Формула расстояние между векторами: Расстояние между двумя точками

Расстояние между двумя точками

Расстояние между двумя точками

Навигация по странице:

• Определение расстояния между двумя точками
• Формулы для вычисления расстояния между двумя точками
• Вывод формулы вычисления расстояния между двумя точками для плоской задачи
• Примеры задач на вычисление расстояния между двумя точками
  • плоские задачи
  • пространственные задачи

Онлайн калькулятор. Расстояние между двумя точками

Определение. Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, что соединяет эти точки.

Формулы вычисления расстояния между двумя точками:

• Формула вычисления расстояния между двумя точками A(x_a, y_a) и B(x_b, y_b) на плоскости:

  AB = √(x_b — x_a)² + (y_b — y_a)²

• Формула вычисления расстояния между двумя точками A(x_a , y_a, z_a) и B(x_b, y_b, z_b) в пространстве:

  AB = √(x_b — x_a)² + (y_b — y_a)² + (z_b — z_a)²

Вывод формулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости

Из точек A и B опустим перпендикуляры на оси координат.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABC. Катеты этого треугольника равны:

AC = x_b — x_a;
BC = y_b — y_a.

Воспользовавшись теоремой Пифагора, вычислим длину отрезка AB:

AB = √AC² + BC².

Подставив в это выражение длины отрезков AC и BC, выраженные через координаты точек A и B, получим формулу для вычисления расстояния между точками на плоскости.

Формула для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве выводится аналогично.

Примеры задач на вычисление расстояния между двумя точками

Примеры вычисления расстояния между двумя точками на плоскости

Пример 1.

Найти расстояние между точками A(-1, 3) и B(6,2).

Решение.

AB = √(x_b — x_a)² + (y_b — y_a)² = √(6 — (-1))² + (2 — 3)² = √7² + 1² = √50 = 5√2

Ответ: AB = 5√2.

Пример 2.

Найти расстояние между точками A(0, 1) и B(2,-2).

Решение.

AB = √(x_b — x_a)² + (y_b — y_a)² = √(2 — 0)² + (-2 — 1)² = √2² + (-3)² = √13

Ответ: AB = √13.

Примеры вычисления расстояния между двумя точками в пространстве

Пример 3.

Найти расстояние между точками A(-1, 3, 3) и B(6, 2, -2).

Решение.

AB = √(x_b — x_a)² + (y_b — y

a)² + (z_b — z_a)² =

= √(6 — (-1))² + (2 — 3)² + (-2 — 3)² = √7² + 1² + 5² = √75 = 5√3

Ответ: AB = 5√3.

Пример 4.

Найти расстояние между точками A(0, -3, 3) и B(3, 1, 3).

Решение.

AB = √(x_b — x_a)² + (y_b — y_a)² + (z_b — z_a)² =

= √(3 — 0)² + (1 — (-3))² + (3 — 3)² = √3² + 4² + 0² = √25 = 5

Ответ: AB = 5.

Онлайн калькуляторы. Аналитическая геометрия. Декартовые координаты

Расстояние между двумя точками.

Навигация по странице:

• Определение расстояния между двумя точками
• Формулы для вычисления расстояния между двумя точками
• Вывод формулы вычисления расстояния между двумя точками для плоской задачи
• Примеры задач на вычисление расстояния между двумя точками
  • плоские задачи
  • пространственные задачи

Онлайн калькулятор. Расстояние между двумя точками.

Определение. Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, что соединяет эти точки.

Формулы вычисления расстояния между двумя точками:

• Формула вычисления расстояния между двумя точками A(x_a, y_a) и B(x_b, y_b) на плоскости:
  AB = √(x_b — x_a)² + (y_b — y_a)²

• Формула вычисления расстояния между двумя точками A(x_a, y_a, z_a) и B(x_b, y_b, z_b) в пространстве:
  AB = √(x_b — x_a)² + (y_b — y_a)² + (z_b — z_a)²

Вывод формулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости

Из точек A и B опустим перпендикуляры на оси координат.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABC. Катеты этого треугольника равны:

AC = x_b — x_a;
BC = y_b — y_a.

Воспользовавшись теоремой Пифагора, вычислим длину отрезка AB:

AB = √AC² + BC².

Подставив в это выражение длины отрезков AC и BC, выраженные через координаты точек A и B, получим формулу для вычисления расстояния между точками на плоскости.

Формула для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве выводится аналогично.

Примеры задач на вычисление расстояния между двумя точками

Пример вычисления расстояния между двумя точками на плоскости

Пример 1.

Найти расстояние между точками A(-1, 3) и B(6,2).

Решение.

AB = √(x_b — x_a)² + (y_b — y_a)² = √(6 — (-1))² + (2 — 3)² = √7² + 1² = √50 = 5√2

Ответ: AB = 5√2.

Пример вычисления расстояния между двумя точками в пространстве

Пример 2.

Найти расстояние между точками A(-1, 3, 3) и B(6, 2, -2).

Решение.

AB = √(x_b — x_a)² + (y_b — y_a)² + (z_b — z_a)² =

= √(6 — (-1))² + (2 — 3)² + (-2 — 3)² = √7² + 1² + 5² = √75 = 5√3

Ответ: AB = 5√3.

Аналитическая геометрия: Вступление и оглавлениеРасстояние между двумя точками.Середина отрезка. Координаты середины отрезка.Уравнение прямой.Уравнение плоскости.Расстояние от точки до плоскости.Расстояние между плоскостями.Расстояние от точки до прямой на плоскости.Расстояние от точки до прямой в пространстве.Угол между плоскостями.Угол между прямой и плоскостью.

Онлайн калькуляторы. Аналитическая геометрия. Декартовые координаты.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

n$, то $d(\vec{u}, \vec{v}) \leq d(\vec{u}, \vec{w}) + d(\vec{w}, \vec{v})$ .

• Доказательство: Начнем с левой части:

(1)

\begin{align} d(\vec{u}, \vec{v}) = \| \vec{u} — \vec{v} \| \\ d(\vec{u}, \vec{v}) = \| \vec{u} — \vec{w} +\vec{w} — \vec{v} \| \\ d(\vec{u}, \vec{v}) = \| (\vec{u} — \vec{w}) + (\vec{w} — \vec{v}) \| \\ d(\vec{u}, \vec{v}) \leq || (\vec{u} — \vec{w}) || + || (\vec{w} — \vec{v}) \| \\ d(\vec{u}, \vec{v}) \leq d(\vec{u}, \vec{w}) + d(\vec{w}, \vec{v}) \quad \ черный квадрат \end{align} 92} \\ d(\vec{u}, \vec{v}) = \| \vec{u} — \vec{v} \| = \sqrt{1 + 25 + 9 + 1} \\ d(\vec{u}, \vec{v}) = \| \vec{u} — \vec{v} \| = \sqrt{36} \\ d(\vec{u}, \vec{v}) = \| \vec{u} — \vec{v} \| = 6 \end{align}

Следовательно, $d(\vec{u}, \vec{v}) = 6$.

Формула расстояния – вывод, примеры, типы, применение

Любая формула расстояния, как следует из названия, дает расстояние (длину отрезка). Например, расстояние между двумя точками — это длина отрезка, соединяющего их. Мы используем теорему Пифагора, чтобы вывести формулу для расстояния между двумя точками в двумерной плоскости, которую можно расширить, чтобы найти расстояние между двумя точками в трехмерной плоскости. Существуют различные типы формул расстояния в координатной геометрии.

• Расстояние между двумя точками на 2D-плоскости
• Расстояние между двумя точками на 3D-плоскости
• Расстояние от точки до линии в 2D
• Расстояние между двумя параллельными линиями в 2D
• Расстояние от точки до линии в 3D
• Кратчайшее расстояние между двумя наклонными линиями
• Расстояние от точки до плоскости
• Расстояние между двумя параллельными плоскостями

Давайте подробно изучим все эти формулы расстояния в следующих разделах вместе с несколькими решенными примерами и практическими вопросами.

1.	Что такое формула расстояния?
2.	Формула для расстояния между двумя точками
3.	Расстояние от точки до линии
4.	Формула для расстояния между двумя линиями
5.	Расстояние от точки до плоскости
6.	Формула расстояния между двумя параллельными плоскостями
7.	Применение формулы расстояния
8.	Часто задаваемые вопросы о формуле расстояния

Что такое формула расстояния?

У нас есть список формул расстояний в координатной геометрии, которые можно использовать для нахождения расстояния между двумя точками, расстояния между точкой и линией, расстояния между двумя параллельными прямыми, расстояния между двумя параллельными плоскостями и т. д. Все формулы расстояния перечислены ниже, и мы будем изучать каждую формулу отдельно в следующих разделах.

Формула расстояния для расчета расстояния между двумя точками

Мы увидим расстояние между двумя точками в двумерной плоскости и трехмерном пространстве. Обе формулы расстояния выводятся с помощью теоремы Пифагора.

Расстояние между двумя точками в 2D

Формула расстояния, используемая для определения расстояния между двумя точками в двумерной плоскости, также известна как формула евклидова расстояния. Чтобы вывести формулу, рассмотрим две точки в двумерной плоскости A\((x_1, y_1)\) и B\((x_2, y_2)\). Предположим, что d — это расстояние между A и B.

Вывод формулы расстояния

по теореме Pythagoras,

AB ² = AC ² + BC ²

D ^{2 = (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) (X \) \)) 2 + (y\(_2\) – y\(_1\)) 2}

Извлечение квадратного корня с обеих сторон,

d = √[(x\(_2\) – x \(_1\)) ² + (y\(_2\) – y\(_1\)) ² ]

Это называется формулой расстояния между двумя точками.

Расстояние между двумя точками в 3D

Чтобы найти формулу расстояния для 2 точек в трехмерной плоскости, рассмотрим две точки в трехмерной плоскости A\((x_1, y_1, z_1)\) и B\((x_2, y_2, y_3 )\). Пусть «d» — это расстояние между A и B. Применяя ту же логику (как объяснялось в предыдущем разделе) для нахождения расстояния между двумя точками в 2D, расстояние между двумя точками в 3D равно

d = √[( х\(_2\) – х\(_1\)) ² + (у\(_2\) – у\(_1\)) ² + (z\(_2\) – z\(_1\) )) ² ]

Формула расстояния для расчета расстояния от точки до линии

В этом разделе мы увидим формулу расстояния для расстояния от точки до линии в 2D и 3D. Обе формулы не похожи друг на друга.

Расстояние от точки до прямой в 2D

Формула расстояния для расчета расстояния от точки до прямой представляет собой длину сегмента перпендикулярной линии, проведенного от точки к прямой. Рассмотрим прямую L на двумерной плоскости с уравнением ax + by + c =0 и рассмотрим точку P\((x_1,y_1)\). Тогда расстояние (d) от P до L равно 9{2}}}\)

Если вы хотите узнать, как получена эта формула, нажмите здесь.

Расстояние от точки до линии в 3D

Чтобы найти формулу расстояния для расчета расстояния от точки до линии в 3D, рассмотрим точку P \((x_0, y_0, z_0)\) и линию (L ) в 3D, уравнение которого \(\dfrac{x-x_1}{a}=\dfrac{y-y_1}{b}=\dfrac{z-z_1}{c}\). Тогда расстояние (d) от точки P до L равно

\(d=\dfrac{| \overline{PQ} \times \bar{s} |}{|\bar{s}|}\), где

• P = \((x_0, y_0, z_0)\) — заданная точка, от которой мы находим расстояние до прямой L
• Q = \((x_1,y_1,z_1)\) — точка на прямой (из уравнения прямой)
• \(\overline{PQ} = (x_1-x_0, y_1-y_0, z_1-z_0)\)
• \(\bar{s}\) = — вектор направления линии
• \(\overline{PQ} \times \bar{s}\) является перекрестным произведением \(\overline{PQ}\) и \(\bar{s}\).
9{2}}}\)

Если вы хотите узнать, как получить эту формулу, нажмите здесь.

Кратчайшее расстояние между двумя наклонными линиями

Две прямые в трехмерном пространстве называются наклонными, если они не параллельны и не пересекаются. Формулу расстояния для расчета кратчайшего расстояния между ними можно найти с помощью одной из следующих формул в зависимости от того, заданы ли они в декартовой или векторной форме.

• Расстояние между двумя линиями, заданное в декартовой форме L\(_1\): \(\dfrac{x-x_1}{a_1}=\dfrac{y-y_1}{b_1}=\dfrac{z-z_1} {c_1}\) и L\(_2\): \(\dfrac{x-x_2}{a_2}=\dfrac{y-y_2}{b_2}=\dfrac{z-z_2}{c_2}\) : 9{1/2}}\справа|\)
• Расстояние между двумя прямыми, заданное в векторной форме L\(_1\):\( \overrightarrow{r_1} = \overrightarrow{a_1} + t \overrightarrow{b_1} \) и L\(_2\): \(\ overrightarrow{r_2} = \overrightarrow{a_2} + t \overrightarrow{b_2}\) есть,
  \(d = \dfrac{ \left|(\overrightarrow{a_2} — \overrightarrow{a_1}).(\overrightarrow{b_1}\times \overrightarrow{b_2})\right|}{|\overrightarrow{b_1}\ раз \overrightarrow{b_2}|}\)

Формула расстояния для определения расстояния от точки до плоскости 92}}\)

Расчет расстояния между двумя параллельными плоскостями с использованием формулы расстояния

Формула расстояния между двумя параллельными прямыми напоминает формулу расстояния между двумя параллельными прямыми. Мы знаем, что векторы нормалей двух параллельных плоскостей либо равны, либо пропорциональны. Таким образом, чтобы найти формулу расстояния между двумя параллельными плоскостями, мы можем рассматривать уравнения двух параллельных плоскостей как ax + by + cz + d\(_1\) = 0 и ax + by + cz + d\(_2\) = 0. Тогда расстояние (d) между двумя параллельными плоскостями равно 92}}\)

Применение формулы расстояния

Формула расстояния имеет многочисленные применения в других областях математики, а также во многих реальных жизненных ситуациях. Некоторые из применений формулы расстояния заключаются в следующем.

• Расстояние от начала координат до любой точки можно рассчитать по формуле расстояния.
• Комплексное число представлено в плоскости arg-and, а формула для нахождения модуля комплексного числа была получена из формулы расстояния.
• Формулу расстояния также можно использовать для нахождения расстояния между двумя точками в трехмерной, а также в n-мерной плоскостях.
• Формулу расстояния можно использовать для получения формулы величины, чтобы найти величину вектора.
• Расстояние между двумя точками в море можно определить, определив географические координаты двух точек и применив формулу расстояния.
• Расстояние между двумя городами для целей путешествия по воздуху является кратчайшим расстоянием и рассчитывается по формуле расстояния.

Связанные темы:

• Калькулятор расстояний
• оси x и y
• Координатная геометрия
• Координатная плоскость
• Определение плоскости

Важные моменты:

Ниже приведены важные моменты, связанные с формулой расстояния.

1. Расстояние, рассчитанное по формуле расстояния, всегда имеет положительный знак.
2. Вычисленное расстояние является кратчайшим линейным расстоянием между двумя точками.
3. Формула расстояния дает одинаковый ответ для точек, расположенных в любом из четырех квадрантов.

 

Примеры использования формулы расстояния

1. Пример 1: Найдите расстояние между точками (-2, 3) и (5, 6).

   Решение:

   Даны две точки: \((x_1, y_1)\) = (-2, 3) и \((x_2, y_2)\) = (5, 6) 92}\)

   = \(\sqrt{49 + 9}\)

   = \(\sqrt{58}\)

   Ответ: Следовательно, расстояние между точками равно \(\sqrt{58} \).

2. Пример 2: Найдите расстояние от точки (3, -5) до прямой 3x — 4y = 5.

   Решение:

   Дана точка, \((x_1,y_1)\) = (3, -5).

   Данная строка может быть записана как 3x — 4y — 5 = 0. Сравнивая это с ax + by + c = 0, мы получаем a = 3, b = -4 и c = -5. 92}}\)

   d = 24/5.

   Ответ: Расстояние от данной точки до данной прямой = 24/5 единиц.

3. Пример 3: Найдите расстояние от точки (-1, 2, 5) до линии \(\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{ z- 3}{3}\) и округлить ответ до сотых.

   Решение:

   Дана точка P \((x_0, y_0, z_0)\) = (-1, 2, 5).

   Сравнивая данную строку с \(\dfrac{x-x_1}{a}=\dfrac{y-y_1}{b}=\dfrac{z-z_1}{c}\), получаем:

   Q = \((x_1,y_1,z_1)\) = (2, -1, 3).

   \(\bar{s}\) = <1, 2, 3>.

   Тогда \(\overline{PQ} = (x_1-x_0, y_1-y_0, z_1-z_0)\) = (2+1, -1-2, 3-5) = (3, -3, -2 ).

   Теперь найдем векторное произведение.

   \(\overline{PQ} \times \bar{s}\) = \(\left|\begin{array}{rrr}
   \mathrm{i} & \mathrm{j} & \mathrm{k} \\
   3&-3&-2\
   1 и 2 и 3
   \end{массив}\right|\)

   = < (-92}\) = \(\sqrt{14}\)

   Используя формулу расстояния, чтобы найти расстояние от точки до линии,

   \(d=\dfrac{| \overline{PQ} \times \bar {s} |}{|\bar{s}|}\)

   \(d = \dfrac{\sqrt{227}}{\sqrt{14}}\) ≈ 4,03

   Ответ: Расстояние от данной точки до данной прямой = 4,03 ед.

перейти к слайду перейти к слайду перейти к слайду

Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок

Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. 2}\). 92}\).

Как вывести формулу расстояния?

Формулу расстояния можно вывести с помощью теоремы Пифагора. Расстояние между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) вычисляется путем нахождения расстояния между координатами x точек, \(x_1\) и \(x_2\) который представляет собой основание прямоугольного треугольника, затем нахождение расстояния между координатами y точек \(y_1\) и \(y_2\), которые представляют высоту, а расстояние между этими двумя заданными точками представляет собой гипотенузу справа треугольник. Наконец, применяя формулу Пифагора, мы получаем 92}\)

Что такое формула манхэттенского расстояния?

Расстояние между двумя точками, измеренное вдоль прямой угловой оси, называется манхэттенским расстоянием. Формула манхэттенского расстояния между точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) равна |\(x_2 — x_1\)| + |\(у_2 — у_1\)|.

Что такое формула расстояния для нахождения расстояния от точки до линии?

Расстояние от точки до прямой есть не что иное, как длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой.

No related posts.