Периметр равностороннего треугольника – формула
4.4
Средняя оценка: 4.4
Всего получено оценок: 314.
4.4
Средняя оценка: 4.4
Всего получено оценок: 314.
Равносторонний треугольник занимает особое место среди треугольников. Для того, чтобы найти значение периметра, площади, углов или радиусов окружностей вписанной и описанной у равнобедренного треугольника, достаточно знать величину стороны. С одной стороны, это значительно облегчает решение, с другой составители задач редко дают значение стороны и приходится искать обходные пути решения.
Формула нахождения периметра равностороннего треугольника
Формула периметра равностороннего треугольника вытекает из определений. Что такое периметр? Периметр это сумма всех сторон фигуры. Равносторонний треугольник – это треугольник, все стороны которого равны.
Рис. 1. Равносторонний треугольникЗначит,для того, чтобы найти значение периметра достаточно умножить величину стороны на количество сторон:
P=3*a
Решим несколько разных по сложности задач, чтобы разобраться, какие проблемы могут встречаться на пути нахождения периметра.
Задача 1
- В равностороннем треугольнике сторона равна 6. Найти периметр треугольника.
Это самый простой вариант задачи. Достаточно подставить значение в формулу и получить результат. Такая задача не должна вызывать затруднений:
P=3*a=3*6=18
Задача 2
- В равнобедренном треугольнике острый угол при основании равен 60 градусам, площадь треугольника равна $${64\over\sqrt{3}}$$.
Особое внимание нужно обращать на вид фигуры, который указан в условии задачи.
В данной задаче дан равнобедренный треугольник. Чтобы воспользоваться общей формулой, необходимо доказать, что этот равнобедренный треугольник является еще и равносторонним.
Обратим внимание на величину угла. Угол при основании равен 60. При этом углы у основания равнобедренного треугольника равны, а сумма углов любого треугольника равна 180 градусов. Значит у основания два угла по 60 градусов. Рассчитаем угол при вершине:
180-60-60=60 – угол при вершине так же равен 60 градусам.
2}$$
$$a=\sqrt{{4\over3}*(9*3)}$$
$$a=\sqrt{4*9}$$
a=6
Рис. 3. Периметр равностороннего треугольникаПодставим получившееся значение в формулу периметра равностороннего треугольника.
P=3*a=3*6=18
Что мы узнали?
Мы обсудили формулу для нахождения периметра равностороннего треугольника. Выделили проблемы, которые приходится решать при нахождении стороны равностороннего треугольника для дальнейшего решения задачи. Рассмотрели различные пути решения задач на нахождение периметра равностороннего треугольника.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Оценка статьи
4.4
Средняя оценка: 4.4
Всего получено оценок: 314.
А какая ваша оценка?
Периметр и площадь треугольника | Геометрия
- Периметр
- Площадь
Периметр
Периметр любого треугольника равен сумме длин трёх его сторон.
Общая формула для нахождения периметра треугольников:
P = a + b + c,
где P — это периметр треугольника, a, b и c — его стороны.
Периметр равнобедренного треугольника можно найти сложив последовательно длины его сторон или умножив длину боковой стороны на 2 и прибавив к произведению длину основания. Общая формула для нахождения периметра равнобедренных треугольников будет выглядеть так:
P = 2a + b,
где P — это периметр равнобедренного треугольника, a — любая из боковых сторон, b — основание.
Периметр равностороннего треугольника можно найти сложив последовательно длины его сторон или умножив длину любой его стороны на 3. Общая формула для нахождения периметра равносторонних треугольников будет выглядеть так:
P = 3a,
где P — это периметр равностороннего треугольника, a — любая из его сторон.
Площадь
Для измерения площади треугольника можно сравнить его с параллелограммом. Рассмотрим треугольник ABC:
Если взять равный ему треугольник и приставить его так, чтобы получился параллелограмм, то получится параллелограмм с той же высотой и основанием, что и у данного треугольника:
В данном случае общая сторона сложенных вместе треугольников является диагональю образованного параллелограмма. Из свойства параллелограммов известно, что диагональ всегда делит параллелограмм на два равных треугольника, значит площадь каждого треугольника равна половине площади параллелограмма.
Так как площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, то площадь треугольника будет равна половине этого произведения. Значит для ΔABC площадь будет равна
| AC · BD | . |
| 2 |
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник:
Два равных прямоугольных треугольника можно сложить в прямоугольник, если прислонить их друг к другу гипотенузой.
Так как площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон, то площадь данного треугольника равна:
| AC · AB | . |
| 2 |
Из это можно сделать вывод, что площадь любого прямоугольного треугольника равна произведению катетов, разделённому на 2.
Из данных примеров можно сделать вывод, что площадь любого треугольника равна произведению длин основания и высоты, опущенной на основание, разделённому на 2.
Общая формула площади треугольника:
| S = | aha | , |
| 2 |
где S — это площадь треугольника, a — его основание, ha — высота, опущенная на основание a.
Как найти периметр равностороннего треугольника
Все математические ресурсы GRE
13 Диагностические тесты 452 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept
GRE Math Help » Геометрия » Плоская геометрия » Треугольники » Равнобедренные треугольники » Как найти периметр равностороннего треугольника
Найдите периметр равностороннего треугольника с высотой .
Возможные ответы:
Ни один из вариантов ответа не является правильным.
Правильный ответ:
Пояснение:
Периметр находится путем сложения всех сторон треугольника. Все стороны в равностороннем треугольнике равны, поэтому нам нужно найти значение только одной стороны, чтобы узнать значения всех сторон.
Высота равностороннего треугольника делит его на два равных 30:60:90 треугольников, отношение сторон которых будет 1:2:√3. Высота здесь представляет собой отношение √3, которое в данном случае эквивалентно 8, поэтому, чтобы получить длину двух других сторон, мы положили 8 на √3 (8/√3) и 2 * 8/√3 = 16. /√3, которая является гипотенузой нашего треугольника 30:60:90.
Тогда периметр равен 3 * 16/√3 или 48/√3.
Сообщить об ошибке
Если высота равностороннего треугольника , каков его периметр?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Имея высоту в равностороннем треугольнике, угол делится пополам, поэтому получается два треугольника.
Высота противоположна углу . Можем составить пропорцию.
Противоположная сторона равна, а противоположная сторона равностороннего треугольника равна.
Перекрестное умножение.
Поделите обе стороны на
Умножьте верхнее и нижнее число на , чтобы избавиться от радикала.
Так как стороны одинаковые, а сторон три, мы просто умножаем ответ на три, чтобы получить .
Сообщить об ошибке
Если площадь равностороннего треугольника , то каков его периметр?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Площадь равностороннего треугольника .
Итак, давайте составим уравнение для решения .
Перекрестное умножение.
Отменяется, и мы получаем .
Затем извлекаем квадратный корень с обеих сторон и получаем .
Поскольку у нас три равные стороны, мы просто умножаем на три, чтобы получить окончательный ответ.
Сообщить об ошибке
Уведомление об авторских правах
Все математические ресурсы GRE
13 Диагностические тесты 452 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept
Как найти периметр равностороннего треугольника
Все ресурсы промежуточной геометрии
8 Диагностические тесты 250 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 Следующая →
Промежуточная геометрия Помощь » Плоская геометрия » Треугольники » Равнобедренные треугольники » Как найти периметр равностороннего треугольника
ΔABC — равносторонний треугольник с площадью 55.
Найдите периметр (с точностью до десятых).
Возможные ответы:
35.
9
33.8
39.1
40,3
37,2
Правильный ответ:
33,8
. Пояснение:
Чтобы найти периметр равностороннего треугольника, зная его площадь, мы должны сначала найти длины сторон. Это можно сделать, воспользовавшись уравнением площади равностороннего треугольника:
где а — сторона треугольника.
Поскольку стороны равностороннего треугольника равны, его периметр равен 3а.
Сообщить об ошибке
ΔABC — равносторонний треугольник площадью 28.
Найдите периметр (с точностью до десятых).
Возможные ответы:20.8
19.3
24.1
26.7
24.1
Пояснение:
Чтобы найти периметр равностороннего треугольника, зная его площадь, мы должны сначала найти длины сторон.
Это можно сделать, используя уравнение площади равностороннего треугольника:
, где а — сторона треугольника.
Поскольку стороны равностороннего треугольника равны, его периметр равен 3а.
Сообщить об ошибке
Сторона равностороннего треугольника равна см.
Чему равен периметр треугольника?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Периметр треугольника равен сумме всех трех сторон.
Поскольку все три стороны равностороннего треугольника имеют одинаковую длину, мы имеем
Сообщить об ошибке
Длина стороны равностороннего треугольника равна см.
Чему равен периметр треугольника?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Периметр треугольника равен сумме всех трех сторон.
Поскольку все три стороны равностороннего треугольника имеют одинаковую длину, мы имеем
Сообщить об ошибке
Равносторонний треугольник расположен вместе с полукругом, как показано на рисунке ниже.
Найдите периметр фигуры.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Чтобы найти периметр всей фигуры, нам нужно будет найти длины отрезков, выделенных красным цветом.
Обратите внимание, что длина стороны равностороннего треугольника равна диаметру полукруга.
Далее следует вспомнить, что высота равностороннего треугольника разбивает треугольник на два конгруэнтных треугольника.
Вспомните, что длины сторон в треугольнике находятся в отношении. Таким образом, радиус окружности, которая также является основанием треугольника, высота треугольника и длина стороны треугольника находятся в одном и том же отношении.
Затем мы можем составить следующую формулу для определения длины стороны равностороннего треугольника:
Переформулировать уравнение, чтобы найти длину стороны.
Подставьте длину высоты, чтобы найти длину стороны.
Так как диаметр полукруга и длина стороны равностороннего треугольника одинаковы, мы можем написать следующее уравнение:
У нас есть две стороны равностороннего треугольника и длина окружности полукруг.
Подставьте длину стороны, чтобы найти периметр.
Сообщить об ошибке
Равносторонний треугольник расположен вместе с полукругом, как показано на рисунке ниже.
Найдите периметр фигуры.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Чтобы найти периметр всей фигуры, нам нужно будет найти длины отрезков, выделенных красным цветом.
Обратите внимание, что длина стороны равностороннего треугольника равна диаметру полукруга.
Далее следует вспомнить, что высота равностороннего треугольника разбивает треугольник на два конгруэнтных треугольника.
Вспомните, что длины сторон в треугольнике находятся в отношении. Таким образом, радиус окружности, которая также является основанием треугольника, высота треугольника и длина стороны треугольника находятся в одном и том же отношении.
Затем мы можем составить следующую формулу для определения длины стороны равностороннего треугольника:
Переформулировать уравнение, чтобы найти длину стороны.
Подставьте длину высоты, чтобы найти длину стороны.
Так как диаметр полукруга и длина стороны равностороннего треугольника одинаковы, мы можем написать следующее уравнение:
У нас есть две стороны равностороннего треугольника и длина окружности полукруг.
Подставьте длину стороны, чтобы найти периметр.
Сообщить об ошибке
Равносторонний треугольник расположен вместе с полукругом, как показано на рисунке ниже.
Найдите периметр фигуры.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Чтобы найти периметр всей фигуры, нам нужно будет найти длины отрезков, выделенных красным цветом.
Обратите внимание, что длина стороны равностороннего треугольника равна диаметру полукруга.
Далее следует вспомнить, что высота равностороннего треугольника разбивает треугольник на два конгруэнтных треугольника.
Вспомните, что длины сторон в треугольнике находятся в отношении. Таким образом, радиус окружности, которая также является основанием треугольника, высота треугольника и длина стороны треугольника находятся в одном и том же отношении.
Затем мы можем составить следующую формулу для определения длины стороны равностороннего треугольника:
Переформулировать уравнение, чтобы найти длину стороны.
Подставьте длину высоты, чтобы найти длину стороны.
Так как диаметр полукруга и длина стороны равностороннего треугольника одинаковы, мы можем написать следующее уравнение:
У нас есть две стороны равностороннего треугольника и длина окружности полукруг.
Подставьте длину стороны, чтобы найти периметр.
Сообщить об ошибке
Равносторонний треугольник расположен вместе с полукругом, как показано на рисунке ниже.
Найдите периметр фигуры.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Чтобы найти периметр всей фигуры, нам нужно будет найти длины отрезков, выделенных красным цветом.
Обратите внимание, что длина стороны равностороннего треугольника равна диаметру полукруга.
Далее следует вспомнить, что высота равностороннего треугольника разбивает треугольник на два конгруэнтных треугольника.
Вспомните, что длины сторон в треугольнике находятся в отношении. Таким образом, радиус окружности, которая также является основанием треугольника, высота треугольника и длина стороны треугольника находятся в одном и том же отношении.
Затем мы можем составить следующую формулу для определения длины стороны равностороннего треугольника:
Переформулировать уравнение, чтобы найти длину стороны.
Подставьте длину высоты, чтобы найти длину стороны.
Так как диаметр полукруга и длина стороны равностороннего треугольника одинаковы, мы можем написать следующее уравнение:
У нас есть две стороны равностороннего треугольника и длина окружности полукруг.
Подставьте длину стороны, чтобы найти периметр.
Сообщить об ошибке
Равносторонний треугольник расположен вместе с полукругом, как показано на рисунке ниже.
Найдите периметр фигуры.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Чтобы найти периметр всей фигуры, нам нужно будет найти длины отрезков, выделенных красным цветом.
Обратите внимание, что длина стороны равностороннего треугольника равна диаметру полукруга.
Далее следует вспомнить, что высота равностороннего треугольника разбивает треугольник на два конгруэнтных треугольника.
Вспомните, что длины сторон в треугольнике находятся в отношении. Таким образом, радиус окружности, которая также является основанием треугольника, высота треугольника и длина стороны треугольника находятся в одном и том же отношении.
Затем мы можем составить следующую формулу для определения длины стороны равностороннего треугольника:
Переформулировать уравнение, чтобы найти длину стороны.
Подставьте длину высоты, чтобы найти длину стороны.
Так как диаметр полукруга и длина стороны равностороннего треугольника одинаковы, мы можем написать следующее уравнение:
У нас есть две стороны равностороннего треугольника и длина окружности полукруг.
Подставьте длину стороны, чтобы найти периметр.
Сообщить об ошибке
Равносторонний треугольник расположен вместе с полукругом, как показано на рисунке ниже.
Найдите периметр фигуры.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Чтобы найти периметр всей фигуры, нам нужно будет найти длины отрезков, выделенных красным цветом.
Обратите внимание, что длина стороны равностороннего треугольника равна диаметру полукруга.
Далее следует вспомнить, что высота равностороннего треугольника разбивает треугольник на два конгруэнтных треугольника.
Вспомните, что длины сторон в треугольнике находятся в отношении. Таким образом, радиус окружности, которая также является основанием треугольника, высота треугольника и длина стороны треугольника находятся в одном и том же отношении.
Затем мы можем составить следующую формулу для определения длины стороны равностороннего треугольника:
Переформулировать уравнение, чтобы найти длину стороны.