Формулы объема цилиндра, шара, конуса — площадь поверхности и основания
Тела вращения, изучаемые в школе, — это цилиндр, конус и шар.
Если в задаче на ЕГЭ по математике вам надо посчитать объем конуса или площадь сферы — считайте, что повезло.
Применяйте формулы объема и площади поверхности цилиндра, конуса и шара. Все они есть в нашей таблице. Учите наизусть. Отсюда начинается знание стереометрии.
Смотрите также: Формулы объема и площади поверхности многогранников.
Кроме формул, в решении задач по стереометрии нужны также элементарная логика и пространственное воображение. Есть и свои небольшие секреты.
Например, такой важный факт:
Если все линейные размеры объемного тела увеличить в 2 раза, то площадь его поверхности увеличится в 4 раза, а объем — в 8 раз.
(ведь , ).
Вот такая задача. Как и остальные на нашем сайте, она взята из банка заданий ФИПИ.
1. Объем конуса равен . Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
Очевидно, что объем меньшего конуса в раз меньше объема большого и равен двум.
Для решения некоторых задач полезны начальные знания стереометрии. Например — что такое правильная пирамида или прямая призма. Полезно помнить, что у цилиндра, конуса и шара есть еще общее название — тела вращения. Что сферой называется поверхность шара. А, например, фраза «образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов предполагает, что вы знаете, что такое угол между прямой и плоскостью. Вам также может пригодиться теорема Пифагора и простые формулы площадей фигур.
Иногда неплохо нарисовать вид сверху. Или, как в этой задаче, — снизу.
2. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?
Всё просто — рисуем вид снизу.
Видим, что радиус большего круга в раз больше, чем радиус меньшего. Высоты у обоих конусов одинаковы. Следовательно, объем большего конуса будет в раза больше.
Говорят, что хороший чертеж — это уже половина решения. Читайте о том, как строить чертежи в задачах по стереометрии.
Еще один важный момент. Помним, что в задачах части В вариантов ЕГЭ по математике ответ записывается в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Поэтому никаких или у вас в ответе в части В быть не должно. Подставлять приближенное значение числа тоже не нужно! Оно обязательно должно сократиться!. Именно для этого в некоторых задачах задание формулируется, например, так: «Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на ».
А где же еще применяются формулы объема и площади поверхности тел вращения? Конечно же, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике.
Мы тоже расскажем о ней.
Узнаем как рассчитать объем цилиндра: формулы, пример задачи
Цилиндр является одной из распространенных форм пространственных тел, с которыми мы сталкиваемся ежедневно.
Действительно, кружка, таблетка, дымоход, труба и другие предметы имеют цилиндрическую форму. В данной статье рассмотрим вопрос, как рассчитать объем цилиндра, используя различные известные параметры этой фигуры.
Прежде чем переходить к ответу на вопрос, как рассчитать объем цилиндра, разберемся, с какой фигурой мы имеем дело.
С геометрической точки зрения цилиндр образован двумя одномерными элементами. Первый — это кривая, которая является направляющей. Второй — это прямой отрезок, который называется образующей. Когда отрезок не находится в плоскости кривой, если его один конец соединить с кривой и перемещать параллельно самому себе вдоль нее, то мы получим цилиндрическую поверхность.
Под предоставленное определение подходит множество пространственных фигур, включая гиперболические, параболические и эллиптические цилиндры. Тем не менее в данной статье будем рассматривать только круглый прямой цилиндр. Круглым он называется по причине того, что его основания являются кругами (направляющая — окружность), а прямой он потому, что отрезок образующей перпендикулярен основаниям.
Для наглядности описанный цилиндр показан на рисунке.
Как рассчитать объем цилиндра через радиус (диаметр) и высоту
Ответом на этот вопрос является стандартная формула, которая справедлива для любого цилиндра и даже призмы. Запишем ее:
V = So * h
Поскольку в рассматриваемом случае основание — это правильный круг, то можно конкретизировать это выражение и переписать его в следующем виде:
V = pi * r2 * h
Если известен диаметр, то найти объем цилиндра можно, используя такое выражение:
V = pi / 4 * d2 * h
Определение объема цилиндра через площадь боковой поверхности
Еще одним способом рассчитать объем цилиндра, является использование площади его боковой поверхности. Этой поверхностью называется совокупность точек всех образующих, которые соединяют два основания фигуры. Боковая поверхность имеет цилиндрическую форму. Если ее разрезать вдоль одной из образующих и раскрыть, то получится развертка фигуры, показанная ниже.
Видно, что в развернутом виде боковая поверхность является обычным прямоугольником, стороны которого равны высоте и длине окружности основания. Последний факт позволяет записать формулу для площади Sb этой фигуры:
Sb = 2 * pi * r * h
Если известен радиус r фигуры, тогда высота ее будет равна:
h = Sb / (2 * pi * r)
Тогда для объема V формула для цилиндра запишется в виде:
V = r * Sb / 2
Если же известна площадь Sb и высота h, тогда радиус фигуры будет равен:
r = Sb / (2 * pi * h)
Подставляя его в выражение для объема, приходим к следующей формуле:
V = Sb2 / (4 * pi * h)
Можно заметить, что обе формулы с использованием боковой площади Sb соответствуют размерности объема (м3).
Важно понимать, что объем круглого прямого цилиндра можно определить только в том случае, если известны какие-нибудь два его параметра.
Задача на расчет объема цилиндра через площадь его полной поверхности
Предположим, что цилиндр имеет высоту 21 см, а площадь его развертки составляет 335 см2. Необходимо определить объем фигуры.
Ни одна из приведенных выше формул не способна дать нам искомый ответ. В таком случае, как рассчитать объем цилиндра? Как выше было сказано, достаточно знать любые два параметра фигуры, чтобы определить величину V. В данном случае запишем сначала формулу для общей площади цилиндра:
S = Sb + 2 * So = 2 * pi * r * h + 2 * pi * r2
Подставим в это равенство известные данные, получим:
r2 + 21 * r — 53,34 = 0
После подстановки данных мы разделили левую и правую части на 2 * pi и перенесли все члены в одну часть равенства.
Таким образом, перед нами стоит задача решения квадратного уравнения. Используем стандартный метод решения через дискриминант, имеем:
дискриминант D = 654,36;
r = 2,29 см.
При решении уравнения мы отбросили отрицательный корень.
Теперь для определения объема цилиндра можно воспользоваться формулой с параметрами r и h. Подставляя их в указанную формулу, приходим к ответу на задачу: V = 345,8 см3.
Калькулятор объема 📐 — Рассчитайте объем куба, коробки, цилиндра, сферы, конуса…
Быстрая навигация:
- Как рассчитать объем тела?
- Объем куба
- Объем коробки
- Объем цилиндра
- Объем сферы
- Объем конуса
- Объем треугольной призмы
- Примеры применения формул объема
В зависимости от конкретного тела существуют разные формулы и разная необходимая информация, необходимая для расчета его объема. Ниже приведены формулы объема для наиболее распространенных типов геометрических тел — все они поддерживаются нашим онлайн-калькулятором объема выше. Все меры должны быть в одних и тех же единицах.
Результат всегда в кубических единицах: кубические сантиметры, кубические дюймы, кубические метры, кубические футы, кубические ярды и т.д. (например, расчеты кондиционирования воздуха), управление бассейном и многое другое.
Формула объема куба: сторона 3 , как показано на рисунке ниже:
нашли объем куба. Это то же самое, что умножить площадь поверхности одной стороны на глубину куба. Для этого типа цифр едва ли нужен калькулятор, чтобы сделать математику.
Объем ящика
Чтобы найти объем прямоугольного ящика, используйте формулу высота x ширина x длина , как показано на рисунке ниже:
Чтобы вычислить объем ящика или прямоугольного резервуара, вам нужны три измерения: ширина, длина, и высота. Их обычно легко измерить из-за регулярности формы. Обозначив одно измерение как глубину или высоту прямоугольной призмы, умножение двух других дает нам площадь поверхности, которую затем необходимо умножить на глубину / высоту, чтобы получить объем.
Чтобы рассчитать объем бака другой формы, воспользуйтесь нашим калькулятором объема бака.
Формула объема цилиндра: высота x π x (диаметр / 2) 2 , где (диаметр / 2) — радиус основания (d = 2 x r) , так что другой способ записать это: высота x π x радиус 2 . Наглядно на рисунке ниже:
Вам нужны два измерения: высота цилиндра и диаметр его основания. Во многих школьных формулах вместо этого дается радиус, но в реальных ситуациях гораздо проще измерить диаметр, чем пытаться точно определить середину круглого основания, чтобы вы могли измерить радиус. Наш калькулятор объема требует, чтобы вы ввели диаметр основания. Через диаметр можно рассчитать площадь поверхности основания, а затем, чтобы получить объем, просто умножить его на высоту цилиндра.
Объем сферы
Чтобы найти объем сферы, используйте формулу 4/3 x π x (диаметр / 2) 3 , где (диаметр / 2) — радиус сфера (d = 2 x r), так что другой способ записать это 4/3 x π x радиус 3 .
Визуально на рисунке ниже:
То же, что и круг, вам нужно только одно измерение сферы: диаметр или радиус.
Объем конусаФормула объема конуса: (высота x π x (диаметр / 2) 2 ) / 3 , где (диаметр / 2) — радиус основания (d = 2 x r), поэтому по-другому чтобы написать это (высота x π x радиус 2 ) / 3 , как показано на рисунке ниже:
обычный конус. Для конусов неправильной формы, которые еще не поддерживаются нашим инструментом, вам также необходимо знать угол конуса.
Объем треугольной призмы
Формула объема треугольной призмы: (высота x основание x длина) / 2 , как показано на рисунке ниже:
Аналогично прямоугольным коробкам всего три измерения: высота, основание и длина, чтобы найти его объем.
Примеры применения формул объема Вычисления объема и, следовательно, формулы имеют широкий спектр практических применений.
Если вы столкнулись со строительным проектом, работой по отделке дома или некоторыми инженерными задачами, калькулятор поможет вам, если цифра, объем которой вы хотите рассчитать, попадает в любую из вышеперечисленных форм. Сложные фигуры обычно можно разложить, хотя бы приблизительно, на сумму указанных выше основных фигур.
Если вы хотите выполнить более конкретную задачу, например, рассчитать количество необходимого бетона или количество асфальта, гравия, почвы, песка или мульчи, лучше обратиться к каждому из этих инструментов соответственно.
Объем сферы — веб-формулы
· Объем конуса
· Объем эллипсоида
· Объем сферы
· Объем цилиндра
· Объем прямоугольного параллелепипеда
· Периметр квадрата
· Периметр прямоугольника
· Периметр многоугольника
· Периметр параллелограмма
· Периметр круга
· Площадь квадрата
· Площадь прямоугольника
· Площадь многоугольника
· Площадь треугольника
· Площадь параллелограмма
Текущее местоположение > Математические формулы > Геометрия > Объем сферы
Не забудьте попробовать наше бесплатное приложение — Agile-журнал , который поможет вам отслеживать время, потраченное на различные проекты и задачи, 🙂
Попробуй сейчас
Сфера — это трехмерное тело без основания, без ребер, без граней и без вершин.
Сфера – это круглое тело, все точки поверхности которого равноудалены от центра. Объем шара измеряется в кубических единицах.
Объем сферы определяется как: V = 4/3 × π × r 3 = π × d 3 /6
Радиус сферы можно определить, выделив r из приведенной выше формулы :
Пример 1: Вычислите радиус сферы, объем которой равен 1000 см 3 .
Раствор :
Формула для нахождения радиуса сферы формула:
Пример 2:
Найдите объем сферы радиусом 9,6 м, округлив ответ до двух знаков после запятой.Раствор :
Чтобы найти объем сферы, нам нужно вставить значение r in the formula:
V = 4/3 × π × r 3
V = 4/3 × π × 9.6 3
V = 3704.09 m 3
Таким образом, объем сферы равен 3704,09 м 3
Пример 3: Прямоугольный металлический блок имеет размеры 21 см, 77 см и 24 см.
Блок был расплавлен в сферу. Найдите радиус сферы.
Раствор :
Объем сплошного прямоугольного блока металла: 21 × 77 × 24 см 3 .
Пусть r будет радиусом сферы
Тогда объем сферы: V = 4/3 × π × r 3
Так как объем неизменен, то имеем:
4/3 × π × r
r 3 = (21 × 77 × 24)/(4/3 × π)
r = 21 см
Пример 4: Мрамор (в форме шара) имеет диаметр 1 см. Каков объем мрамора?
Решение:
V = π × D 3 /6
V = π × 1 3 /6
V = 0,5236 /6
V = 0,5236 /6
V = 0,5236 /6
V = 0,5236 /6
V = 0,5236 /6
V = 0,5236 9004 /6
.
Таким образом, объем мрамора: 0,52 см 3
Пример 5: Площадь поверхности твердого шара составляет 1254 квадратных фута.