Формула муавра комплексные числа: Формули Эйлера и Муавра. Корень n-й степени с комплексного числа.

Лекция 8. Формула Муавра. Корни из к.ч

Лекции по алгебре и геометрии. Семестр 1.

Лекция 8. Формула Муавра. Корни из комплексных чисел.

Краткое содержание: формула Муавра, деление к.ч. в тригонометрической форме записи, корни из к.ч. и их расположение на комплексной плоскости, группа корней из 1, многочлен деления круга и его разложение на неприводимые множители с действительными коэффициентами.

Глава 8. Формула Муавра. Корни из комплексных чисел.

п.1.Формула Муавра.

Теорема. (Формула Муавра, 1707 г.)

Для любого целого числа n и любого действительного числа имеет место следующее равенство:

. (1)

Доказательство. Разобьем доказательство на 3 этапа.

1) Пусть – натуральное число. Так как комплексное число имеет модуль , то справедливость формулы Муавра в этом случае следует из следствия 2 теоремы об умножении комплексных чисел в тригонометрической форме записи.

2) Пусть теперь . Тогда

, ч.т.д.

3) Пусть , где – натуральное число. Тогда по свойству целых степеней, которые справедливы в любом поле, в том числе и в поле комплексных чисел, имеем:

.

Здесь мы использовали уже доказанные случаи формулы Муавра возведения в натуральную степень и в степень, равную (–1).

Теорема доказана.

Следствие. (О целых степенях комплексного числа.)

Пусть . Тогда

.

Доказательство предоставляется читателю.

п.2. Деление комплексных чисел в тригонометрической форме записи.

Теорема. (О делении комплексных чисел в тригонометрической форме)

Пусть , где и , где – два произвольных комплексных числа записанных в тригонометрической форме. Тогда

. (2)

Доказательство. Воспользуемся следствием формулы Муавра и правилом умножения комплексных чисел в тригонометрической форме записи. Получаем:

, ч.т.д.

Пример 1.

Запишите комплексные числа и в тригонометрической форме и найдите их произведение и частное .

Решение. 1) Комплексное число на комплексной плоскости находится во второй четверти, поэтому

, .

2) Комплексное число на комплексной плоскости находится во четвертой четверти, поэтому

, .

3)

.

Ответ: , .

Пример 2. Вычислить .

Решение. Комплексное число на комплексной плоскости находится в третьей четверти, поэтому ,

Применим формулу Муавра:

.

п.3. Корни из комплексных чисел.

Определение. Пусть и . Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число , такое, что .

Теорема. (Формула корней из комплексного числа.)

Для любого ненулевого комплексного числа

, где , существует ровно n корней n-й степени из комплексного числа z и все они могут быть найдены по формуле

, (3)

где , – арифметический корень n-й степени из положительного числа .

Доказательство. Обозначим

(4)

и докажем, что данное множество исчерпывает все множество корней n-й степени из комплексного числа z.

Доказательство проведем в 3 этапа. Сначала мы докажем, что все элементы множества (4) являются корнями n-й степени из комплексного числа z. Затем мы покажем, что среди корней множества (4) нет равных. И, наконец, мы покажем, что любой корень n-й степени из комплексного числа z является элементом множества (4).

1) По следствию 2 формулы Муавра

, ч.т.д.

2) Допустим, что , где и . Тогда по теореме о равенстве двух комплексных чисел в тригонометрической форме записи следует, что равны их аргументы.

Но, аргумент числа может отличаться от числа на число кратное числу (т.е. на целое число оборотов) и аналогично для аргумента числа . Отсюда следует, что , где . Умножим это равенство на n: . Отсюда следует, что и т.к. по нашему предположению , то , чего не может быть, т.

к. и . Получили противоречие. Следовательно, среди корней в множестве (10) нет равных, ч.т.д.

3) Пусть теперь комплексное число является корнем n-й степени из комплексного числа z, т.е. . Так как . Отсюда, из тех же соображений, что и во второй части доказательства, следуют равенства и , где . Из первого равенства получаем, что , а из второго следует .

Далее, разделим целое число t на n с возможным остатком: , где , а остаток r также является целым числом, но . Отсюда

и

. Таким образом, корень является корнем из множества корней (4), ч.т.д.

Теорема доказана.

Пример. Вычислить .

Решение. Запишем число в тригонометрической форме записи: . Тогда

, где

, .

Ответ: , где

,

,

.

п.4. Расположение корней на комплексной плоскости.

Перепишем формулу (3) в виде

, где , .

Заметим, что

. (5)

Из этой формулы мы видим, что аргументы корней образуют арифметическую прогрессию.

Так как модуль у всех корней одинаковый, то на комплексной плоскости они удалены от начала координат на одинаковое расстояние. Отсюда делаем вывод, что все корни на комплексной плоскости изображаются точками, лежащими на окружности радиуса с центром в начале координат. Из формулы (5) мы видим, что угол между такими двумя соседними точками одинаковый. Отсюда делаем вывод, что все корни располагаются на окружности равномерно. Если соединить все соседние точки (корни) отрезками прямой, то получим правильный n-угольник.

рис.1.

При изображении корней на комплексной плоскости около точки, с которой отождествляется корень проставляется только его аргумент, поскольку модули у всех корней одинаковые.

Пример. Изобразить все корни на комплексной плоскости.

Решение. Сами корни мы уже вычислили (см. предыдущий пример). Изображаем координатные оси, проводим окружность радиуса с центром в начале координат и отмечаем на ней точки полярный угол которых равен:

, , .

Соединим построенные точки отрезками прямых и получаем правильный треугольник.

рис.2.

п.5*. Корни из единицы.

Пусть – натуральное число. По формуле корней из комплексного числа, существует ровно n корней из комплексного числа . Для вычисления этих корней запишем единицу в тригонометрической форме:

, т.е. , .

Обозначим все множество корней через . По формуле корней получаем:

, (6)

где

, . (7)

В частности, ,

. (8)

Заметим, что верна формула:

. (9)

Действительно, равенство (9) сразу же получается по формуле Муавра:

.

Теперь мы все множество корней из 1 можем записать так:

(10)

Теорема. Множество всех корней из 1 является коммутативной группой.

Доказательство. Сначала мы должны показать, что множество замкнуто относительно умножения. Пусть – два произвольных корня из 1, т.е. . Найдем их произведение:

.

Замечаем, что

. (11)

Отсюда следует, что , если . В противном случае, . Обозначим через и . Тогда

, ч.т.д.

Таким образом, на множестве определена операция умножения и т.к. она ассоциативна и коммутативна в поле комплексных чисел, то она ассоциативна и коммутативна и на множестве . Далее, . Покажем, что любой элемент из имеет обратный элемент также принадлежащий множеству :

.

Действительно, по условию . Тогда

, т.е. .

Теорема доказана.

Пример. Построить таблицу умножения для группы .

Решение. Обозначим для простоты

. Тогда, где .

Заполняем таблицу Кэли (таблицу умножения):

Изобразим все корни третьей степени из 1 на комплексной плоскости. Т.к. их модуль равен 1, то все они лежат на тригонометрической (т.е. единичной) окружности:

рис.3.

Здесь, , .

п.6*. Многочлен деления круга.

Определение. Многочлен

называется многочленом деления круга.

Теорема. Все корни многочлена

являются корнями -й степени из 1.

Доказательство. Рассмотрим многочлен деления круга как сумму членов геометрической прогрессии со знаменателем х. Тогда

.

Теорема доказана.

Так как корни из 1 делят единичную окружность на n равных дуг, то из теоремы следует, что все корни многочлена вместе с 1 делят окружность на равные дуги, откуда и произошло название этого многочлена.

Поставим задачу разложить многочлен деления круга на неприводимые (неразложимые) множители с действительными коэффициентами.

Известно (см. Дополнение 6), что любой многочлен с действительными коэффициентами можно представить в виде:

, (12)

где – все различные действительные корни многочлена , m – их число, – их кратности, t – число квадратных трехчленов с действительными коэффициентами и отрицательными дискриминантами, – кратности соответствующих комплексных корней, – старший коэффициент многочлена , n – его степень.

Замечание. Линейных множителей может и не быть. Тогда и многочлен не имеет действительных корней. Аналогично, многочлен может не иметь комплексных корней, тогда . Далее, очевидно, что степень многочлена

. (13)

Из последнего равенства вытекает следующее следствие.

Следствие. Любой многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.

Легко получить разложение (12), если известны все корни многочлена f(x). Тогда многочлен раскладывается над полем комплексных чисел на линейные множители. Так как коэффициенты многочлена f(x) предполагаются действительными, то если многочлен имеет комплексный корень , то комплексно сопряженное ему число также является корнем этого многочлена. Действительно, если , то .

Разложение многочлена f(x) на линейные множители будет иметь вид:

, (14)

где – все различные действительные корни многочлена , m – их число, – их кратности, – все различные комплексно сопряженные корни многочлена , t – число пар всех различных комплексно сопряженных корней, – их кратности, – старший коэффициент многочлена , n – его степень.

Теперь, перемножим пару линейных множителей содержащие комплексно сопряженные корни. Пусть

.

Тогда , откуда и получаем:

.

Проделав то же самое со всеми парами комплексно сопряженных корней, из разложения (14) получим разложение (12).

Осталось заметить, что все корни многочлена деления круга различны и их легко вычислить и, следовательно, получить разложение на линейные множители.

Пример. Разложить на неприводимые множители с действительными коэффициентами (т.е. на полем R) многочлен .

Решение. Решим уравнение . Так как

, то найдя все корни уравнения , мы найдем тем самым все корни многочлена .

Имеем, , где

.

рис.4.

Вычисляя остальные корни по формуле

,

, получаем (см. рис.4):

; ;

; .

Отсюда, и

, т.к. , , ,

.

Ответ: .

п.7*. Исторический экскурс к вопросу о построении правильного многоугольника с помощью циркуля и линейки.

(Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики.)

Геометрические задачи на построение с помощью циркуля и линейки зародились еще в древней Греции во времена Евклида и Платона. Еще в те времена, математики умели строить с помощью циркуля и линейки правильные треугольники, пятиугольники и квадраты.

Более того, они умели с помощью циркуля и линейки делить угол пополам, поэтому они умели строить и правильные 6-ти, 10-ти и 15-ти угольники и все правильные n-угольники, где, , и , . Очень важно, что с помощью линейки проводятся только отрезки прямых, а длины отрезков измеряются с помощью циркуля, а не делений на линейке. Так, используя эти инструменты можно построить отрезок, длина которого выражается числом, полученным из 1 с помощью четырех арифметических действий (сложения, вычитания, умножения, деления) и извлечением квадратного корня. Т.е. вначале есть только отрезок, длина которого принимается за 1. Тогда можно построить отрезок, длина которого равна рациональному числу или квадратному корню из рационального числа. Далее, если отрезок длины а уже построен с помощью циркуля и линейки, то можно построить с помощью этих инструментов отрезок длины b, если число b выражается через а с помощью арифметических действий и квадратного корня. Говорят, что такое число выражается в квадратных радикалах.

Таким образом, с помощью циркуля и линейки можно построить отрезок, длина которого выражается в квадратных радикалах. Все это знали еще математики древней Греции. Задачу построения других правильных многоугольников (или доказательство невозможности таких построений) не могли решить в течение двух последующих тысячелетий, а решена она была немецким студентом филологического факультета Гёттингенского университета Карлом Фридрихом Гауссом в 1796 году. В то время Гауссу было 18 лет и он разрывался между занятиями филологией и математикой и не мог сделать окончательного выбора. Решение древней задачи помогло ему сделать окончательный выбор в пользу (и на пользу) математики. Страшно даже подумать на сколько бы затормозилось развитие математики останься Гаусс филологом! До сих пор математики всего мира называют Гаусса королем математики.

Формула Муавра и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа — Студопедия

Поделись  

Свойства модуля и аргумента комплексного числа позволяют получить формулу возведения комплексного числа в целую положительную степень:

— эту формулу называют формулой Муавра.

Или в показательной форме .

Легко проверить, что эта формула остается справедливой и для , и для целых отрицательных степеней.

Пример.Найти

Решение. Запишем сначала число в тригонометрической форме:

, .

По формуле Муавра имеем:

Определение.Корнем n-ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число , для которого: .

Из определения и формулы Муавра ясно, что модуль искомого корня будет , а аргумент , где . Таким образом,

или .

Придавать «k» значения, большие, чем не имеет смысла, так как будем получать уже имеющиеся значения аргумента (с точностью до ). Следовательно, корень n-ой степени из комплексного числа имеет n различных значений, модули которых одинаковы ( ), а аргументы двух последовательных значений отличаются на угол . Таким образом, все значения корня лежат на окружности с центром в начале координат радиуса .

Пример.Вычислить все значения корня

Решение. , , ,

, .

Ответ. , .

Пример. Найти все значения .

Решение. Имеем ,тогда .

Ответ. , .

1.2. Функции комплексного переменного

Пусть — некоторое множество комплексных чисел (или множество точек комплексной плоскости). Пусть комплексное число может принимать любое значение из , тогда будем называть — комплексным переменным, а — областью его изменения.

Определение.Величина называется функцией независимого переменного ,если каждому значению соответствует одно или несколько комплексных значений , при этом пишут: .

Запишем комплексные числа и в алгебраической форме:

, .

Тогда , и значит, задание функции комплексного переменного эквивалентно заданию двух действительных функций от двух действительных переменных.

Определение. Число называется пределом функции при , если для любого найдется такое , что как только ( ). Записывают: .

Несложно показать, что соотношение ,

где , а , эквивалентно двум действительным соотношениям: .

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и .

Если , определенная на множестве , непрерывна в каждой точке этого множества, то говорят, что она непрерывна на множестве . Вновь легко показать, что условие непрерывности функции в точке эквивалентно двум соотношениям: . Таким образом, функция комплексного переменного непрерывна в точке тогда и только тогда, когда ее действительная и мнимая части, рассматриваемые как функции действительных переменных и , непрерывны в той же точке.

Введем определения основных элементарных функций комплексного переменного.

Показательная функция .

Определение.Функция для комплексных значений z=x+iy определяется формулой: .

Следовательно,

Свойства функции :

· Для любых и справедливо: .

· Функция периодична с периодом : .

· Функция непрерывна на всей комплексной области.

· Для любого имеют место равенства:

· Функция принимает все значения, кроме нуля, т.е. уравнение разрешимо для любого комплексного .



n = \cos(nx) + i\sin(nx). (cosx+isinx)n=cos(nx)+isin(nx).

---

Доказательство: Докажем эту формулу индукцией по nnn и применением тригонометрических формул суммы и произведения. Сначала рассмотрим неотрицательные целые числа. Базовый случай n=0n=0 n=0 явно верен. Для шага индукции заметьте, что

(cos⁡x+isin⁡x)k+1=(cos⁡x+isin⁡x)k×(cos⁡x+isin⁡x)=(cos⁡(kx)+isin⁡(kx))(cos ⁡x+isin⁡x)=cos⁡(kx)cos⁡x−sin⁡(kx)sin⁡x+i(sin⁡(kx)cos⁡x+cos⁡(kx)sin⁡x)=cos⁡[ (k+1)x]+isin⁡[(k+1)x]. k \times ( \cos x + i \sin x ) \\ & = \big( \cos (kx) + i \sin (kx) \big) ( \cos x + i \sin x ) \\ & = \cos (kx) \cos x — \sin(kx) \sin x + i\big( \sin (kx) \cos x + \cos(kx) \sin x\big) \\ & = \cos \big[(k+1)x\big] + i \sin \big[(k+1)x\big].\ _\square \end{массив}(cosx+isinx)k+1​=(cosx+isinx)k×(cosx+isinx)=(cos(kx)+isin(kx))(cosx+isinx)=cos(kx)cosx −sin(kx)sinx+i(sin(kx)cosx+cos(kx)sinx)=cos[(k+1)x]+isin[(k+1)x]. □​​ 9{ i\frac{n}{2} \theta} \frac{2i \sin \left[ ( \frac{n+1}{2})\theta \right] } { 2i \sin \left(\frac{ 1}{2} \тета\справа)} . eiθ−1ei(n+1)θ−1​=ei21​θei(2n+1​)θ​×ei21​θ−e−i21​θei(2n+1​)θ−e−i(2n+1​ )θ​=ei2n​θ2isin(21​θ)2isin[(2n+1​)θ]​.

Разделив мнимые части, получим

грех⁡(n2θ)sin⁡(n+12θ)sin⁡(12θ). □ \frac{ \sin \left( \frac{n}{2} \theta \right) \sin \left( \frac{n+1}{2} \theta \right) } { \sin \left( \ frac{1}{2} \theta \right) }.\ _\square sin(21​θ)sin(2n​θ)sin(2n+1​θ)​. □​ 9{n-1} = 0.\ _\square1+ζ+ζ2+⋯+ζn−1=0. □​

31−2δ11−2δ1+31−2δ21−2δ2+31−2δ31−2δ3 \dfrac{31-2\delta_{1}}{1-2\delta_{1}} +\dfrac{31-2\ delta_{2}}{1-2\delta_{2}}+\dfrac{31-2\delta_{3}}{1-2\delta_{3}} 1−2δ1​31−2δ1​+1− 2δ2​31−2δ2​​+1−2δ3​31−2δ3​

Если 1,δ1,δ2,δ31,\delta_{1},\delta_{2},\delta_{3}1,δ1​, δ2, δ3 — различные корни четвертой степени из единицы, затем оцените приведенное выше выражение.

Цитировать как: Теорема де Муавра. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/de-moivres-theorem/

Формула де Муавра

Благодаря Абрахаму де Муавру у нас есть эта полезная формула:

[ r(cos θ + i sin θ ) ] ⁿ = r ⁿ (cos n θ + i sin n θ )

Но что он делает?

Он позволяет нам умножать комплексное число само на себя (сколько угодно раз) за один раз!

Вот подробности:

Комплексные числа

Во-первых, комплексное число представляет собой комбинацию действительного числа и мнимого числа:

Вещественное число — это число, которое мы используем каждый день.

Примеры: 12,38, ½, 0, −2000

Мнимое число при возведении в квадрат дает отрицательный результат:

«Единица» мнимого числа при возведении в квадрат равна −1

i ² = −1

Примеры комплексных чисел:

3,6 + 4 i		(действительная часть 3,6, мнимая часть 4 i )
−0,02 + 1,2 i		(действительная часть равна −0,02, мнимая часть равна 1,2 i )
25 − 0,3 i		(действительная часть равна 25, мнимая часть равна −0,3 i )

В полярной форме

Комплексный номер
(пример: 3 + 4i )

. .. также может быть в в полярной форме
(расстояние и угол)

Другими словами, комплексное число 3 + 4i также может быть представлено как расстояние 5 и угол 0,927 радиана.

Как мы делаем преобразования?

От декартова до полярного:

• r = √(x ² + y ² ) = √(3 ² + 4 ² ) = √25 = 5
• θ = тангенс ^-1 (y/x) = тангенс ^-1 (4/3) = 0,927 (до 3 знаков после запятой)

03:

• x = r cos( θ ) = 5 × cos( 0,927 ) = 5 × 0,6002… = 3 (при идеальной точности)
• y = r sin( θ ) = 5 × sin( 0,927 ) = 5 × 0,7998… = 4 (с идеальной точностью) Полярная форма

  x + iy = r(cos θ + i sin θ )

  А «cos θ + i sin θ » часто сокращается до «cis θ », поэтому:

  х + iy = r цис θ

  цис θ — это просто сокращение для cos θ + i sin θ

  Итак, мы можем написать:

  3 + 4i = 5 цис 0,927

  Де Муавр 

  Формула де Муавра (без радиуса):

  (cos θ + i sin θ ) ⁿ = cos n θ + i sin n θ

  А включая радиус r получаем:

  [ r(cos θ + i sin θ ) ] ⁿ = r ⁿ (cos n θ + i sin n θ )

  Ключевые моменты:

  • магнитуда становится r ⁿ
  • угол становится nθ
  И это выглядит очень аккуратно в цис-обозначении:

  (r цис θ ) ⁿ = r ⁿ цис n θ

  Давайте использовать его!

  Пример: Что такое (1+

  i ) ⁶ ?

  Первое преобразование 1+ i в полярное:

  • r = √(1 ² + 1 ² ) =

    √0188

  • θ = TAN ^-1 (1/1) = π 4

  в «ЦИС».

  Use the de Moivre formula with an exponent of 6:

  (√2 cis π 4 ) ⁶ = (√2) ⁶ cis 6π 4

  Which simplifies to:

  8 цис 3π 2

  Другими словами: величина теперь равна 8, а угол равен 3π 2 (=270°)

  , что также равно 0−8 i (см. схему)

  Примечание: используя алгебру, мы может дать тот же ответ:

  • Во-первых: (1 + i) ² = 1 + 2i + i ² = 1 + 2i — 1 = 2i
  • Тогда: (1 + i) ⁶ = (2i) ³ = 8i ³ = −8i

  Продвинутый!

  Мы можем доказать формулу де Муавра, используя математическую индукцию:

  ТЯЖЕЛЫЙ Пример: доказательство формулы де Муавра

  1. Покажите, что это верно для n = 1

  [R (cos θ+i sin θ)] ¹ = R ¹ (cos θ+s sin θ).

  No related posts.