Формула полного квадрата: Метод выделения полного квадрата — урок. Алгебра, 7 класс.

Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения

Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения

С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения: Справочник. Справочник посвящен задачам, которые для школьников считаются задачами повышенной трудности, требующим нестандартных методов решений. Приводятся методы решений уравнений и неравенств, основанные на геометрических соображениях, свойствах функций (монотонности, ограниченности, четности), применении производной. Книга ставит своей целью познакомить школьников с различными, основанными на материале программы общеобразовательной средней школы, методами решения, казалось бы трудных задач, проиллюстрировать широкие возможности использования хорошо усвоенных школьных знаний и привить читателю навыки употреблять нестандартные методы рассуждений при решении задач. Для школьников, абитуриентов, руководителей математических кружков, учителей и всех любителей решать задачи. Оглавление От авторов Глава I. Алгебраические уравнения и неравенства § 1.1. Разложение многочлена на множители 1.1.2. Применение формул сокращенного умножения. 1.1.3. Выделение полного квадрата. 1.1.4. Группировка. 1.1.5. Метод неопределенных коэффициентов. 1.1.6. Подбор корня многочлена по его старшему и свободному коэффициентам. 1.1.7. Метод введения параметра. 1.1.8. Метод введения новой неизвестной. 1.1.9. Комбинирование различных методов. § 1.2. Простейшие способы решения алгебраических уравнений § 1.3. Симметрические и возвратные уравнения 1.3.2. Симметрические уравнения четвертой степени. 1.3.3. Возвратные уравнения. 1.3.4. Уравнения четвертой степени с дополнительными условиями на коэффициенты. § 1.4. Некоторые искусственные способы решения алгебраических уравнений 1. 4.2. Угадывание корня уравнения. 1.4.3. Использование симметричности уравнения. 1.4.4. Использование суперпозиции функций. 1.4.5. Исследование уравнения на промежутках действительной оси. § 1.5. Решение алгебраических неравенств 1.5.2. Метод интервалов. 1.5.3. Обобщенный метод интервалов. Глава II. Уравнения и неравенства, содержащие радикалы, степени, логарифмы и модули § 2.1. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную под знаком корня 2.1.4. Умножение уравнения или неравенства на функцию. § 2.2. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании логарифмов 2.2.2. Переход к основанию, содержащему неизвестную. 2.2.3. Уравнения вида … 2.2.5. Неравенства вида … § 2.3. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании и показателе степени § 2.4. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную под знаком абсолютной величины 2.4.6. Использование свойств абсолютной величины. Глава III. Способ замены неизвестных при решении уравнений § 3. 1. Алгебраические уравнения § 3.2. Рациональные уравнения § 3.3. Иррациональные уравнения 3.3.3. Сведение решения иррационального уравнения к решению тригонометрического уравнения. § 3.4. Уравнения вида § 3.5. Решение некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых неизвестных Глава IV. Решение уравнений и неравенств с использованием свойств входящих в них функций § 4.1. Применение основных свойств функций 4.1.2. Использование ограниченности функций. 4.1.3. Использование монотонности. 4.1.4. Использование графиков. 4.1.5. Метод интервалов для непрерывных функций. § 4.2. Решение некоторых уравнений и неравенств сведением их к решению систем уравнений или неравенств относительно той же неизвестной 4.2.3. Использование ограниченности функций. 4.2.4. Использование свойств синуса и косинуса. 4.2.5. Использование числовых неравенств. § 4.3. Применение производной 4.3.2. Использование наибольшего и наименьшего значений функции. 4.3.3. Применение теоремы Лагранжа. Дополнения

Онлайн калькулятор: Метод выделения полного квадрата

УчебаМатематикаАлгебра

Этот онлайн-калькулятор преобразует многочлен методом выделения полного квадрата (методом дополнения до полного квадрата)

Этот онлайн-калькулятор применяет метод выделения полного квадрата (или метод дополнения до полного квадрата) к квадратному многочлену (полиному), представленному его коэффициентами a, b и c. Он конвертирует квадратный многочлен из вида в вид .

Теорию и формулы вы найдете ниже под калькулятором.

Метод выделения полного квадрата

Коэффициенты квадратного многочлена

Три коэффициента квадратного многочлена, разделенные пробелом, от большей степени к меньшей

Преобразованный многочлен

 

Метод выделения полного квадрата

Как говорилось выше, метод выделения полного квадрата (метод дополнения до полного квадрата) — это метод конвертирования квадратного полинома из представления вида в представление вида .

Метод выделения полного квадрата используется для

• решения квадратных уравнений,
• изображения квадратичной функции,
• вычисления интегралов в матанализе, таких как гауссовские интегралы с линейным членом в показателе степени
• нахождения преобразований Лапласа.

В математике выделение полного квадрата часто применяется в любых вычислениях, включающих квадратные полиномы. Также этот метод можно использовать для выведения формулы корней квадратного уравнения.

Формула для h и k

Давайте выведем формулы для коэффициентов h и k . Начнем с квадратного полинома

Запишем коэффициент a в знаменатель, чтобы получить монический квадратный полином

Мы знаем, что формула квадрата двучлена записывается так

Используя эту формулы, мы можем записать двучлен, первые два коэффициента квадрата которого будут совпадать с первыми двумя коэффициентами монического квадратного полинома выше:

Эта запись отличается от монического квадратного полинома выше только значением константы. Следовательно, добавив и вычтя соответствующие константы, мы сможем записать равенство:

Добавляя константу, мы выделяем квадрат или дополняем квадрат, отсюда и идет название метода.

Теперь мы можем восстановить коэффициент a, умножив обе части равенства на a и окончательно записать равенство так

где

Ссылка скопирована в буфер обмена

Похожие калькуляторы

• • Разложение многочлена на свободные от квадратов множители
• • Изоляция корней многочлена
• • Интерполяционный многочлен Ньютона (полином Ньютона)
• • Вычисление корней полинома
• • Интерполяционный многочлен Лагранжа (полином Лагранжа)
• • Раздел: Алгебра ( 46 калькуляторов )

 #алгебра #многочлен #полином Алгебра Квадратное метод выделения полного квадрата метод дополнения до полного квадрата многочлен полином

 PLANETCALC, Метод выделения полного квадрата

Timur2020-11-03 14:19:38

Заполнение квадрата — Photomath

Изучите квадратные уравнения

Вы уже знаете, что существует несколько способов решения квадратных уравнений. Вы уже пробовали заполнить квадрат?

Давайте попробуем прямо сейчас!

Что значит завершить квадрат?

Завершение квадрата — это метод, при котором одно и то же значение прибавляется к выражению и вычитается из него, чтобы записать его в виде идеального квадрата.

Помните: квадратное уравнение — это уравнение, в котором переменная возведена во вторую степень. 92+bx+c=0$$

Почему заполнение квадрата так полезно?

Завершение квадрата — еще один инструмент в вашем наборе инструментов для решения квадратных уравнений. Вы обнаружите, что даже вне квадратных уравнений вы можете работать намного эффективнее, если начнете понимать, какой метод и когда использовать. Воспринимайте это как забавный вызов — посмотрите, как просто вы можете делать вещи!

Как составить квадрат

Давайте займемся математикой и научимся составлять квадрат! Лучший способ чему-то научиться — увидеть это в действии, поэтому мы вместе рассмотрим несколько примеров. 92 =3$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения и не забудьте использовать как положительные, так и отрицательные корни! Мы можем сделать это благодаря правилу, согласно которому, если два выражения равны, их квадратные корни также равны:

$${x}+{2} =\pm\sqrt{3}$$

Разделить уравнение на $$2$$ возможных случаев (один с минусовым корнем и один с плюсовым корнем):

$${x}{+}{2} =-\sqrt{3}$$

$${x} {+}{2} =\sqrt{3}$$

Перенесите константы в правую часть уравнения и поменяйте их знаки: 92 =\frac{25}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения, не забывая использовать как положительные, так и отрицательные корни. Мы можем сделать это благодаря правилу, согласно которому, если два выражения равны, то равны и их квадратные корни:

$$t-\frac34 =\pm\frac{5}{4}$$

Разделите уравнение на $$2$$ возможных случаев (один с минусовым корнем и один с плюсовым корнем):

$$t{-}{\frac34} =-\frac{5}{4}$$

$$t{ -}{\frac34} =\frac{5}{4}$$

Перенесите константы в правую часть уравнения и поменяйте их знаки:

$$t =-\frac{5}{4}{+}{\frac34}$$

$$t =\frac {5}{4}{+}{\frac34}$$

Сложите дроби:

$$t =-\frac12$$

$$t =2$$

Вот так! У уравнения есть $$2$$ решений:

$$t_1 =-\frac12, ~t_2=2$$

Это было не так уж и плохо, правда? Давайте рассмотрим процесс, чтобы вы могли повторить попытку в любое время:

.

Резюме исследования

1. Переместите константу в правую часть уравнения.
2. Разделите обе части на константу.
3. Чтобы завершить квадрат, добавьте или вычтите одно и то же значение с обеих сторон.
4. Фактор выражения в левой части уравнения.
5. Вычислите сумму или разность в правой части уравнения. 92+\frac{10}{3}a=\frac{11}{9}$$

Решения:

1. $$x_1=-1, x_2=5$$
2. $$t_1=-\frac43, ~t_2=\frac23$$
3. $$t_1=-\frac92, ~x_2=\frac32$$
4. $$a_1=-\frac{11}3, ~a_2=\frac13$$

Если у вас проблемы с решением, ничего страшного! Ошибки действительно могут помочь вам учиться! Если вы слишком запутались или запутались, отсканируйте проблему с помощью приложения Photomath, и мы проведем вас с другой стороны!

Вот краткий обзор того, что вы увидите:

00:00 / 00:00

Есть домашнее задание по алгебре?

Зайдите в приложение Photomath, чтобы быстро найти пошаговые решения всех ваших задач по алгебре.

Завершение формулы квадрата — GeeksforGeeks

Метод преобразования квадратичной формулы вида ax ² + bx + c в вершинный вид a(x – h) ² + k называется завершением квадрата. Наиболее типичным применением завершения квадрата является решение квадратичной задачи. Этого можно добиться, переформулировав выражение a(x + m) ² + n, полученное после завершения квадрата, так, чтобы левая часть была полным трехчленом квадрата. Завершение квадратного подхода полезно в следующих ситуациях:

• Преобразование квадратного выражения в его вершинную форму.
• Вычисление минимального/максимального значения квадратичной формулы
• График квадратичной функции.
• Необходимо решить квадратное уравнение.
• Выведена квадратичная формула.

Что такое завершение метода квадрата?

Наиболее распространенное применение метода завершения квадрата — разложение квадратного уравнения на множители и, таким образом, определение корней и нулей квадратного многочлена или квадратного уравнения. Метод факторизации можно использовать для решения квадратного уравнения типа ax ² + bx + c = 0. Однако факторизация квадратичной формулы ax ² + bx + c иногда затруднена или невозможна.

Например, в случае:

Мы не можем разложить на множители x ² + 2x + 3, потому что мы не можем найти два числа, сумма которых равна 2, а произведение равно 3. В таких обстоятельствах мы завершаем квадрат и запишите его как (x + m) ² + n. Мы называем это «завершением квадрата», потому что у нас есть (x + m) полностью возведенный в квадрат.

Формула для заполнения квадрата

Методология или подход к преобразованию квадратного полинома или уравнения в полный квадрат с дополнительной константой известен как формула квадрата. Используя формулу или подход завершения квадрата, квадратное выражение в переменной x: ax ² + bx + c, где a, b и c — любые действительные значения, кроме 0, можно превратить в идеальный квадрат, используя один дополнительный постоянный.

Завершение формулы квадрата – это методология или процедура нахождения корней заданных квадратных уравнений, таких как ax ² + bx + c = 0, где a, b и c — действительные значения, кроме a.

ax ² + bx + c

где a(x + m) ² + n — формула завершения квадрата.

где n кажется константой, а m может быть любым действительным числом.

Вместо длительного пошагового подхода мы можем использовать следующую простую формулу для построения квадрата. Найдите следующее, чтобы завершить квадрат во фразе ax ² + bx + c:

n = c – (b ² /4a) и m = b/2a

Значения, подставленные в ax ² + bx + c = a(x + m)2 + n. Эти формулы построены геометрически.

Шаги для завершения метода квадрата 

Предположим, что квадратное уравнение имеет вид ax ² + bx + c = 0. Выполните шаги, чтобы решить его, используя метод завершения квадрата.

Шаг 1: Составьте уравнение таким образом, чтобы с была в правой части.

Шаг 2 : Разделите все уравнение на an, если an не равно 1, так что коэффициент при x ² равен 1.

Шаг 3 : С обеих сторон прибавьте квадрат половины коэффициент член-х, (b/2a) ² .

Шаг 4: Фактор левой части уравнения как квадрат биномиального члена.

Шаг 5: С обеих сторон извлеките квадратный корень.

Шаг 6 : Найдите корни, найдя переменную x.

Описанные выше шаги можно выполнить, как показано ниже.

Взгляните на квадратное уравнение ax ² + bx + c = 0 ( a не равно 0 ).

Разделив все на a, мы получим

x ² + (b/a)x + (c/a) = 0

Альтернативно это можно записать как (b/2a) ²  ( добавив и вычитая )

[x + (b/2a)] ² – (b/2a) ² + (c/a) = 0

[x + (b/2a)] ² – [(b ² – 4ac)/4a ² ] = 0

[x + (b/2a)] ² = [(b ² – 4ac)/4a ^{2 ] 909020 3}

Если b2 – 4ac ≥ 0, то извлекая квадратный корень, получаем

x + (b/2a) = ± √(b ² – 4ac)/ 2a

Квадратичная формула получается путем упрощения этого дальше.

Примеры вопросов

Вопрос 1: Найдите корни квадратного уравнения x ² + 2x – 12 = 0, используя метод заполнения квадрата.

Ответ:

Данное квадратное уравнение имеет вид  x ² + 2x – 12 = 0

Таким образом, при сравнении уравнения со стандартной формой,

, где b0                                                                                                                    тогда (x + b/2) ² = -(c – b ² /4)

подставляя значения получаем

(x + 2/2) ² = -(-12 – ( 2 ² /4) )

(x + 1) ²  = 12 + 1

(x + 1) ² = 13

x + 1 =  ± √13

x + 1 = ± 3,6

Итак, x + 1 = +3,6 и x+1 = – 3,6

x = 2,6 , -4,6

Следовательно, корни данного уравнения 2,6, -4,6.

Вопрос 2: Найдите корни квадратного уравнения 2x ² – 4x – 20 = 0, используя метод заполнения квадрата.

Ответ:

Данное квадратное уравнение равно 2x ² – 4x – 20 = 0

Приведенное уравнение не в том виде, в котором используется метод заполнения квадратов, т. е. коэффициент x2 не равен 1. Чтобы сделать его единым, разделите все уравнение на  2 .

, затем x ² – 2x – 10 = 0 

Таким образом, сравнение уравнения со стандартной формой:

, где b = – 2 и c = -10

, тогда (x + b/2) ² = -(c – b ² /4)

подставляя значения получаем

(x + (-2/2) ) ² = -( -10 – (2 ²

/4) )

(х – 1) ² = 11

х – 1 = ± √11

х – 1  = ± 3,3 = -3,3

x = 4,3, -2,3

Следовательно, корнями данного уравнения являются 4,3, -2,3.

Вопрос 3: Решите, используя квадратную формулу для 3x ² — 9x — 27 = 0.

Ответ:

. x – 27 = 0.

мы можем записать это как x ² – 3x -9 = 0 

Таким образом, сравнивая уравнение со стандартной формой,

, где b = – 3, и c = -9

тогда (x + b/2) ² = -(c – b ² /4)

подставляя значения получаем

(x + (-3/2) ) ² = -( — 9 — (3 ² /4))

(x — 1,5) ² = 11,25

x — 1,5 = ± √11.25

x — 1,5 = ± 3,35

So, x — 1,5 = + 11,25. и х -1 = -11,25

x = 12,75, -10,25

Следовательно, корни данного уравнения равны 12,75, -10,25 .

Вопрос 4: Найдите число, которое нужно прибавить к x ² – 4x, чтобы получить трехчлен в виде идеального квадрата, используя формулу завершения квадрата.

Ответ:

Данное выражение равно x ² -4x

As Сравнивая данное выражение вместе с ax ² + bx + c,

a 9000; б = -4

Член, который следует добавить, чтобы сделать приведенное выше выражение идеальным квадратным трехчленом, используя следующую формулу: 2a) ²   = 4

Следовательно, число, которое нужно прибавить к x ² – 4x, чтобы получить трехчлен в виде идеального квадрата, равно 4 .

No related posts.