вывод формулы, определения, примеры, решение задач
Содержание:
- Вывод формулы Пуассона
В теории вероятности существует целый ряд предельных теорем. Одна из них это теорема Пуассона, она относится к возможности расчёта предельного распределения для количества реализаций определённого варианта, сама вероятность появления которого является малой, то есть речь идёт о редком событии. Применяется данная теорема в случае, когда речь идёт о большом числе экспериментов, являющихся независимыми.
Если количество испытаний достаточно большое, то вероятность чаще всего рассчитывают приблизительно – с помощью локальной теоремы Лапласа. Но теорема Лапласа недостаточно точна, слишком велика погрешность, если значение вероятности меньше 0,1. Поэтому здесь используют другой метод, и именно распределение Пуассона.
Определение 1. Теорема Пуассона
Пусть есть последовательность серий испытаний Бернулли, где $p_n$ —
вероятность «успеха», $ \mu _n$ — количество
«успехов».
вероятность того, что за месяц из строя выйдет ровно один двигатель (из 10 тысяч).
§2. Формула Пуассона
При больших значениях числа испытаний применение формулы Бернулли (4.1.2) затруднительно. Поэтому применяются простые, но достаточно точные приближенные формулы для вычисления. Пусть число испытанийдостаточно «велико», вероятность «успеха»достаточно «мала». Пусть произведение
(4.2.1)
и не мало, и не велико. В таких случаях удобно использовать для вероятности предложенное Пуассоном приближение (формула Пуассона), которое мы сейчас выведем. По формуле Бернулли (4.1.2)
(4.2.2)
При и сделанных выше допущениях очевидны следующие приближения:
,.
Следовательно, (4.2.2) примет вид:
,(4.2.3)
а это и есть формула Пуассона.
Замечание.
При выводе формулы
Пуассона (4.2.3) использовалось то, чтомало.
Замечание.Формула Пуассона (4.2.3) зависит оти. Значения функции (4.2.2) можно определить следующими способами:
можно воспользоваться Приложением 1;
используя функцию ПУАССОН(x;среднее;интегральная) изEXCEL; в которой аргументxравен числу «успехов», аргумент «среднее» равен, аргумент «интегральная» должен равняться 0;
используя функцию dpois(k, l)изMATHCAD, в которойи.
Пример 4.Найти вероятность того, что среди 1460 человек ровно трое родились 29 февраля.
Решение.Вероятность того, что один конкретный человек родился 29 февраля, равна , т.к. 29 февраля бывает ровно 1 раз в 4 года.
Далее находим коэффициент :
.
Применяя (4.
2.2), получаем:
.
Пример 5.Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность того, что при 5000 выстрелах в цель попало не менее двух выстрелов.
Решение. Рассмотрим два противоположных события:
— при 5000 выстрелах в цель попало не менее двух выстрелов;
— при 5000 выстрелах в цель попало менее двух выстрелов.
Найдем вероятность события :
.
В рассматриваемом примере
.
Используя формулу Пуассона, получим.
Используя свойство вероятности противоположного события, получим
.
Если в схеме Бернулли , , , (4.3.1)
то следует применять формулы Муавра – Лапласа: локальную или интегральную.
Локальная теорема Муавра‑Лапласа(без доказательства).
Если в схеме
Бернулли
,
то для всехсправедлива локальная формула
Муавра‑Лапласа:
(4.3.2)
Значения функции , которую называютплотностью нормального распределенияс параметрами, можно найти одним из следующих способов:
можно воспользоваться Приложением 2;
используя функцию НОРМРАСП(x;
используя функцию dnorm(x, mu, sigma)изMATHCAD, в которойи.
Очевидно, что функция является четной. Поэтому при определениидля отрицательныхнужно воспользоваться равенством.
Интегральная теорема Муавра‑Лапласа(без доказательства).
Если в схеме
Бернулли число испытаний,
то для вероятноститого, что число успеховзаключено в пределах отдо,
справедлива интегральная теорема
Муавра‑Лапласа:
(4.3.3)
Функция , определенная формулой (4.3.3), называется функцией распределения нормального распределения с параметрами. Значения функцииможно найти одним из следующих способов:
можно воспользоваться Приложением 3;
используя функцию НОРМРАСП(x;среднее;стандартное_откл;интегральная) изEXCEL; в которой «среднее» необходимо положить равным 0, аргумент «стандартное_откл» необходимо положить равным 1, аргумент «интегральная» должен равняться 1.
используя функцию pnorm(x, mu, sigma)изMATHCAD, в которойи.
Функцию
при отрицательных значениях переменной
можно определить по формуле.
Замечание. Наряду с функциейиспользуют функцию
. (4.3.4)
. (4.3.5)
Пример 6. Симметричную монету бросают 400 раз. Определить вероятность появления герба:
а) от 185 до 210 раз;
б) ровно 200 раз;
в) не менее 200 раз.
Решение. Для решения задачи применим локальную и интегральную теоремы Муавра‑Лапласа, для которых
, т.к. монету подбрасывали 400 раз, , т.к. монета симметрична.
а) Используя интегральную теорему Муавра‑Лапласа, получим
б) Используя локальную теорему Муавра‑Лапласа, получим
;
в) Используя интегральную теорему Муавра‑Лапласа, получим
.
Пример 7.Команда состоит из 10 отличных и 15 хороших стрелков. Каждый стрелок производит по своей мишени 5 независимых выстрелов. Отличный стрелок при каждом выстреле попадает в цель с вероятностью 0,9, хороший — с вероятностью 0,8. Определить вероятность того, что общее число попаданий будет не менее 110.
Решение.Найдем вероятность попадания при одном выстреле для произвольного стрелка. Для этого воспользуемся формулой полной вероятности. Пусть искомое событие— мишень поражена одним стрелком. Рассмотрим следующие гипотезы:
— стреляет отличный стрелок;
— стреляет хороший стрелок.
Очевидно, что:
,,,.
Отсюда получаем:
,.
Заметим, что общее число выстрелов
.
Теперь найдем вероятность
того, что при 125 выстрелах число попаданий
будет не менее 110.
,,
.
Пример 8.Вероятность попадания в мишень при одном выстреле. Найти наименьшее число выстрелов, которое надо произвести по мишени, чтобы с вероятностью 0,95 число попаданий было не менее 70.
Решение.По условию задачи. Для вычисленияприменим интегральную теорему Муавра – Лапласа:
Заметим, что мы использовали то, что при больших значениях .
Далее получаем
.
Используя Приложение 3 находим, что
.
Решая последнее уравнение для натуральных значений , получаем, что n=132 .
распределений Пуассона | Определение, формула и примеры
Опубликован в 13 мая 2022 г. к Шон Терни. Отредактировано 5 декабря 2022 г.
A Распределение Пуассона — это дискретное распределение вероятностей. Он дает вероятность того, что событие произойдет определенное количество раз ( k ) в течение заданного интервала времени или пространства.
Распределение Пуассона имеет только один параметр, λ (лямбда), который является средним числом событий. На приведенном ниже графике показаны примеры распределения Пуассона с различными значениями λ.
Содержание
- Что такое распределение Пуассона?
- Примеры распределения Пуассона
- Графики функции массы вероятности
- Среднее значение и дисперсия распределения Пуассона
- Формула распределения Пуассона
- Практические вопросы
- Часто задаваемые вопросы о распределениях Пуассона
Что такое распределение Пуассона?
Распределение Пуассона — это дискретное распределение вероятностей, означающее, что оно дает вероятность дискретного (т.
е. счетного) результата. Для распределений Пуассона дискретный результат — это количество раз, когда событие происходит, представленное k.
Вы можете использовать распределение Пуассона, чтобы предсказать или объяснить количество событий, происходящих в течение заданного интервала времени или пространства. «События» могут быть чем угодно: от случаев заболевания до покупок клиентов и ударов метеоритов. Интервал может быть любым конкретным количеством времени или пространства, например, 10 дней или 5 квадратных дюймов.
Вы можете использовать распределение Пуассона, если:
- Отдельные события происходят случайно и независимо. То есть вероятность одного события не влияет на вероятность другого события.
- Вы знаете среднее количество событий, происходящих в течение заданного интервала времени или пространства. Это число называется λ (лямбда) и считается постоянным.
Когда события следуют распределению Пуассона, λ — это единственное, что вам нужно знать, чтобы рассчитать вероятность того, что событие произойдет определенное количество раз.
Примеры распределения Пуассона
В целом, распределения Пуассона часто подходят для данных подсчета . Данные подсчета состоят из наблюдений, которые представляют собой неотрицательные целые числа (т. е. числа, которые используются для подсчета, например 0, 1, 2, 3, 4 и т. д.).
Смерть от удара лошади
Одним из первых применений распределения Пуассона был статистик Ладислав Борткевич. В конце 1800-х годов он расследовал случай смерти солдат прусской армии от несчастного случая, вызванного ударом лошади. Он проанализировал данные за 20 лет по 10 армейским корпусам, что эквивалентно 200 годам наблюдений за одним корпусом.
На следующей гистограмме показаны смоделированные данные, аналогичные наблюдаемым Борткевичем:
Он обнаружил, что каждый год в среднем 0,61 солдата на корпус умирает от ударов лошади. Однако в большинстве лет ни один солдат не погиб от конных ударов. На другом конце спектра в один трагический год четыре солдата того же корпуса погибли от ударов лошади.
Используя современную терминологию:
- Смерть от удара лошади — это «событие».
- Временной интервал равен одному году.
- Среднее количество событий за интервал времени, λ, равно 0,61.
- Количество смертей от удара лошади в указанном году составляет тыс. .
Армейский корпус, который наблюдал Борткевич, был образцом населения всех прусских армейских корпусов. Из-за случайного характера выборки выборки редко полностью соответствуют распределению вероятностей. Смертность от удара лошади в выборке примерно соответствует распределению Пуассона, поэтому мы можем разумно сделать вывод, что популяция подчиняется распределению Пуассона.
Другие примеры распределения Пуассона
Со времен Борткевича распределения Пуассона использовались для описания многих других вещей. Например, распределение Пуассона можно использовать для объяснения или предсказания:
- Текстовых сообщений в час
- Самцов гризли на гектар
- Неисправности машины в год
- посетителей сайта в месяц
- случаев гриппа в год
Предотвращение плагиата.
Запустите бесплатную проверку. Попробуй бесплатноГрафики функции массы вероятности
Распределение Пуассона можно представить визуально в виде графика функции массы вероятности. Функция массы вероятности — это функция, описывающая дискретное распределение вероятностей.
Наиболее вероятное количество событий представлено пиком распределения — модой.
- Если λ не является целым числом, модой является ближайшее целое число, меньшее λ.
- Когда λ является целым числом, существует два режима: λ и λ−1.
Когда λ низкое, распределение намного длиннее справа от своего пика, чем слева (т. е. оно сильно смещено вправо).
По мере увеличения λ распределение становится все более и более похожим на нормальное распределение. Фактически, когда λ равно 10 или больше, нормальное распределение является хорошей аппроксимацией распределения Пуассона.
Среднее значение и дисперсия распределения Пуассона
Распределение Пуассона имеет только один параметр, называемый λ.
- Среднее значение распределения Пуассона равно λ.
- Дисперсия распределения Пуассона также равна λ.
В большинстве распределений среднее значение представлено µ (мю), а дисперсия представлена σ² (сигма в квадрате). Поскольку эти два параметра одинаковы в распределении Пуассона, мы используем символ λ для обозначения обоих.
Формула распределения Пуассона
Функция массы вероятности распределения Пуассона:
Где:
- — случайная величина, следующая распределению Пуассона
- — количество раз, когда событие происходит .
- ) — вероятность того, что событие произойдет k раз
- — постоянная Эйлера (примерно 2,718)
- — среднее количество раз, когда событие происходит .
- ! является факториальной функцией
В каждом прусском армейском корпусе в среднем 0,61 солдат умирает от ударов ногой в год. Вы хотите посчитать вероятность того, что в 7-м армейском корпусе в 189 г. погибло ровно два солдата.8, предполагая, что количество смертей от ударов лошадей в год подчиняется распределению Пуассона.Расчет
Конкретный армейский корпус (VII армейский корпус) и год (1898) не имеют значения, поскольку вероятность постоянна.
= 2 смерти от удара лошади = 0,61 смертей от удара лошади в год = 2,718Вероятность того, что в VII армейском корпусе в 189 г. погибло ровно два солдата8 равно 0,101.
Практические вопросы
Часто задаваемые вопросы о распределениях Пуассона
- Что означает «e» в формуле распределения Пуассона?
- Что такое нормальное распределение?
При нормальном распределении данные распределяются симметрично без перекоса. Большинство значений группируются вокруг центральной области, при этом значения сужаются по мере удаления от центра.
Показатели центральной тенденции (среднее, мода и медиана) в нормальном распределении точно такие же.
org/Answer»>e в формуле распределения Пуассона означает число 2,718. Это число называется постоянной Эйлера. Вы можете просто заменить e с 2,718, когда вы вычисляете вероятность Пуассона. Константа Эйлера — очень полезное число, особенно важное в исчислении.
Процитировать эту статью Scribbr
Если вы хотите процитировать этот источник, вы можете скопировать и вставить цитату или нажать кнопку «Цитировать эту статью Scribbr», чтобы автоматически добавить цитату в наш бесплатный генератор цитирования.
Терни, С. (2022, 05 декабря). Распределения Пуассона | Определение, формула и примеры. Скриббр. Проверено 30 марта 2023 г., с https://www.scribbr.com/statistics/poisson-distribution/
Процитировать эту статью
Полезна ли эта статья?
Вы уже проголосовали. Спасибо 🙂 Ваш голос сохранен 🙂 Обработка вашего голоса…
Во время учебы в магистратуре и докторантуре Шон научился применять научные и статистические методы в своих исследованиях в области экологии. Теперь он любит учить студентов, как собирать и анализировать данные для собственных диссертаций и исследовательских проектов.
Решенная проблема вероятности 15
Что такое теория вероятностей
Статистику почти всегда знакомят студенты с курсом теории вероятностей. Это связано с тем, что для многих предметов в области статистики концепции часто включают некоторую форму вероятности. Теория вероятностей — это просто область математики, которая имеет дело с вероятностью.
Чтобы понять вероятность, необходимо понять несколько основных терминов. Эти термины перечислены в таблице ниже вместе с их определениями. Эти термины образуют строительные блоки для некоторых более сложных понятий вероятности.
| Концепция | Определение |
| Случайная переменная | Вариант, чей результат не известен |
| Вероятность | Возможность одного результата из пробезного пространства, происходящего |
.
Лучшие математические репетиторы. то есть может быть полезно начать с некоторых основных понятий статистики. Во-первых, давайте начнем с понятий частоты и частотного распределения, определения которых можно найти в таблице ниже.
| Концепция | Определение | Пример |
| Частота | ||
| . | ||
| Частотное распределение | Показывает, как часто каждое значение встречается в переменной | Гистограмма, показывающая, сколько шариков каждого цвета в наборе |
Чтобы дать вам представление о том, как рассчитывается частота, возьмите в качестве примера набор данных ниже.
| Number | Colour |
| 1 | Red |
| 2 | Blue |
| 3 | Green |
| 4 | Green |
| 5 | Красный |
| 6 | Зеленый |
Чтобы рассчитать частоту цветов, включенных в этот набор шариков, вам просто нужно подсчитать, сколько раз встречается каждый цвет.
Это привело бы к следующему результату.
| Colour | Frequency | Frequency in % |
| Red | 2 | 33% |
| Blue | 3 | 50% |
| Green | 1 | 17% |
3
. Давайте продолжим этот пример с набором шариков и взглянем на набор данных, содержащий десять шариков разных цветов. Частоты для каждого цвета уже рассчитаны.
| Цвет | Frequency |
| Red | 5 |
| Blue | 3 |
| Green | 10 |
| Orange | 7 |
| Yellow | 15 |
| Black | 2 |
| Фиолетовый | 20 |
| Белый | 6 |
| Розовый | |
| 4 |
Чтобы лучше понять данные, мы могли бы нанести эту информацию на гистограмму, как показано ниже.
Это дает нам частотное распределение. Частотное распределение — это просто функция или визуализация, которая показывает, как часто данное значение встречается для одной переменной. В этом случае частотное распределение говорит нам, как часто каждый отдельный цвет встречается в переменной цвета мрамора.
Распределение вероятностей
Распределение вероятностей является расширением частотного распределения. Это связано с тем, что основные концепции для обеих этих мер одинаковы. В приведенной ниже таблице дается краткое определение вероятности и ее распределения.
| Определение | Пример | |
7 Вероятность события60237 | В выборочном пространстве S={H,T}, представляющем собой орла и решку, вероятность события H (орел) равна 0,50 результат в выборочном пространстве | Распределение вероятностей будет соответствовать биномиальному распределению |
Чтобы дать вам представление о том, как создаются распределения вероятностей, давайте продолжим на примере подбрасывания монеты.
Скажите, что вы хотели бы увидеть распределение вероятности выпадения орла, если вы подбросите монету 5 раз. Сначала определите все возможные исходы.
Чтобы получить вероятность выпадения орла от 0 до 5 раз, вы просто делите события на общее количество возможных исходов. Нанося это на распределение вероятностей, мы получаем следующее.
Стандартная задача нормального распределения
Напомним, что знание распределения вероятностей переменной означает, что мы можем выполнять проверки гипотез относительно этой переменной. Стандартное нормальное распределение представляет собой следующее распределение вероятностей.
Стандартное нормальное распределение имеет среднее значение, равное нулю, и стандартное отклонение, равное сигме, . Это не означает, что среднее значение на самом деле равно нулю, но что z-значение среднего равно нулю. Z-оценка — это просто стандартизированная версия заданного числа, формулу которой можно найти ниже.
Вы хотите узнать вероятность того, что человек наберет меньше 40 баллов на предстоящем экзамене, если средний балл экзамена равен 60, а стандартное отклонение равно 6,5.
Решение для стандартного нормального распределения
Чтобы решить эту задачу, мы сначала нанесем нашу информацию на стандартное нормальное распределение.
Чтобы понять изображение выше, вернитесь к нашему описанию стандартного нормального распределения. Среднее значение имеет стандартный нулевой балл, причину которого можно увидеть ниже.
Ноль, разделенный на любое число, равен нулю, а это означает, что среднее значение данных всегда будет иметь z-оценку, равную нулю. Одно стандартное отклонение ниже среднего составляет 33,5 балла, а одно стандартное отклонение выше среднего составляет 46,5 балла.
Нас интересует вероятность набрать меньше 40 очков. Это означает, что нас интересует односторонний тест, что является просто другим способом сказать, что нас интересует только одна сторона распределения. Сначала мы находим z-показатель, равный 40, а затем находим этот z-показатель в z-таблице, в которой перечислены все вероятности каждого z-показателя.
Глядя на это в z-таблице, которая широко доступна в Интернете, мы получаем 0,0011. Это означает, что вероятность набрать на экзамене менее 40 баллов составляет менее примерно 0,1%. Другими словами, крайне маловероятно.
Задача распределения Пуассона
Распределения Пуассона отличаются от стандартных нормальных распределений. Хотя это все еще распределение вероятностей, это распределение, которое имеет дело с количеством «успехов» за временной интервал. Успех здесь — это все, что мы хотим измерить, например, сколько раз кто-то звонит на горячую линию поддержки. Среднее значение распределения Пуассона изображается лямбдой, . Вероятность распространения яда рассчитывается по следующей формуле.
Где лямбда – это среднее количество успешных попыток за заданный интервал времени, а x – число, которое мы хотим проверить. Е в уравнении — это натуральный логарифм, который можно найти на большинстве калькуляторов и который равен примерно 2,72.
Х! в знаменателе находится факториал, который также используется в большинстве калькуляторов.
Например, предположим, что среднее количество клиентов, звонящих на горячую линию в час, равно 5, и нас интересует вероятность того, что 10 человек позвонят в час. Наша лямбда здесь будет равна 5, а наш x будет равен 10, что мы просто подставим в уравнение.
Распределение Пуассона
Давайте продолжим предыдущий пример и предположим, что вас интересует знание двух различных вероятностей.
- Вероятность того, что 8 человек позвонят через один час
- Вероятность того, что 18 человек позвонят через три часа
Вспомним, что здесь у нас 5. Для первой задачи мы просто подставляем 8 в уравнение.
Первая вероятность, как мы видим из результата, составляет около 6,5%. Другими словами, маловероятно, что за час на горячую линию позвонят 10 человек.
Второй вопрос немного сложнее.