Формула окружности график: Уравнение окружности — урок. Алгебра, 9 класс.

{2}=25$?

$L1:3x+4y-6=0$

$L2:3x+4y-31=0$

$L3:3x+4y-60=0$

$L4: 2x+y+25=0$

Прислать задачу

Правильный:

Неверный:

Неразрешенные задачи:

Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности. Уравнение прямой 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

Тема 28.

Уравнение линии на плоскости.

Уравнение окружности.

При изучении алгебры мы строили графики некоторых функций в прямоугольной системе координат, например, график функции у = x. Известно, что графиком этой функции является прямая, проходящая через начало координат O(0; 0). Координаты любой точки M(x; y), лежащей на прямой ОА удовлетворяют уравнению у = x, а координаты любой точки, не лежащей на прямой ОА, этому уравнению не удовлетворяют. Говорят, что уравнение у = x является уравнением прямой ОА.

Введем теперь понятие уравнения произвольной линии.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy и дана некоторая линия L. Уравнение с двумя переменными x и y называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

При изучении линий методом координат возникают две задачи: 1) по геометрическим свойствам данной линии найти ее уравнение; 2) обратная задача: по заданному уравнению линии исследовать ее геометрические свойства.

Выведем уравнение окружности радиуса r с центром C в заданной прямоугольной системе координат. Пусть точка C имеет координаты (x₀; y₀)

Расстояние от произвольной точки M(x; y) до точки C вычисляется по формуле

MC=x-x02+y-y02. Если точка M лежит на данной окружности, то MC = r, или MC² = r², т.е. координаты точки M удовлетворяют уравнению

x-x02+y-y02= r2 (1)

Если же точка M(x; y) не лежит на данной окружности, то MC² ≠ r², и, значит координаты точки не удовлетворяют уравнению (1). Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C(x₀; y₀) имеет вид:

x-x02+y-y02= r2

В частности, уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид:

x2+y2= r2.

Найти уравнение окружности с центром в точке (-3; 4), проходящей через начало координат.

Центр окружности имеет координаты (-3; 4). Поэтому уравнение этой окружности можно записать в видеx+32+y-42=r2, где r – пока неизвестный радиус окружности. Найдем его. Для этого воспользуемся тем, что окружность проходит через начало координат, т.е. точка O(0; 0) удовлетворяет этому уравнению: (0 + 3)² + (0 — 4)² = r². Отсюда r² = 25, и, значит, r = 5. Итак, искомое уравнение окружности имеет вид

x+32+y-42=25

Если раскрыть скобки и привести подобные члены, то получится уравнение x2+y2+6x – 8y=0, которое также является уравнением данной окружности.

Решим еще одну задачу.

Напишем уравнение окружности с диаметром MN, если точка M(-3; 5), а точка N(7; -3).

Для того, чтобы написать уравнение окружности, необходимо найти координаты центра этой окружности. А это середина диаметра. Пусть O(x; y) – середина диаметра. Итак,

x=-3+72=2y=5-32=1, значит O(2; 1)

Найдем теперь радиус MO, то есть найдем расстояние между точками M и O, получим:

MO=2—32+1-52=41

Подставим все в уравнение окружности:

x-22+y-12=41

Сегодня мы вывели уравнение окружности, а в следующий раз мы выведем уравнение прямой.

Уравнение и график круга

Уравнение и график круга — единственные фигуры, у которых нет ребер. Это делает их уникальными и хорошей темой для обсуждения. Многие концепции были открыты, когда круги были нарисованы на графике. Уравнение окружности необходимо, чтобы нарисовать ее на графике. В этой статье мы узнаем, как составить уравнение и построить график окружности, уравнения и необходимые концепции.

Прежде чем понять концепцию уравнения и графика окружности, давайте изучим некоторые важные термины, необходимые для понимания тем этой статьи. Во-первых, давайте разберемся с понятиями кругов.

Круг — замкнутая фигура, не имеющая сторон. Это как крученый мяч. Параметрами внутри круга являются радиус, хорды, периметр и площадь. Весь круг рисуется по радиусу.

Когда мы рисуем любую окружность на графике, нам требуется от двух до четырех параметров. Радиус круга является наиболее важным для его построения. Расстояние от центра окружности до любой точки окружности всегда одинаково. Таким образом, мы можем сказать, что круг – это однородная фигура.

Оглавление  

Уравнение окружности

Форма центра и радиуса 

Как нарисовать уравнение окружности 

Часто задаваемые вопросы 

Уравнение и график окружности, если нам нужны две вещи

5 график окружности на декартовой плоскости. Они указаны ниже:

1. Координаты центральной точки и

2. Радиус окружности.

Поскольку мы знаем, что окружность представляет собой набор различных точек данных, равноудаленных от заданной точки (центра окружности), уравнение окружности будет находиться вокруг этой точки. Уравнение будет построено вокруг радиуса окружности. Следующий параметр, который нам нужен для завершения уравнения любой окружности, — это точка, из которой проходит окружность. Может быть достаточно любой точки на периметре круга.

Из приведенных выше пунктов у нас теперь есть основная информация о требованиях к уравнению окружности. Стандартное уравнение окружности формулируется так:

(x – k) ² + (y – m) ² = r ² .

В этом уравнении k и m — некоторые случайные точки, из которых проходит окружность. «r» — радиус желаемого круга. Эта форма также известна как форма с центром и радиусом, потому что она основана на радиусе круга.

Центр-Радиус Форма

Форма центр-радиус является наиболее применяемой формой нахождения уравнения окружности. Как обсуждалось выше, эта форма вращается вокруг радиуса желаемого круга. Используя этот метод, вы всегда можете проверить уравнение, необходимое для построения круга. Четыре атрибута этого метода перечислены ниже:

• Из формулы видно, что x и y (которые являются переменными членами) должны быть возведены в квадрат.
• Ни один член в выражении не остается отрицательным. Каждый член положителен из-за возведения в квадрат каждого члена. Вот почему каждый термин пишется в скобках.
• Значение радиуса также возводится в квадрат. Поскольку измерения не могут иметь отрицательных значений, а радиус является измерением, подразумевается, что радиус должен быть положительным.
• Центральная точка или точка, из которой проходит окружность, скажем (h, k).

Для формирования уравнения «h» помещается в переменную x, а k помещается в переменную k, (x – h) ² и (y – k) ² . Сумма этих двух членов должна быть равна квадрату радиуса. Это формулируется как:

  (x – h) ² + (y – k) ² = r ² 

Здесь r ² – константа. Это значение никогда не оказывается неизменным. Единственными значениями, которые изменяются в этом уравнении, являются значения h и k. Они зависят от точки, из которой проходит окружность.

Теперь мы знаем уравнение окружности определенного радиуса. Давайте посмотрим на пример, чтобы понять это полностью.

Пример 1: Радиус круга равен 5 м, а точка, из которой проходит круг, определяется как (3, 4). Найдите уравнение окружности.

Решение: Данный радиус ‘r’ = 5

H = 3

K = 4

Уравнение круга дается как

(x — h) ² + (y — k) ² = r ²

(х – 3) ² + (у – 4) ² = 5 ²

(х – 3) ^{2 –у} = 25

Пример 2: Окружность проходит через точки A (5, 3) и B(2, 9)). Найдите радиус и уравнение окружности.

Решение: Сначала попробуем вычислить радиус окружности.

Мы знаем формулу уравнения окружностей:

(x – h) ² + (y – k) ² = r ²

Нам также даны две точки, координаты x равны 5 в A и 3 в B. Точно так же координаты y равны 3 в A и 9 в B. Таким образом, подставив значения, мы получим

(5 – 2) ² + (3 – 9) ²

(3) ² + (-6) ²

9 + 36

45

Следовательно, r ² = 45

Следовательно, радиус круга r = 45.

Теперь, когда мы знаем значение радиуса, взятие любой точки составит уравнение окружности.

Когда мы берем точку A (5, 3), уравнение (x – 5) ² + (y – 3) ² = 45.

Когда мы берем точку B (2,9), уравнение (х – 2) ² + (y – 9) ² = 45.

Оба уравнения верны для окружности, проходящей через A (5,3) и B (2,9) и имеющей радиус 45.

Как составить уравнение и График круга

Мы научились приравнивать круг в предыдущих разделах. С этого момента мы рассмотрим методы рисования или изображения этих кругов и их уравнений на графике.

Нарисовать круг на графике очень просто. Окружность — это просто кривая, проходящая через оси x и y. Нам нужно знать следующие параметры, чтобы нарисовать круг на графике.

• Значение точки (центральной точки), от которой должен быть построен график.
• Радиус окружности. Мы должны осознавать размер круга, который мы собираемся сделать.

Давайте научимся рисовать круговые графы в следующем разделе:

Когда начало координат находится в центре

Это самый простой случай при обучении рисованию круга. Когда окружность находится в начале декартовой плоскости, переменная часть уравнения исключается. Значение «h» и «k» равно нулю. Таким образом формируется уравнение:

(x — h) ² + (y — k) ² = R ²

(x — 0) ² + (Y — 0) ² = R ²

x ² + y ² = r ²

Предположим, радиус равен 2 см. Тогда окружность, которую нужно сделать, будет проходить через (0, 2) и (0, -2) на оси x. На оси Y круг будет охватывать (2, 0) и (-2, 0). Центр круга останется (0,0), что является исходной точкой. Вот как вы рисуете график, когда центр круга является исходной точкой. См. рисунок ниже для визуального представления графика.

Когда центр отличен от начала координат

У нас может быть несколько случаев, когда центр окружности является не началом координат, а точкой в ​​любом квадранте декартовой плоскости. Предположим, например, что мы хотим нарисовать график в точке (3,8), которая лежит в первом квадранте декартовой плоскости. Когда у нас есть такие условия, мы используем стандартную формулу

(x – h) ² + (y – k) ² = r ^2.

Здесь точка (h, k) действует как точка окружности. центральная точка. График в этом случае может пересекать ось X и ось Y в любой точке в зависимости от радиуса окружности.

Этапы рисования окружности на декартовой плоскости

Шаг 1: Найдите точку (h,k) на графике.

Шаг 2: Возьмите компас и отрегулируйте его по нужному радиусу.

Шаг 3: Поместите кончик циркуля на точку и нарисуйте круг.

Шаг 4: Нужная окружность построена.

Поясним это на примере:

Пример: Постройте график окружности радиусом 4 см из точки B (6, -2).

Решение: Давайте решим этот пример, используя описанные выше шаги

Шаг 1: Отметьте точку (6, -2) на декартовой плоскости. Получаем, что точка лежит в четвертом квадранте. Отметьте эту точку как A.

Шаг 2: Возьмите циркуль и установите радиус 4 см.

Шаг 3: Поместите циркуль в точку А и начертите окружность.

Следовательно, образована окружность радиусом 4 см, проходящая через точку A (6, -2).

Уравнение этой окружности будет:

(x – 6) ² + (y + 2) ² = 4 ² 

Обратите внимание, когда значения отрицательны, (x – h) или ( y – k) меняется на (x + h) или (y + k) соответственно. Это связано с тем, что когда мы меняем значение с h на -h, уравнение становится положительным, поскольку 2 отрицательных числа при умножении дают положительный результат.

( х – (-ч)) = (х + ч).

Часто задаваемые вопросы

1. Как построить круговую диаграмму?

 Чтобы решить круговую диаграмму, сначала посмотрите на круговую диаграмму и определите, где находится центр круга. Затем подсчитайте, сколько градусов находится в каждой части кругового графика. Затем вы можете преобразовать градусы в радианы и умножить на число пи, чтобы узнать, сколько радианов содержится в каждой секции.

2. Как нарисовать круг на калькуляторе?

Чтобы нарисовать круг на калькуляторе, сначала используйте функцию трассировки, чтобы нарисовать линию от одной точки к другой. Затем используйте функцию масштабирования, чтобы увеличить центр и обвести его.

3. Как нарисовать круговую диаграмму?

 Сначала нарисуйте круг диаметром вашей бумаги. Затем нарисуйте линии от центральной точки круга к каждому углу бумаги. Далее расставьте галочки на каждой строке через равные промежутки (10 см). Наконец, используйте свой компас, чтобы сделать отметку в каждой контрольной точке.

4. Как построить график радиуса окружности?

Чтобы начертить радиус окружности, сначала нужно провести линию от исходной точки (0,0) до точки (x,y) на окружности. Затем проведите еще одну линию от исходной точки (0,0) до любой точки того же круга. Расстояние между этими двумя точками будет равно радиусу (r).

5. Как найти центр окружности на графике?

 Чтобы найти центр круга на графике, проведите две перпендикулярные линии через противоположные точки круга. Точка пересечения будет центром вашего круга.

Как построить круги, используя центр и радиус — Криста Кинг Математика

Стандартная форма уравнения окружности

В этом уроке мы рассмотрим, как уравнение окружности в стандартной форме соотносится с ее графиком. 92???, где ???(h,k)??? является центром круга, а ???r??? это радиус.

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

Как вы можете видеть на изображении, центр круга — это точка, а радиус круга — это расстояние от центра круга до точки на его окружности.

Это означает, что если у вас есть график окружности, вы можете записать ее уравнение в стандартной форме.