Калькулятор онлайн расчета площади параллелограмма с решением
- Подробности
Калькулятора онлайн рассчитывает площадь паралелограма и выводит формулы с подробным решением:
- по основанию и высоте: площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту;
- по двум сторонам и углу между ними: площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними;
- по двум диагоналям и углу между ними: площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
| Исходные данные: | Решение: | |||
1) Площадь паралелограма по основанию и высоте | ||||
| Сторона паралелограма | a = | расчет площади паралелограма по основанию и высоте | ||
| Высота опущенная к стороне a | h = | |||
2) Площадь паралелограма по двум сторонам и углу между ними | ||||
| Сторона паралелограма | a = | расчет площади паралелограма по двум сторонам и углу | ||
| Сторона паралелограма | b = | |||
| Угол между сторонами паралелограма, град.  | α = | |||
3) Площадь паралелограма по двум диагоналям и углу между ними | ||||
| Диагональ паралелограма | d1 = | расчет площади паралелограма по двум диагоналям и углу между ними расчет площади паралелограма по двум диагоналям и углу между ними | ||
| Диагональ паралелограма | d2 = | |||
| Угол между диагоналями паралелограма, град. | α = | |||
Помощь на развитие проекта premierdevelopment.ru
Send mail и мы будем знать, что движемся в правильном направлении.
Спасибо, что не прошели мимо!
I. Для справки:
1. Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
2.
Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.
Как найти синус угла параллелограмма если известны. Площадь параллелограмма
При решении задач по данной теме кроме
- Биссектриса внутреннего угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник
- Биссектрисы внутренних углов прилежащие к одной из сторон параллелограмма взаимно перпендикулярные
- Биссектрисы, выходящие из противоположных внутренних углов параллелограмма, параллельные между собой либо лежат на одной прямой
- Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон
- Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними
Рассмотрим задачи, при решении которых используются данные свойства.
Задача 1.
Биссектриса угла С параллелограмма АВСD пересекает сторону АD в точке М и продолжение стороны АВ за точку А в точке Е. Найдите периметр параллелограмма, если АЕ = 4, DМ = 3.
Решение.
1. Треугольник СМD равнобедренный. (Свойство 1). Следовательно, СD = МD = 3 см.
2. Треугольник ЕАМ равнобедренный.
Следовательно, АЕ = АМ = 4 см.
3. АD = АМ + МD = 7 см.
4. Периметр АВСD = 20 см.
Ответ. 20 см.
Задача 2.
В выпуклом четырёхугольнике АВСD проведены диагонали. Известно, что площади треугольников АВD, АСD, ВСD равны. Докажите, что данный четырёхугольник является параллелограммом.
Решение.
1. Пусть ВЕ – высота треугольника АВD, СF – высота треугольника АCD. Так как по условию задачи площади треугольников равны и у них общее основание АD, то высоты этих треугольников равны. ВЕ = СF.
2. ВЕ, СF перпендикулярны АD. Точки В и С расположены по одну сторону относительно прямой АD.
3. Пусть АL – высота треугольника АСD, BK – высота треугольника BCD. Так как по условию задачи площади треугольников равны и у них общее основание СD, то высоты этих треугольников равны. АL = BK.
4. АL и BK перпендикулярны СD. Точки В и А расположены по одну сторону относительно прямой СD. АL = BK. Следовательно, прямая АВ || СD (**)
5. Из условий (*), (**) вытекает – АВСD параллелограмм.
Ответ. Доказано. АВСD – параллелограмм.
Задача 3.
На сторонах ВС и СD параллелограмма АВСD отмечены точки М и Н соответственно так, что отрезки ВМ и НD пересекаются в точке О;
Решение.
1. В треугольнике DОМ
2. В прямоугольном треугольнике DНС
(
Тогда (Так как в прямоугольном треугольнике катет, который лежит против угла в 30 о, равен половине гипотенузы).
Но СD = АВ. Тогда АВ: НD = 2: 1.
3.
4.
Ответ: АВ: НD = 2: 1,
Задача 4.
Одна из диагоналей параллелограмма длиною 4√6, составляет с основанием угол 60 о, а вторая диагональ составляет с тем же основанием угол 45 о. Найти вторую диагональ.
Решение.
1. АО = 2√6.
2. К треугольнику АОD применим теорему синусов.
АО/sin D = OD/sin А.
2√6/sin 45 о = OD/sin 60 о.
ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.
Ответ: 12.
Задача 5.
У параллелограмма со сторонами 5√2 и 7√2 меньший угол между диагоналями равен меньшему углу параллелограмма. Найдите сумму длин диагоналей.
Решение.
Пусть d 1 , d 2 – диагонали параллелограмма, а угол между диагоналями и меньший угол параллелограмма равен ф.
1. Посчитаем двумя разными
S ABCD = AB · AD · sin A = 5√2 · 7√2 · sin ф,
S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin ф.
Получим равенство 5√2 · 7√2 · sin ф = 1/2d 1 d 2 sin ф или
2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;
2.
Используя соотношение между сторонами и диагоналями параллелограмма запишем равенство
(АВ 2 + АD 2) · 2 = АС 2 + ВD 2 .
((5√2) 2 + (7√2) 2) · 2 = d 1 2 + d 2 2 .
d 1 2 + d 2 2 = 296.
3. Составим систему:
{d 1 2 + d 2 2 = 296,
{d 1 + d 2 = 140.
Умножим второе уравнение системы на 2 и сложим с первым.
Получим (d 1 + d 2) 2 = 576. Отсюда Id 1 + d 2 I = 24.
Так как d 1 , d 2 – длины диагоналей параллелограмма, то d 1 + d 2 = 24.
Ответ: 24.
Задача 6.
Стороны параллелограмма 4 и 6. Острый угол между диагоналями равен 45 о. Найдите площадь параллелограмма.
Решение.
1. Из треугольника АОВ, используя теорему косинусов, запишем соотношение между стороной параллелограмма и диагоналями.
АВ 2 = АО 2 + ВО 2 2 · АО · ВО · cos АОВ.
4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)cos 45 о;
d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.
d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.
2. Аналогично запишем соотношение для треугольника АОD.
Учтем, что
Получим уравнение d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
3. Имеем систему
{d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
{d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
Вычитая из второго уравнения первое, получим 2d 1 · d 2 √2 = 80 или
d 1 · d 2 = 80/(2√2) = 20√2
4. S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin α = 1/2 · 20√2 · √2/2 = 10.
Примечание: В этой и в предыдущей задаче нет надобности, решать полностью систему, предвидя то, что в данной задаче для вычисления площади нам нужно произведение диагоналей.
Ответ: 10.
Задача 7.
Площадь параллелограмма равна 96, а его стороны равны 8 и 15. Найдите квадрат меньшей диагонали.
Решение.
1. S ABCD = AВ · АD · sin ВAD. Сделаем подстановку в формулу.
Получим 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Отсюда sin ВAD = 4 / 5 .
2. Найдём cos ВАD. sin 2 ВAD + cos 2 ВАD = 1.
(4 / 5) 2 + cos 2 ВАD = 1. cos 2 ВАD = 9 / 25 .
По условию задачи мы находим длину меньшей диагонали. Диагональ ВD будет меньшей, если угол ВАD острый. Тогда cos ВАD = 3 / 5.
3. Из треугольника АВD по теореме косинусов найдём квадрат диагонали ВD.
ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВАD.
ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 · 8 · 15 · 3 / 5 = 145.
Ответ: 145.
Остались вопросы? Не знаете, как решить геометрическую задачу?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Вывод
формулы площади параллелограмма сводится
к построению прямоугольника, равного
данному параллелограмму по площади.
Примем одну сторону параллелограмма
за основание, а перпендикуляр, проведенный
из любой точки противолежащей стороны
на прямую, содержащую основание будем
называть высотой параллелограмма.
Тогда
площадь параллелограмма будет равна
произведению его основания на высоту.
Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.
Доказательство . Рассмотрим параллелограмм с площадью. Примем сторонуза основание и проведем высотыи(рисунок 2.3.1). Требуется доказать, что.
Рисунок 2.3.1
Докажем сначала, что площадь прямоугольника также равна. Трапециясоставлена из параллелограммаи треугольника. С другой стороны, она составлена из прямоугольника НВСК и треугольника. Но прямоугольные треугольникии равны по гипотенузе и острому углу (их гипотенузыиравны как противоположные стороны параллелограмма, а углы 1 и 2 равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямыхисекущей), поэтому их площади равны. Следовательно, площади параллелограммаи прямоугольникатакже равны, то есть площадь прямоугольникаравна. По теореме о площади прямоугольника, но так как, то.
Теорема доказана.
Пример
2.
3.1.
В ромб со стороной и острым углом вписана окружность. Определить площадь четырёхугольника, вершинами которого являются точки касания окружности со сторонами ромба.
Решение:
Радиус
вписанной в ромб
окружности (рисунок 2.3.2),
поскольку
Четырёхугольникявляется прямоугольником, так как его
углы опираются на диаметр окружности.
Его площадь,
где(катет, лежащий против угла),.
Рисунок 2.3.2
Итак,
Ответ:
Пример 2.3.2.
Дан ромб , диагонали которого равны 3 см и 4 см. Из вершины тупого угла проведены высотыиВычислить площадь четырёхугольника
Решение:
Площадь ромба (рисунок 2.3.3).
Итак,
Ответ:
Пример 2.3.3.
Площадь четырёхугольника равна Найти площадь параллелограмма, стороны которого равны и параллельны диагоналям четырёхугольника.
Решение:
Так как и(рисунок 2.3.4), то– параллелограмм и, значит,.
Рисунок
2.
3.4
Аналогично получаем откуда следует, что.
Ответ: .
2.4 Площадь треугольника
Существует несколько формул для вычисления площади треугольника. Рассмотрим те, что изучаются в школе.
Первая формула вытекает из формулы площади параллелограмма и предлагается учащимся в виде теоремы.
Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту .
Доказательство. Пусть – площадь треугольника. Примем сторонуза основание треугольника и проведем высоту. Докажем что:
Рисунок 2.4.1
Достроим треугольник до параллелограмматак, как показано на рисунке. Треугольникииравны по трем сторонам (– их общая сторона,икак противоположные стороны параллелограма), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, т.е.
Теорема доказана.
Важно
обратить внимание учащихся на два
следствия, вытекающих из данной теоремы.
А именно:
площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
Эти два следствия играют важную роль в решении разного рода задач. С опорой на данную доказывается еще одна теорема, имеющая широкое применение при решении задач.
Теорема. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
Доказательство . Пусть и– площади треугольникови, у которых углыиравны.
Рисунок 2.4.2
Докажем, что: .
Наложим треугольник . на треугольниктак, чтобы вершинасовместилась с вершиной, а стороныиналожились соответственно на лучии.
Рисунок 2.4.3
Треугольники иимеют общую высоту, поэтому,. Треугольникиитакже имеют общую высоту –, поэтому,. Перемножая полученные равенства, получим.
Теорема
доказана.
Вторая формула. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Существует несколько способов доказательства этой формулы, и я воспользуюсь одним из них.
Доказательство. Из геометрии известна теорема о том, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, опущенную на это основание:
В случае остроугольного треугольника . В случае тупого угла. Ho, а поэтому. Итак, в обоих случаях. Подставив вместов геометрической формуле площади треугольника, получим тригонометрическую формулу площади треугольника:
Теорема доказана.
Третья
формула для площади треугольника – формула
Герона
,
названа так в честь древнегреческого
ученого Герона Александрийского, жившего
в первом веке нашей эры. Эта формула
позволяет находить площадь треугольника,
зная его стороны. Она удобна тем, что
позволяет не делать никаких дополнительных
построений и не измерять углов. Ее вывод
основывается на второй из рассмотренных
нами формул площади треугольника и
теореме косинусов:
и
.
Прежде чем перейти к реализации этого плана, заметим, что
Точно так же имеем:
Теперь выразим косинус через и:
Так как любой угол в треугольнике больше и меньше, то. Значит,.
Теперь отдельно преобразуем каждый из сомножителей в подкоренном выражении. Имеем:
Подставляя это выражение в формулу для площади, получаем:
Тема «Площадь треугольника» имеет большое значение в школьном курсе математики. Треугольник – простейшая из геометрических фигур. Он является «структурным элементом» школьной геометрии. Подавляющее большинство геометрических задач сводятся к решению треугольников. Не исключение и задача о нахождении площади правильного и произвольного n-угольника.
Пример 2.4.1.
Чему равна площадь равнобедренного треугольника, если его основание , а боковая сторона?
Решение :
–равнобедренный,
Рисунок 2.4.4
Проведём
по свойству равнобедренного треугольника
–
медиана и высота.
Тогда
В по теореме Пифагора:
Находим площадь треугольника:
Ответ:
Пример 2.4.2.
В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника.
Решение:
Пусть (рисунок 2.4.5). Тогдаи(посколькуBD – биссектриса). Отсюда имеем , то есть. Значит,
Рисунок 2.4.5
Ответ:
Пример 2.4.3.
Найти площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно , а длина высоты, проведённой к основанию, равна длине отрезка, соединяющего середины основания и боковой стороны.
Решение:
По условию, – средняя линия (рисунок 2.4.6). Так какВимеем:
или
,
откудаСледовательно,
Формула для площади параллелограмма
Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, опущенную на эту сторону.
Доказательство
Если параллелограмм — прямоугольник, то равенство выполнено по теореме о площади прямоугольника.
Далее считаем, что углы параллелограмма не прямые.
Пусть в параллелограмме $ABCD$ угол $\angle BAD$ острый и $AD > AB$. Иначе переименуем вершины. Тогда высота $BH$ из вершины $B$ на прямую $AD$ падает на сторону $AD$, так как катет $AH$ короче гипотенузы $AB$, а $AB
Сравним площадь параллелограмма $ABCD$ и площадь прямоугольника $HBCK$. Площадь параллелограмма больше на площадь $\triangle ABH$, но меньше на на площадь $\triangle DCK$. Так как эти треугольники равны, то и их площади равны. Значит, площадь параллелограмма равна площади прямоугольника со сторонами длиной в сторону и высоту параллелограмма.
Формула для площади параллелограмма через стороны и синус
Площадь параллелограмма равна произведению соседних сторон на синус угла между ними.
Доказательство
Высота параллелограмма $ABCD$, опущенная на сторону $AB$ равна произведению отрезка $BC$ на синус угла $\angle ABC$. Осталось применить предыдущее утверждение.
Формула для площади параллелограмма через диагонали
Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.
\circ — \angle AOD$. Значит, синусы углов при пересечении диагоналей равны $\sin \alpha$.
$S_{ABCD}=S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle COD} + S_{\triangle AOD}$
по аксиоме измерения площади. Применяем формулу площади треугольника $S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ для этих треугольников и углов при пересечении диагоналей. Стороны каждого равны половинам диагоналей, синусы также равны. Следовательно, площади всех четырёх треугольников равны $S = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{AC}{2} \cdot \dfrac{BD}{2} \cdot \sin \alpha = \dfrac{AC \cdot BD}{8} \sin \alpha$. Суммируя всё вышесказанное, получаем
$S_{ABCD} = 4S = 4 \cdot \dfrac{AC \cdot BD}{8} \sin \alpha = \dfrac{AC \cdot BD \cdot \sin \alpha}{2}$
Прежде чем узнать, как найти площадь параллелограмма, нам необходимо вспомнить, что такое параллелограмм и что называется его высотой. Параллелограмм – четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны (лежат на параллельных прямых).
Перпендикуляр, проведенный из произвольной точки противоположной стороны к прямой, содержащей эту сторону называется высотой параллелограмма.
Квадрат, прямоугольник и ромб – это частные случаи параллелограмма.
Площадь параллелограмма обозначается как (S).
Формулы нахождения площади параллелограмма
S=a*h , где а – это основание, h – это высота, которая проведена к основанию.
S=a*b*sinα , где a и b – это основания, а α — угол между основаниями а и b.
S =p*r , где р – это полупериметр, r – это радиус окружности, которая вписана в параллелограмм.
Площадь параллелограмма, который образован векторами a и b равна модулю произведения заданных векторов, а именно:
Рассмотрим пример №1: Дан параллелограмм, сторона которого равна 7 см, а высота 3 см. Как найти площадь параллелограмма, формула для решения нам необходима.
Таким образом, S= 7×3. S=21. Ответ: 21 см 2 .
Рассмотрим пример №2: Даны основания 6 и 7 см, а также дан угол между основаниями 60 градусов.
Как найти площадь параллелограмма? Формула, используемая для решения:
Таким образом, сначала найдем синус угла. Синус 60 = 0,5, соответственно S = 6*7*0,5=21 Ответ: 21 см 2 .
Надеюсь, что эти примеры Вам помогут при решении задач. И помните, главное – это знание формул и внимательность
Как найти площадь параллелограмма (формула и видео)
Автор:
Malcolm McKinsey