Формула разности тангенсов: Формулы тангенса суммы и разности аргументов — урок. Алгебра, 10 класс.

Содержание

Формулы разности одноименных тригонометрических функций

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Разность тригонометрических функций: формулы

Ниже представлены таблицы с формулами разности основных тригонометрических функций.

Содержание

Прямые и производные функции: sin, cos, tg, ctg
Обратные функции: arcsin, arccos, arctg, arcctg

Прямые и производные функции: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg) и котангенс (ctg).


Действие	Формула
Разность синусов	ru/wp-content/uploads/2020/02/raznost-sinusov-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="290" height="552" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/02/raznost-sinusov-exc.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/02/raznost-sinusov-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="290" height="552" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/02/raznost-sinusov-exc.png" />»>
Разность косинусов	ru/wp-content/uploads/2020/02/raznost-kosinusov-exc.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/02/raznost-kosinusov-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="296" height="586" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/02/raznost-kosinusov-exc.png" />»>
Разность тангенсов	tg α — tg β = sin (α — β) / cos α cos β
Разность котангенсов	ctg α — ctg β = sin (β — α) / sin α sin β

microexcel. ru

Обратные функции: арксинус (arcsin), арккосинус (arccos), арктангенс (arctg) и арккотангенс (arcctg).


Действие	Формула
Разность арксинусов	ru/wp-content/uploads/2020/02/arcsin-raznost-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="580" height="1344" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/02/arcsin-raznost-exc.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/02/arcsin-raznost-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="580" height="1344" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/02/arcsin-raznost-exc.png" />»>
Разность арккосинусов	ru/wp-content/uploads/2020/02/arccos-raznost-exc.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/02/arccos-raznost-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="445" height="1052" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/02/arccos-raznost-exc.png" />»>
Разность арктангенсов	ru/wp-content/uploads/2020/02/arctg-raznost-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="414" height="948" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/02/arctg-raznost-exc.png" />»>
Разность арккотангенсов	ru/wp-content/uploads/2020/02/arcctg-raznost-exc.png" />»>

microexcel.ru

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

10 класс.

Алгебра. Преобразование тригонометрических выражений. Тригонометрические функции суммы и разности аргументов. — Тангенс суммы и разности аргументов.

Комментарии преподавателя

Тангенс суммы и разности аргументов

В этом параграфе речь пойдет о том, как тангенс суммы или разности аргументов выражается через тангенсы аргументов. Соответствующие формулы выглядят следующим образом:

При этом, разумеется, предполагается, что все тангенсы имеют смысл, т.е. что(для первой формулы), (для второй формулы).
Доказательства этих формул достаточно сложны, мы приведем одно из них в конце параграфа. Но сначала рассмотрим ряд примеров, показывающих, как используются эти формулы на практике.
Пример 1. Вычислить:
Решение, а) Воспользуемся тем, что 75° = 45° + 30°. Получим:

Есть смысл избавиться от иррациональности в знаменателе, домножив и числитель, и знаменатель полученной дроби на

в) Заметим, что заданное выражение представляет собой правую часть формулы «тангенс суммы» для аргументов 27° и 18°.

Значит,

Пример 2. Доказать тождество:
Решение. Применим к правой части проверяемого тождества формулу «тангенс разности». Имеем:

Замечание. Когда речь идет о доказательстве тригонометрического тождества или о преобразовании тригонометрического выражения, всегда предполагается, что аргументы принимают только допустимые значения. Так, в рассмотренном примере доказанное тождество справедливо при условии, что
Пример 3. Вычислить
Решение. Воспользуемся тождеством, полученным в предыдущем примере:

Если мы вычислим tg х, то вычислим и
Значение соs x; задано, значение tg х найдем с помощью соотношения

По условию аргумент x принадлежит второй четверти, а в ней тангенс отрицателен. Поэтому из равенства
Подставим найденное значение в правую часть формулы (1):

В заключение докажем, как было обещано, формулу тангенса суммы. Кроме того, приведем довольно любопытный пример, показывающий неожиданное применение формулы тангенса суммы.
Имеем:

Разделим в полученной дроби и числитель, и знаменатель почленно на соs х соз у. Получим:

Пример 4. Доказать, что 1° — иррациональное число.
Решение. Предположим противное, что tg 1°— рациональное число :tg 1 °=r, где г — рациональное число. Имеем:

Получилось рациональное число, обозначим его q; итак tg 2°=q.
Рассуждая аналогично, устанавливаем, что: снова получили рациональное число. Продолжая процесс, получим, что 4°, 5°, 60° — рациональные числа. Ноа это — иррациональное число. Получили противоречие, значит, сделанное предположение неверно, т.е. tg 1° — иррациональное число.

ИСТОЧНИК

http://school.xvatit.com/index.php?title=Тангенс_суммы_и_разности_аргументов

http://11book. ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf

http://chaulitasjo.science/pic-zadacha.uanet.biz/uploads/61/76/6176c60983745d17f71a3337ee5c8100/%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B7%D0%BB%D1%8F%D0%BA-%D0%90.%D0%93.-%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9-%D0%92.%D0%91.-%D0%A0%D0%B0%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%95.%D0%9C.-%D0%AF%D0%BA%D0%B8%D1%80-%D0%9C.%D0%A1.-%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F.-%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA-%D0%BA-%D1%88%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%83-%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D1%83.-8-11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-1998.jpg

http://nsportal.ru/sites/default/files/2011/12/28/urok_po_trigonometrii.pptx

http://v.5klass.net/zip/a78a0686cc07a7f0ba76cd8044d235a6.zip

http://internika.org/sites/default/files/imagecache/work_n/users/user16424/prezentaciya1.jpg

http://prilogenie-blank-0155487. ru/wp-content/uploads/2015/09/16-09-2015-10-32-54-c5636218772c57bc34c5ed8cca852b57.jpg

«Как найти тангенс суммы или разности углов»

Как и в случае с синусом и косинусом, вы можете использовать формулы для нахождения тангенса суммы или разности углов. Основное отличие состоит в том, что вы не можете считывать касательные напрямую из координат точек на единичной окружности, как это можно сделать с помощью синуса и косинуса, потому что каждая точка представляет

Однако надежда не потеряна, поскольку тангенс угла θ определяется как sin θ /cos θ . Поскольку синус угла равен координате y-, а косинус равен x , тангенс можно выразить через x и y на единичной окружности как y / x .

Вот формулы, необходимые для нахождения тангенса суммы или разности углов:

Вы должны запомнить эти милые маленькие формулы, потому что тогда вам не придется использовать формулы суммы и разности для синуса и косинуса в середине задачи касательной, что сэкономит ваше время в долгосрочной перспективе. Если вы решите не запоминать эти две формулы, вы можете вывести их, запомнив следующие уравнения:

Формулы суммы и разности для тангенса работают аналогично формулам синуса и косинуса. Вы можете использовать формулы для решения различных задач, например, как найти тангенс угла, который не отмечен на единичной окружности. Вы можете сделать это, если угол может быть записан как сумма или разность специальных углов.

Например, чтобы найти точное значение тангенса 105 градусов, выполните следующие действия (обратите внимание, что угол 105 градусов находится в квадранте II):

Перепишите заданный угол, используя информацию из специальных прямоугольных углов.
Весь единичный круг
Обратитесь к единичному кругу, заметив, что он построен из специальных прямоугольных треугольников, чтобы найти комбинацию углов, которые складываются или вычитаются, чтобы получить 105 градусов. Вы можете выбрать из 240 градусов – 135 градусов, 330 градусов – 225 градусов и так далее. В этом примере используется 60 градусов + 45 градусов.
Поскольку угол переписывается сложением, необходимо использовать формулу суммы для тангенса.
Подставьте известные вам данные в соответствующую формулу.
Используйте круг единиц измерения, чтобы найти нужные значения синуса и косинуса.
Чтобы найти тангенс 60º, вы должны найти 60° на единичной окружности, а затем использовать соответствующую точку на единичной окружности, чтобы получить значения синуса и косинуса для вычисления тангенса:
Подставьте значения триггера из шага 3 в формулу.
Этот шаг дает вам
, что упрощается до
Рационализируйте знаменатель.
Нельзя оставлять квадратный корень в знаменателе дроби. Поскольку знаменатель является биномом (сумма или разность двух членов), вы должны умножить и числитель, и знаменатель на сопряженное значение знаменателя. Сопряжение a + b — это а — б, и наоборот.
Упростите рациональную дробь, чтобы найти точное значение тангенса.
Объедините одинаковые термины, чтобы получить
Убедитесь, что вы полностью упростили эту дробь, чтобы получить
.

Эту статью можно найти в категории:

Предварительное вычисление,

Формулы суммы и разности — доказательство, применение

Формулы суммы и разности в тригонометрии используются для нахождения значения тригонометрических функций при определенных углах, где угол проще выразить как сумму или разность уникальных углов (0°, 30°, 45°, 60°, 90° и 180°). °). Мы запоминаем значения тригонометрических функций при 0°, 30°, 45°, 60°, 90° и 180°. Итак, чтобы найти значение тригонометрической функции при 105°, мы можем записать его как 105° = 45° + 60° и упростить задачу. В основном, у нас есть тождества суммы и разности функций синуса, косинуса и тангенса. Формулы суммы и разности имеют множество применений, включая определение расстояния от Земли до Солнца и измерение высоты горы.

Тождества суммы и разности используются для решения различных математических задач и доказательства тригонометрических формул и тождеств. В этой статье мы обсудим формулы суммы и разности для функций синуса, косинуса и тангенса и докажем тождества с помощью тригонометрических формул. Также мы научимся использовать эти формулы с помощью решенных примеров для лучшего понимания и сведем эти тождества в таблицу для быстрого просмотра и пересмотра. Обратите внимание, что в статье мы будем использовать термины «формулы» и «тождества» взаимозаменяемо.

1.	Что такое формулы суммы и разности?
2.	Доказательство идентичности суммы и разности
3.	Таблица тождеств суммы и разности
4.	Как применять формулы суммы и разности
5.	Часто задаваемые вопросы о формулах суммы и разности

Что такое формулы суммы и разности?

У нас есть шесть основных формул суммы и разности для тригонометрических функций, включая функцию синуса, функцию косинуса и функцию тангенса. Эти формулы помогают нам оценить значение тригонометрических функций при углах, которые могут быть выражены как сумма или разность специальных углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90° и 180°. Список формул суммы и разности выглядит следующим образом:

sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB
sin(A — B) = sinA cosB — cosA sinB
cos(A + B) = cosA cosB — sinA sinB
cos(A — B) = cosA cosB + sinA sinB
tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 — tanA tanB)
tan(A — B) = (tanA — tanB) / (1 + tanA tanB)

Теперь докажем вышеупомянутые тождества суммы и разности в следующем разделе.

Доказательство идентичности суммы и разности

Как мы обсуждали в предыдущем разделе, у нас есть в основном шесть тождеств суммы и разности функции синуса, функции косинуса и функции тангенса. Теперь мы докажем их один за другим. Рассмотрим единичный круг на координатной плоскости. Мы знаем, что координаты точек на единичной окружности задаются формулой (cosθ, sinθ). Теперь на единичной окружности, приведенной ниже, точка P образует угол α с положительной осью x и имеет координаты (cos α, sin α), тогда как точка Q образует угол β с положительной осью x и имеет координаты (cos β, sin β). Заметим, что угол POQ равен α — β.

Далее обозначим на окружности две точки A и B так, что точка B лежит на оси x с координатами (1, 0) и угол AOB равен α — β и, следовательно, точка A имеет координаты (cos ( α — β), sin (α — β)). Обратите внимание, что треугольники POQ и AOB являются вращениями друг друга, и, следовательно, длины PQ и AB одинаковы, то есть расстояние от P до Q равно расстоянию от A до B.

Сумма и разность Формулы для косинуса

Сначала докажем формулу разности для функции косинуса. Поскольку PQ равно AB, поэтому, используя формулу расстояния, расстояние между точками P и Q определяется как

d _PQ = √[(cos α — cos β) ² + (sin α — sin β) ² ]

= √[cos ^{2 909186 βs 5 cos 1 α — 2 cos 2} β + sin ² α — 2 sin α sin β + sin ² β] — [Используя алгебраическое тождество (a — b) ² = a ² — 2ab + b ² ]

= √[(cos ² α + sin ² α) + (cos ² β + sin ² β) — 2 cos α cos β — 2 sin α sin β] — [Используя тригонометрическая формула cos ² A + sin ² A = 1]

= √[1 + 1 — 2 cos α cos β — 2 sin α sin β]

= √(2 — 2 cos α cos β — 2 sin α sin β) — (1)

Теперь расстояние между точками A и B определяется как

d _AB = √[(cos (α — β) — 1) ² + (sin (α — β) — 0) ² ]

= √[cos ² (α — β) + 1 — 2 cos (α — β) + sin ² (α — β)]

= √(cos ² (α — β) + sin ² (α — β) + 1 — 2 cos (α — β))

= √(1 + 1 — 2 cos (α — β))

= √[2 — 2 cos (α — β)] — (2)

Поскольку расстояние между P и Q равно расстояние между A и B, мы имеем d _PQ = d _AB . Итак, из (1) и (2) имеем

√(2 — 2 cos α cos β — 2 sin α sin β) = √[2 — 2 cos (α — β)]

Возведение в квадрат обеих сторон приведенное выше уравнение,

⇒ 2 — 2 cos α cos β — 2 sin α sin β = 2 — 2 cos (α — β)

⇒ 2 [1 — cos α cos β — sin α sin β] = 2 [ 1 — cos (α — β)]

⇒ 1 — cos α cos β — sin α sin β = 1 — cos (α — β)

⇒ — cos α cos β — sin α sin β = — cos (α — β)

⇒ cos ( α — β) = cos α cos β + sin α sin β

Таким образом, мы доказали разностную формулу функции косинуса.

Мы можем получить формулу суммы для функции косинуса, подставив β = — (-β) в формулу разности cos. Итак, имеем

cos (α + β) = cos [α — (-β)]

= cos α cos (-β) + sin α sin (-β) — [Используя формулу cos (α — β) = cos α cos β + sin α sin β]

= cos α cos β + sin α (-sin β) — [Поскольку cos(-x) = cos x и sin(-x) = -sin x]

= cos α cos β — sin α sin β

⇒ cos (α + β) = cos α cos β — sin α sin β

Таким образом, мы получили формулы суммы и разности для функции косинуса.

Формулы суммы и разности для синуса

Далее мы докажем сумму и разность для функции синуса, используя кофункциональные тождества тригонометрии. Мы знаем, что sin A = cos (π/2 — A) и cos A = sin (π/2 — A). Итак, у нас

sin (α + β) = cos [π/2 — (α + β)]

= cos [π/2 — α — β]

= cos [(π/2 — α) — β]

= cos (π/2 — α) cos β + sin (π/2 — α) sin β

= sin α cos β + cos α sin β

⇒ sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Теперь мы можем написать α — β = α + (-β). Итак, используя формулу суммы для функции синуса, мы имеем

sin (α — β) = sin [α + (-β)]

= sin α cos (-β) + cos α sin (-β)

= sin α cos β + cos α (-sin β) — [Поскольку cos (-x) = cos x и sin (-x) = — sin x]

= sin α cos β — cos α sin β

⇒ sin (α — β) = sin α cos β — cos α sin β

Таким образом, мы доказали формулы суммы и разности для функции синуса.

Формулы суммы и разности для тангенса

В этом разделе мы докажем тождества суммы и разности для функции тангенса. Мы знаем, что функция тангенса может быть записана как отношение синуса и косинуса, то есть тангенс A = sin A / cos A. Таким образом, мы можем записать тангенс (α + β) как,

tan (α + β) = sin (α + β) / cos (α + β)

= (sin α cos β + cos α sin β) / (cos α cos β — sin α sin β) — — [Используя sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β и cos (α + β) = cos α cos β — sin α sin β]

Деление числителя и знаменателя на cos α cos β, имеем

= [(sin α cos β + cos α sin β) / cos α cos β] / [ (cos α cos β — sin α sin β) / cos α cos β ]

= (sin α / cos α + sin β / cos β ) / [1 — (sin α / cos α) × (sin β / cos β)]

= (tan α + tan β) / (1 — tan α tan β)

⇒ tan (α + β) = (tan α + tan β) / (1 — tan α tan β)

Теперь, используя приведенную выше формулу, мы можем найти формулу для загара (α — β). Итак, имеем

тангенс (α — β) = тангенс [α + (-β)]

= [тангенс α + тангенс (-β)] / [1 — тангенс α тангенс (-β)] — [Используя формулу tan (A + B)]

= [tan α + (-tan β)] / [1 — tan α (-tan β)] — [Поскольку tan (-x) = — tan x]

= (тангенс α — тангенс β) / (1 + тангенс α тангенс β)

⇒ tan (α — β) = (tan α — tan β) / (1 + tan α tan β)

Таким образом, мы доказали формулы суммы и разности функции тангенса.

Таблица тождеств суммы и разности

В предыдущем разделе мы вывели формулы всех тождеств суммы и разности тригонометрических функций синуса, косинуса и тангенса. Теперь давайте суммируем эти формулы в таблице ниже для быстрого пересмотра.

Формулы суммы и разности для синуса	sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB
	sin(A — B) = sinA cosB — cosA sinB
Формулы суммы и разности для косинуса	cos(A + B) = cosA cosB — sinA sinB
	cos(A — B) = cosA cosB + sinA sinB
Формулы суммы и разности для касательной	tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 — tanA tanB)
	tan(A — B) = (tanA — tanB) / (1 + tanA tanB)

Как применять формулы суммы и разности

Теперь, когда мы поняли формулы суммы и разности тригонометрических функций, давайте теперь воспользуемся этими формулами, чтобы понять их применение. Мы можем просто подставить значения углов в формулы или выразить заданный угол как сумму или разность специальных углов, чтобы найти их значения. Тождества суммы и разности также помогают нам проверять различные тригонометрические формулы и тождества. Давайте решим несколько примеров, приведенных ниже, и научимся применять эти тождества:

Пример 1: Вычислить значение sin (5π/4 — π/6)

Решение: Используя формулу разности синуса, мы имеем

sin (5π/4 — π/6) = sin5π /4 cos π/6 — cos5π/4 sin π/6 — [Используя sin(A — B) = sinA cosB — cosA sinB]

= (-1/√2) (√3/2) — ( -1/√2) (1/2)

= -√3/2√2 + 1/2√2

= (1 — √3) / 2√2

Пример 2: Найти значение косинус 105°.

Решение: Мы можем записать 105° как 105° = 60° + 45°. Итак, используя формулу суммы косинусов, мы имеем

cos 105° = cos (60° + 45°)

= cos 60° cos 45° — sin 60° sin 45° — [Используя cos(A + B) = cosA cosB — sinA sinB]

= (1/2) (1/√2) — (√3/2) (1/√2)

= 1/2√2 — √3/2√2

= (1 — √3) / 2√2

Пример 3: Найдите значение тангенса (2π/3 + π/4).

Решение: Чтобы найти значение тангенса (2π/3 + π/4), воспользуемся формулой суммы функции тангенса.

tan (2π/3 + π/4) = (tan2π/3 + tanπ/4) / (1 — tan2π/3 tanπ/4) — [Используя tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 — танА танБ)]

= [(-√3) + 1] / [1 — (-√3) (1)]

= (1 — √3) / (1 + √3)

Важные примечания о сумме и разнице Формулы

Шесть важных формул суммы и разности:
- sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB
- sin(A — B) = sinA cosB — cosA sinB
- cos(A + B) = cosA cosB — sinA sinB
- cos(A — B) = cosA cosB + sinA sinB
- tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 — tanA tanB)
- tan(A — B) = (tanA — tanB) / (1 + tanA tanB)
Мы можем вывести эти формулы, используя единичный круг и тригонометрические формулы.
Тождества суммы и разности используются для нахождения значения тригонометрических функций при углах, которые можно записать как сумму или разность специальных углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90° и 180°.
No related posts.