Формула понижения степени для косинуса: Формулы понижения степени в тригонометрии

как выполняется понижение для тригонометрических функций

Понижение степени в тригонометрии

Формулы понижения степени позволяют выразить тригонометрическую функцию n-ной степени через синус и косинус первой степени кратного значению n угла.

Применяемые формулы, доказательства

Формулы понижения степени выводятся из формул двойных, тройных и т.д. углов, которые в свою очередь являются следствием формул сложения и вычитания аргументов (метод заключается в представлении данных тождеств в виде суммы двух равных углов).

Формула понижения степени синуса и косинуса

Общий вид формул понижения степени для синуса и косинуса отличается для четных и нечетных степеней. Для четных (n = 2, 4, 6, …) они выглядят следующим образом:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.2\left(x\right)d2x=\int2\cdot\frac{1+\cos\left(2x\right)}2d2x=\int1+\cos\left(2x\right)d2x\)

Так как выражение под знаком интеграла является многочленом, проинтегрируем каждую его часть по очереди:

\(\int1+\cos\left(2x\right)d2x=\int1d2x+\int\cos\left(2x\right)d2x=x+\sin\left(2x\right)+\mathrm C\)

Сайт Иванской Светланы Алексеевны — Тригонометрия

Раздел 6. Основы тригонометрии

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Некоторые рекомендации к выполнению тригонометрических преобразований

К оглавлению…

При выполнении тригонометрических преобразований следуйте следующим советам:

1. Не пытайтесь сразу придумать схему решения примера от начала до конца.
2. Не пытайтесь преобразовывать сразу весь пример. Продвигайтесь вперёд маленькими шагами.
3. Помните, что кроме тригонометрических формул в тригонометрии можно по-прежнему применять все справедливые алгебраические преобразования (вынесение за скобку, сокращение дробей, формулы сокращённого умножения и так далее).
4. Верьте, что всё будет хорошо.

 

Основные тригонометрические формулы

К оглавлению…

Большинство формул в тригонометрии часто применяется как справа налево, так и слева направо, поэтому учить эти формулы нужно так хорошо, чтобы Вы легко смогли применить некоторую формулу в обоих направлениях. Запишем для начала определения тригонометрических функций. Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Тогда, определение синуса:

Определение косинуса:

Определение тангенса:

Определение котангенса:

Основное тригонометрическое тождество:

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Формулы двойного угла. Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

Тангенс двойного угла:

Котангенс двойного угла:

 

Дополнительные тригонометрические формулы

К оглавлению…

Тригонометрические формулы сложения.

 Синус суммы:

Синус разности:

Косинус суммы:

Косинус разности:

Тангенс суммы:

Тангенс разности:

Котангенс суммы:

Котангенс разности:

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение. Сумма синусов:

Разность синусов:

Сумма косинусов:

Разность косинусов:

Сумма тангенсов:

Разность тангенсов:

Сумма котангенсов:

Разность котангенсов:

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму. Произведение синусов:

Произведение синуса и косинуса:

Произведение косинусов:

Формулы понижения степени. Формула понижения степени для синуса:

Формула понижения степени для косинуса:

Формула понижения степени для тангенса:

Формула понижения степени для котангенса:

Формулы половинного угла. Формула половинного угла для тангенса:

Формула половинного угла для котангенса:

 

Тригонометрические формулы приведения

К оглавлению…

Функцию косинус называют кофункцией функции синус и наоборот. Аналогично функции тангенс и котангенс являются кофункциями. Формулы приведения можно сформулировать в виде следующего правила:

• Если в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 90 градусов или 270 градусов, то приводимая функция меняется на кофункцию;
• Если же в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 180 градусов или 360 градусов, то название приводимой функции сохраняется;
• При этом перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет приводимая (т.е. исходная) функция в соответствующей четверти, если считать вычитаемый (прибавляемый) угол острым.

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

 

Тригонометрическая окружность

К оглавлению…

По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

 

Тригонометрические уравнения

К оглавлению…

Для решения некоторого тригонометрического уравнения его нужно свести к одному из простейших тригонометрических уравнений, которые будут рассмотрены ниже. Для этого:

• Можно применять тригонометрические формулы приведенные выше. При этом не нужно пытаться преобразовать сразу весь пример, а нужно двигаться вперед маленькими шагами.
• Нужно не забывать о возможности преобразовать некоторое выражение и с помощью алгебраических методов, т.е. например, вынести что-нибудь за скобку или, наоборот, раскрыть скобки, сократить дробь, применить формулу сокращенного умножения, привести дроби к общему знаменателю и так далее.
• При решении тригонометрических уравнений можно применять метод группировки. При этом нужно помнить, что для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, достаточно чтобы любой из них был равен нолю, а остальные существовали.
• Применяя метод замены переменной, как обычно, уравнение после введения замены должно стать проще и не содержать первоначальной переменной. Также нужно не забыть выполнить обратную замену.
• Помните, что однородные уравнения часто встречаются и в тригонометрии.
• Раскрывая модули или решая иррациональные уравнения с тригонометрическими функциями нужно помнить и учитывать все тонкости решения соответствующих уравнений с обычными функциями.
• Помните про ОДЗ (в тригонометрических уравнениях ограничения на ОДЗ в основном сводятся к тому, что делить на ноль нельзя, но не забываем и о других ограничениях, особенно о положительности выражений в рациональных степенях и под корнями четных степеней). Также помните, что значения синуса и косинуса могут лежать только в пределах от минус единицы до плюс единицы включительно.

Главное, если не знаете, что делать, делайте хоть что-нибудь, при этом главное правильно использовать тригонометрические формулы. Если то, что Вы при этом получаете становиться все лучше и лучше, значит продолжайте решение, а если становиться хуже, значит вернитесь к началу и попробуйте применить другие формулы, так поступайте пока не наткнетесь на правильный ход решения.

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

Для тангенса:

Для котангенса:

Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

косинус в 4 степени плюс синус в 4 степени

Вы искали косинус в 4 степени плюс синус в 4 степени? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и косинус в четвертой степени плюс синус в четвертой степени, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «косинус в 4 степени плюс синус в 4 степени».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как косинус в 4 степени плюс синус в 4 степени,косинус в четвертой степени плюс синус в четвертой степени,понижение степени,понижение степени синуса и косинуса,понижение степени тригонометрия,синус 4 косинус 4,синус в 4 степени плюс косинус в 4 степени,синус в четвертой степени плюс косинус в четвертой степени,тригонометрические формулы понижения степени,формула понижение степени,формула понижения степени.n. Правила понижения степени

Из приведенного материала Ви научитесь вычислять интегралы от произведения тригонометрических выражений, которые возведены до определенного степеня. С виду они достаточно сложные

но зная правила понижения степени подынтегральной функций их решение очень просто, в чем Вы скоро убедитесь. Существует три правила понижения степени, основанные на четности или нечетности показателей.

Правила понижения степени

I. Если хотя бы один из показателей степени подынтегральной функции является нечетным числом, например то ее можно превратить к следующему виду:

В таких случаях применяют подстановку

При этом выходной интеграл примет вид

Решение сводится к интегрированию суммы степенных функций.

Если , то преобразование будет следующим

С конечного выражения видим, что замена будет другой

Начальный интеграл запишется в следующей форме

Опять получаем сумму интегралов.

II. Если оба показателя — четные числа, то используют подстановку, которая заимствовано из тригонометрии

Применение данных формул позволяет снизить степень подынтегральной функции, однако при больших значениях степеней по данному правилу несколько больше вычислений, чем за первым.

ІІІ. Показатели нечетные числа. В таких случаев используют следующую тригонометрическую равенство чтобы снизить степень

Дальнейшее интегрирование сводится к использованию второго правила. Стоит отметить, что правило хорошо тем, что в подынтегральной функции получаем только парные аргументы

На этом правила заканчиваются и пора переходить к практическим вычислениям.

Пример 1.

Вычислить интегралы

а)

б)

в)

Решение.

а) Применим к подынтегральной функции первое правило. При подстановке

подынтегральная функция примет вид

Интегрируя полученную функцию получим значение

Возвращаемся к использованной замене переменных и меняем обратно Интеграл можно переписать в конечном виде

б) К подынтегральной функции применим замену

и преобразуем к следующему виду

Выполним интегрирование

Возвращаясь к предыдущей переменной, интеграл будет иметь вид

в) Для этого интеграла нужно применять второе правило. Преобразуем подынтегральное функцию согласно правилу понижения степеней

Проведем интегрирование каждого из слагаемых

Подытожим слагаемые, сгруппировав предварительно подобные

————————————————

Подобных примеров в интернете и литературе очень много. Правила понижения степени для всех остаются одинаковыми, потому хорошо выучите в каких случаях их применять. Все остальное сведется к интегрированию, с которым у Вас при вычислении не должно возникать проблем.

Понижение степени подынтегральной функции

 

Данный приём работает, когда подынтегральные функции нафаршированы синусами и косинусами в чётных степенях. Для понижения степени используют тригонометрические формулы , и

, причем последняя формула чаще используется в обратном направлении, как: .

 

Пример 7

Найти неопределенный интеграл.

Решение:

В принципе, ничего нового здесь нет, за исключением того, что мы применили формулу , понизив степень подынтегральной функции. Обратите внимание, что мы сократили решение. По мере накопления опыта интеграл от cos2x можно находить устно, это экономит время и вполне допустимо при чистовом оформлении заданий. В данном случае целесообразно не расписывать и правило , сначала устно берем интеграл от 1, затем – от cos2x.

 

Пример 8

Найти неопределенный интеграл

.

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ – в конце урока.

 

Далее – пример с повышением степени:

 

Пример 9

Найти неопределенный интеграл

.

Сначала решение, потом комментарии:

(1) Готовим подынтегральную функцию для применения формулы .

(2) Собственно применяем формулу.

(3) Возводим знаменатель в квадрат и выносим константу за знак интеграла. Можно было поступить несколько иначе, но так удобнее.

(4) Используем формулу .

(5) В третьем слагаемом снова понижаем степень, но уже с помощью формулы .

(6) Приводим подобные слагаемые (здесь мы почленно разделили и выполнили сложение ).

(7) Собственно берём интеграл, правило линейности и метод подведения функции под знак дифференциала выполняем устно.

(8) Причесываем ответ.

В неопределенном интеграле нередко ответ можно записать несколькими способами.

В только что рассмотренном примере окончательный ответ

можно было записать иначе – раскрыть скобки и даже сделать это до интегрирования выражения. То есть вполне допустима следующая концовка примера:

Пример 10

Найти неопределенный интеграл

.

Это пример решается двумя способами, и у Вас могут получиться два разных ответа(точнее, они будут выглядеть совершенно по-разному, но с математической точки зрения являться эквивалентными). Скорее всего, Вы не увидите наиболее рациональный способ и помучаетесь с раскрытием скобок, использованием других тригонометрических формул. Наиболее эффективное решение приведено в конце урока.

 

Подытоживая параграф, сделаем вывод: любой интеграл вида , где n и m – чётные числа, решается методом понижения степени подынтегральной функции.

На практике мне встречались интегралы с 8 и 10 степенями, решать их приходилось ужасно долго, понижая степень несколько раз, в результате получались длинные-длинные ответы.

 

 

Метод замены переменной

 

Как уже упоминалось в статье Метод замены переменной в неопределенном интеграле, основной предпосылкой для использования метода замены является тот факт, что в подынтегральном выражении есть некоторая функция и её производная :

(функции , не обязательно находятся под знаком интеграла в виде произведения).

 

Пример 11

Найти неопределенный интеграл

.

Смотрим в таблицу производных и замечаем формулы , , то есть, в нашем подынтегральном выражении есть функция и её производная. Однако мы видим, что при дифференцировании косинус и синус взаимно превращаются друг в друга, и возникает вопрос: как выполнить замену переменной и что же обозначать за t – синус или косинус?!

Вопрос можно решить методом научного тыка: если мы неправильно выполним замену, то ничего хорошего не получится.

Общий ориентир: в похожих случаях заt нужно обозначить функцию, которая находится в знаменателе.

Итак, запомнили:

.

Прерываем решение и проводим замену

;

.

В знаменателе у нас всё хорошо, всё зависит только от, теперь осталось выяснить, во что превратится .

Для этого находим дифференциал dt:

Или, если короче:

Из полученного равенства по правилу пропорции получаем нужное нам выражение:

.

Итак:

Теперь всё подынтегральное выражение у нас зависит только от t и можно продолжать решение

Готово. Напоминаем, что цель замены – упростить подынтегральное выражение. В данном случае всё свелось к интегрированию степенной функции по таблице.

 

А сейчас два примера для самостоятельного решения:

Пример 12

Найти неопределенный интеграл

.

 

Пример 13

Найти неопределенный интеграл

.

Полные решения и ответы в конце урока.

 

Пример 14

Найти неопределенный интеграл

.

Здесь опять в подынтегральном выражении находятся синус с косинусом (функция с производной), но уже в произведении, и возникает дилемма – что обозначать за t, синус или косинус?

Можно попытаться провести замену методом научного тыка, и, если ничего не получится, то обозначить за t другую функцию, но есть общий ориентир.

Общий научный ориентир: заt нужно обозначить ту функцию, которая, образно говоря, находится в «неудобном положении».

Мы видим, что в данном примере, что студент косинус «мучается» от степени, а синус – свободно так сидит, сам по себе…

Поэтому проведем замену:

.

 

Пример 15

Найти неопределенный интеграл

.

Анализируем подынтегральную функцию. Что нужно обозначить за t?

Вспоминаем наши ориентиры:

1) Функция, скорее всего, находится в знаменателе;

2) Функция находится в «неудобном положении».

Кстати, эти ориентиры справедливы не только для тригонометрических функций.

Под оба критерия (особенно под второй) подходит синус, поэтому напрашивается замена .

В принципе, замену можно уже проводить, но сначала неплохо было бы разобраться, а что делать с ? Во-первых, «отщипываем» один косинус:

.

Произведение мы резервируем под наш «будущий» дифференциал dt. А выражаем через синус с помощью основного тригонометрического тождества:

. Проводим преобразования:

Вот теперь замена:

Готово.

 

Общее правило: Если в подынтегральной функции одна из тригонометрических функций (синус или косинус) находится в нечетной степени, то нужно от нечетной степени «откусить» одну функцию, а заt – обозначить другую функцию.

Речь идет только об интегралах, где есть косинусы и синусы. В рассмотренном примере в нечетной степени у нас находился косинус, поэтому мы отщипнули от степени один косинус, а за t обозначили синус.

 

Пример 16

Найти неопределенный интеграл

.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

 

 

Тесты

1. Кем впервые было введено слово «Тригонометрия»? Пиктискус Лейбенц Аристотель Евклид

2.  Как называется эта формула? Формула понижения степени для косинуса Основное тригонометрическое тождество Формула двойного угла для синуса Формула понижения степени для синуса Формула двойного угла для косинуса

3.  Найдите среди перечисленного основное тригонометрическое тождество.

4. Найдите среди перечисленных формулы для решения уравнений sinx = a. .

5. Как называется функция обратная для косинуса? арксинус арктангенс арккосинус арккатангенс

6. Чему равно отношение синуса угла к косинусу угла? Квадрату синуса угла Квдрату косинуса угла тангенсу угла котангенсу угла

7. Чему равна сумма квадратов синуса и косинуса угла 1 1/2 котангенсу

Основные тригонометрические формулы. Формулы приведения тригонометрических функций. Тригонометрические тождества.

Навигация по справочнику TehTab.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Тригонометрические функции, формулы и графики. sin, cos, tg, ctg….Значения тригонометрических функций. Формулы приведения тригонометрических функций. Тригонометрические тождества.  / / Основные тригонометрические формулы. Формулы приведения тригонометрических функций. Тригонометрические тождества. Основные тригонометрические формулы Дополнительная информация от TehTab.ru: Основные тригонометрические формулы. Формулы приведения тригонометрических функций. Тригонометрические тождества. Определение и численные соотношения между единицами измерения углов в РФ. Тысячные, угловые градусы, минуты, секунды, радианы, обороты. Знаки тригонометрических функций синус, косинус, тангенс и котангенс по четвертям в тригонометрическом круге. Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°,270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π). Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы. Таблица синусов, она-же косинусов. Углы в угловых градусах и минутах. Таблица синусов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица косинусов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица тангенсов, она-же котангенсов. Углы в угловых градусах. Таблица тангенсов углов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица котангенсов углов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Чиcло пи. π, 2π, 1/π, π/2, π/3, π/4, π/180, (π/180)2, π2, π3, π4 и др. Тригонометрические кривые. Практические задачи с использованием тригонометрии. Таблицы Брадиса.

TehTab.ru Реклама, сотрудничество: [email protected]

Обращаем ваше внимание на то, что данный интернет-сайт носит исключительно информационный характер. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Все риски за использование информаци с сайта посетители берут на себя. Проект TehTab.ru является некоммерческим, не поддерживается никакими политическими партиями и иностранными организациями.

Калькулятор полуугла

Добро пожаловать в калькулятор полуугла Omni , где мы изучим триггерных тождества полуугла . Формулы двойного угла позволяют легко найти функции двойного угла. Здесь мы хотели бы сделать то же самое, но вместо умножения угла на два, , мы разделим его на . Фактически, основным инструментом для нахождения формул sin, cos и tan половинного угла являются тождества уменьшения мощности .

Но не будем забегать вперед! В следующих разделах более чем достаточно времени, чтобы пройти через все это медленно и подробно .

Мы надеемся, что вы готовы и полностью проснулись, потому что пора начинать !

Тригонометрические функции

Треугольники — это простейших геометрических объектов , которые мы можем построить. У них есть три стороны, три угла и , вот и все, что у них есть . Возможно, у нас не может быть многоугольника с двумя сторонами, не говоря уже об одной стороне. Так как треугольники настолько просты, должно быть довольно просто понять их , не так ли?

В некотором смысле это действительно так .Например, есть несколько способов найти площадь треугольника. Хотя не все из них красивы (например, посмотрите формулу Герона), бывают случаи, когда каждое может быть полезным .

Кроме того, как простейшие многоугольники треугольника были тщательно изучены с древних времен . (Помните Пифагора? Ну, он не был первым и не последним, кто посвятил им свою жизнь.) В конце концов, мы можем разделить каждый многоугольник на треугольники (например, нарисовав несколько диагоналей), так что, если мы поймем основной объект, мы должны уметь понимать все остальные.

Тригонометрия может быть самым полезным инструментом в исследованиях треугольников. Идея состоит в том, чтобы связать длины сторон с внутренними углами. В конце концов, вы легко можете видеть, что если у вас есть треугольник и вы увеличиваете один из его углов, то стороны должны измениться соответственно . Оказывается, « соответственно » можно перевести в несколько действительно хороших функций.

Есть только один правильный путь , чтобы начать говорить о тригонометрических функциях — прямоугольные треугольники (каламбур).С точки зрения угла, это простой случай: мы знаем, что один угол должен составлять 90 градусов, так что у нас с остается только два, и мы должны беспокоиться о . Определим тригонометрические функции по формулам, перечисленным ниже:

Обратите внимание, что мы (и калькулятор тождеств половинных углов) ограничиваемся изучением синуса, косинуса и тангенса, поскольку другие не так распространены в приложениях и учебниках.

Однако у приведенных выше определений есть один существенный недостаток: угол α должен быть между 0 и 90 градусов (или между 0 и π / 2 радианы) просто потому, что это прямоугольный треугольник.Тем не менее, мы можем расширить определения до любого реального значения (даже отрицательного), переведя все это в двухмерную плоскость.

Пусть A = (x, y) будет точкой на плоскости и обозначим через α угол, идущий против часовой стрелки от положительной половины горизонтальной оси и отрезка прямой, соединяющего (0, 0) и А . (Обратите внимание, как мы сказали, что α идет от одной линии к другой, а не между ними.Из-за этого мы часто называем α направленным углом .)

Понятно, что такой угол может быть больше 90 градусов. Еще лучше — он может быть больше, чем полный 360 градуса : он может сделать один полный круг, а от 360 вверх начинается второй круг. Кроме того, поскольку мы определили направление α , , теперь мы можем иметь отрицательные углы , просто идя в другую сторону, то есть по часовой стрелке, а не против часовой стрелки.

Для таких углов мы расширяем определения тригонометрических функций сверху , заменяя в формулах выше a на y , b для x и c для √ (x² + y²) (расстояние от (0, 0) до A ).

Хорошо, надеемся, что нам удалось убедить вас в полезности тригонометрических функций . На то, чтобы подружиться с ними, может уйти неделя или две, но этот момент обязательно наступит.Однако, прежде чем это произойдет, давайте упомянем несколько хороших идентификаторов , которые их используют. Излишне говорить, что мы сосредоточимся на формулах половинного угла tan, sin и cos .

Идентификаторы полуугловых триггеров

В тригонометрии, когда мы познакомимся с функциями, следующим шагом будет изучение отношений между ними . Оказывается, синус не только описывает отношение сторон треугольника, но и связан, например, с косинусом красивыми и полезными формулами .

Изучение тригонометрических тождеств и уравнений могло бы легко заполнить целую книгу или две. В качестве небольшого поощрения углубиться в тему давайте упомянем два, которые довольно часто встречаются при работе с треугольниками : закон синусов и закон косинусов.

Мы, однако, собрались здесь сегодня, чтобы изучить полуугловых тождеств . А чтобы понять, откуда они берутся, воспользуемся так называемой формулой снижения мощности . Ниже мы перечисляем идентификаторы, но если вы хотите узнать о них больше, обязательно ознакомьтесь с специальным калькулятором Omni.

Внимательный взгляд заметит, что в каждой формуле справа угол в два раза больше, чем слева . Если быть точным, то, что слева, это половина правого . И это именно то, что нам нужно!

Во-первых, возьмем верхнюю формулу. Мы перепишем его с углом x / 2 слева и x справа (обратите внимание, что в этом обозначении должно сохраняться только соотношение, что — половина другого ) и извлекаем квадратный корень из обоих стороны.

Заметим, что нам нужен знак - из-за свойств четной экспоненты. В практических расчетах знак зависит от того, в каком квадранте плоскости мы находимся в с нашим углом.

Формула половинного угла cos получается аналогично:

Наконец, мы берем тождество уменьшения касательной мощности и делаем то же самое, чтобы получить формулу половинного угла тангенса . (Обратите внимание, что эквивалентно, мы могли бы использовать тригонометрическое равенство tan (x) = sin (x) / cos (x) .)

Кроме того, мы можем получить две другие формулы полуугла (которые также перечислены в калькуляторе формул полуугла), которые имеют то преимущество, что не имеют знака ± . Они происходят от использования двойных угловых тождеств вместе с формулой tan (x) = sin (x) / cos (x) и тождества Пифагора (sin (x)) ² + (cos (x)) ² = 1 . Действительно, с одной стороны, у нас

и, с другой стороны, аналогично

Aa и на этом мы объявляем концом теории для этой статьи.После всего этого времени, потраченного на чтение формул, пришло время для некоторых числовых примеров , и об этом весь следующий раздел!

Пример: использование калькулятора половинного угла

Наконец-то сбылась ваша самая большая мечта — вы купили себе хижину в горах ! Что ж, на самом деле это еще не хижина, пока что вы будете строить только клочка земли , но это определенно начало.

Вы подняли социальное дистанцирование на новый уровень и выбрали область вдали от цивилизации .К сожалению, это означает, что еще до того, как вы впустите бригаду для закладки бетонного фундамента, вы должны убедиться, что техника может благополучно добраться туда . В частности, нужно подготовить устойчивую проезжую часть , хотя бы гравийную. Придет время модернизировать его до асфальта, а пока ему надо будет сделать .

Есть одно место, требующее особого внимания — наклон под углом 30 градусов, который является серьезным препятствием для более тяжелой строительной техники.Тем не менее, команда говорит вам, что , если бы вы только могли сгладить его вдвое, тогда было бы хорошо .

Подождите, а кто-нибудь упоминал , деление угла вдвое ? Теперь это должно быть кусок пирога для калькулятора полуугла !

Чтобы получить точные данные о том, что, где и как вы должны сглаживать, вам нужно выполнить некоторые вычисления для наклона . Но чтобы найти его градиент, было бы полезно знать тригонометрические функции угла , с которым вы имеете дело.(В конце концов, мы можем думать о наклоне как о гипотенузе большого прямоугольного треугольника.) Конечно, мы могли бы просто погуглить данные, но , где же самое интересное в этом ? Ответ: Самое интересное в использовании калькулятора тождеств полууглов !

Разобьем на простое пошаговое решение / инструкцию .

• Мы знаем, что угол наклона составляет 30 градусов, и мы хотели бы уменьшить его до половины от . Чтобы найти тригонометрические функции в этом случае, достаточно ввести в калькулятор полууглов данные, которые мы начинаем с .
• В поле « Угол » мы вводим 30 градусов, и в тот момент, когда мы это делаем, инструмент выдаст ответ , как для полного угла, так и для половинного.
• Обратите также внимание на то, что 30 является частным случаем прямоугольного треугольника, поэтому калькулятор половинного угла покажет вам точные значения тригонометрических функций , прежде чем мы округлим их, т. Е. В виде дроби с квадратом. корнеплоды.

С другой стороны, давайте теперь посмотрим , как использовать триггерные тождества половинного угла, чтобы найти ответ вручную .Так что возьмите лист бумаги, и давайте перейдем к !

Прежде всего, начнем с очевидного : половина 30 градусов составляет 15 градусов. Это означает, что наш полуугол находится в первом квадранте (потому что он находится между 0 и 90 градусов). Далее это переводится в , где синус, косинус и тангенс положительны . Поэтому для формул sin, cos и tan половинного угла мы будем использовать тождества с + , где у нас был знак ± .

Начнем с синус . Напомним, что cos (30 °) = √3 / 2 , поэтому:

Далее, формула половинного угла cos дает:

Наконец, из формулы полуугла загара получаем:

И вот оно! Теперь у нас есть всей информации, необходимой , чтобы приступить к работе и уменьшить угол подъема. Или … Может быть, сначала небольшая прогулка в гору? Работа может подождать час или два, не так ли?

Калькулятор совместных функций

Добро пожаловать в калькулятор совместных функций Omni , где мы изучим , идентификаторы совместных функций и способы их использования.По сути, в тригонометрии есть шесть функций, которые полностью описывают отношения между углами и сторонами треугольника. Таким образом, они связаны друг с другом, поэтому мы часто думаем о них как о парах: sin и cos, tan и cot, sec и csc . Сегодня мы рассмотрим эти отношения и узнаем, как перейти от одной карты к ее паре, то есть и ее совместной функции .

Так что сядьте, расслабьтесь и наслаждайтесь хорошей математикой !

Тригонометрические функции

Прежде чем мы увидим, что такое совместная функция, , нам нужно начать с основ .А в геометрии мы не можем пойти дальше треугольников: три стороны, три вершины, три внутренних угла. В каком-то смысле не может быть более простого многоугольника .

Нас, однако, больше всего интересует конкретный тип треугольников: прямоугольных треугольников (вы знаете, те, о которых идет речь в теореме Пифагора). Один из их углов всегда равен 90 градусам (отсюда и название), поэтому у нас уже есть некоторая информация о нашей форме еще до того, как мы ее нарисуем.

Более того, мы можем наблюдать некоторые другие зависимости , которые делают треугольник таким, как он есть. В конце концов, если мы увеличим один из острых углов, то легко увидим, что противоположная сторона тоже должна стать длиннее. Это наблюдение, более или менее, является идеей тригонометрии: как-то связать внутренние углы треугольника с его сторонами .

Мы определяем тригонометрических функций как отношения между сторонами прямоугольного треугольника. Ниже вы можете найти картинку с формулами для всех шести из них.(Обратите внимание, как в калькуляторе совместных функций для каждого из них есть по одному идентификатору.)

Например, мы видим, что синус равен катету, противоположному углу, деленному на гипотенузу. Обратите внимание, как мы никогда не упоминаем, насколько велик треугольник. Фактически, именно в этом заключается важнейшее свойство тригонометрии : даже если мы увеличим треугольник в два раза, если мы сохраним углы без изменений, значения тригонометрических функций не изменятся .

Однако приведенные выше формулы, при всей их изяществе, имеют серьезный недостаток.Мы определили их с помощью прямоугольного треугольника, поэтому угол может быть только между 0 и 90 градусов (или 0 и π / 2 в радианах). Но не дуться! К счастью для нас, математиков и всего мира, есть способ исправить ! Единственное, что нам нужно сделать, это перевести рассуждения в двумерное евклидово пространство, то есть на плоскость.

Пусть A = (x, y) будет точкой на плоскости, и определим α как угол, идущий против часовой стрелки от положительной половины горизонтальной оси до отрезка прямой с конечными точками (0, 0) и А .(Обратите внимание, как мы сказали, что α идет на от одной линии к другой, а не на то, что это просто угол между ними. Вот почему мы часто называем α направленным углом ).

Очевидно, что α теперь может быть больше 90 градусов. Фактически, может даже выходить за пределы 360 градусов . Для таких углов мы просто рассматриваем первые 360 градусов как первый круг вокруг (0,0) , и с этого значения мы продолжаем со второго (и, если необходимо, третьего, четвертого, и т.п.). На самом деле, это даже больше — α также может быть отрицательным . В конце концов, мы сказали, что это направленный угол, поэтому для отрицательных значений мы просто меняем направление, то есть идем по часовой стрелке, а не против часовой стрелки.

Теперь, когда мы понимаем углы всех размеров, , мы можем определить для них тригонометрические функции и точку A = (x, y) . Правило здесь довольно простое: мы повторяем формулы из рисунка выше , но заменяем b на x , на на y и c на √ (x² + y²) , я.е., расстояние от (0,0) до A . Например, секанс теперь будет иметь вид:

Хорошо, мы узнали тригонометрические функции с точки зрения их определений, так что мы готовы копать глубже . В конце концов, именно название « калькулятор совместных функций » привело нас сюда, и мы до сих пор не знаем, как найти совместные функции. Для этого лучше всего использовать графиков функций .

Графики совместных функций: sin и cos, tan и cot, sec и csc

Шесть тригонометрических функций: синус и косинус (обозначены sin и cos), тангенс и котангенс (tan и cot) и секанс и косеканс (sec и csc).

Возможно, вы уже видите , почему мы соединили их так же, как , только по именам. В каждой паре у нас есть «базовая» функция и карта с тем же именем, но с дополнительным префиксом « co- ». Сходство со словом « cofunction » далеко не случайно. В каждой из пар мы говорим, что одна является совместной функцией другой .

« Но что значит быть совместной? » Что ж, мы рады, что вы спросили! Мы подробно рассмотрим и идентификаторы совместных функций в следующем разделе.Однако сначала давайте попробуем мотивировать их с помощью , глядя на графики функций в парах и обнаруживая сходства.

Начнем с sin и cos .

Они выглядят почти одинаково, не так ли? Синус — это просто косинус, перемещенный вправо на 90 ** градусов ** (или π / 2 в радианах).

Для наших целей давайте сосредоточимся на области от 0 до 90 градусов и представим, что вы путешествуете на это расстояние по склонам обеих кривых, но в разных направлениях: синус от 0 до 90 и косинус от 90 до 0 .Вы видите, что тогда пути такие же?

Попробуем сделать что-то подобное для графиков tan и cot .

Опять же, если мы проследим касательную кривую от 0 до 90 и котангенс от 90 до 0 , мы заметим, что мы идем по аналогичному пути .

Наконец, у нас есть функции sec и csc .

Как вы могли догадаться, история повторяется для секанса и косеканса.

По сути, характеризует совместные функции . Можно сказать, что их графики являются взаимными отражениями, если мы поместим зеркало в середину интервала (0 °, 90 °) , то есть в точке 45 градусов. Это, в свою очередь, означает, что значение тригонометрической функции в точке x должно быть таким же, как значение совместной функции в точке 90 ° - x .И это именно то, что утверждают совместные идентичности.

Как найти совместную функцию: идентификаторы совместной функции

Как упоминалось в предыдущем разделе, мы делим тригонометрические функции на пары . В каждом из них одно является совместной функцией другого. Это означает, что их графики (а значит, и значения) являются взаимными отражениями в интервале (0 °, 90 °) . Следовательно, значение первого в точке x такое же, как и у другого в точке 90 ° - x для x из интервала.

Если вы хотите угодить нескольким головокружительным ученым, мы можем написать предыдущий абзац эквивалентно, используя математические обозначения. Это выглядело бы так:

Однако помните, что они работают только для углов между 0 и 90 градусов . Приведенные выше формулы основаны на том факте, что углы по обе стороны от знака = являются дополнительными, то есть в сумме они составляют 90 градусов.

На самом деле есть способ рассмотреть и другие углы .Однако это сложно. Здесь у нас было удобство, что все функции допускают положительные значения в интервале (0 °, 90 °) . Вне этого все может стать отрицательным. Также возникает вопрос, где поставить « зеркало », которое отражает совместные функции.

Несмотря на препятствия, за часы тяжелой работы математики смогли придумать формул, обобщающих тождества кофункций . Они называются тригонометрическими формулами редукции (заметьте, , а не формулами уменьшения мощности).Хотя мы не будем приводить их здесь, мы с радостью рекомендуем вам поискать их, и получит дополнительные математические знания . Если вы спросите нас, это определенно лучше, чем прокрутка в социальных сетях.

И с этим, мы объявляем конец теории на сегодня ! Возможно, мы потратили немало времени на изучение определений и формул. Почему бы не взять несколько примеров и не использовать идентификаторы совместных функций ?

Пример: использование калькулятора совместных функций

Допустим, вы решили сделать ремонт в своей гостиной .В конце концов, у изоляции от коронавируса есть по крайней мере одна серебряная подкладка — , у вас много времени .

В ваших планах починить пол, может, плитку заменить деревом? Проблема в том, что вам нужны мерки , а комната не идеального прямоугольника; есть пара наклонных стен. К счастью, вы все еще помните кое-что из колледжа, и после некоторой головной боли вы понимаете, что вам понадобится косинус 45 градусов и котангенс 30 градусов для дальнейших вычислений. .

Но есть проблема. Прошло несколько лет с вашего последнего урока тригонометрии, и вы не можете вспомнить формулы для косинуса или котангенса. Вы помните только синус и касательную. О, как хорошо калькулятор идентификаторов функций вписывается в этот сценарий!

(Хорошо, мы признаем, что детали немного надуманы, , но, пожалуйста, дайте нам передышку. Воображение разработчиков контента Omni пока может развиваться.)

Прежде всего, давайте посмотрим , насколько проста задача, когда у нас есть калькулятор совместных функций . Здесь мы начинаем с , выбирая функцию, которая у нас есть . Сначала мы выбираем из списка косинус, то есть cos (x) . Получив это, мы переходим к полю переменных ниже, которое содержит угол. Мы вводим 45 ° из нашей задачи, и в тот момент, когда мы это делаем, калькулятор совместной функции выдаст ответ внизу: совместная функция вместе со значением .Точно так же для второго случая мы выбираем котангенс ( cot (x) ) из списка и вводим 30 ° .

Обратите внимание, как каждый раз инструмент дает нам точное значение (то есть в виде дроби с квадратным корнем) помимо округленного в большую сторону. Мы объясним, почему это так, через секунду. Кроме того, хотя калькулятор совместных функций стремится к точности , вы можете уменьшить количество значащих цифр в ответе для любых дальнейших вычислений.

Теперь оставим инструмент Omni в стороне и посмотрим , как найти ответ самостоятельно . Мы будем следовать следующим шагам:

1. Нарисуйте прямоугольный треугольник с заданным углом;
2. Используйте идентификаторы совместных функций , чтобы преобразовать функцию, которую мы ищем, в ее совместную функцию; и
3. Вычислите значение совместной функции, взяв отношения сторон треугольника.

Начнем с угла 45 ° .

Обратите внимание, что это пример совершенно особого треугольника, в котором мы знаем отношения между сторонами , т.е. мы знаем, что если катет имеет длину x , то гипотенуза должна быть x√2 . Это потому, что наша форма, по сути, представляет собой половину квадрата, где длинная сторона — диагональ квадрата.

Теперь мы вспоминаем идентификаторов кофункций из предыдущего раздела и используем их для преобразования cos (45 °) в синус:

cos (45 °) = sin (90 ° - 45 °) = sin (45 °) .

Таким образом, мы можем использовать формулу синуса , чтобы найти ответ. В первом разделе мы сказали, что это катет, противоположный углу, разделенному гипотенузой. Это дает:

cos (45 °) = sin (45 °) = x / x√2 = 1 / √2 = √2 / 2 .

Переходим к случаю 30 -градусов. Снова начинаем с рисунок .

Как и раньше, нам посчастливилось знать отношения между сторонами . На этот раз это потому, что наша форма фактически представляет собой половину равностороннего треугольника.

Мы используем идентификаторы совместных функций для преобразования кроватки (30 °) в касательную:

кроватка (30 °) = загар (90 ° - 30 °) = загар (60 °) .

Обратите внимание, что хотя рассматриваемый угол изменился, мы все еще можем использовать то же изображение . Это всегда будет иметь место с тождествами совместных функций, поскольку мы всегда имеем дело с дополнительными углами , то есть теми, которые образуют острые углы одного и того же прямоугольного треугольника.

Наконец, вспомним формулу касательной из первого раздела: функция возвращает отрезок, противоположный углу, деленному на другой.В нашем случае это:

детская кроватка (30 °) = загар (60 °) = x√3 / x = √3 .

Готово! Мы нашли нужные тригонометрические функции; мы готовы позаботиться об этой плитке и обновить гостиную. Наверняка, после установки фанеры будет намного уютнее. А когда вы закончите, почему бы не пойти дальше и не придумать для спальни ?

Простые триггерные тождества с формулой Эйлера — лучше объяснение

Идентификаторы

Trig, как известно, трудно запомнить: вот как выучить их, не теряя рассудка.

Исходя из теоремы Пифагора и подобных треугольников, мы можем найти связи между sin, cos, tan и друзьями (прочтите статью о триггерах).

Можем ли мы пойти глубже? Может быть, мы сможем соединить синус с самим (вариант). С точки зрения математики, нам нужны такие формулы (полная шпаргалка):

Вместо того, чтобы запоминать эти плохие мамочки, давайте научимся рисовать формул. Формула Эйлера упрощает задачу.2, а, б $. Это полезно для факторизации, упрощения уравнений и т. Д.

Соединения в триггере

Давайте превратим триггер в простой английский. Что это значит?

Помня, что синус — это «высота (в процентах от максимума)», это уравнение спрашивает: Если мы сложим два угла, какова их общая высота?

Быстрое предположение — объединить отдельные высоты:

Выглядит чистым, но не совсем правильным. Если мы продолжаем складывать углы, их высота увеличивается до максимума (100%), а затем начинает уменьшаться.

Соотношение между углом и высотой не может быть простым сложением.

А вот что странно: я могу нарисовать, какой должна быть новая высота ( Это прямо здесь! ), но я не могу превратить свой рисунок в уравнение.

Или можно?

Рисунок с формулой Эйлера

Формула Эйлера

позволяет нам создать круговой путь, используя комплексные числа:

Что особенно важно, умножение комплексных чисел выполняет ротацию.2 $, умножим на части:

Теперь поговорим! Эта версия легко разделяет горизонтальное положение (реальный компонент) и вертикальное положение (воображаемый компонент):

• Комбинированная высота: $ \ sin (a + b) = \ sin (a) \ cos (b) + \ sin (b) \ cos (a) $
• Комбинированная ширина: $ \ cos (a + b) = \ cos (a) \ cos (b) — \ sin (a) \ sin (b) $

Бум: две раздражающие, запоминающиеся триггерные идентичности в одном вычислении.Неплохая сделка.

Понимание уравнения

Теперь, когда мы нашли уравнение, давайте разберемся в его значении. Когда мы складываем высоты, получаем следующее:

• Полная высота синего треугольника ($ \ sin (a) $) не может быть использована, поскольку красный треугольник не простирается так далеко. (Почему? Когда мы добавляем угол $ b $, мы движемся под более крутым углом с той же гипотенузой. Мы увеличили расстояние по вертикали и потеряли расстояние по горизонтали.) Мы фактически «скользим назад» $ \ sin (a) $, уменьшив его в $ \ cos (b) $ раз.
• Красный треугольник ($ \ sin (b) $) во всю высоту также не может быть использован, так как он расположен под углом. Мы «переворачиваем» $ \ sin (b) $, уменьшая его в $ \ cos (a) $ раз.

Помните, что синус и косинус — это проценты. В этом случае

или

Конечно, нам бы хотелось , чтобы получить полную высоту каждого треугольника. Но из диаграммы мы видим, что $ a $ скользит назад, а $ b $ скручивается, поэтому высота, которую мы получаем на самом деле , уменьшается.Думайте о каждом косинусе как о налоге на ваш рост, уменьшая сумму, которую вы забираете домой. ( У вас рост 0,90? Это хорошо, Папа Косин оставит вам 75%. Заплатите остальное, sucka! ).

Что же происходит с маленькими углами, такими как $ \ sin (.01 + .02)? $

Можно воткнуть и выпить. Но я предполагаю, что результат будет примерно:

Почему? Моя мысленная диаграмма для малых углов такая:

Нет заметной разницы между идеальной высотой ($ \ sin (a) $ и $ \ sin (b) $) и «облагаемой налогом» версией ($ \ sin (a) \ cos (b) $ и $ \ sin ( б) \ cos (a) $).

• Для крошечных углов $ \ sin (a + b) $ — это вертикальная линия. Он почти не теряет высоты из-за скольжения или скручивания деталей.
• Для малых углов косинус (процент, который мы сохраняем) близок к 100%. Мы сохраняем огромную, подавляющую часть своей высоты.
• $ \ sin (x) \ sim x $ — обычное приближение для малых углов (часто используется в исчислении). По сути, он говорит, что $ \ sin (x) $ — это линия на короткий период времени. Для малых углов $ \ sin (a + b) \ sim \ sin (a) + \ sin (b) \ sim a + b $.

Для косинуса у нас аналогичная диаграмма:

• На этот раз коэффициент преобразования совпадает (косинус с косинусом, синус с синусом).
• Полная ширина первого треугольника ($ \ cos (a) $) уменьшается, чтобы соответствовать ширине второго.
• Синусоидальный член отрицательный, поскольку он толкает нас назад, уменьшая наш рост. Мы можем использовать похожие треугольники, чтобы извлечь этот кусок.

Обычно я не думаю о частях на диаграмме, хотя приятно несколько раз увидеть, как они работают.Если вам просто нужно триггерное тождество, проанализируйте его алгебраически с помощью формулы Эйлера.

Почему нам важны триггерные идентификаторы?

Хороший вопрос. Несколько причин:

1. Потому что надо (худшая причина). Многие триггерные классы заставляют вас запоминать эти личности, чтобы потом вас можно было расспросить (argh). Вам не нужно запоминать , запомнить , вы можете разработать формулу примерно за минуту. Сохраните свое драгоценное место в мозгу для чего-нибудь еще.

2.Теперь мы можем «разложить» триггерные функции на более простые части. Теперь мы можем разделить синус на более мелкие части, что полезно в исчислении.

Например, чтобы найти производную синуса, нам нужно:

, и мы позволяем $ dx $ равняться нулю. С этим сложно работать напрямую, но, используя формулу $ \ sin (a + b) $, мы имеем

Когда $ dx $ стремится к нулю, $ \ cos (dx) = 1 $ (нулевой угол соответствует полной ширине), поэтому мы имеем:

И когда $ dx $ стремится к нулю, $ \ sin (dx) $ и $ dx $ становятся равными:

Подключив это, мы получим $ \ cos (a) $ как производную от $ \ sin (a) $.Уф! Работать с триггерами не всегда легко, но, по крайней мере, это управляемо.

3. Вычислительная эффективность. Если вы занимаетесь компьютерной графикой и часто вычисляете синус / косинус (скажем, для точечных произведений), триггерные идентификаторы — полезные сокращения. В прошлом эти идентификаторы использовались аналогично таблицам журналов, чтобы упростить ручные вычисления.

4. Математика — это поиск связей. Поскольку триггерные функции являются производными от кругов и экспоненциальных функций, они, кажется, появляются повсюду.Иногда вы упрощаете сценарий, переходя от триггера к показателю степени или наоборот.

5. Углубите свои знания формулы Эйлера. Освойте формулу Эйлера, и вы освоили круги. И оттуда мир! ( Примечание редактора: кажется, что мизинец Калида прикреплен ко рту. Мы работаем над этим. )

Видите ли, формула Эйлера позволяет нарисовать круг и считать позицию. Это восхитительно! С помощью нескольких умножений мы можем избежать множества болезненных геометрических форм.Если вы занимаетесь какой-либо сложной математикой, позволить Леонарду Эйлеру глубоко проникнуть в вашу душу стоит того. Он хорошая компания.

На сегодня все. Счастливая математика.

Приложение: ресурсы и расширенные формулы

Вы можете изменить параметры $ a $ и $ b $ для создания новых идентификаторов.

Формула вычитания: замените b на -b

Формула двойного угла: замените b на

Формула полуугла: заменить и решить

Начните с формулы двойного угла и решите для $ \ sin (a) $, что составляет половину угла, используемого в $ \ sin (2a) $.Триг без слез (отличный ресурс и название) имеет более подробную информацию:

http://brownmath.com/twt/double.htm

Еще несколько полезных ссылок:

Другие сообщения из этой серии

1. Как интуитивно научиться тригонометрии
2. Тождества Easy Trig с формулой Эйлера
3. Интуиция к закону косинусов
4. Интуиция к закону синуса

Тригонометрические идентичности

Обзор

В математике идентичность — это уравнение или формула (часто называемая равенством ), которая всегда верна для каждого возможного значения ее переменной (или переменных).Тригонометрический идентификатор — это идентификатор, записанный в терминах одной или нескольких тригонометрических функций. Существует множество тригонометрических отождествлений, многие из которых используются редко, поэтому вам не следует пытаться запоминать их. Просто знайте, что они существуют, и, возможно, ознакомьтесь с наиболее часто используемыми, некоторые из которых описаны ниже. Для показанных идентичностей мы использовали греческую букву альфа ( α ) для обозначения угла, если идентичность относится только к одному углу.Для обозначений, относящихся к двум углам, мы дополнительно используем греческую букву β ( β ). Обратите внимание, что углы могут выражаться в градусах или радианах. Значение пи ( π ) представляет либо пи радиан , либо сто восемьдесят градусов (180 °).

Хотя многие задачи, связанные с тригонометрией, требуют использования функций синуса или косинуса, часто бывают случаи, когда другие тригонометрические функции лучше подходят для работы с конкретной ситуацией.Знание того, как различные функции соотносятся друг с другом, благодаря знакомству с тригонометрическими тождествами может иметь неоценимое значение, когда дело доходит до выбора наиболее подходящей функции (или функций) для данной задачи. Еще одно преимущество тригонометрических тождеств заключается в том, что они позволяют нам заменять выражение, использующее одну тригонометрическую функцию, эквивалентным (и обычно менее сложным) выражением, использующим другую тригонометрическую функцию. Возможность заменять одно выражение другим часто бывает полезно, особенно когда нам нужно упростить сложные уравнения или формулы.Действительно, каждая из шести основных тригонометрических функций может быть выражена через любую из других тригонометрических функций. Чтобы увидеть таблицу тригонометрических функций и их эквивалентов, щелкните здесь .

Соотношение тождеств

Сначала давайте посмотрим на два простых тригонометрических тождества, обычно называемых тождествами с соотношением . Термин отношение отношения , возможно, также может быть применен к другим тригонометрическим идентификаторам, поскольку все тригонометрические функции могут быть определены как отношения.Однако это единственные тождества, которые описывают тригонометрические функции (а именно, тангенс и котангенс ) как простое соотношение синуса и косинуса .

tan ( α ) =	sin ( α )
	cos ( α )

кроватка ( α ) =	cos ( α )
	sin ( α )

Взаимные идентичности

Это еще один набор основных тригонометрических тождеств, в котором каждая из шести основных тригонометрических функций описывается как отношение.На этот раз рассматриваемое соотношение задается как , обратное другой тригонометрической функции.

csc ( α ) =	1
	sin ( α )

94

sin ( α ) =	1
	cc

сек ( α ) =	1
	cos ( α )

)

cos ( α ) =

1

сек

детская кроватка ( α ) =	1
	желто-коричневый ( α )

α )

желтовато-коричневый ( α ) = 90ot510

1

Тригонометрические функции с точки зрения их дополнений

Следующие тригонометрические тождества выражают каждую из основных тригонометрических функций в терминах их дополнений :

sin ( α ) = cos ( ^π / ₂ — α )

cos ( α ) = sin ( ^π / ₂ — α )

загар ( α ) = детская кроватка ( ^π / ₂ — α )

csc ( α ) = сек ( ^π / ₂ — α )

сек ( α ) = csc ( ^π / ₂ — α )

детская кроватка ( α ) = загар ( ^π / ₂ — α )

Тригонометрические функции в терминах их дополнений

Следующие тригонометрические тождества выражают каждую из основных тригонометрических функций в терминах их дополнений :

sin ( α ) = sin (π — α )

cos ( α ) = -cos (π — α )

tan ( α ) = -tan (π — α )

csc ( α ) = csc (π — α )

сек ( α ) = -сек (π — α )

детская кроватка ( α ) = -колыбельная (π — α )

Периодичность тригонометрических функций

Тригонометрические функции синуса , косинуса , секанса и косеканса имеют период триста шестьдесят градусов (360 °) или 2π.Каждая функция тангенса и котангенса имеет период , сто восемьдесят градусов, (180 °) или π. Следующие тригонометрические тождества просто выражают эту периодичность:

sin ( α ) = sin ( α + 2π)

cos ( α ) = -cos ( α + 2π)

tan ( α ) = -tan ( α + π)

csc ( α ) = csc ( α + 2π)

сек ( α ) = -сек ( α + 2π)

детская кроватка ( α ) = -колыбельная ( α + π)

Тригонометрические тождества для отрицательных углов

Все тригонометрические функции могут быть описаны как нечетные или четные .Здесь уместно дать краткое объяснение (или напоминание). Предположим, что у нас есть функция ƒ ( x ). Если функция равна и даже , то для всех реальных значений x всегда верно следующее уравнение:

ƒ (- x ) = ƒ ( x )

Если функция равна , нечетно , то для всех реальных значений x всегда верно следующее уравнение:

ƒ (- x ) =-( x )

Эта особая характеристика тригонометрической функции (т.е. является ли функция нечетной или четной) называется ее четностью . Если вы знаете, является ли тригонометрическая функция нечетной или даже нечетной, это иногда может помочь вам упростить тригонометрическое выражение, особенно если оно содержит переменную с отрицательным значением. Функции синус , тангенс , косеканс и котангенс являются нечетными функциями, а функции косинуса и секанс четными . Показанные ниже тождества являются тригонометрическими тождествами для отрицательных углов и отражают четность (нечетную или четную) каждой функции.

sin (- α ) = -sin ( α )

cos (- α ) = cos ( α )

tan (- α ) = -tan ( α )

csc (- α ) = -csc ( α )

сек (- α ) = сек ( α )

детская кроватка (- α ) = — детская кроватка ( α )

Пифагорейская идентичность

Тождество Пифагора является тригонометрическим эквивалентом теоремы Пифагора в том смысле, что оно описывает отношения между сторонами прямоугольного треугольника.Он выводится из уравнения x ² + y ² = 1 для любой точки на периметре единичной окружности , где x представляет значение косинуса, а y представляет значение синуса.

cos ² ( α ) + sin ² ( α ) = 1

Следующие ниже идентичности тесно связаны с пифагорейской идентичностью.Первый результат деления пифагорейской идентичности на sin ² ( α ):

детская кроватка ² ( α ) + 1 = csc ² ( α )

Второй результат деления тождества Пифагора на cos ² ( α ):

tan ² ( α ) + 1 = сек ² ( α )

Сумма углов и тождества разностей

Ниже представлены тождества суммы углов и разности для функций синус , косинус и тангенс .Как только у вас будет возможность увидеть, как они выглядят, мы опишем, для чего они могут быть использованы, и предоставим несколько конкретных примеров.

Формулы суммы:

sin ( α + β ) = sin ( α ) · cos ( β ) + cos ( α ) · sin ( β )

cos ( α + β ) = cos ( α ) · cos ( β ) — sin ( α ) · sin ( β )

tan ( α + β ) =	tan ( α ) + tan ( β )
	1 — tan ( α ) · tan ( β )

Формулы разницы:

sin ( α — β ) = sin ( α ) · cos ( β ) — cos ( α ) · sin ( β )

cos ( α — β ) = cos ( α ) · cos ( β ) + sin ( α ) · sin ( β )

tan ( α — β ) =	tan ( α ) — tan ( β )
	tan ( α ) — tan ( β )

Тождества суммы и разности, также известные как формулы суммы и разности , можно использовать для нахождения синуса, косинуса или тангенса угла, который является результатом сложения двух углов (сумма ) или вычитания одного угла. от другого (разница ).Это может быть очень полезно, если мы хотим точно выразить синус, косинус или тангенс угла, то есть как рациональное значение. Например, предположим, что мы хотим найти значение тригонометрической функции для угла, который составляет сто пять градусов (105 °), и точно выразить его. Очевидно, что калькулятор даст нам значение, часто с точностью до тридцати десятичных знаков, но это все равно приблизительное значение. Во многих случаях приближения достаточно. Однако иногда мы можем захотеть точно выразить значение, возможно, для использования в дальнейших расчетах.

Сто пять градусов — это не один из тех «хороших» углов, как шестьдесят градусов или девяносто градусов , для которых мы можем найти точное значение тригонометрической функции (известной как тригонометрическая константа ) в таблице. , или, возможно, даже были сохранены в памяти. Такие углы иногда называют углами первичного решения и состоят из всех углов от нуля до трехсот шестидесяти градусов, которые кратны тридцать градусов (30 °) или сорок пять градусов (45 °).Чтобы увидеть таблицу, в которой перечислены основные углы решения и их тригонометрические константы, щелкните здесь . Мы можем использовать сумму или разницу двух таких углов, чтобы получить угол в сто пять градусов. Мы могли бы, например, использовать любое из следующих выражений:

45 ° + 60 °, 330 ° — 225 °, 315 ° — 210 °, 240 ° — 135 °,

225 ° — 120 °, 150 ° — 45 °, 135 ° — 30 °

Предположим, мы хотим найти синус , равный ста пяти градусам.Мы будем использовать сумму сорок пять градусов и шестьдесят градусов (45 ° + 60 °) в качестве примера. Вот формула суммы для синусоидальной функции:

sin ( α + β ) = sin ( α ) · cos ( β ) + cos ( α ) · sin ( β )

Подставляя фактические значения, получаем:

sin (105) = sin (45) · cos (60) + cos (45) · sin (60)

Теперь подставим соответствующие тригонометрические константы:

10

sin (105) =	√2	·	1	+	√2	·	√3
	2 905 2 905

долларов США

sin (105) =	√2	+	√6	=	√2 + √6
	4		4		4	4 Сумма и идентификаторы продукта Тождества суммы и продукта часто используются, когда мы имеем дело с проблемами, связанными с дифференциальным или интегральным исчислением (часто называемым дифференцированием и интегрированием соответственно).Они позволяют нам преобразовать произведение двух значений синуса или косинуса в сумму или наоборот. Показанные ниже тождества вместе известны как тождества суммы и используются для преобразования суммы или разности значений синуса или косинуса двух углов в произведение: sin ( α ) + sin ( β ) = 2 · sin ( α + β ) · cos ( — β ) 2 2 sin ( α ) — sin ( β ) = 2 · cos ( ) β ) · sin ( α — β ) 2 2 8 cos 900 β ) = 2 · cos ( α + β ) · cos ( α — β ) 2 2 cos ( α ) — cos ( β ) = 2 · sin ( α + β ) 9000 sin ( α — β ) 2 2 Следующие идентификаторы вместе известны как идентификаторы продукта и используются для преобразования произведения значений синуса или косинуса двух углов в сумму или разность: sin ( α ) · cos ( β ) = sin ( α + β ) + sin ( α — β ) 2 cos ( α ) · sin ( β ) = sin ( α + β ) — sin ( α — β ) 2 cos ( α ) · cos ( β ) = cos ( α — β ) + cos ( α + β ) 2 sin ( α ) · sin ( β ) = cos ( α — β ) — cos ( α + β ) 2 Формулы полуугла Формулы полуугла позволяют нам выразить тригонометрическую функцию угла, равного α / 2 , через α , что часто может облегчить жизнь, когда дело доходит до выполнения сложных вычислений, таких как те, которые связаны с интеграцией.Формулы полуугла показаны ниже. sin ( α ) = ± √ 1 — cos ( α ) 2 2 α ) = ± √ 1 + cos ( α ) 2 2 коричневый (коричневый ) = ± √ 1 — cos ( α ) = 1 — cos ( α ) = sin ( α ) 2 + cos ( α ) sin ( α ) 1 + cos ( α ) Формулы двойного угла Формулы двойного угла позволяют выразить тригонометрическую функцию угла, равного 2 α , через α .Как и в случае с формулами половинного угла, это часто может облегчить жизнь, когда дело доходит до выполнения сложных вычислений, например, связанных с интегрированием. Формулы двойного угла показаны ниже. sin (2 α ) = 2 · sin ( α ) · cos ( α ) cos (2 α ) = cos 2 ( α ) — sin 2 ( α ) = 2 · cos 2 ( α ) — 1 = 1-2 · sin 2 ( α ) tan (2 α ) = 2 · tan ( α ) 1 — коричневый 2 ( α ) Формулы снижения мощности Формулы уменьшения мощности можно получить, используя формулы полуугловой и двойной углов, а также тождество Пифагора (cos 2 ( α ) + sin 2 ( α ) = 1).Подобно формулам половинного и двойного угла, они позволяют упростить тригонометрические выражения и часто могут облегчить жизнь, когда дело доходит до выполнения сложных вычислений. В этом случае формула принимает выражение, в котором тригонометрическая функция возведена в степень, и преобразует его в выражение, в котором показатель степени отсутствует (отсюда «уменьшение степени»). Формулы снижения мощности показаны ниже. sin 2 ( α ) = 1 — cos (2 α ) 2 cos 2 ( α ) = (2 α ) 2 tan 2 ( α ) = 1 — cos (2 α ) 1 + cos (2 α ) 7.4 формулы суммирования произведений и произведений суммы — предварительное вычисление Цели обучения В этом разделе вы: Выразите произведения в виде сумм. Выразите суммы как произведения. Рис. 1. Марширующий оркестр Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе (фото: Эрик Чан, Flickr). Группа марширует по полю, создавая потрясающий звук, который поддерживает толпу. Этот звук распространяется как волна, которую можно интерпретировать с помощью тригонометрических функций. Например, на рисунке 2 представлена ​​звуковая волна музыкальной ноты A.В этом разделе мы исследуем тригонометрические тождества, лежащие в основе повседневных явлений, таких как звуковые волны. Рисунок 2 Выражение произведений в виде сумм Мы уже выучили ряд формул, полезных для расширения или упрощения тригонометрических выражений, но иногда нам может потребоваться выразить произведение косинуса и синуса в виде суммы. Мы можем использовать формулы произведения на сумму, которые выражают произведения тригонометрических функций в виде сумм.Давайте сначала исследуем тождество косинуса, а затем тождество синуса. Выражение произведений в виде сумм для косинуса Мы можем вывести формулу произведения на сумму из тождеств суммы и разности для косинуса. Если сложить два уравнения, получим: cosαcosβ + sinαsinβ = cos (α − β) + cosαcosβ − sinαsinβ = cos (α + β) ________________________________ 2cosαcosβ = cos (α − β) + cos (α + β) cosαcosβ + sinαsinβ = cos (α − β) + cosαcosβ − sinαsinβ = cos (α + β) ________________________________ 2cosαcosβ = cos (α − β) + cos (α + β) Затем мы разделим на 22, чтобы выделить произведение косинусов: cosαcosβ = 12 [cos (α − β) + cos (α + β)] cosαcosβ = 12 [cos (α − β) + cos (α + β)] Как получить Дано произведение косинусов, выразить как сумму. Напишите формулу произведения косинусов. Подставьте указанные углы в формулу. Упростить. Пример 1 Запись произведения в виде суммы с использованием формулы произведения произведения на сумму для косинуса Запишите следующее произведение косинусов в виде суммы: 2cos (7×2) cos3x2.2cos (7×2) cos3x2. Решение Начнем с написания формулы произведения косинусов: cosαcosβ = 12 [cos (α − β) + cos (α + β)] cosαcosβ = 12 [cos (α − β) + cos (α + β)] Затем мы можем подставить данные углы в формулу и упростить. 2cos (7×2) cos (3×2) = (2) (12) [cos (7×2−3×2) + cos (7×2 + 3×2)] = [cos (4×2) + cos (10×2)] = cos2x + cos5x2cos (7×2) cos (3×2) = (2) (12) [cos (7×2−3×2) + cos (7×2 + 3×2)] = [cos (4×2) + cos (10×2)] = cos2x + cos5x Попробуй # 1 Воспользуйтесь формулой произведения на сумму, чтобы записать произведение в виде суммы или разности: cos (2θ) cos (4θ) .cos (2θ) cos (4θ). Выражение произведения синуса и косинуса в виде суммы Затем мы выведем формулу произведения к сумме для синуса и косинуса из формул суммы и разности для синуса.Если сложить тождества суммы и разницы, получим: sin (α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ + sin (α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ _________________________________________ sin (α + β) + sin (α − β) = 2sinαcosβsin (α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ + sin (α − β ) = sinαcosβ − cosαsinβ _________________________________________ sin (α + β) + sin (α − β) = 2sinαcosβ Затем мы разделим на 2, чтобы выделить произведение косинуса и синуса: sinαcosβ = 12 [sin (α + β) + sin (α − β)] sinαcosβ = 12 [sin (α + β) + sin (α − β)] Пример 2 Запись произведения в виде суммы, содержащей только синус или косинус Выразите следующее произведение в виде суммы, содержащей только синус или косинус, но без произведений: sin (4θ) cos (2θ).sin (4θ) cos (2θ). Решение Напишите формулу произведения синуса и косинуса. Затем подставьте указанные значения в формулу и упростите. sinαcosβ = 12 [sin (α + β) + sin (α − β)] sin (4θ) cos (2θ) = 12 [sin (4θ + 2θ) + sin (4θ − 2θ)] = 12 [sin (6θ) + sin (2θ)] sinαcosβ = 12 [sin (α + β) + sin (α − β)] sin (4θ) cos (2θ) = 12 [sin (4θ + 2θ) + sin (4θ − 2θ)] = 12 [грех (6θ) + грех (2θ)] Попробуй # 2 Используйте формулу произведения на сумму, чтобы записать произведение в виде суммы: sin (x + y) cos (x − y).sin (x + y) cos (x − y). Выражение произведений синусов через косинус Выражение произведения синусов через косинус также получается из тождеств суммы и разности для косинуса. В этом случае мы сначала вычтем две формулы косинуса: cos (α − β) = cosαcosβ + sinαsinβ− cos (α + β) = — (cosαcosβ − sinαsinβ) ____________________________________________________ cos (α − β) −cos (α + β) = 2sinαsinβ cos (α − β) = cosαcosβ + sinαsinβ− cos (α + β) = — (cosαcosβ − sinαsinβ) ____________________________________________________ cos (α − β) −cos (α + β) = 2sinαsinβ Затем мы разделим на 2, чтобы выделить произведение синусов: sinαsinβ = 12 [cos (α − β) −cos (α + β)] sinαsinβ = 12 [cos (α − β) −cos (α + β)] Аналогичным образом мы могли бы выразить произведение косинусов через синус или вывести другие формулы произведения на сумму. Формулы произведения к сумме Формулы произведения на сумму следующие: cosαcosβ = 12 [cos (α − β) + cos (α + β)] cosαcosβ = 12 [cos (α − β) + cos (α + β)] sinαcosβ = 12 [sin (α + β) + sin (α −β)] sinαcosβ = 12 [sin (α + β) + sin (α − β)] sinαsinβ = 12 [cos (α − β) −cos (α + β)] sinαsinβ = 12 [cos (α − β) −cos (α + β)] cosαsinβ = 12 [sin (α + β) −sin (α − β)] cosαsinβ = 12 [sin (α + β) −sin (α − β)] Пример 3 Выразите произведение в виде суммы или разницы Запишите cos (3θ) cos (5θ) cos (3θ) cos (5θ) как сумму или разность. Решение У нас есть произведение косинусов, поэтому мы начнем с написания соответствующей формулы. Затем подставляем заданные углы и упрощаем. cosαcosβ = 12 [cos (α − β) + cos (α + β)] cos (3θ) cos (5θ) = 12 [cos (3θ − 5θ) + cos (3θ + 5θ)] = 12 [cos (2θ) + cos (8θ)] Использовать четно-нечетное тождество. cosαcosβ = 12 [cos (α − β) + cos (α + β)] cos (3θ) cos (5θ) = 12 [cos (3θ − 5θ) + cos (3θ + 5θ)] = 12 [cos (2θ) + cos (8θ)] Использовать четно-нечетное тождество. Попробуй # 3 Используйте формулу произведения на сумму, чтобы вычислить cos11π12cosπ12.cos11π12cosπ12. Выражение сумм в виде произведений Для некоторых задач требуется обратный процесс, который мы только что использовали. Формулы суммы к произведению позволяют нам выражать суммы синусов или косинусов в виде произведений. Эти формулы могут быть получены из тождеств произведения к сумме. Например, с помощью нескольких замен мы можем вывести идентичность суммы к произведению для синуса.Пусть u + v2 = αu + v2 = α и u − v2 = β.u − v2 = β. Затем, α + β = u + v2 + u − v2 = 2u2 = uα − β = u + v2 − u − v2 = 2v2 = vα + β = u + v2 + u − v2 = 2u2 = uα − β = u + v2− u − v2 = 2v2 = v Таким образом, заменив αα и ββ в формуле произведения на сумму заменяющими выражениями, получим sinαcosβ = 12 [sin (α + β) + sin (α − β)] sin (u + v2) cos (u − v2) = 12 [sinu + sinv] Заменить (α + β) и (α − β) 2sin (u + v2) cos (u − v2) = sinu + sinv sinαcosβ = 12 [sin (α + β) + sin (α − β)] sin (u + v2) cos (u − v2) = 12 [sinu + sinv] Замена для (α + β) и (α − β) 2sin (u + v2) cos (u − v2) = sinu + sinv Остальные тождества суммы к произведению выводятся аналогично. Формулы суммы к произведению Формулы суммы к произведению следующие: sinα + sinβ = 2sin (α + β2) cos (α − β2) sinα + sinβ = 2sin (α + β2) cos (α − β2) sinα − sinβ = 2sin (α − β2) cos (α + β2) sinα− sinβ = 2sin (α − β2) cos (α + β2) cosα − cosβ = −2sin (α + β2) sin (α − β2) cosα − cosβ = −2sin (α + β2) sin (α − β2) cosα + cosβ = 2cos (α + β2) cos (α − β2) cosα + cosβ = 2cos (α + β2) cos (α − β2) Пример 4 Запись разности синусов в виде произведения Запишите в виде произведения следующую разницу выражений синусов: sin (4θ) −sin (2θ).sin (4θ) −sin (2θ). Решение Начнем с написания формулы для разности синусов. sinα − sinβ = 2sin (α − β2) cos (α + β2) sinα − sinβ = 2sin (α − β2) cos (α + β2) Подставьте значения в формулу и упростите. sin (4θ) −sin (2θ) = 2sin (4θ − 2θ2) cos (4θ + 2θ2) = 2sin (2θ2) cos (6θ2) = 2sinθcos (3θ) sin (4θ) −sin (2θ) = 2sin (4θ− 2θ2) cos (4θ + 2θ2) = 2sin (2θ2) cos (6θ2) = 2sinθcos (3θ) Попробуй # 4 Используйте формулу суммы к произведению, чтобы записать сумму в виде произведения: sin (3θ) + sin (θ).грех (3θ) + грех (θ). Пример 5 Оценка с использованием формулы суммы к произведению Вычислить cos (15∘) −cos (75∘) .cos (15∘) −cos (75∘). Решение Начнем с написания формулы для разности косинусов. cosα − cosβ = −2sin (α + β2) sin (α − β2) cosα − cosβ = −2sin (α + β2) sin (α − β2) Затем подставляем заданные углы и упрощаем. cos (15∘) −cos (75∘) = — 2sin (15∘ + 75∘2) sin (15∘ − 75∘2) = −2sin (45∘) sin (−30∘) = −2 (22) (−12) = 22cos (15∘) −cos (75∘) = — 2sin (15∘ + 75∘2) sin (15∘ − 75∘2) = −2sin (45∘) sin (−30∘) = −2 (22) (- 12) = 22 Пример 6 Подтверждение личности Подтвердите личность: cos (4t) −cos (2t) sin (4t) + sin (2t) = — tantcos (4t) −cos (2t) sin (4t) + sin (2t) = — tant Решение Мы начнем с левой стороны, более сложной части уравнения, и перепишем выражение, пока оно не совпадет с правой частью. cos (4t) −cos (2t) sin (4t) + sin (2t) = — 2sin (4t + 2t2) sin (4t − 2t2) 2sin (4t + 2t2) cos (4t − 2t2) = −2sin (3t) sint2sin (3t) cost = −2sin (3t) sint2sin (3t) cost = −sintcost = −tantcos (4t) −cos (2t) sin (4t) + sin (2t) = — 2sin (4t + 2t2) sin (4t −2t2) 2sin (4t + 2t2) cos (4t − 2t2) = −2sin (3t) sint2sin (3t) cost = −2sin (3t) sint2sin (3t) cost = −sintcost = −tant Анализ Напомним, что проверка тригонометрических тождеств имеет свой собственный набор правил.Процедуры решения уравнения отличаются от процедур проверки идентичности. Когда мы подтверждаем идентичность, мы выбираем одну сторону для работы и делаем замены, пока эта сторона не превратится в другую. Пример 7 Проверка идентичности с использованием формул двойного угла и взаимных идентичностей Проверить тождество csc2θ − 2 = cos (2θ) sin2θ.csc2θ − 2 = cos (2θ) sin2θ. Решение Для проверки этого уравнения мы объединяем несколько тождеств.Мы будем использовать формулу двойного угла и взаимные тождества. Мы будем работать с правой частью уравнения и перепишем его, пока оно не совпадет с левой частью. cos (2θ) sin2θ = 1−2sin2θsin2θ = 1sin2θ − 2sin2θsin2θ = csc2θ − 2cos (2θ) sin2θ = 1−2sin2θsin2θ = 1sin2θ − 2sin2θsin2θ = csc2θ − 2 Попробуй # 5 Проверить тождество: tanθcotθ − cos2θ = sin2θ.tanθcotθ − cos2θ = sin2θ. 7.Упражнения из 4 частей Устные 1. Начиная с формулы произведения на сумму sinαcosβ = 12 [sin (α + β) + sin (α − β)], sinαcosβ = 12 [sin (α + β) + sin (α − β)], объясните, как для определения формулы для cosαsinβ.cosαsinβ. 2. Объясните два различных метода вычисления cos (195 °) cos (105 °), cos (195 °) cos (105 °), один из которых использует произведение для суммирования. Какой способ проще? 3. Объясните ситуацию, когда мы преобразуем уравнение из суммы в произведение, и приведите пример. 4. Объясните ситуацию, когда мы преобразовали бы уравнение из произведения в сумму, и дайте пример. Алгебраические Для следующих упражнений перепишите произведение как сумму или разность. 5. 16sin (16x) sin (11x) 16sin (16x) sin (11x) 6. 20cos (36t) cos (6t) 20cos (36t) cos (6t) 7. 2sin (5x) cos (3x) 2sin (5x) cos (3x) 8. 10cos (5x) sin (10x) 10cos (5x) sin (10x) 9. грех (-x) грех (5x) грех (-x) грех (5x) 10. sin (3x) cos (5x) sin (3x) cos (5x) Для следующих упражнений перепишите сумму или разницу как произведение. 11. cos (6t) + cos (4t) cos (6t) + cos (4t) 12. грех (3х) + грех (7х) грех (3х) + грех (7х) 13. cos (7x) + cos (−7x) cos (7x) + cos (−7x) 14. sin (3x) −sin (−3x) sin (3x) −sin (−3x) 15. cos (3x) + cos (9x) cos (3x) + cos (9x) 16. sinh − sin (3h) sinh − sin (3h) Для следующих упражнений оцените продукт на предмет следующих характеристик, используя сумму или разность двух функций. 17. cos (45 °) cos (15 °) cos (45 °) cos (15 °) 18. cos (45 °) sin (15 °) cos (45 °) sin (15 °) 19. sin (-345 °) sin (-15 °) sin (-345 °) sin (-15 °) 20. sin (195 °) cos (15 °) sin (195 °) cos (15 °) 21. sin (-45 °) sin (-15 °) sin (-45 °) sin (-15 °) Для следующих упражнений оцените произведение, используя сумму или разность двух функций.Оставьте с точки зрения синуса и косинуса. 22. cos (23 °) sin (17 °) cos (23 °) sin (17 °) 23. 2sin (100 °) sin (20 °) 2sin (100 °) sin (20 °) 24. 2sin (−100 °) sin (−20 °) 2sin (−100 °) sin (−20 °) 25. sin (213 °) cos (8 °) sin (213 °) cos (8 °) 26. 2cos (56 °) cos (47 °) 2cos (56 °) cos (47 °) Для следующих упражнений перепишите сумму как произведение двух функций. Оставьте с точки зрения синуса и косинуса. 27. грех (76 °) + грех (14 °) грех (76 °) + грех (14 °) 28. cos (58 °) −cos (12 °) cos (58 °) −cos (12 °) 29. sin (101 °) −sin (32 °) sin (101 °) −sin (32 °) 30. cos (100 °) + cos (200 °) cos (100 °) + cos (200 °) 31. sin (−1 °) + sin (−2 °) sin (−1 °) + sin (−2 °) Для следующих упражнений подтвердите личность. 32. cos (a + b) cos (a − b) = 1 − tanatanb1 + tanatanbcos (a + b) cos (a − b) = 1 − tanatanb1 + tanatanb 33. 4sin (3x) cos (4x) = 2sin (7x) −2sinx4sin (3x) cos (4x) = 2sin (7x) −2sinx 34. 6cos (8x) sin (2x) sin (−6x) = — 3sin (10x) csc (6x) + 36cos (8x) sin (2x) sin (−6x) = — 3sin (10x) csc (6x) +3 35. sinx + sin (3x) = 4sinxcos2xsinx + sin (3x) = 4sinxcos2x 36. 2 (cos3x − cosxsin2x) = cos (3x) + cosx2 (cos3x − cosxsin2x) = cos (3x) + cosx 37. 2tanxcos (3x) = secx (sin (4x) −sin (2x)) 2tanxcos (3x) = secx (sin (4x) −sin (2x)) 38. cos (a + b) + cos (a − b) = 2cosacosbcos (a + b) + cos (a − b) = 2cosacosb Числовой Для следующих упражнений перепишите сумму как произведение двух функций или произведение как сумму двух функций. Дайте свой ответ в виде синусов и косинусов. Затем оцените окончательный ответ численно с округлением до четырех знаков после запятой. 39. cos (58∘) + cos (12∘) cos (58∘) + cos (12∘) 40. sin (2∘) −sin (3∘) sin (2∘) −sin (3∘) 41. cos (44∘) −cos (22∘) cos (44∘) −cos (22∘) 42. cos (176∘) sin (9∘) cos (176∘) sin (9∘) 43. грех (-14∘) грех (85∘) грех (-14∘) грех (85∘) Технологии В следующих упражнениях алгебраически определите, является ли каждое из данных выражений истинным тождеством. Если это не идентичность, замените правую часть выражением, эквивалентным левой части. Проверьте результаты, построив графики обоих выражений на калькуляторе. 44. 2sin (2x) sin (3x) = cosx − cos (5x) 2sin (2x) sin (3x) = cosx − cos (5x) 45. cos (10θ) + cos (6θ) cos (6θ) −cos (10θ) = cot (2θ) cot (8θ) cos (10θ) + cos (6θ) cos (6θ) −cos (10θ) = cot (2θ) детская кроватка (8θ) 46. ​​ sin (3x) −sin (5x) cos (3x) + cos (5x) = tanxsin (3x) −sin (5x) cos (3x) + cos (5x) = tanx 47. 2cos (2x) cosx + sin (2x) sinx = 2sinx2cos (2x) cosx + sin (2x) sinx = 2sinx 48. sin (2x) + sin (4x) sin (2x) −sin (4x) = — tan (3x) cotxsin (2x) + sin (4x) sin (2x) −sin (4x) = — tan (3x ) cotx В следующих упражнениях упростите выражение до одного члена, а затем изобразите исходную функцию и свою упрощенную версию, чтобы убедиться, что они идентичны. 49. sin (9t) −sin (3t) cos (9t) + cos (3t) sin (9t) −sin (3t) cos (9t) + cos (3t) 50. 2sin (8x) cos (6x) −sin (2x) 2sin (8x) cos (6x) −sin (2x) 51. sin (3x) −sinxsinxsin (3x) −sinxsinx 52. cos (5x) + cos (3x) sin (5x) + sin (3x) cos (5x) + cos (3x) sin (5x) + sin (3x) 53. sinxcos (15x) −cosxsin (15x) sinxcos (15x) −cosxsin (15x) Расширения Для следующих упражнений докажите следующие формулы суммирования произведений. 54. sinx − siny = 2sin (x − y2) cos (x + y2) sinx − siny = 2sin (x − y2) cos (x + y2) 55. cosx + cosy = 2cos (x + y2) cos (x − y2) cosx + cosy = 2cos (x + y2) cos (x − y2) Для следующих упражнений подтвердите личность. 56. sin (6x) + sin (4x) sin (6x) −sin (4x) = tan (5x) cotxsin (6x) + sin (4x) sin (6x) −sin (4x) = tan (5x) cotx 57. cos (3x) + cosxcos (3x) −cosx = −cot (2x) cotxcos (3x) + cosxcos (3x) −cosx = −cot (2x) cotx 58. cos (6y) + cos (8y) sin (6y) −sin (4y) = cotycos (7y) sec (5y) cos (6y) + cos (8y) sin (6y) −sin (4y) = cotycos (7y) сек (5y) 59. cos (2y) −cos (4y) sin (2y) + sin (4y) = tanycos (2y) −cos (4y) sin (2y) + sin (4y) = tany 60. sin (10x) −sin (2x) cos (10x) + cos (2x) = tan (4x) sin (10x) −sin (2x) cos (10x) + cos (2x) = tan (4x) 61. cosx − cos (3x) = 4sin2xcosxcosx − cos (3x) = 4sin2xcosx 62. (cos (2x) −cos (4x)) 2+ (sin (4x) + sin (2x)) 2 = 4sin2 (3x) (cos (2x) −cos (4x)) 2+ (sin (4x) ) + грех (2x)) 2 = 4sin2 (3x) 63. 2} $$ в случае, если $ x_3> 1.{k_d}} = n $$ Идентификаторов суммы углов и разностей Идентификаторов суммы углов и разностей Мы используем MathJax Тождества суммы углов и разностей Встречаются тригонометрические функции суммы или разности двух углов. часто в приложениях. Есть несколько способов подтвердить эти результаты. Теорема о сумме и разности углов Следующие тождества верны для всех значений, для которых они определено: $ \ sin (A \ pm B) = \ sin A \ cos B \ pm \ cos A \ sin B $ $ \ cos (A \ pm B) = \ cos A \ cos B \ mp \ sin A \ sin B $ $ \ tan (A \ pm B) = \ dfrac {\ tan A \ pm \ tan B} {1 \ mp \ tan A \ tan B} $ $ \ cot (A \ pm B) = \ dfrac {\ cot A \ cot B \ mp 1} {\ cot B \ pm \ cot A} $ $ \ sec (A \ pm B) = \ dfrac {\ sec A \ sec B \ csc A \ csc B} {\ csc A \ csc B \ mp \ sec A \ sec B} $ $ \ csc (A \ pm B) = \ dfrac {\ sec A \ sec B \ csc A \ csc B} {\ sec A \ csc B \ pm \ csc A \ sec B} $ Доказательство: Пусть $ P $ будет точкой с координаты $ (1,0) $. 2 \ end {уравнение *} Благодаря использованию симметричного и пифагорейского тождеств, это упрощается и становится формулой суммы углов для косинуса. Доказательство формулы разности углов для косинус выглядит следующим образом: \ begin {align} \ cos (A-B) & = \ cos (A + (- B)) \\ & = \ cos A \ cos (-B) — \ sin A \ sin (-B) \\ & = \ соз А \ соз В + \ грех А \ грех В \ end {align} Тогда, используя теорему о совместных функциях, мы можем получить формулы для синуса: \ begin {align} \ sin (A \ pm B) & = \ cos \ left (\ dfrac {\ pi} {2} — (A \ pm B) \ right) \\ & = \ cos \ left (\ left (\ dfrac {\ pi} {2} -A \ right) \ mp B \ right) \\ & = \ cos \ left (\ dfrac {\ pi} {2} -A \ right) \ cos B \ pm \ sin \ left (\ dfrac {\ pi} {2} -A \ right) \ sin B \\ & = \ sin A \ cos B \ pm \ cos A \ sin B \ end {align} По результатам формул синуса и косинуса можно вывести другие четыре формулы.♦ Формулы также можно выводить с помощью треугольников. Хотя мы ссылаемся на следующий вывод как на доказательство, на самом деле допустимые при выводе значения углов $ A $ и $ B $ весьма ограничены, а на самом деле требуется более общее доказательство. Альтернативное доказательство: Пусть положительный углы $ A $ и $ B $, сумма которых меньше 90 градусов. Постройте отрезок $ PU $ длиной 1. Построить треугольник $ TPU $ так, чтобы угол $ TPU $ был равен угол $ A $, а угол $ TUP $ равен дополнению к $ A $.Построить описанный прямоугольник $ PQRS $ так, чтобы угол $ QPT $ был равен углу $ B $, угол $ QPU $ равна сумме углов $ A $ и $ B $, точка $ T $ находится на сегмент $ QR $ и $ U $ находится в сегменте $ RS $. Обратите внимание, что угол $ RTU $ также равен углу $ B $. У треугольника Соотношения Теорема, имеем: \ begin {align} \ sin (A + B) & = UV \\ & = RT + QT \\ & = TU \ cos B + PT \ sin B \\ & = \ грех А \ соз В + \ соз А \ грех В \ end {align} Доказательство тождества суммы углов для косинуса: похожий.Идентификаторы угловой разницы могут быть получены напрямую из того же рисунка, отождествив угол $ A $ с углом $ TPS $, а также угол $ B $ с углом $ TPU $. ♦ Есть несколько классов идентификаторов, которые непосредственные следствия суммы углов и Теорема о разности. 2 t} $	$ \ csc 2t = \ dfrac {\ sec t \ csc t} {2}

Доказательство: Доказательство двойного Формула угла для синуса выглядит следующим образом:

\ begin {align} \ sin 2t & = \ sin (t + t) \\ & = \ sin t \ cos t + \ cos t \ sin t \\ & = 2 \ грех т \ соз т \ end {align}

Доказательства формулы двойного угла для другого пять функций аналогичны.2 t = \ dfrac {2} {1- \ cos 2t} 905 10 долл. США

Проба: Чтобы найти понижающий формулу для синуса, мы начинаем с косинуса двойного угол формулу и замените член в квадрате косинуса, используя тождество Пифагора. Полученное уравнение можно решить для члена с синусом в квадрате. Доказательства степенных формул для остальных пяти функций похожи. ♦

Теорема о половинном угле

Следующие тождества верны для всех значений, для которых они определено:

долларов США долларов США

$ \ sin \ dfrac {t} {2} = \ pm \ sqrt {\ dfrac {1- \ cos t} {2}} $	$ \ cos \ dfrac {t} {2} = \ pm \ sqrt {\ dfrac {1+ \ cos t} {2}} $
$ \ tan \ dfrac {t} {2} = \ dfrac {1- \ cos t} {\ sin t} $	$ \ cot \ dfrac {t} {2} = \ dfrac {\ sin t} {1+ \ cos t}
$ \ sec \ dfrac {t} {2} = \ pm \ sqrt {\ dfrac {2 \ sec t} {\ sec t + 1}} $	$ \ csc \ dfrac {t} {2} = \ pm \ sqrt {\ dfrac {2 \ sec t} {\ sec t-1}}

Доказательство: Формулы полуугла для синус и косинус находятся сразу после уменьшения мощности формулы подстановкой и извлечением квадратного корня.2 t} {2 \ sin t \ cos t} = \ dfrac {\ sin t} {\ cos t} = \ tan t \ end {align}

Подстановка в этот результат дает касательную формула полуугла. Доказательство формулы котангенса аналогичный. ♦

Теорема произведения к сумме

Следующие тождества верны для всех реальных ценностей.

$ \ sin A \ sin B = \ dfrac12 [(\ cos (A-B) — \ cos (A + B)] $

$ \ sin A \ cos B = \ dfrac12 [(\ sin (A + B) + \ sin (A-B)] $

$ \ cos A \ cos B = \ dfrac12 [(\ cos (A + B) + \ cos (A-B)] $

Доказательство: Расширение и упрощение правая часть каждой формулы, используя угол Сумма и теорема разности даст левую часть.♦

Теорема о сумме к произведению

Следующие тождества верны для всех реальных ценностей.

$ \ sin A \ pm \ sin B = 2 \ sin \ dfrac {A \ pm B} {2} \ cos \ dfrac {A \ mp B} {2} $

$ \ cos A + \ cos B = 2 \ cos \ dfrac {A + B} {2} \ cos \ dfrac {A-B} {2} $

$ \ cos A- \ cos B = -2 \ sin \ dfrac {A + B} {2} \ sin \ dfrac {A-B} {2} $

Доказательство: Путем замены переменных $ \ dfrac {A \ pm B} {2} $ в произведении на сумму формулы, эти формулы могут быть выведены.

No related posts.