Формула синус 2 альфа: Найдите sin2альфа если известно sin альфа= -0,6

ЕГЭ Профиль №8. Тригонометрические уравнения и неравенства

Реклама

Поддержать нас

4.3 Двойной угол, половинный угол и формулы приведения

Результаты обучения

• Используйте формулы двойного угла, чтобы найти точные значения.
• Используйте формулы двойного угла для проверки тождества.
• Используйте формулы сокращения для упрощения выражения.
• Используйте формулы половинного угла, чтобы найти точные значения.

Использование формул двойного угла для нахождения точных значений

В предыдущем разделе мы использовали формулы сложения и вычитания для тригонометрических функций. Теперь еще раз взглянем на те же формулы. формулы двойного угла являются частным случаем формул суммы, где [латекс]\альфа =\бета [/латекс]. Вывод формулы двойного угла для синуса начинается с формулы суммы

[латекс]\sin \left(\alpha +\beta \right)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta [/latex]

Если мы допустим [латекс]\альфа =\бета =\тета [/латекс], то мы получим

[латекс]\начало{выравнивание}\sin \left(\theta +\theta \right )&=\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta\\\sin\left(2\theta\right)&=2\sin\theta\cos\theta\end{align}[ /латекс] 9{2}\theta }\end{align}[/latex]

Как сделать: Зная тангенс угла и квадрант, в котором он расположен, используйте формулы двойного угла, чтобы найти точное значение.

1. Нарисуйте треугольник, чтобы отразить полученную информацию.
2. Определите правильную формулу двойного угла.
3. Подставьте значения в формулу на основе треугольника.
4. Упростить.

Пример 1. Использование формулы двойного угла для нахождения точного значения, включающего тангенс

Учитывая, что [латекс]\тан \тета =-\фрак{3}{4}[/латекс] и [латекс]\тета [/латекс] находится в квадранте II, найдите следующее:

1. [латекс] \sin\left(2\theta\right)[/латекс]
2. [латекс]\cos\влево(2\тета\вправо)[/латекс]
3. [латекс]\загар \влево(2\тета\вправо)[/латекс]

Показать решение

Попробуйте

Дано [латекс]\sin \alpha =\frac{5}{8}[/latex], с [латекс]\тета [/латекс] в квадранте I, найдите [латекс]\cos \left (2\альфа\справа)[/латекс].

Показать решение

Попробуйте

Пример 2. Использование формулы двойного угла для косинуса без точных значений

Используйте формулу двойного угла для косинуса, чтобы записать [латекс]\cos \left(6x\right)[/latex] в терминах из [латекс]\cos\left(3x\right)[/латекс].

Показать решение

Использование формул двойного угла для проверки тождественности

Установление тождества с использованием формул двойного угла выполняется с использованием тех же шагов, которые мы использовали для получения формул суммы и разности. Выберите более сложную часть уравнения и перепишите ее, пока она не совпадет с другой стороной. 9{2}\тета [/латекс].

Показать решение

Использование формул приведения для упрощения выражения

Формулы двойного угла можно использовать для получения формул приведения , которые являются формулами, которые мы можем использовать для уменьшения мощности данного выражения, включающего четные степени синуса или косинуса. Они позволяют нам переписать четные степени синуса или косинуса в терминах первой степени косинуса. Эти формулы особенно важны в курсах математики более высокого уровня, в частности исчисления. Также называемые формулами уменьшения степени, включены три тождества, которые легко выводятся из формул двойного угла. 9{2}\theta} \\ &=\frac{\frac{1-\cos\left(2\theta\right)}{2}}{\frac{1+\cos\left(2\theta\right) )}{2}}&& \text{Подставьте формулы приведения.} \\ &=\left(\frac{1-\cos \left(2\theta \right)}{2}\right)\left(\ frac{2}{1+\cos \left(2\theta\right)}\right) \\ &=\frac{1-\cos \left(2\theta \right)}{1+\cos \left (2\theta \right)} \end{align}[/latex]

A Общее примечание: формулы приведения

Формулы приведения резюмируются следующим образом:

[латекс]\begin{align} &{\ sin } ^ {2} \ theta = \ frac {1- \ cos \ left (2 \ theta \ right)} {2} \\ & {\ cos } ^ {2} \ theta = \ frac {1+ \ cos \left(2\theta\right)}{2} \\ &{\tan}^{2}\theta=\frac{1-\cos\left(2\theta\right)}{1+\cos\ влево(2\тета\вправо)} \end{выравнивание}[/latex] 9{4}x=\frac{15}{4}+5\cos\left(2x\right)+\frac{5}{4}\cos\left(4x\right)[/latex].

Показать решение

Попробуйте

Использование формул половинного угла для нахождения точных значений

Следующий набор тождеств — это набор из формул половинного угла , которые можно вывести из формул приведения и использовать, когда у нас есть угол это половина размера специального угла. Если мы заменим [латекс]\тета [/латекс] на [латекс]\фракция{\альфа}{2}[/латекс], формула половинного угла для синуса будет найдена путем упрощения уравнения и решения для [латекс]\ sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)[/latex]. Обратите внимание, что формулам половинного угла предшествует знак [латекс]\pm [/латекс]. Это не означает, что допустимы как положительные, так и отрицательные выражения. Скорее, это зависит от квадранта, в котором заканчивается [latex]\frac{\alpha }{2}[/latex]. 9{2}\left(\frac{\alpha}}{2}\right)&=\frac{1-\cos\left(2\cdot \frac{\alpha}{2}\right)}{1+\ cos \left(2\cdot \frac{\alpha }{2}\right)} \\ &=\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha}\hfill \\ \tan \left (\ frac{\ alpha} {2} \ right) & = \ pm \ sqrt {\ frac {1- \ cos \ alpha } {1+ \ cos \ alpha}} \ end {align} [/latex]

Общее примечание: формулы половинного угла

Формулы половинного угла следующие:

[латекс]\begin{align}\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)&= \pm \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}}{2}} \\\text{} \\ \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)&=\pm \sqrt {\ frac {1+ \ cos \ alpha} {2}} \\ \ text { } \\ \ tan \ left (\ frac {\ alpha {2} \ right) & = \ pm \ sqrt {\ frac { 1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}} \\ &=\frac{\sin\alpha}}{1+\cos\alpha} \\ &=\frac{1-\cos\alpha} {\ грех \ альфа} \ конец {выравнивание} [/латекс] 9{\circ}\right)[/latex] по формуле половинного угла.

Показать решение

Как: Даны тангенс угла и квадрант, в котором находится угол, найти точные значения тригонометрических функций половины угла.

1. Нарисуйте треугольник для представления данной информации.
2. Определите правильную формулу половинного угла.
3. Подставьте значения в формулу на основе треугольника.
4. Упростить.

Пример 8. Нахождение точных значений с использованием тождеств половинного угла

Учитывая, что [латекс]\тангенс \альфа =\фрак{8}{15}[/латекс] и [латекс]\альфа [/латекс] лежат в квадранте III, найдите точное значение следующего:

1. [латекс]\sin\left(\frac{\alpha }{2}\right)[/latex]
2. [латекс]\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)[/latex]
3. [латекс]\загар \влево(\фракция{\альфа}{2}\вправо)[/латекс]

Показать решение

Попробуйте

Учитывая, что [латекс]\sin \alpha =-\frac{4}{5}[/latex] и [латекс]\альфа [/латекс] лежат в квадранте IV, найдите точное значение [ латекс]\cos\left(\frac{\alpha }{2}\right)[/latex].

Показать решение

Попробуйте

Пример 9: Нахождение измерения половинного угла

Теперь вернемся к задаче, поставленной в начале раздела. Велосипедная рампа предназначена для соревнований высокого уровня с углом [латекс]\тета [/латекс], образованным рампой и землей. Еще одна рампа должна быть построена вполовину меньшей крутизны для соревнований новичков. Если [латекс]\тан \тета =\фрак{5}{3}[/латекс] для соревнований более высокого уровня, каково измерение угла для соревнований новичков? 9{2}\theta =\frac{1-\cos\left(2\theta\right)}{1+\cos \left(2\theta\right)} \end{align}[/latex] Формулы полууглов [латекс] \ begin {align} \ sin \ left (\ frac {\ alpha {2} \ right) & = \ pm \ sqrt {\ frac {1- \ cos \ alpha } {2}} \\ \ text{ } \\ \cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)&=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}} \\ \text{ } \ \ \ tan \ left (\ frac {\ alpha {2} \ right) & = \ pm \ sqrt {\ frac {1- \ cos \ alpha} {1+ \ cos \ alpha }} \\ & = \ frac {\ sin \ alpha} {1+ \ cos \ alpha} \\ & = \ frac {1- \ cos \ alpha } {\ sin \ alpha} \ end {align} [/latex]

Ключевые понятия

• Тождества двойных углов получаются из формул суммы основных тригонометрических функций: синуса, косинуса и тангенса.
• Формулы редукции особенно полезны в математических вычислениях, поскольку они позволяют уменьшить мощность тригонометрического члена.
• Формулы половинного угла позволяют нам найти значение тригонометрических функций, содержащих половинные углы, независимо от того, известен исходный угол или нет.

Глоссарий

формулы двойного угла

тождества, полученные из формул суммы синуса, косинуса и тангенса, в которых углы равны

формулы половинного угла

тождества, полученные из формул приведения и используемые для определения значений половинных углов тригонометрических функций

формулы сокращения

тождества, полученные из формул двойного угла и используемые для уменьшения степени тригонометрической функции

Тригонометрические тождества половинного угла — Тригонометрические формулы и вывод половинного угла

Триггерные тождества половинного угла или функции, фактически участвующие в тех тригонометрических функциях, в которых есть половинные углы. Квадратный корень первых двух функций синуса и косинуса, отрицательный или положительный, полностью зависит от наличия угла в квадранте. Узнайте больше о Trig Identities на сайте trigidentities.info.

Вот исчерпывающая таблица, которая ясно изображает полуугловые тождества всех основных тригонометрических тождеств. Узнайте больше о Обратные тождества триггеров .

Сегодня мы собираемся вывести следующие формулы полуугла треугольника.