Бином Ньютона: треугольник Паскаля
Как вы уже заметили, биномиальные коэффициенты имеют свойство повторяться, поэтому все их можно записать в виде специальной таблицы, называемой треугольником Паскаля:
Рисунок 1. Бином Ньютона: треугольник Паскаля. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
По рисунку 1 видно, что каждый коэффициент равен сумме двух стоящих слева и справа над ним в предыдущей строчке, так что этой таблицей можно пользоваться для более быстрого вычисления биномиальных коэффициентов в случае показателей степеней, представленных целыми неотрицательными числами.
ньютонов и бесконечная серия | Britannica
Расчеты Исаака Ньютона фактически начались в 1665 году с открытия им общего биномиального ряда.
(1 + x ) n = 1 + n x + n ( n 9 0−0 1) ∙ x 2 + n ( n — 1)( n — 2) / 3! ∙ x 3 +⋯
для произвольных рациональных значений п .
С помощью этой формулы он смог найти бесконечные ряды для многих алгебраических функций (функции y от x , которые удовлетворяют полиномиальному уравнению p ( x , y ) = 0). Например,
(1+ x ) −1 = 1 — x + x 2 — x 3 + x 4 — x 5 +⋯ и и 1 / Квадратный корень из √(1 − x 2 ) = (1+( — x
В свою очередь, это привело Ньютона к бесконечным рядам для интегралов алгебраических функций. Например, он получил логарифм путем интегрирования степеней x в ряд для (1 + x ) −1 один за другим,
Журнал (1+ x ) = x — x 2 / 2 + x 3 / 3 — x 4 1920 — x 40008 1920 — x 40008 / — x 40008 / — x /.
+⋯
и ряд обратных синусов путем интегрирования ряда для 1/квадратный корень из √(1 − x 2 ),
sin −1 ( x ) = x + 1 / 2 ∙ x 3 / 3 + 1 ∙ 3 / 2 ∙ 4 ∙ 9 / 2 ∙ 4 ∙ + 1 x 5 / 5 + 1 ∙ 3 ∙ 5 / 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ x 7 / 7 +⋯.
Наконец, Ньютон увенчал свое виртуозное исполнение, вычислив обратный ряд для x как ряд по степеням 9.0003 y = log ( x ) и y = sin −1 ( x ) соответственно, нахождение экспоненциального ряда x = 1 + y / 1! + y 2 / 2! + y 3 
Обратите внимание, что единственное дифференцирование и интегрирование, которые требовались Ньютону, были для степеней x , а реальная работа включала алгебраические вычисления с бесконечными рядами. Действительно, Ньютон рассматривал исчисление как алгебраический аналог арифметики с бесконечными десятичными знаками, и он написал в своем Tractatus de Methodis Serierum et Fluxionum (1671; «Трактат о методе рядов и флюксий»):
Я поражен, что никому не пришло в голову (если вы, кроме Н. Меркатора и его квадратуры гиперболы) соответствовать учению, недавно установленному для десятичных чисел в переменные, тем более, что тогда открывается путь к более поразительным последствиям. Поскольку это учение о видах имеет такое же отношение к алгебре, какое учение о десятичных числах имеет к общей арифметике, ее операции сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня могут быть легко выучены из последней.
Для Ньютона такие вычисления были воплощением исчисления.
Их можно найти в его De Methodis и рукописи De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas (1669 г.; «Об анализе с помощью уравнений с бесконечным числом членов»), которые он вынужден был написать после того, как его логарифмический ряд был заново открыт и опубликован Николаем Меркатором. Ньютон так и не закончил De Methodis , и, несмотря на энтузиазм тех немногих, кому он разрешил читать 9j\cdot j!}$$
Однако я не мог продолжать дальше. Есть ли способ написать $1\cdot 2\cdot 5\cdots(3j-4)$ в другой форме? (Или возможно $3\cdot 4\cdot 6\cdot 7\cdots(3j-5)$?) Не могли бы вы мне помочь?
С уважением
- Дискретная математика
- Биномиальные коэффициенты
$\endgroup$
11
$\begingroup$
Обратите внимание, что $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.