin 7.28\bigr) \text{ в полярной форме, или}\\ &=156.9 +242.7i \text{ (до 1 д.п.)} \end{align}
Рабочие тетради
Эти рабочие тетради, созданные HELM, хороши вспомогательные средства для исправления, содержащие ключевые моменты для исправления и множество проработанных примеров.
- Показательная форма комплексного числа
- Теорема де Муавра
- Диаграммы Аргана и полярная форма
См. также
- Формула Эйлера и тождество Эйлера
Внешние ресурсы
- Рабочая тетрадь экспоненциальной формы в математическом центре .
- Рабочая тетрадь по тригонометрической полярной форме в центре по математике .
- Полярная форма листовки с комплексными числами в math center.
Формула, доказательство, применение и примеры
Теорема де Муавра — очень полезная теорема в математических полях комплексных чисел.
n=\cos(nx )+i\sin(nx) \) 9k ( cosx + isinx )\\
( cos x + isinkx ) ( cosx + isinx )\\
( coskx . cosx – sinx . sinx ) + i ( coskx . sinx + sinx . cosx )\\
\text{ Мы }\\
cos ( A + B ) = cos A \ cos B – sin A \ sin B \\
sin ( A + B ) = sin A \ cos B + sin B \ cos A \\
\ text{Используя их, мы получаем, }\\
( coskx . cosx – sinx . sinx ) + i ( coskx . sinx + sinx . cosx )\\
cos(k+1)x + isin(k+1)x
\end{matrix}\)
\end{matrix}\) Использование теоремы Муавра
- Мы можем легко возвести любое комплексное число (в прямоугольной или полярной форме) в энную степень, используя теорему Муавра . Получив комплексное число в прямоугольной форме, обязательно сначала преобразуйте его в полярную форму.
- Мы также можем решать уравнения, включающие корни комплексных чисел, с помощью теоремы Муавра.
- Еще одним важным применением теоремы Муавра является получение комплексных корней полиномиальных уравнений.
- Одним из его применений является получение соотношений между тригонометрическими функциями нескольких углов (например, sin 3x, cos 7x) и степенями тригонометрических функций.
Теперь давайте посмотрим на некоторые решенные примеры теоремы Муавра.
Пример 1: Если a = cosθ + i sinθ, то значение \(\frac{1+a}{1-a}\) равно
Решение: \(\begin{matrix }
а = cosθ + i sinθ\\ 9n = cos nθ ± i sin nø
\end{matrix}\)
Надеюсь, что эта статья о теореме Муавра была информативной. Попрактикуйтесь в том же в нашем бесплатном приложении Testbook. Скачать сейчас!
Часто задаваемые вопросы по теореме МуавраВ.1 Что такое теорема Муавра?
Ответ 1 Теорема де Муавра утверждает, что степень комплексного числа в полярной форме равна возведению модуля в ту же степень и умножению аргумента на ту же степень.