Как решать неопределенные интегралы. Гайд для чайников — Офтоп на DTF
Матан — самое сильное колдунство на сегодняшний день.
Лурк
2600 просмотров
Мы остались с ним в пустом классе и он медленно начал объяснять мне, как правильно брать разные интегралы разными способами. И вот уже в конце нашего первого занятия он предложил мне взять мой первый в жизни интеграл. Но как только я его увидела, я жутко испугалась и убежала.
Сайт МИФИ
Два математика в ресторане поспорили, насколько хорошо знают математику большинство людей. Один (пессимист) утверждал, что большинство ее вообще не знает, а другой (оптимист) — что хоть и не много, но знают. Когда пессимист отошел в туалет, оптимист подозвал симпатичную официантку-блондинку и говорит:
— Когда мой коллега вернется, я задам вам вопрос. Суть не важна.
Все, что вы должны сделать — это сказать «Треть икс куб».
2 по dх? — Треть икс куб… — отвечает официантка.
Пессимист сильно удивляется, на что официантка добавляет:
— А хули ты удивляешься, блять? Училась по гайдам с ДТФ.
Все очень просто. Глядим на эту картинку:
Да, это скриншот с Word. Криворукие программисты сайта дтф за десять лет так и не прикрутили поддержку формул в постах.
Слева от знака равно находится то, что тебе дано изначально. Функция1 — это функция, зависящая от х. Функция2 — это то, что тебе нужно получить из функции1 путем математических манипуляций. Получил? Молодец, даже инспектор Гаджет не справился бы лучше. Теперь прибавь к этому буковку «С» и ответ готов. Тебе не нужно знать, что такое dx, что такое С и вообще теорию интегралов, тебе достаточно знать правила преобразования функции1 в функцию2, чтобы получить 2 на контрольной. И в этом посте я дам тебе такие правила.
Теперь смотрим на эту картинку:
Хочешь стать самым крутым? Придется выучить эту срань.
— Треть икс куб… — отвечает официантка.
Пессимист сильно удивлен, оптимист довольно улыбается.
Когда официантка приносит счёт, вмешивается пессимист:
— Дамочка, а чему равно число пи?
Официантка подумала немного и выдала:
— Дор?
Готов к потере интегральной девственности? Вот первый пример:
Такое даже Буратино может решить в уме.
Запоминаем:
- Интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов.
- Если перед подынтегральной функцией стоит константа, то ее можно вынести за знак интеграла.
Применяя оба правила на практике получаем:
Распад исходного интеграла на более мелкие является крупнейшей геоматематической катастрофой этого блога.
Для решения первых двух интегралов используем пункт 3 из таблицы. Вместо n нужно подставить соответствующие значения (n=2 для первого случая, n=1 для второго).
Для третьего интеграла — пункт 2 из таблицы. И получается вот что:
Кто-то может сказать, что у нас сумма 3 разных интегралов, а, соответственно, сумма трех разных С. Но С — это любое число, а сумма трех любых чисел дает любое число.
Содержание скрыто
Показать
Два дагестанских математика в ресторане поспорили, насколько хорошо знают математику большинство людей. Далее события развивались с утомительной неизбежностью.
Как привлечь внимание дурака? Читай дальше.
Сейчас мы этот интеграл почленно делить будем. Вот:
По статистике, 85% аудитории Доты 2 не поняло, что произошло.
Ну первый интеграл ты знаешь как решать, если не анимешник. Второй интеграл — табличный, пункт 4. А теперь самостоятельная работа. Закончи пример и дай ответ.
Молодец, что не забыл С. Идем дальше.
2 по dх?
— Не знаю, не разбираюсь в этом, да и оно мне, собственно, до пизды, — отвечает официантка.
Изучим решение интегралов по частям (по-Питерски).
Нижняя строчка означает, что u и v — это какие-то функции от х.
Применять данный метод надо, когда у нас произведение двух разных функций под интегралом. Пример:
U это х, а dv это sin(x)dx. Теперь нужно найти du и v, чтобы у нас были все элементы формулы. Раз u=x, то du=dx. Если dv=sin(x)dx, то v=-cos(x) (это я небольшой интегральчик взял). Подставляем в формулу выше:
Ну интеграл от косинуса ты знаешь где искать. Окончательный ответ:
Готов к полному пиздецу?
Полный пиздец как он есть.
Применим метод, который в нашей семье передается из поколения в поколение — метод неопределенных коэффициентов. Бачим сюда:
Ловко, да? Все, что нам нужно — это найти эти а, б и с. Дальше интеграл распадется на три табличных.
Это мы коммунистическим путем привели левую часть к общему знаменателю.
Теперь можно и сократить знаменатели.
Надо раскрыть скобки.
Ну тут даже камню понятно, что: а+б+с=1; 5а+2б+с=-19; 6а-3б-2с=6. Решается оно так:
Ну а теперь:
Глядим на пункт 4 в таблице и получаем (если что dx и d(x+3) это одно и тоже):
Модуль ставить обязательно. Ты же помнишь, что функция под логарифмом всегда должна быть больше нуля?
Вот и все. Полученных знаний тебе хватит, чтобы не обосраться на первой контрольной и слегка обосраться на второй.
Интеграция sin 2x | Изучите важные термины и понятия
В Математика интегрирование означает суммирование заданных дискретных данных. Интегрирование выполняется для нахождения функции по ее производной. Другим применением интегрирования является вычисление площади под графиком функции. Интеграция выполняется для нахождения площадей 2D-области и объемов 3D-объектов.
Интеграция противоположна дифференциации. При неопределенном интегрировании мы добавляем постоянную интегрирования. Он добавлен для представления постоянного члена исходной функции, потому что мы не можем получить его с помощью антипроизводного процесса. Интеграл от sin2x и sin2x является неопределенной интеграцией, потому что пределы здесь не определены.
Что такое интеграция sin2x?
Интеграл sin2x представлен как \[\int {\sin 2xdx} \]. Данный интеграл вычисляется методом подстановки.
I = \[\int {\sin 2xdx} \]
Пусть u = 2x
Теперь, дифференцируя обе части, получаем
du = 2dx \[ \Rightarrow dx = \dfrac{{du}}{ 2}\]
Подставляя значения u и du в интеграл, получаем
\[\begin{array}{c}I = \int {\sin u{\rm{ }}\dfrac{{ du}}{2}} \\ = \dfrac{1}{2}\int {\sin u{\rm{}}} du\\ = \dfrac{1}{2}\left( { — \cos u} \right) + C\end{массив}\] 92}xdx} \\ = \int {\dfrac{1}{2}\left({1 — \cos 2x} \right)dx} \\ = \dfrac{1}{2}\int {\left( {1 — \cos 2x} \right)dx} \end{array}\]
Приведенный выше интеграл можно разбить на два интеграла.
\[\begin{array}{c}I = \dfrac{1}{2}\int {\left({1 — \cos 2x} \right)dx} \\ = \dfrac{1}{2 }\int {dx} — \dfrac{1}{2}\int {\cos 2x{\rm{}}dx} \\ = {I_1} — {I_2}\end{массив}\]
Теперь интегрирование оба слагаемых по отдельности, получаем
\[\begin{array}{c}{I_1} = \dfrac{1}{2}\int {dx} \\ = \dfrac{x}{2} + {C_1 }\конец{массив}\]
\[{I_2} = \dfrac{1}{2}\int {\cos 2x{\rm{ }}dx} \]
Пусть u = 2x
Теперь, продифференцировав обе части, мы получим
du = 2dx \[ \Rightarrow dx = \dfrac{{du}}{2}\]
Подставляя значение u и du в интеграл, получаем
\[\begin{array}{c}{I_2 } = \ dfrac {1} {2} \ int {\ cos u {\ rm {}} \ dfrac {{du}} {2}} \\ = \ dfrac {1} {4} \ int {\ cos u {\rm{ du}}} \\ = \dfrac{1}{4}\left( {\sin u} \right) + {C_2}\end{array}\]
Теперь преобразуем интеграл, полученный в условия х.
\[{I_2} = \dfrac{{\sin 2x}}{4} + {C_2}\]
Теперь подставьте значения I1 и I2 в исходный интеграл и найдите значение I.
\ [\begin{array}{c}I = {I_1} — {I_2}\\ = \dfrac{x}{2} + {C_1} — \dfrac{{\sin 2x}}{4} — {C_2} \\ = \dfrac{x}{2} — \dfrac{{\sin 2x}}{4} + C\end{array}\]
Таким образом, интеграл от sin2x равен \[\dfrac{x}{ 2} — \dfrac{{\sin 2x}}{4} + C\].
Решенные вопросы
1. Как мы используем подстановку в интегрировании?
Ответ: Мы используем метод подстановки, чтобы заменить независимую переменную с x на t. Предположим, что x = g(t). И подставляем x = g(t) в исходную функцию, а затем после дифференцирования подставляем dx = \[g'(t)\].
2. Интегрирование интегрируемой функции f(x) дает семейство кривых, отличающихся постоянной величиной. Правда или ложь.
Ответ: Верно, интегрирование интегрируемой функции дает F(x) + C, которое представляет семейство кривых при изменении значения константы C.
Практические вопросы
1. Как найти определенный интеграл от sin2x от 0 до \[\pi \]?
Ответ: 0
2.
Как найти определенный интеграл от sin2x от 0 до \[\pi \]?
Ответ: \[\dfrac{\pi }{2}\]
Интересные факты
Интегралы и производные являются частью раздела математики, известного как исчисление.
Примитивно при интегрировании мы делили весь граф на прямоугольники небольшой ширины и складывали их вместе. Это известно как сумма Римана.
Интегрирование известно как антипроизводная.
Многие правила определяются в замещении, например, правило степени, правило суммы и разности, экспоненциальное правило, правило взаимности и т. д. 9(sin 2x)) + C .
View Solution:
Этот контент предназначен для Premium Member. Устали от рекламы?
Подпишитесь, чтобы разблокировать контент! и Удалить рекламу.
