Формула площади описанного многоугольника: 697 Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

Как найти площадь многоугольника формула. Площадь многоугольника через радиус вписанной окружности

В данной статье речь пойдёт о том, как выразить площадь многоугольника, в который можно вписать окружность, через радиус этой окружности. Сразу стоит отметить, что не во всякий многоугольник можно вписать окружность. Однако, если это возможно, то формула, по которой вычисляется площадь такого многоугольника, становится очень простой. Дочитайте эту статью до конца или посмотрите прилагающийся видеоурок, и вы узнаете, как же выразить площадь многоугольника через радиус вписанной в него окружности.

Формула площади многоугольника через радиус вписанной окружности

Нарисуем многоугольник A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 , не обязательно правильный, но такой, в который можно вписать окружность. Напомню, что вписанной называется окружность, которая касается всех сторон многоугольника. На рисунке это зелёная окружность с центром в точке O :

Мы взяли здесь для примера 5-угольник. Но на самом деле это не имеет существенного значения, поскольку дальнейшее доказательство справедливо и для 6-угольника и для 8-угольника и вообще для любого сколь угодно «угольника».

Если соединить центр вписанной окружности со всеми вершинами многоугольника, то он разобьётся на столько треугольников, сколько вершин в данном многоугольнике. В нашем случае: на 5 треугольников. Если же соединить точку O со всеми точками касания вписанной окружности со сторонами многоугольника, то получится 5 отрезков (на рисунке снизу это отрезки OH 1 , OH 2 , OH 3 ,

OH 4 и OH 5), которые равны радиусу окружности и перпендикулярны сторонам многоугольника, к которым они проведены. Последнее справедливо, поскольку радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной:

Как же найти площадь нашего описанного многоугольника? Ответ прост. Нужно сложить площади всех полученных в результате разбиения треугольников:

Рассмотрим, чему равна площадь треугольника . На рисунке снизу он выделен жёлтым цветом:

Она равна половине произведения основания A 1 A 2 на высоту OH 1 , проведённую к этому основанию. Но, как мы уже выяснили, эта высота равна радиусу вписанной окружности. То есть формула площади треугольника принимает вид: , где r — радиус вписанной окружности. Аналогично находятся площади всех оставшихся треугольников. В результате искомая площадь многоугольника оказывается равна:

Видно, что во всех слагаемых этой суммы ест общий множитель , который можно вынести за скобки. В результате получится вот такое выражение:

То есть в скобках осталась просто сумма всех сторон многоугольника, то есть его периметр P . Чаще всего в этой формуле выражение заменяют просто на p и называют эту букву «полупериметром». В результате, окончательная формула принимает вид:

То есть площадь многоугольника, в который вписана окружность известного радиуса, равна произведению этого радиуса на полупериметр многоугольника. Это и есть тот результат, в которому мы стремились.

Отметит напоследок, что в треугольник, который является частным случаем многоугольника, всегда можно вписать окружность. Поэтому для треугольника эту формулу можно применять всегда. Для остальных многоугольников, с количеством сторон большим 3, сперва нужно убедиться, что в них можно вписать окружность. Если это так, можно смело использовать эту простую формулу и находить по ней площадь этого многоугольника.

Материал подготовил , Сергей Валерьевич

Все, что имеет больше двух углов, является многоугольником, в том числе и треугольник. Рассмотрим, как найти площадь многоугольников.

Как найти площадь многоугольника – треугольник

• S = 1/2×h×b, где h – высота, а b – сторона.
• S = 1/2 a×b×sinα, где а и b – стороны треугольника, а sinα – синус угла между ними.
• S = √p×(p-a)×(p-b)×(p-c), где p – половина периметра, а, b, c – стороны. Если известны все стороны треугольника, то найти площадь можно именно по этой формуле.
• S = r×p, где r – радиус вписанной окружности, а p – половина периметра. Если в треугольник вписана окружность, то для нахождения площади можно использовать эту формулу.
• S = abc/4R, где a, b, c – стороны треугольника, а R – радиус описанной окружности. Если треугольник вписан в окружность, для нахождения площади треугольника можно использовать эту формулу.

Прямоугольный треугольник

• S = 1/2×ab, где a и b – катеты прямоугольного треугольника.
• S = d×e, где d и e отрезки гипотенузы, образованные при касании вписанной окружности об гипотенузу.
• S = (p-a)×(p-b), где p – половина периметра, а и b – катеты.

Равнобедренный треугольник

• S = 1/2×a²×sina, где а – бедро треугольника, sina же – угол между бедрами.
• S = b²/4tgα/2, где b – основание треугольника, а tgα – угол между бедрами.

Равносторонний треугольник

• S = √3×a²/4, где а – сторона треугольника (любая, так как в равностороннем треугольнике все стороны равны).
• S = 3√3×R²/4, где R – радиус окружности, в которую вписан треугольник.
• S = 3√3×r², где r – радиус окружности, которая вписана в треугольник.
• S = h²/√3, где h – высота равностороннего треугольника.

Как найти площадь многоугольника – квадрат

• S = a², а – сторона квадрата. Так как все стороны квадрата равны, достаточно умножить одну его сторону на другую.
• S = d²/2, где d – диагональ квадрата.

Как найти площадь многоугольника – прямоугольник

• S = a×b, где a и b – стороны прямоугольника. Так как противолежащие стороны в прямоугольнике равны, достаточно умножить одну его сторону (длину) на не противолежащую, перпендикулярную сторону (ширину).
• S = a²+b²=c², где a – ширина, b – длина, а c – диагональ. Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника и если в условии задачи дана одна сторона прямоугольника и его диагональ, несложно будет найти и третью сторону, использую теорему Пифагора. После того как мы найдем эту сторону, ищем площадь по стандартной формуле a×b. Пример: Ширина прямоугольника – 3см, диагональ – 5 см. Найти площадь. Пишем 3² + x² = 5². x² = 16 => x = 4. S = a×b = 3×4=12. Ответ: S прямоугольника = 12см²

Как найти площадь многоугольника – трапеция

• S = (a+b)×h/2, где a – маленькое, b – большое основание трапеции, h – высота.
• S = h×m, где h – высота, m – средняя линия трапеции, равная половине суммы оснований – 1/2×(a+b).
• S = 1/2×d1×d2×sinα, где d1 и d2 – диагонали трапеции, а sinα – синус угла между ними.
• S = a+b/2×√c²-((b-a)²+c²-d²/2(b-a))², где a и b – основания трапеции, c и d – остальные две стороны.

Равнобедренная трапеция

S = 4r²/sinα, где r – радиус вписанной окружности, а sinα – синус угла между стороной и основанием.

Площадь правильного многоугольника

• S = r×p = 1/2×r×n×a, где r – радиус вписанной окружности, p – половина периметра. Для того чтобы найти площадь любого правильного многоугольника, нужно разбить его на равные треугольники с общей вершиной в центре вписанной окружности.
• S = n×a²/4tg(360°/2n), где n – число сторон правильного многоугольника, а – длина стороны.
  
  Также вычислить площадь правильного многоугольника поможет данный онлайн сервис . Просто вставьте нужное значение и получите ответ.

Площадь неправильного многоугольника

Площадь неправильного многоугольника можно найти с помощью координат его вершин. Если в условии задачи даны вышеупомянутые координаты, то выполняем следующее:

• Составляем таблицу указывая букву, обозначающую вершину и соответствующие координаты (x; y).
• Умножаем значение x одной вершины на значение y второй и так далее.
• Складываем все значение, получаем какое-то число.

• Составляем точно такую таблицу, по такому же принципу умножаем y координату одной вершины на x координату второй, складываем получившиеся значения.

• От суммы значений первой таблицы отнимаем сумму значений второй таблицы.

• Полученное число делим на 2 и тем самым находим площадь неправильного многоугольника.

Площадь многоугольника. Друзья! К вашему вниманию пару задачек с многоугольником и вписанной в него окружностью. Существует формула, которой связывается радиус указанной окружности и периметр с площадью такого многоугольника. Вот она:

Как выводится эта формула? Просто!

Имеем многоугольник и вписанную окружность. *Рассмотрим вывод на примере пятиугольника. Разобьём его на треугольники (соединим центр окружности и вершины отрезками). Получается, что у каждого треугольника основание является стороной многоугольника, а высоты образованных треугольников равны радиусу вписанной окружности:

Используя формулу площади треугольника можем записать:

Вынесем общие множители:

Уверен, сам принцип вам понятен.

*При выводе формулы количество сторон взятого многоугольника не имеет значения. В общем виде вывод формулы выглядел бы так:

*Дополнительная информация!

Известна формула радиуса окружности вписанной в треугольник

Не трудно заметить, что она исходит из полученной нами формулы, посмотрите (a,b,c – это стороны треугольника):

27640. Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 20. Найдите его площадь.

Вычисляем:

Ещё пара задач с многоугольниками.

27930. Угол между стороной правильного n -угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 54 0 . Найдите n .

Если угол между радиусом окружности и стороной многоугольника равен 54 0 , то угол между сторонами многоугольника будет равен 108 0 . Тут необходимо вспомнить формулу угла правильного многоугольника:

Остаётся подставить в формулу значение угла и вычислить n:

27595. Периметры двух подобных многоугольников относятся как 2:7. Площадь меньшего многоугольника равна 28. Найдите площадь большего многоугольника.

Здесь нужно вспомнить о том, что если линейные размеры фигуры увеличивается в k раз, то площадь фигуры увеличивается в k 2 раз. *Свойство подобия фигур.

Периметр большего многоугольника больше периметра меньшего в 7/2 раза, значит площадь увеличилась в (7/2) 2 раза. Таким образом, площадь большего многоугольника равна.

В задачах по геометрии часто требуется вычислить площадь многоугольника. Причем он может иметь довольно разнообразную форму — от всем знакомого треугольника до некоторого n-угольника с каким-то невообразимым числом вершин. К тому же эти многоугольники бывают выпуклыми или вогнутыми. В каждой конкретной ситуации полагается отталкиваться от внешнего вида фигуры. Так получится выбрать оптимальный путь решения задачи. Фигура может оказаться правильной, что существенно упростит решение задачи.

Немного теории о многоугольниках

Если провести три или более пересекающихся прямых, то они образуют некоторую фигуру. Именно она является многоугольником. По количеству точек пересечения становится ясно, сколько вершин у него будет. Они дают название получившейся фигуре. Это может быть:

Такая фигура непременно будет характеризоваться двумя положениями:

1. Смежные стороны не принадлежат одной прямой.
2. У несмежных отсутствуют общие точки, то есть они не пересекаются.

Чтобы понять, какие вершины являются соседними, потребуется посмотреть, принадлежат ли они одной стороне. Если да, то соседние. В противном случае их можно будет соединить отрезком, который необходимо назвать диагональю. Их можно провести только в многоугольниках, у которых больше трех вершин.

Какие их виды существуют?

Многоугольник, у которого больше четырех углов, может быть выпуклым или вогнутым. Отличие последнего в том, что некоторые его вершины могут лежать по разные стороны от прямой, проведенной через произвольную сторону многоугольника. В выпуклом всегда все вершины лежат с одной стороны от такой прямой.

В школьном курсе геометрии большая часть времени уделяется именно выпуклым фигурам. Поэтому в задачах требуется узнать площадь выпуклого многоугольника. Тогда существует формула через радиус описанной окружности, которая позволяет найти искомую величину для любой фигуры. В других случаях однозначного решения не существует. Для треугольника формула одна, а для квадрата или трапеции совершенно другие. В ситуациях, когда фигура неправильная или вершин очень много, принято разделять их на простые и знакомые.

Как поступить, если фигура имеет три или четыре вершины?

В первом случае он окажется треугольником, и можно воспользоваться одной из формул:

• S = 1/2 * а * н, где а — сторона, н — высота к ней;
• S = 1/2 * а * в * sin (А), где а, в — сторон\ы треугольника, А — угол между известными сторонами;
• S = √(p * (p — а) * (p — в) * (p — с)), где с — сторона треугольника, к уже обозначенным двум, р — полупериметр, то есть сумма всех трех сторон, разделенная на два.

Фигура с четырьмя вершинами может оказаться параллелограммом:

• S = а * н;
• S = 1/2 * d 1 * d 2 * sin(α), где d 1 и d 2 — диагонали, α — угол между ними;
• S = a * в * sin(α).

Формула для площади трапеции: S = н * (a + в) / 2, где а и в — длины оснований.

Как поступить с правильным многоугольником, у которого больше четырех вершин?

Для начала такая фигура характеризуется тем, что в ней все стороны равны. Плюс к этому, у многоугольника одинаковые углы.

Если вокруг такой фигуры описать окружность, то ее радиус совпадет с отрезком от центра многоугольника до одной из вершин. Поэтому для того чтобы вычислить площадь правильного многоугольника с произвольным числом вершин, потребуется такая формула:

S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º/n), где n — количество вершин многоугольника.

Из нее легко получить такую, которая пригодится для частных случаев:

1. треугольника: S = (3√3)/4 * R 2 ;
2. квадрата: S = 2 * R 2 ;
3. шестиугольника: S = (3√3)/2 * R 2 .

Ситуация с неправильной фигурой

Выходом для того, как узнать площадь многоугольника, если он не является правильным и его нельзя отнести ни к одной из известных ранее фигур, является алгоритм:

• разбить его на простые фигуры, например, треугольники, чтобы они не пересекались;
• вычислить их площади по любой формуле;
• сложить все результаты.

Что делать, если в задаче даны координаты вершин многоугольника?

То есть известен набор пар чисел для каждой точки, которые ограничивают стороны фигуры. Обычно они записываются как (x 1 ; y 1) для первой, (x 2 ; y 2) — для второй, а n-ая вершина имеет такие значения (x n ; y n). Тогда площадь многоугольника определяется, как сумма n слагаемых. Каждое из них выглядит так: ((y i+1 +y i)/2) * (x i+1 — x i). В этом выражении i изменяется от единицы до n.

Стоит отметить, что знак результата будет зависеть от обхода фигуры. При использовании указанной формулы и движении по часовой стрелке ответ будет получаться отрицательным.

Пример задачи

Условие. Координаты вершин заданы такими значениями (0.6; 2.1), (1.8; 3.6), (2.2; 2.3), (3.6; 2.4), (3.1; 0.5). Требуется вычислить площадь многоугольника.

Решение. По формуле, указанной выше, первое слагаемое будет равно (1.8 + 0.6)/2 * (3.6 — 2.1). Здесь нужно просто взять значения для игрека и икса от второй и первой точек. Несложный расчет приведет к результату 1.8.

Второе слагаемое аналогично получается: (2.2 + 1.8)/2 * (2.3 — 3.6) = -2.6. При решении подобных задач не стоит пугаться отрицательных величин. Все идет так, как нужно. Это планомерно.

Подобным образом получаются значения для третьего (0.29), четвертого (-6.365) и пятого слагаемых (2.96). Тогда итоговая площадь равна: 1.8 + (-2.6) + 0.29 + (-6.365) + 2.96 = — 3.915.

Совет по решению задачи, для которой многоугольник изображен на бумаге в клетку

Чаще всего озадачивает то, что в данных имеется только размер клеточки. Но оказывается, что больше сведений не нужно. Рекомендацией к решению такой задачи является разбивание фигуры на множество треугольников и прямоугольников. Их площади довольно просто сосчитать по длинам сторон, которые потом легко сложить.

Но часто есть более простой подход. Он заключается в том, чтобы дорисовать фигуру до прямоугольника и вычислить значение его площади. Потом сосчитать площади тех элементов, которые оказались лишними. Вычесть их из общего значения. Этот вариант порой предполагает несколько меньшее число действий.

Многоугольник – это плоская или выпуклая фигура, которая состоит из пересеченных прямых (больше 3-х) и образует большое количество точек пересечения линий. Еще многоугольник можно определить как ломаную линию, которая замыкается. По-другому точки пересечения можно назвать вершинами фигуры. В зависимости от количества вершин фигура может называться пятиугольником, шестиугольником и так далее. Угол многоугольника – это угол, который образовывается сторонами, сходящимися в одной вершине. Угол находится внутри многоугольника. Причем углы могут быть разными, вплоть до 180 градусов. Есть также и внешние углы, которые обычно являются смежными внутренним.

Прямые линии, которые впоследствии пересекаются, называются сторонами многоугольника. Они могут быть соседними, смежными и не смежными. Очень важной характеристикой представленной геометрической фигуры является то, что несмежные ее стороны не пересекаются, а значит, не имеют общих точек. Смежные стороны фигуры не могут находиться на одной прямой.

Те вершины фигуры, которые принадлежат одной и той же прямой, можно назвать соседними. Если провести линию между двумя вершинами, не являющимися соседними, то получится диагональ многоугольника. Что касается площади фигуры, — это внутренняя часть плоскости геометрической фигуры с большим количеством вершин, которая создается разделяющими ее отрезками многоугольника.

Какого-либо одного решения для определения площади представленной геометрической фигуры нет, так как вариантов фигуры может быть бесконечное множество и для каждого варианта существует свое решение. Однако некоторые самые частые варианты нахождения площади фигуры все же нужно рассмотреть (они чаще всего используются на практике и включены даже в школьную программу).

Прежде всего, рассмотрим правильный многоугольник, то есть такую фигуру, в которой все углы, образованные равными сторонами, являются также равными. Итак, как найти площадь многоугольника в конкретном примере? Для этого случая нахождение площади многоугольной фигуры возможно, если дан радиус окружности, вписанной в фигуру или описанной вокруг нее. Для этого можно воспользоваться следующей формулой:

S = ½∙P∙r, где r – радиус окружности (вписанной или описанной), а P – является периметром геометрической многоугольной фигуры, которую можно узнать, умножив количество сторон фигуры на их длину.

Как находить площадь многоугольника

Чтобы ответить на вопрос, как находить площадь многоугольника, достаточно следовать следующему интересному свойству многоугольной фигуры, в свое время нашел известный австрийский математик – Георг Пик. Например, по формуле S = N + M/2 -1 можно найти площадь такого многоугольника, вершины которого размещены в узлах квадратной сетки. При этом S – это, соответственно, площадь; N – количество узлов квадратной сетки, которые разместились внутри фигуры с множеством углов; M – количество тех узлов квадратной сетки, которые разместились на вершинах и сторонах многоугольника. Однако, несмотря на свою красоту, формула Пика практически не применяется в практической геометрии.

Самым простым и известным методом определения площади, который изучают в школе, является разделение многоугольной геометрической фигуры на более простые части (трапеции, прямоугольники, треугольники). Найти площадь этих фигур не трудно. В этом случае площадь многоугольника определяется просто: нужно найти площади всех тех фигур, на которые разделен многоугольник.

В основном определение площади многоугольника определяется в механике (размеры деталей).

Ф-лы для выч. площади прав. многоуг., его стороны и радиуса впис.

окр.

Урок 34. Геометрия 9 класс ФГОС

На этом уроке мы вспомним, какой многоугольник называют правильным. Узнаем, каковы его элементы. Выведем формулу для вычисления площади правильного многоугольника через радиус вписанной в него окружности; формулы для вычисления стороны правильного многоугольника через радиус вписанной в него окружности и через радиус описанной около него окружности; формулу для вычисления радиуса вписанной в правильный многоугольник окружности через радиус описанной окружности.

Конспект урока «Ф-лы для выч. площади прав. многоуг., его стороны и радиуса впис. окр.»

На этом уроке мы вспомним, какой многоугольник называют правильным. Узнаем, каковы его элементы. А затем выведем формулы для вычисления элементов правильного многоугольника.

Для начала давайте вспомним определение правильного многоугольника. Итак, правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Пусть  – правильный -угольник

 – площадь правильного -угольника,

 – сторона правильного -угольника,

 – периметр,

 – радиус вписанной окружности,

 – радиус описанной окружности.

Площадь многоугольника – это величина части плоскости, которую занимает многоугольник.

Доказательство.

Для доказательства соединим центр многоугольника с его вершинами. Многоугольник разобьётся на n равных треугольников.

А значит, получим, что площадь правильного n-угольника равна половине произведения периметра правильного n-угольника на радиус вписанной в него окружности. Что и требовалось доказать.

Теперь давайте выведем формулы для вычисления стороны правильного многоугольника и радиуса вписанной окружности.

     

1. Пусть  – правильный многоугольник.

 –  равнобедренный.

 

Рассмотрим .

 – прямоугольный, т.к.  – высота.

Следовательно, .

 

2. Теперь докажем вторую формулу для вычисления стороны многоугольника через радиус описанной окружности

Пусть  – правильный многоугольник.

 –  равнобедренный.

 

Рассмотрим .

 – высота .

Следовательно,  – прямоугольный.

.

  

 

Что и требовалось доказать.

Радиус вписанной окружности можно выразить через радиус описанной окружности по следующей формуле: .

Пусть  – правильный многоугольник.

 –  равнобедренный.

 

Рассмотрим .

 – прямоугольный, т.к.  – высота.

Следовательно, .

 

 

Что и требовалось доказать.

Воспользовавшись формулой для вычисления стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности , давайте выразим формулы для нахождения стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника. Соответственно, подставим в формулу вместо n количество сторон указанных правильных многоугольников 3, 4 и 6.

Задача. Радиус, описанной окружности около правильного шестиугольника, равен  см. Найдите площадь правильного шестиугольника.

Решение.

 

 

 ()

 (см)

 (см)

 (см)

Ответ: .

Подведем итоги урока. На этом уроке мы вывели формулы для вычисления элементов правильного многоугольника. Вспомним их:

Площадь правильного -угольника, описанного около окружности, можно найти через периметр и радиус вписанной окружности по формуле:

Сторону правильного -угольника можно выразить через радиус вписанной окружности:  

Сторону правильного -угольника можно выразить через радиус описанной окружности:  

Радиус вписанной окружности можно выразить через радиус описанной окружности по формуле:  

А также мы с вами выразили формулы для вычисления стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника
, , .

Предыдущий урок 33 Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Следующий урок 35 Построение правильных многоугольников

Получите полный комплект видеоуроков, тестов и презентаций Геометрия 9 класс ФГОС

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или войдите на сайт

Вписанные и описанные многоугольники

Единица измерения: Пи-заполнение в стиле Архимеда!
Оценки: Средняя школа
Периоды: 1
Автор: Джейсон Слоуби

Цель этого урока — использовать геометрию правильных многоугольников вписанный в единичный круг и описанный вокруг него, чтобы создать алгоритм генерации цифр числа π, известного как площадь единичный круг. Математические результаты мотивированы числовыми примеры, позволяя учащимся исследовать закономерности в этих числовых примеров и распространить результаты на общий случай. В конечном счете, студенты будут исследовать вписанные и описанные методы одновременно с партнером, и определит, какой метод обеспечивает лучшее приближение для числового значения π.

Студенты должны проконсультироваться с назначенным партнером, когда они вопросы, застрять или нужно проверить свои результаты, но каждый студент должны сделать математику и заполнить лист активности индивидуально, если иное не отмечено. Каждому студенту понадобится научная или графическая калькулятор, рабочий лист и макулатура.

Учащиеся уже должны быть знакомы с формулой нахождения площади правильного многоугольника, A  = ½( ap ), где a — это апофема, а p — это периметр, а также функции синуса, косинуса и тангенса перед началом этого урока.

Чтобы начать урок, раздайте рабочий лист «Вписанное и описанное» и направьте учащихся к четырем диаграммам обычного треугольник, квадрат, пятиугольник и шестиугольник, вписанные в единичные окружности. Кратко объясните учащимся, что Архимед проанализировал геометрию правильные многоугольники, вписанные в единичные окружности, то заметим, что числа сторон правильных многоугольников начинается с 3 (треугольник) и увеличивается по 1 стороне на каждой диаграмме. Попросите учащихся предсказать, что произойдет когда число сторон правильного многоугольника приближается к бесконечности, а затем попросите нескольких учащихся поделиться своими прогнозами, а также другие мысли или вопросы, которые приходят на ум, вместе с классом.

 Вписанный и описанный рабочий лист

Хотя учащимся, скорее всего, будет трудно понять понятие многоугольника с бесконечным числом сторон, задав им думать об этом явлении будет направлять их мышление для остаток урока. Предложите учащимся сохранить эти диаграммы в виду на протяжении всего урока, потому что их попросят описать математически то, что происходит, как количество сторон в регулярном полигонов увеличивается до бесконечности.

Активно направлять учащихся в процессе поиска сначала площадь правильного треугольника, следуя приведенным ниже шагам, так как эти шаги будут повторяться учащимися для других полигонов. Спросите ведущего вопросы, которые ясно сообщают о связи между предшествующими шаг и цель следующего шага. Примерный вопрос такой формы: «Теперь мы знаем, что углы при основании измеряются 30 °. Как знание этого угла мера поможет нам найти длину апофемы?»

Объясните, что цель состоит в том, чтобы найти площадь правильного треугольника, вписанного в единичную окружность.

1. Рассмотрим внутренний равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами. Обратите внимание, что каждый угол основания составлял 60°, из ( n  – 2) × 180/ n , а радиусы делят углы основания пополам, образуя углы 30°.

2. Затем сформируйте прямоугольный треугольник, нарисовав апофему (высоту) из центра круга перпендикулярно основанию. Использование синуса функции косинуса, длины апофемы y и основания 2 x , можно найти. Обязательно используйте настройку «градусы» на вашем калькуляторе.

       

Следовательно, длина основания 2 x  = 2 cos 30°, а апофема равна y  = sin 30°.

Теперь у нас достаточно информации, чтобы вычислить площадь вписанного правильного треугольника:

Именно эти две последние строки, точное выражение площади и ее десятичной аппроксимации, округленной до десятитысячных, что должны быть перенесены в таблицу на листе деятельности. Через, очень полезно организовать расчеты, как написано выше, поэтому учащиеся могут увидеть, как были измерены угол, периметр и апофема. вычислено.

Работая со своими партнерами, попросите учащихся нарисовать изображение правильного треугольника, описанного вокруг единичной окружности, а затем работать вместе со своими партнерами в поиске его области, следуя тому же формату, что и вычисления вписанного треугольника. Распространите среди каждой группы, убедившись, что они на правильном пути. Если учащиеся изо всех сил пытаются понять конкретные шаги в нахождении области, или теряются во всех вычислениях, отправьте учащихся к изображение описанного треугольника. Напоминая учащимся о геометрическое представление для их символьных вычислений может быть эффективный способ избежать путаницы. Площадь описанного треугольник равен 3 ÷ тангенсу 30° ≈ 5,1962, и должны быть переданы в таблица в рабочих листах учащихся.

Вместе с учащимися попросите их найти вписанную и описанную площади квадрата. Проверьте каждую группу работать, чтобы убедиться, что они получают вписанную область 2.0000 и 4.0000, соответственно. После того, как каждая группа получила правильные области для квадратов, пусть по одному ученику в каждой группе найдут площадь вписанного пятиугольник и описанный шестиугольник, а другой ученик находит площадь описанного пятиугольника и вписанного шестиугольника. Когда каждый учащийся выполнил эти два расчета, пусть каждый учащийся проанализирует расчеты их партнера на правильность, обсуждение и обсуждение работы друг друга до тех пор, пока оба ученика не согласятся, что все четыре области правильный.

После того, как учащиеся выполнили вписанные и описанные областей через шестиугольник, попросите учащихся найти закономерности в их работа с целью обобщения функции площади для вписанных площадей с точки зрения n . Следите за учащимися, которые используют неправильное выражение для угла меры, так как это распространенная ошибка. Если учащиеся еще не видят шаблон, поручите им вычислить площадь вписанного 7-угольника, и далее при необходимости, пока эта закономерность не станет ясной:

Следите за учащимися, которые не могут обобщить эту функцию. Укажите сходство в их работе, подчеркнув расчет периметра и апофемы. Как только учащиеся получат это функция, они должны использовать ее для заполнения остальной части таблицы, включая n  = 50 и n  = 200, а затем должны обсудить вопрос 2 со своим партнером.

Совет преподавателю: обратите внимание на учащихся, которым интересно, что происходит, когда эта функция площади принимает значение n  = ∞. Они могут предположить, что когда n  = ∞, эта функция площади сводится к n  · cos 90° · sin 90° = n  · 0 · 1, что имеет значение 0. Ученики могут задаться вопросом, как площади н ‑гонов увеличиваются, но когда они достигают бесконечности, площади возвращаются к нулю? Лучший ответ заключается в том, что ∞ – странная концепция, особенно до студенты взяли исчисление. Технически функция площади будет сводится к ∞ · 0 · 1, что является неопределенным. Другие неопределенные формы включают 0/0, ∞/∞, ∞ · 0, 0 ⁰ , ∞ ⁰ и 1 ^∞ . Последний любопытный результат, связанный с бесконечностью, состоял бы в том, чтобы попросить студентов оценить дробь sin θ/θ по мере того, как θ приближается к 0. Выявив, что limit равно 1 обычно достаточно, чтобы учащиеся приняли эту бесконечность не работает как обычный «число».

Аналогичным образом попросите учащихся проанализировать закономерности в описанной области. площади полигонов, чтобы определить общую функцию площади с точки зрения  n . Студенты должны обнаружить эту функцию области:

Учащиеся завершат эту часть урока в разное время, но все должно быть достаточно далеко, чтобы провести классную дискуссию будет иметь смысл для всех. Когда учащиеся закончат, укажите, что описанные области приближаются к π так же, как и вписанные области, за исключением того, что они всегда больше π. Обратитесь к схемам вверху Рабочий лист, чтобы обосновать, почему вписанные области всегда будут меньше полной площади единичного круга, и почему описанная площади всегда будут больше площади единичного круга. Подчеркните, что увеличение n приводит к тому, что правильные многоугольники становятся более «кругообразные», поэтому их площади приближаются к площади единицы круг, известный как  π. Важный вопрос, который следует задать учащимся в этом дискуссия заключается в том, достигнут ли площади когда-либо π. Рисование различие между площадью, точно равной π, и площадью сопоставление цифр числа π с определенным разрядом является распространенным непонимание со стороны учеников. Укажите учащимся, что это понятие предел является основной идеей изучения исчисления.

Совет преподавателю: В качестве альтернативного метода создания результаты, вы можете предложить учащимся использовать табличные функции на своих графиках. калькуляторы. Учащиеся могут сгенерировать площадь вписанных многоугольников в первый список и площадь описанных многоугольников во втором список, и они могут генерировать периметр вписанных и описанные многоугольники в третьем и четвертом списках. Студенты должны обратите внимание, что первый и третий списки приближаются к π снизу, а второй и четвертый списки приближаются к π сверху.

Последним компонентом этого урока является вопрос о том, какой метод они предпочитают генерировать цифры π. Подчеркните, что оба методы, если их продолжить для достаточно больших значений n , получат сколь угодно близким к истинному значению π, но спросите, является ли одно из методы предпочтительнее. Допустимые ответы включают, но не ограничиваются:

• Для каждого конкретного n (кроме n  = 3) описанная площадь всегда ближе к π, чем соответствующая вписанная площадь.
• Визуально описанные многоугольники больше соответствуют круг. Еще один способ осмыслить эту концепцию — взглянуть на оставшиеся площади по сравнению с единичным кругом. Снаружи меньше площади окружность и внутри описанного многоугольника; так же есть больше площади внутри круга и вне вписанного многоугольника.

Студенты должны быть в состоянии объяснить, что метод аппроксимация π из описанных правильных многоугольников более эффективна чем из вписанных правильных многоугольников.

В завершение выберите трех учеников, по одному, чтобы объяснить далее своими словами. (Можно представить, что каждый ученик объяснение гипотетическому ученику, отсутствовавшему на этом уроке.)

1. Выполненные работы и открытия из вписанных областей приближаются.
2. Выполненные работы и открытия из очерченных областей приближаются.
3. В чем сходство и различие вписанных и описанных площадей, и как оба метода связаны с аппроксимацией π.

Оставшееся время занятий можно потратить на оценку вопросы, если осталось всего несколько минут, или преследуя один из продления, если остается значительное количество времени.

Избранные решения к рабочему листу

Вопрос 1. Формула площади для вписанного правильного n -угольника:

Вопрос 2. Для n  = 3 площадь равна 1,2990. Для n  = 200 площадь равна 3,1411. Как значение n продолжает увеличиваться, площадь вписанного многоугольника будет приближаться к площади единичного круга, которая равна π.

Вопрос 4. Описание правильных многоугольников вокруг единичный круг будет завышать значение π, поэтому использование этих методы с описанными многоугольниками будут генерировать области, приближающиеся к π сверху. Формула площади:

Ссылка

Слоуби, Джейсон. 2007. Занятия для студентов: заполнение пи в стиле Архимеда! Учитель математики 100: 485.

Варианты оценки

1. Рассмотрим правильный треугольник, вписанный в окружность с r  = 2 и A  = 3√3. Найдите периметр треугольника. [6√3.] Этот вопрос оценивает могут ли учащиеся использовать правильные тригонометрические функции, чтобы найти апофема, а затем используйте формулу A  = ½( ap ), чтобы найти  p .
2. Как количество сторон n правильных многоугольников, вписанных в единичный круг увеличивается, площади когда-нибудь достигнут π? [Нет. Обычный многоугольники заполняют все большую и большую площадь единичного круга, но никогда стать точным кругом.] Этот вопрос оценивает, понять природу приближений к π, найденных на уроке.

        Правильный треугольник, описанный вокруг окружности, показанный ниже.

Измените свою работу из предыдущего урока, чтобы вычислить, как площадь δ ABC изменится, если радиус круга равен 2. [Площадь в четыре раза.] Этот вопрос оценивает, могут ли учащиеся анализировать и изменить свою предыдущую работу на уроке.

Расширения

1. В этом уроке повторяются одни и те же вычисления с разными значениями и . Функции программирования графического калькулятора могут автоматизировать это. процедуры, предоставляя учащимся больше времени для изучения, выдвижения предположений и интерпретировать их математические результаты. Нет опыта в программировании требуется для этого расширения.

Во-первых, направьте учащихся на явно определенную функцию площади вписанных правильных n -угольников и напомните учащимся, что эта функция зависит только от n ; то есть площадь любого конкретного вписанного n -gon можно найти, зная только количество сторон n . Учащиеся обнаружили на уроке, что общая функция площади вписанного n -угольника такова:

Это выражение можно упростить; тем не менее, это может помочь учащимся оставьте его в таком виде, чтобы они могли точно видеть, где находится периметр, апофема, и расчеты измерения угла пришли из.

Первый шаг — сохранить желаемое значение для n в калькуляторе. Это делается путем ввода нужного значения для  н , затем нажмите клавишу STO→ прямо над кнопкой ON, а затем АЛЬФА‑Н. Нажатие ENTER сохраняет желаемое значение в памяти калькулятора. память для этой конкретной переменной и каждый раз, когда эта переменная используется в выражении калькулятор подставит нужное значение в выражение. (см. рисунок). Затем, ввод выражения выше дает площадь искомого н -гон. Чтобы вычислить площадь для другого значения  n , повторите описанные выше шаги, чтобы сохранить новое значение для  N , а затем введите 2nd-ENTRY (дважды), чтобы вспомнить выражение длинной области, чтобы учащимся не пришлось вводить все выражение заново.

Даже этот метод восстановления новых значений n и вспоминать выражение для площади немного утомительно. Написание этих самых операций в программе устраняет большую часть хлопот.

Код для такой программы можно ввести, как показано. Кроме того, загрузите InscPoly.8xp программу, щелкнув ссылку, выбрав «Сохранить объект как…» и перенос программы на графический калькулятор TI-83 или TI-84.

Чтобы использовать программу, выполните следующие действия:

1. Нажмите PRGM, стрелку вправо к NEW, нажмите ENTER.
2. Назовите программу (максимум 8 символов), нажмите ENTER.
3. Двоеточия начинаются с каждой строки, и их не нужно вводить; нажмите ENTER, чтобы начать следующую строку.
4. Команды Prompt и Disp можно найти в разделе PRGM, а затем стрелку вправо к вводу-выводу.
5. Когда закончите, нажмите 2 ^и -ВЫЙТИ.
6. Чтобы запустить программу, нажмите PRGM, затем выберите программу из появившегося списка.

Расположение команд

• Степень – в РЕЖИМЕ
• Disp, Prompt, ClrHome — PRGM, затем ввод-вывод
• Lbl, Пауза, Переход – PRGM

Обратите внимание, что все команды, которые будут использоваться в программе, также можно найти в Каталоге. Войдите в Каталог, нажав 2 ^nd ‑0. Это приведет вас к списку всех возможных команд для использования в программирование. Чтобы перейти к другому месту в Каталоге, используйте кнопку Альфа-клавиши для ввода буквы, и вы будете перенаправлены на первую товар в Каталоге, который начинается с этой буквы. Например, если вы введите P , вы попадете в команду «Парам».

Некоторым учащимся очень нравится изучать программирование, которое может быть отличным способом вовлечь и бросить вызов этим ученикам на других уроках в течение года.

2. Перейдите к следующему уроку, Улучшение метода Архимеда .

Вопросы для учащихся

1. Достигнут ли когда-нибудь вписанные площади пи?

[Нет, потому что прямые стороны многоугольников никогда не будут изогнуты так же, как круг, но площади могут быть сколь угодно близкими с достаточно большим количеством сторон.]

2. Для правильных многоугольников, вписанных в единичную окружность, каков диапазон значений, которые может иметь апофема? Периметр? Как меняются апофемы и периметры относительно друг друга? Объясните свои рассуждения.

[Апофема имеет наименьшую длину с правильным треугольником и увеличивается по мере увеличения количества сторон в многоугольнике. По мере увеличения числа сторон апофема становится все ближе и ближе к радиусу круга. Когда апофема приближается к 1, периметр многоугольника приближается к 2π, длине окружности. ]

3. Ожидаете ли вы, что для любого конкретного n-угольника относительно единичной окружности вписанный или описанный n-угольник даст более точную оценку числа пи? Объясните свои рассуждения.

[Описанные n-угольники. Между кругом и n-угольниками меньше «пустой области».]

Размышления учителя

• Какие изменения вы внесли, чтобы ученики с разным уровнем способностей были вовлечены в урок?
• Какие отзывы вы получили от студентов, чтобы указать, что было предоставлено достаточно числовых примеров, чтобы предложить соответствующее количество руководство для обобщений?
• Какие стратегии опроса были эффективными для стимулирования учащимся интерпретировать результаты и делать прогнозы для больших значений n ?
• Предоставили ли числовые примеры достаточно информации для студентов, чтобы обобщить свои результаты на более крупные n -угольников?
• Имели ли учащиеся четкое представление о конечной цели или Цель этого урока, как они работали? Вы смогли эффективно стимулировать студентов интерпретировать свои результаты и делать прогнозы того, что должно произойти при больших значениях п ?
• Считаете ли вы необходимым внести коррективы во время обучения урок? Если да, то какие корректировки, и были ли эти корректировки эффективный?
• Были ли учащиеся активно вовлечены и возбуждены во время урок? Если нет, то что можно изменить, чтобы поддерживать более высокий уровень участие студентов?

геометрия — Какова площадь правильного многоугольника, вписанного в окружность?

Рассмотрите эту картинку. Я взял ваше и немного модифицировал его, добавив некоторые конструкции, которые будут полезны для доказательства этого утверждения. Имейте в виду, что это изображение следует использовать только в качестве справки, потому что доказательство должно быть верным для любого правильного многоугольника с n сторонами, вписанными в окружность.

Рассмотрим правильный многоугольник с любым количеством сторон ($n$ сторон), вписанных в окружность.

Теперь мы можем нарисовать несколько линий, начиная с центра и заканчивая каждой из вершин многоугольника. Эти линии имеют ту же длину, что и радиус окружности, которую я могу назвать $R$

. Вы можете видеть, что исходный многоугольник теперь разделен на несколько треугольников. Идея состоит в том, что я могу выразить площадь исходного многоугольника как сумму площадей треугольников.

Если мы рассматриваем квадрат, у нас есть четыре таких треугольника, но сколько их будет, если мы рассмотрим обычный правильный многоугольник с $n$ сторонами?

Давайте проделаем тот же процесс еще раз, но в более общем виде. Каждый треугольник образован двумя такими линиями, начинающимися из центра и одной стороны вписанного многоугольника. Рассмотрим стороны вписанного многоугольника как основания этих треугольников, это означает, что у нас может быть не более $n$ возможных оснований и, следовательно, не более $n$ возможных треугольников для многоугольника с $n$ сторонами.

Теперь я хочу, чтобы вы рассмотрели каждый треугольник отдельно. Каковы меры его сторон?

Каждый треугольник состоит из двух равных сторон, эквивалентных радиусу окружности $R$, а третья сторона является одной из сторон вписанного многоугольника, который я могу назвать $l$. Поскольку стороны одного и того же правильного многоугольника равны, все $n$ треугольников конгруэнтны, так как у них 3 равные стороны.

Теперь спросите себя, что означает конгруэнтность? Отношение конгруэнтности между двумя многоугольниками означает, что многоугольники могут перекрываться. У нас есть $n$ треугольников, и они конгруэнтны, поэтому могут пересекаться.

No related posts.